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专题21.3 实际问题与一元二次方程的常见题型（重难点）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
（一）传播问题
1．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人．根据题意列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．在某次冠状病毒感染中，有3只动物被感染，后来经过两轮感染后共有363只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，则下面所列方程正确的是（ ）
A．3x（x+1）＝363 B．3+3x+3x2＝363
C．3（1+x）2＝363 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝363
3．一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有（ ）
A．9人 B．10人 C．12人 D．15人
4．参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，参加这次交易会的公司共有（ ）
A．9家 B．10家 C．10家或9家 D．19家
5．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．1+x2=31 B．1+x+x2=31 C．x+x2=31 D．(1+x)2=31
6．由于许多国外国家直接放开防空政策，导致新冠肺炎疫情至今没能得到缓解，疫情难以消停．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未尽进行有效隔离，经过两轮传染后共有121人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同），则每轮传染中平均每个人传染了 人．
7．卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为非典型肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者”．如果某镇有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有225人成为新冠肺炎病毒的携带者．
（1）经过计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？写出过程．
（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？
8．为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”．
（1）求出m的值；
（2）经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．请分别求出他们三人号召的成功率．
（二）增长率问题
1．某市2020年年底自然保护区覆盖率为，经过两年努力，该市2022年年底自然保护区覆盖率达到，求该市这两年自然保护区面积的平均增长率，设年均增长率为x，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
2．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A．6.2（1+x）2＝8.9
B．8.9（1+x）2＝6.2
C．6.2（1+x2）＝8.9
D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9
3．某商场销售某种水果，第一次降价60%，第二次又降价10%，则这两次平均降价的百分比是（ ）
A．35% B．30% C．40% D．50%
4．随着我国新能源汽车的生产技术不断提升，市场上某款新能源汽车的价格由今年3月份的270000元/辆下降到5月份的243000元/辆．若价格继续下降，且月平均降价的百分率保持不变，则预测到今年7月份该款新能源汽车的价格将会（ ）．（参考数据：）
A．低于22万元/辆 B．低于万元/辆
C．超过22万元/辆 D．超过23万元/辆
5．（2023·湖南湘西·统考三模）在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少，2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为，设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．某商品经过三次连续涨价，每件售价由原来的35元涨到了55元．设平均每次涨价的百分率为x，那么可得方程是 ．
7．某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为 ．
8．某企业2021年的当年营收总额为200亿元，经过战略调整，预计2023年的当年营收总额将达到288亿元，求该企业当年营收总额的年平均增长率．
9．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）今年五一“网红长沙”再次火出“圈”，27个旅游景区五天累计接待游客万人，成为全国十大必到城市之一．长沙美食也吸引了无数游客纷纷打卡，某网红火锅店五一期间生意火爆，第2天营业额达到10万元，第4天营业额为万元，据估计第3天、第4天营业额的增长率相同．
(1)求该网红店第3，4天营业额的平均增长率；
(2)若第1天的营业额为万元，第五天由于游客人数下降，营业额是前四天总营业额的，求该网红店第5天营业额．
10．“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水箱亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
11．芯片目前是全球紧缺资源，合肥市政府通过资本招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业．合肥某芯片公司，引进了一条内存芯片生产线．开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题：
（1）求前三季度生产量的平均增长率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度．
①现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？
②是否能增加生产线，使得每季度生产内存芯片4820万个，若能，应该再增加几条生产线？若不能，请说明理由．
（三）动态几何与图形问题
1．某小区原有一块长为30米，宽为20米的矩形康乐健身区域，现计划在这一场地四周（场内）筑一条宽度相等的健走步道，其步道面积为214平方米，设这条步道的宽度为x米，可以列出方程是（ ）
A．（30﹣2x）（20﹣2x）＝214
B．（30﹣x）（20﹣x）＝30×20﹣214
C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝30×20﹣214
D．（30+2x）（20+2x）＝30×20﹣214
2．如图，在长为32m，宽为20m的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则道路的宽（ ）m．
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
3．《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为19，则该方程的正数解为（ ）
A．5 B． C． D．
4．给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为3和1时，其“加倍矩形”的对角线长为 ．
5．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两面用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．若饲养场的面积为180平方米，则饲养场（矩形ABCD）的一边AB的长为 米．
6．如图，有一块矩形铁皮，长为100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为1400cm2，那么铁皮各角切去的正方形的边长为_ _cm．
7．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 s后，P，Q两点之间相距25cm．
8.如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．
（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m，求新的矩形绿地的长与宽；
（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．
9．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB为x米．
（1）若围成的花圃面积为36平方米，求此时宽AB；
（2）能围成面积为52平方米的花圃吗？若能，请说明围法；若不能，请说明理由．
10．某医院计划搭建一个临时物资储备仓库，用来放置新型冠状肺炎期间捐助的援助物资．如图，仓库的两边靠墙（墙的长度足够长），另外两边用总长为59米的铁栅栏围成．两面墙的夹角，栅栏与墙所成的夹角是，上留有1米宽的门（门用其它材料做成），栅栏与墙平行．设的长为x米．
（1）的长为________米，的长为_______米．（用含x的代数式表示）
（2）若仓库的面积为600平方米，求的长．
11．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，那么称这个矩形是给定矩形的“减半”矩形． 如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形．
任务：
当矩形的长为8，宽为1时，它是否存在“减半”矩形？如果存在，请求出“减半”矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由．
12．如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动．问：
(1)P、Q两点从出发开始几秒时，四边形的面积为？
(2)几秒时点P点Q间的距离是10厘米？
(3)P，Q两点间距离何时最小？
13．如图，在中，，，，点P从点A出发沿边AC向点以的速度移动，点Q从点出发沿CB边向点B以的速度移动．
（1）如果同时出发，几秒钟后，可使PQ的长为厘米？
（2）点在移动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．
14．阅读下列材料，解决问题：
求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解，求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程例如：一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）方程x3﹣6x2﹣16x＝0的解是x1＝0，x2＝ ，x3＝ ；
（2）用“转化”的思想求方程（x2+x﹣2）2+（2x2﹣7x+6）2＝（3x2﹣6x+4）2的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8m，宽AB＝3m，小华把一根长为10m的绳子的一瑞固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
（四）营销利润问题
1．商场购进一批衬衣，进货单价为30元，按40元出售时，每天能售出500件．若每件涨价1元，则每天销售量就减少10件．为了尽快出手这批衬衣，而且还能每天获取8000元的利润，其售价应该定为（ ）
A．50元 B．60元 C．70元 D．50元或70元
2．西菜市场某商户销售冰鲜海产品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，期间发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，在每件盈利不少于25元的前提下，要取得每天利润为1200元，每件商品降价（ ）
A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．15元
3．某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为元．若每份盒饭的售价为元，每天可卖出份．市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每天要少卖出份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到元，设每份盒饭涨价元，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．一个农业合作社以64000元的成本收获了某种农产品80吨，目前可以以1200元/吨的价格售出，如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元．设储藏个星期再出售这批农产品，可获利122000元．根据题意，可列方程______．
5．某校举办艺术节，校舞蹈队队长小颍准备购买某种演出服装，商店老板给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元，按此优惠条件，小颖一次性购买这种服装付了1200元，则她购买了这种服装____件；
6．据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少；
（2）市场调查发现，某水果在该平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？
7．宾馆有50间房供游客居住，原定价每间房每天190元．当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房（物价部门规定，此类宾馆的入住费用不得超过原定价的1.5倍）．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．
（1）如果每间房当天的定价比房间住满时的房价增加x元时，宾馆______间房有游客居住（用含x的代数式表示）；
（2）当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为9450元？
8．已知A、B两地的高速公路总长为，货物运输车的行驶速度为．
（1）若货物的公路运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地经高速公路运输到B地，运输成本为每千米2元，总运输费用为870元，那么它的时间成本是每小时多少元？
（2）“大升”快递公司有一批货物（不超过10车）需要先从A地经高速公路运输到B地，再从B地经铁路运输到C市，共需运费9720元．其中从A地到B地的每车运输费用与（1）相同，从B地到C市的铁路运输费用对不超过10车的货物计费为：一车900元，当货物增加一车时，每车的运费减少30元．问这批货物有几车？
9.某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
（1）求4月份再生纸的产量；
（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；
（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
10．（2023春·山西长治·九年级校联考阶段练习）小米又称栗米，古称栗，是中国古代的“五谷”之一，“人说山西好风光，地肥水美五谷香”、我省晋中、晋东南、阳泉盛产小米、某超市计划用元的价格购进一批优质小米，根据销售经验，当该小米的售价为元时，月销售量为，每千克小米售价每增长元，月销售量就相应减少．
(1)若使这种小米的月销售量不低于，每千克小米售价应不高于多少元？
(2)在实际销售过程中，每千克小米的进价为元，而每千克小米的售价比（1）中最高售价减少了，月销售量比（1）中最低月销售量增加了，结果该店销售该小米的利润达到了元，求在实际销售过程中每千克小米的价格．
（五）比赛问题
1．有支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． B． C． D．
2． 2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
3．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28
C．x（x+1）＝28 D．x（x﹣1）＝28
4．（2023秋·云南昆明·九年级统考期末）中国男子篮球职业联赛（简称：CBA），分常规赛和季后赛两个阶段进行，采用主客场赛制（也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛）．2022-2023CBA常规赛共要赛240场，则参加比赛的队共有（ ）
A．80个 B．120个 C．15个 D．16个
5．哈尔滨市南岗区中学校组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间比赛一场），计划一共安排21场比赛，设总共x个学校参加比赛，列方程为 ．
（六）数字问题
1．一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，这个两位数是（ ）
A．36 B．63 C．36或63 D．﹣36或﹣63
2．一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是（ ）
A．25 B．36 C．25或36 D．64
3．一个两位数等于它的十位数与个位数的和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，则这个两位数是（ ）
A．27 B．72 C．27或16 D．﹣27或﹣16
4．小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇 赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为（ ）
A．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 B．10（x+3）+x＝x2
C．10x+（x+3）＝（x+3）2 D．10（x+3）+x＝（x+3）2
5．如图，是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为161，那么根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
6．若某两位数的十位数字是方程的根，则它的十位数字是 _____．
7．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2+2b﹣3．例如把（2，﹣5）放入其中，就会得到22+2×（﹣5）﹣3＝﹣9，现将实数（m，﹣3m）放入其中，得到实数4，则m＝ ．
8．已知3个连续整数的和为m，它们的平方和是n，且n＝11（m﹣8），则m＝ ．
9．如果两个连续奇数的积是323，如果设其中较小的一个奇数为x，可得方程 ．
10．如果两个数的差为3，并且它们的积为88，那么其中较大的一个数为 ．
11．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48．
（1）请证明发现的规律；
（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大数；
（3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120．直接判断他的说法是否正确．（不必叙述理由）
（七）图表信息问题
1．已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有一个点，第二行有两个点，…，第n行有n个点，容易发现，三角形点阵中前4行的点数和是10．若三角形点阵中前a行的点数之和为300，则a的值为 ．
2．乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
发布日期 10月8日 10月11日 10月12日
发布次数 第1次 第2次 第3次
票房 10亿元 12.1亿元
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票
3．2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
销售单价x（元） 30 40 45
销售数量y（件） 100 80 70
（1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？
（3）利润能否达到1400元，如果能，求出销售单价；如果不能，说明理由．
4．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费．
(1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示）
(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少．
月份 用电量/度 交电费总数/元
2月 80 25
3月 45 10
5．某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如下表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）．
注：步数×平均步长＝距离．
（1）根据题意完成表格填空；
（2）求x的值；
（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长．
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专题21.3 实际问题与一元二次方程的常见题型（重难点）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
（一）传播问题
1．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人．根据题意列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设每轮传染中平均一个人传染个人，
则第一轮传染后总传染人数为，第二轮后总传染人数为，
因此．
故选C．
2．在某次冠状病毒感染中，有3只动物被感染，后来经过两轮感染后共有363只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，则下面所列方程正确的是（ ）
A．3x（x+1）＝363 B．3+3x+3x2＝363
C．3（1+x）2＝363 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝363
【答案】C
【解析】每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，列方程得：3（1+x） ＝363，
故选C．
3．一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有（ ）
A．9人 B．10人 C．12人 D．15人
【答案】B
【解析】设这个小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，
依题意得：x（x﹣1）＝90，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．
故选B．
4．参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，参加这次交易会的公司共有（ ）
A．9家 B．10家 C．10家或9家 D．19家
【答案】B
【解析】设有x家公司参加，依题意可得，
，
整理得：，
解得：．
故选B．
5．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．1+x2=31 B．1+x+x2=31 C．x+x2=31 D．(1+x)2=31
【答案】B
【解析】设每个支干长出x根小分支，
根据题意可得：1＋x＋x2＝31
故选B．
6．由于许多国外国家直接放开防空政策，导致新冠肺炎疫情至今没能得到缓解，疫情难以消停．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未尽进行有效隔离，经过两轮传染后共有121人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同），则每轮传染中平均每个人传染了 人．
【答案】10
【解析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染，
依题意得：1+x+x（1+x）＝121，
即（1+x）2＝121，
解得：x1＝10，x2＝﹣12（不合题意，舍去），
∴每轮传染中平均每个人传染了10人．
故答案为：10．
7．卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为非典型肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者”．如果某镇有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有225人成为新冠肺炎病毒的携带者．
（1）经过计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？写出过程．
（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？
【解析】（1）设每人每轮传染x人，
依题意，得：1+x+（1+x）x=225，
解得：x1=14，x2=-16（不合题意，舍去），
∵14＞10，
∴最初的这名病毒携带者是“超级传播者”，
（2）225×（1+14）=3375（人），
答：若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有3375人成为新冠肺炎病毒的携带者．
8．为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”．
（1）求出m的值；
（2）经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．请分别求出他们三人号召的成功率．
【解析】（1）依题意得：1+m+（1+m）m＝121，
整理得：（1+m）2＝121，
解得：m1＝10，m2＝﹣12（不合题意，舍去）．
答：m的值为10．
（2）∵第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人，
∴小丽号召了（n+2）人，小红号召了17﹣n﹣（n+2）＝（15﹣2n）人．
依题意得：100%＝2100%﹣10%，
解得：n＝4，
∴100%100%＝40%，100%100%＝70%，100%100%＝60%．
答：小颖号召的成功率为40%，小红号召的成功率为70%，小丽号召的成功率为60%．
（二）增长率问题
1．某市2020年年底自然保护区覆盖率为，经过两年努力，该市2022年年底自然保护区覆盖率达到，求该市这两年自然保护区面积的平均增长率，设年均增长率为x，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设该市总面积为1，该市这两年自然保护区的年均增长率为x，根据题意得
1×8%×（1+x）2=1×9%，
即8%（1+x）2=9%．
故选D．
2．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A．6.2（1+x）2＝8.9
B．8.9（1+x）2＝6.2
C．6.2（1+x2）＝8.9
D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9
【答案】A
【解析】依题意得6.2（1+x）2＝8.9，
故选A．
3．某商场销售某种水果，第一次降价60%，第二次又降价10%，则这两次平均降价的百分比是（ ）
A．35% B．30% C．40% D．50%
【答案】C
【解析】设这两次平均降价的百分比是x，
依题意得：（1﹣x）2＝（1﹣60%）×（1﹣10%），
解得：x1＝0.4＝40%，x2＝1.6（不合题意，舍去），
∴这两次平均降价的百分比是40%．
故选C．
4．随着我国新能源汽车的生产技术不断提升，市场上某款新能源汽车的价格由今年3月份的270000元/辆下降到5月份的243000元/辆．若价格继续下降，且月平均降价的百分率保持不变，则预测到今年7月份该款新能源汽车的价格将会（ ）．（参考数据：）
A．低于22万元/辆 B．低于万元/辆
C．超过22万元/辆 D．超过23万元/辆
【答案】A
【解析】设月平均降价的百分率为x，
依题意得：270000（1-x）2=243000，
∴（1-x）2=0.9，
∴今年7月份该款新能源汽车的价格为243000（1-x）2=243000×0.9=218700（元）．
故选A．
5．（2023·湖南湘西·统考三模）在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少，2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为，设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意得：，
故选C．
6．某商品经过三次连续涨价，每件售价由原来的35元涨到了55元．设平均每次涨价的百分率为x，那么可得方程是 ．
【答案】35（1+x）3＝55
【解析】设平均每次涨价的百分比为x，那么可列方程：
35（1+x）3＝55．
故答案为：35（1+x）3＝55．
7．某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为 ．
【答案】20%
【解析】设平均每月的增长率为x，
由题意得25（1+x）2＝36，
解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）
所以平均每月的增长率为20%．
故答案为：20%．
8．某企业2021年的当年营收总额为200亿元，经过战略调整，预计2023年的当年营收总额将达到288亿元，求该企业当年营收总额的年平均增长率．
【解析】设该企业当年营收总额的年平均增长率为x，
依题意得：200（1+x）2＝288，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该企业当年营收总额的年平均增长率为20%．
9．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）今年五一“网红长沙”再次火出“圈”，27个旅游景区五天累计接待游客万人，成为全国十大必到城市之一．长沙美食也吸引了无数游客纷纷打卡，某网红火锅店五一期间生意火爆，第2天营业额达到10万元，第4天营业额为万元，据估计第3天、第4天营业额的增长率相同．
(1)求该网红店第3，4天营业额的平均增长率；
(2)若第1天的营业额为万元，第五天由于游客人数下降，营业额是前四天总营业额的，求该网红店第5天营业额．
【解析】（1）解：设该网红店第3，4天营业额的平均增长率为，则
解得，（舍）
答：该网红店第3，4天营业额的平均增长率为；
（2）解：前四天营业额为：万元．
第五天营业额：万元，
答：该网红店第5天营业额为万元．
10．“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水箱亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
【解析】解：（1）设亩产量的平均增长率为x，根据题意得：
，
解得：，（舍去），
答：亩产量的平均增长率为20%．
（2）第四阶段的亩产量为（公斤），
∵，
∴他们的目标可以实现．
11．芯片目前是全球紧缺资源，合肥市政府通过资本招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业．合肥某芯片公司，引进了一条内存芯片生产线．开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题：
（1）求前三季度生产量的平均增长率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度．
①现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？
②是否能增加生产线，使得每季度生产内存芯片4820万个，若能，应该再增加几条生产线？若不能，请说明理由．
【解析】（1）设求前三季度生产量的平均增长率为x，
依题意得：200（1+x）2＝288，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：前三季度生产量的平均增长率20%；
（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（600﹣20m）万个/季度，
依题意得：（1+m）（600﹣20m）＝2600，
整理得：m2﹣29m+100＝0，
解得：m1＝4，m2＝25，
又∵在增加产能同时又要节省投入，
∴m＝4．
答：应该增加4条生产线；
②不能，理由如下：
设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（600﹣20a）万个/季度，
依题意得：（1+a）（600﹣20a）＝4820，
整理得：a2+29a+211＝0．
∵b2﹣4ac＝292﹣4×1×211＝﹣3＜0，
∴该方程无实数根．
∴不能增加生产线，使得每季度生产内存芯片4820万个．
（三）动态几何与图形问题
1．某小区原有一块长为30米，宽为20米的矩形康乐健身区域，现计划在这一场地四周（场内）筑一条宽度相等的健走步道，其步道面积为214平方米，设这条步道的宽度为x米，可以列出方程是（ ）
A．（30﹣2x）（20﹣2x）＝214
B．（30﹣x）（20﹣x）＝30×20﹣214
C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝30×20﹣214
D．（30+2x）（20+2x）＝30×20﹣214
【答案】C
【解析】设健走步道的宽度为x米，根据题意得：（30﹣2x）（20﹣2x）＝30×20﹣214，
故选C．
2．如图，在长为32m，宽为20m的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则道路的宽（ ）m．
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】C
【解析】原图经过平移转化为图1．
设道路宽为xm，
根据题意，得（20﹣x）（32﹣x）＝540．
整理得x2﹣52x+100＝0．
解得x1＝50（不合题意，舍去），x2＝2．
则道路宽为2m，
故选C．
3．《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为19，则该方程的正数解为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，可知以正方形的边长为一边向外构造的一个矩形的面积为x，
∴四个空白的小正方形的边长为，
∴大正方形的面积为19+419+9＝28，
∴该方程的正数解为3，
故选B．
4．给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为3和1时，其“加倍矩形”的对角线长为 ．
【答案】2
【解析】设“加倍”矩形的长为x，则宽为[2×（3+1）﹣x]，
依题意，得：x[2×（3+1）﹣x]＝2×3×1，
整理，得：x2﹣8x+6＝0，
解得：x1＝4，x2＝4，
当x＝4时，2×（3+1）﹣x＝44，符合题意；
当x＝4时，2×（3+1）﹣x＝44，符不符合题意，舍去．
∴“加倍矩形”的对角线长为2．
故答案为：2．
5．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两面用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．若饲养场的面积为180平方米，则饲养场（矩形ABCD）的一边AB的长为 10 米．
【答案】10
【解析】设饲养场（矩形ABCD）的一边AB长为x米，则饲养场另一边BC＝（总长+3个1米的门的宽度）﹣3x米＝（45+3）﹣3x＝（48﹣3x）（米），
根据题意得：x（48﹣3x）＝180，
解得x1＝6，x2＝10，
0≤48﹣3x≤27，0≤x≤15，
∴7≤x≤15，
∴x＝10，
故答案为：10．
6．如图，有一块矩形铁皮，长为100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为1400cm2，那么铁皮各角切去的正方形的边长为_ _cm．
【答案】15
【解析】解：设切去的正方形的边长为xcm，
则盒底的长为（100﹣2x）cm，宽为（50﹣2x）cm，
根据题意得：（100﹣2x）（50﹣2x）＝1400，
展开得：x2﹣75x+900＝0，
解得：x1＝15，x2＝60（不合题意，舍去），
则铁皮各角应切去边长为15cm的正方形．
故答案是：15
7．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 s后，P，Q两点之间相距25cm．
【答案】10
【解析】设x秒后P、Q两点相距25cm，
则CP＝2xcm，CQ＝（25﹣x）cm，
由题意得，（2x）2+（25﹣x）2＝252，
解得，x1＝10，x2＝0（舍去），
则10秒后P、Q两点相距25cm．
故答案是：10．
8.如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．
（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m，求新的矩形绿地的长与宽；
（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．
【解析】（1）设将绿地的长、宽增加xm，则新的矩形绿地的长为（35+x）m，宽为（15+x）m，
根据题意得：（35+x）（15+x）＝800，
整理得：x2+50x﹣275＝0
解得：x1＝5，x2＝﹣55（不符合题意，舍去），
∴35+x＝35+5＝40，15+x＝15+5＝20．
答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m．
（2）设将绿地的长、宽增加ym，则新的矩形绿地的长为（35+y）m，宽为（15+y）m，
根据题意得：（35+y）：（15+y）＝5：3，
即3（35+y）＝5（15+y），
解得：y＝15，
∴（35+y）（15+y）＝（35+15）×（15+15）＝1500．
答：新的矩形绿地面积为1500m2．
9．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB为x米．
（1）若围成的花圃面积为36平方米，求此时宽AB；
（2）能围成面积为52平方米的花圃吗？若能，请说明围法；若不能，请说明理由．
【解析】（1）∵花圃的宽AB为x米，
∴花圃的长AD为（24﹣3x）米．
依题意得：x（24﹣3x）＝36，
整理得：x2﹣8x+12＝0，
解得：x1＝2，x2＝6．
当x＝2时，24﹣3x＝24﹣3×2＝18＞10，不合题意，舍去；
当x＝6时，24﹣3x＝24﹣3×6＝6＜10，符合题意．
答：此时宽AB为6米．
（2）不能围成面积为52平方米的花圃，理由如下：
依题意得：x（24﹣3x）＝52，
整理得：3x2﹣24x+52＝0，
∵Δ＝（﹣24）2﹣4×3×52＝﹣48＜0，
∴该方程无实数根，
即不能围成面积为52平方米的花圃．
10．某医院计划搭建一个临时物资储备仓库，用来放置新型冠状肺炎期间捐助的援助物资．如图，仓库的两边靠墙（墙的长度足够长），另外两边用总长为59米的铁栅栏围成．两面墙的夹角，栅栏与墙所成的夹角是，上留有1米宽的门（门用其它材料做成），栅栏与墙平行．设的长为x米．
（1）的长为________米，的长为_______米．（用含x的代数式表示）
（2）若仓库的面积为600平方米，求的长．
【解析】解：（1）由题意可知，
，
设CD的长为米，则，
过点作交于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
则，
∴，
，
．
（2）由题意可知，
，
由（1）可知：，，，
∴，
解得：，
故CD的长为40．
11．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，那么称这个矩形是给定矩形的“减半”矩形． 如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形．
任务：
当矩形的长为8，宽为1时，它是否存在“减半”矩形？如果存在，请求出“减半”矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由．
【解析】假设存在，设“减半”矩形的长为x，则宽为（﹣x），
依题意，得：x（﹣x）＝×8×1，
整理，得：x2﹣x+4＝0，
解得：x1＝，x2＝．
当x＝时，﹣x＝，符合题意；
当x＝时，﹣x＝＞，不合题意，舍去．
∴长为8，宽为1的矩形存在“减半”矩形，且“减半”矩形的长为，宽为．
12．如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动．问：
(1)P、Q两点从出发开始几秒时，四边形的面积为？
(2)几秒时点P点Q间的距离是10厘米？
(3)P，Q两点间距离何时最小？
【解析】（1）解：当运动时间为t秒时，，，
依题意，得：，
解得：．
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形的面积为．
（2）设出发秒后、两点间的距离是10厘米．
则，．
作于，
则，
，
解得：或，
∴、出发或秒时，，间的距离是10厘米；
（3），
当时，即时，最小．
13．如图，在中，，，，点P从点A出发沿边AC向点以的速度移动，点Q从点出发沿CB边向点B以的速度移动．
（1）如果同时出发，几秒钟后，可使PQ的长为厘米？
（2）点在移动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．
【解析】解：（1）设x秒钟后，可使PQ的长为厘米，由题意得：
，
解得：x＝2或x＝，
答：同时出发2或秒钟后，可使PQ的长为厘米；
（2）不存在．
理由：设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，由题意得：
，
y2 6y＋12＝0，
∵△＝36 4×12＜0，
∴方程无解，即：不存在．
14．阅读下列材料，解决问题：
求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解，求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程例如：一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）方程x3﹣6x2﹣16x＝0的解是x1＝0，x2＝ ，x3＝ ；
（2）用“转化”的思想求方程（x2+x﹣2）2+（2x2﹣7x+6）2＝（3x2﹣6x+4）2的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8m，宽AB＝3m，小华把一根长为10m的绳子的一瑞固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
【解析】解：（1）x3﹣6x2﹣16x＝0，
x（x2﹣6x﹣16）＝0，
x（x+2）（x﹣8）＝0
所以x＝0或x+2＝0或x﹣8＝0
∴x1＝0，x2＝﹣2，x3＝8；
故答案为：﹣2，8；
（2）（x2+x﹣2）2+（2x2﹣7x+6）2＝（3x2﹣6x+4）2
（x2+x﹣2）2+（2x2﹣7x+6）2＝[（x2+x﹣2）+（2x2﹣7x+6）]2﹣2（x2+x﹣2）（2x2﹣7x+6）
＝（3x2﹣6x+4）2
2（x2+x﹣2）（2x2﹣7x+6）＝0
（x2+x﹣2）（2x2﹣7x+6）＝0
（x+2）（x﹣1）（2x﹣3）（x﹣2）＝0
x+2＝0或x﹣1＝0或2x﹣3＝0或x﹣2＝0．
解得x1＝﹣2，x2＝1，x3＝，x4＝2；
（3）因为四边形ABCD是矩形，
所以∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3m
设AP＝xm，则PD＝（8﹣x）m
因为BP+CP＝10，
BP＝，CP＝．
∴＝10
∴＝10﹣．
两边平方，得（8﹣x）2+9＝100﹣20+9+x2
整理，得5＝4x+9
两边平方并整理，得x2﹣8x+16＝0
即（x﹣4）2＝0
所以x＝4．
经检验，x＝4是方程的解．
答：AP的长为4m．
（四）营销利润问题
1．商场购进一批衬衣，进货单价为30元，按40元出售时，每天能售出500件．若每件涨价1元，则每天销售量就减少10件．为了尽快出手这批衬衣，而且还能每天获取8000元的利润，其售价应该定为（ ）
A．50元 B．60元 C．70元 D．50元或70元
【答案】A
【解析】解：设售价定为元时，每天赚取利润8000元，
由已知得：，
整理得：，
解得：或
∵尽量减少库存，
∴，
故选A．
2．西菜市场某商户销售冰鲜海产品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，期间发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，在每件盈利不少于25元的前提下，要取得每天利润为1200元，每件商品降价（ ）
A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．15元
【答案】A
【解析】设每件商品降价x元，则平均每天可售出（20+2x）件，
依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
又∵40﹣x≥25，
∴x≤15，
∴x＝10．
故选A．
3．某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为元．若每份盒饭的售价为元，每天可卖出份．市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每天要少卖出份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到元，设每份盒饭涨价元，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：每份盒饭涨价元后，利润为(16+x-12)元，
销售量为(360-40x)盒，
∴可得方程为，
故选A．
4．一个农业合作社以64000元的成本收获了某种农产品80吨，目前可以以1200元/吨的价格售出，如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元．设储藏个星期再出售这批农产品，可获利122000元．根据题意，可列方程______．
【答案】
【解析】解：设储藏x星期出售这批农产品可获利122000元，
由题意得（1200+200x）×（80-2x）-1600x-64000=122000，
故答案为：．
5．某校举办艺术节，校舞蹈队队长小颍准备购买某种演出服装，商店老板给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元，按此优惠条件，小颖一次性购买这种服装付了1200元，则她购买了这种服装____件；
【答案】20
【解析】设购买了x件这种服装且多余10件，根据题意得出：
，
解得：，，
当时，元＞50元，符合题意；
当时，元＜50元，不符合题意，舍去；
故答案是：20．
6．据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少；
（2）市场调查发现，某水果在该平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？
【解析】（1）设月平均增长率为x，依题意，
得1440（1+x）2＝2250，
解得x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
∴月平均增长率是25%；
（2）设售价降低y元，则每天可售出（200+50y）千克，依题意，
得（20﹣12﹣y）（200+50y）＝1750，
整理得y2﹣4y+3＝0，
解得y1＝1，y2＝3．
∵要尽量减少库存，
∴y＝3．
∴售价应降低3元．
7．宾馆有50间房供游客居住，原定价每间房每天190元．当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房（物价部门规定，此类宾馆的入住费用不得超过原定价的1.5倍）．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．
（1）如果每间房当天的定价比房间住满时的房价增加x元时，宾馆______间房有游客居住（用含x的代数式表示）；
（2）当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为9450元？
【解析】解：（1）当每间房当天的定价比房间住满时的房价增加x元时，宾馆会空闲间房，
∴此时宾馆间房有游客居住．
（2）依题意，得：（180+x-20）（50-）=9450，
整理，得：x2-340x+14500=0，
解得：x1=50，x2=290．
当x=50时，180+x=230，190×1.5=285（元），230＜285，符合题意；
当x=290时，180+x=470，470＞285，不符合题意，舍去．
答：当房价定为230元时，宾馆当天的利润为9450元．
8．已知A、B两地的高速公路总长为，货物运输车的行驶速度为．
（1）若货物的公路运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地经高速公路运输到B地，运输成本为每千米2元，总运输费用为870元，那么它的时间成本是每小时多少元？
（2）“大升”快递公司有一批货物（不超过10车）需要先从A地经高速公路运输到B地，再从B地经铁路运输到C市，共需运费9720元．其中从A地到B地的每车运输费用与（1）相同，从B地到C市的铁路运输费用对不超过10车的货物计费为：一车900元，当货物增加一车时，每车的运费减少30元．问这批货物有几车？
【解析】解：（1）总运输成本为：（元）
则总的时间成本为：（元）
行驶时间为：348÷80=4.35（小时）
所以，时间成本为：174÷4.35=40（元/小时）
答：它的时间成本是每小时40元．
（2）设这批货有x车，根据题意得，
整理得，
解得，，
∵
∴
答：这批货物有6车．
9.某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
（1）求4月份再生纸的产量；
（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；
（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
【解析】（1）设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为（2x﹣100）吨，
依题意得：x+2x﹣100＝800，
解得：x＝300，
∴2x﹣100＝2×300﹣100＝500．
答：4月份再生纸的产量为500吨．
（2）依题意得：1000（1+%）×500（1+m%）＝660000，
整理得：m2+300m﹣6400＝0，
解得：m1＝20，m2＝﹣320（不合题意，舍去）．
答：m的值为20．
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，
依题意得：1200（1+y）2 a（1+y）＝（1+25%）×1200（1+y） a，
∴1200（1+y）2＝1500．
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
10．（2023春·山西长治·九年级校联考阶段练习）小米又称栗米，古称栗，是中国古代的“五谷”之一，“人说山西好风光，地肥水美五谷香”、我省晋中、晋东南、阳泉盛产小米、某超市计划用元的价格购进一批优质小米，根据销售经验，当该小米的售价为元时，月销售量为，每千克小米售价每增长元，月销售量就相应减少．
(1)若使这种小米的月销售量不低于，每千克小米售价应不高于多少元？
(2)在实际销售过程中，每千克小米的进价为元，而每千克小米的售价比（1）中最高售价减少了，月销售量比（1）中最低月销售量增加了，结果该店销售该小米的利润达到了元，求在实际销售过程中每千克小米的价格．
【解析】（1）解：设小米售价为元，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：每千克小米售价应不高于元；
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
．
答：在实际销售过程中每千克小米的价格为元．
（五）比赛问题
1．有支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x（x-1），
∴共比赛了45场，
∴x（x-1）＝45，
故选C．
2． 2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
【答案】B
【解析】设共有x支队伍参加比赛，
根据题意，可得，
解得x＝10或x＝﹣9（舍），
∴共有10支队伍参加比赛．
故选B．
3．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28
C．x（x+1）＝28 D．x（x﹣1）＝28
【答案】D
【解析】设比赛组织者应邀请x个队参赛，
根据题意得：x（x﹣1）＝4×7，
即x（x﹣1）＝28．
故选D．
4．（2023秋·云南昆明·九年级统考期末）中国男子篮球职业联赛（简称：CBA），分常规赛和季后赛两个阶段进行，采用主客场赛制（也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛）．2022-2023CBA常规赛共要赛240场，则参加比赛的队共有（ ）
A．80个 B．120个 C．15个 D．16个
【答案】D
【解析】设参加比赛的队共有x，
根据题意可得：，
解得：，（舍去），
故选D．
5．哈尔滨市南岗区中学校组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间比赛一场），计划一共安排21场比赛，设总共x个学校参加比赛，列方程为 ．
【答案】x（x﹣1）＝21
【解析】依题意，得：x（x﹣1）＝21．
故答案为：x（x﹣1）＝21．
（六）数字问题
1．一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，这个两位数是（ ）
A．36 B．63 C．36或63 D．﹣36或﹣63
【答案】C
【解析】设十位数字为x，个位数字为（9﹣x），由题意得
x（9﹣x）＝9×2，
解得x1＝3，x2＝6，
则9﹣x＝6或3，
答：这个两位数是36或63．
故选C．
2．一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是（ ）
A．25 B．36 C．25或36 D．64
【答案】C
【解析】设这个两位数的十位数字为，则个位数字为．
依题意得：，
解得:.
∴ 这个两位数为25或36．
故选C．
3．一个两位数等于它的十位数与个位数的和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，则这个两位数是（ ）
A．27 B．72 C．27或16 D．﹣27或﹣16
【答案】A
【解析】设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为（x+5），
依题意，得：10x+x+5（x+x+5）2，
整理，得：4x2﹣13x+10＝0，
解得：x1＝2，x2（不合题意，舍去），
∴x+5＝7，
∴这个两位数是27．
故选A．
4．小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇 赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为（ ）
A．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 B．10（x+3）+x＝x2
C．10x+（x+3）＝（x+3）2 D．10（x+3）+x＝（x+3）2
【答案】C
【解析】假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为10x+（x+3）＝（x+3）2，
故选C．
5．如图，是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为161，那么根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据图表可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为，则最大数为，
根据题意得出：，
故选B．
6．若某两位数的十位数字是方程的根，则它的十位数字是 _____．
【答案】7
【解析】依题意解方程：
，
又因为是两位数，
所以十位数字是7，
故答案为：7．
7．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2+2b﹣3．例如把（2，﹣5）放入其中，就会得到22+2×（﹣5）﹣3＝﹣9，现将实数（m，﹣3m）放入其中，得到实数4，则m＝ ．
【答案】7或﹣1
【解析】根据题意得，m2+2×（﹣3m）﹣3＝4，
解得m1＝7，m2＝﹣1，
故答案为：7或﹣1．
8．已知3个连续整数的和为m，它们的平方和是n，且n＝11（m﹣8），则m＝ ．
【答案】15或18
【解析】设三个整数分别为a，a+1，a+2，
所以 m＝3a+3，n＝a2+（a+1）2+（a+2）2＝3a2+6a+5，
由n＝11（m﹣8），
所以 3a2+6a+5＝11（3a﹣5），
解得a＝4或5，
则m＝15或18．
9．如果两个连续奇数的积是323，如果设其中较小的一个奇数为x，可得方程 ．
【答案】x（x+2）＝323
【解析】设其中较小的一个奇数为x，由题意得：
x（x+2）＝323，
故答案为：x（x+2）＝323．
10．如果两个数的差为3，并且它们的积为88，那么其中较大的一个数为 ．
【答案】11或﹣8
【解析】设较小的数为x，则较大的数为x+3，
根据题意得：x（x+3）＝88，即x2+3x﹣88＝0，
分解因式得：（x﹣8）（x+11）＝0，
解得：x＝8或x＝﹣11，
∴x+3＝11或﹣8，
则较大的数为11或﹣8，
故答案为：11或﹣8
11．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48．
（1）请证明发现的规律；
（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大数；
（3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120．直接判断他的说法是否正确．（不必叙述理由）
【解析】（1）证明：设中间的数为，
∴
．
（2）解：设这五个数中最大数为，
由题意，得，
解方程，得，（不合题意，舍去）．
答：这5个数中最大的数是29．
（3）他的说法不正确．
解：设这5个数中最大数为y，则最小数为（y 14），
依题意，得：y（y 14）＝120，
解得：y1＝20，y2＝ 6（不合题意，舍去）．
∵20在第一列，
∴不符合题意，
∴小明的说法不正确．
（七）图表信息问题
1．已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有一个点，第二行有两个点，…，第n行有n个点，容易发现，三角形点阵中前4行的点数和是10．若三角形点阵中前a行的点数之和为300，则a的值为 ．
【答案】24
【解析】依题意，得：1+2+3+…+a＝300，
整理，得：a2+a﹣600＝0，
解得：a1＝24，a2＝﹣25（不合题意，舍去）．
故答案为：24．
2．乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
发布日期 10月8日 10月11日 10月12日
发布次数 第1次 第2次 第3次
票房 10亿元 12.1亿元
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票
【解析】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：平均每次累计票房增长的百分率是10%．
（2）解：
（张）．
答：10月11日卖出2500000张电影票．
（或（张）．
3．2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
销售单价x（元） 30 40 45
销售数量y（件） 100 80 70
（1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？
（3）利润能否达到1400元，如果能，求出销售单价；如果不能，说明理由．
【解析】解：（1）设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y=kx+b，
将点（3，100）、（40，80）代入一次函数关系式得：
，
解得：，
∴函数关系式为y=-2x+160；
（2）由题意得：（x-30）（-2x+160）=800，
整理得：x2-110x+2800=0，
解得：x1=40，x2=70．
∵单价不低于成本价，且不高于50元销售，
∴x2=70不符合题意，舍去．
∴销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元；
（3）令（x-30）（-2x+160）=1400，
＜
所以该方程无解，
∴利润不能达到1400元．
4．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费．
(1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示）
(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少．
月份 用电量/度 交电费总数/元
2月 80 25
3月 45 10
【解析】（1）解：∵规定用电x度，
∴用电90度超过了规定度数（90－x）度，
∵超过部分按每度元交电费，
∴超过部分应交的电费为x（90－x）元．
（2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得
x（80－x）＝25－10．
整理得x2－80x＋1500＝0．
解这个方程得x1＝30，x2＝50．
根据题意得：3月份用电45度只交电费10元，
∴电厂规定的x≥45，
∴x1＝30不合题意，舍去．
∴x＝50．
答：电厂规定的x度为50度．
5．某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如下表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）．
注：步数×平均步长＝距离．
（1）根据题意完成表格填空；
（2）求x的值；
（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长．
【解析】（1）①根据题意可得第二次锻炼的步数为10000（1＋3x）；
②第二次锻炼的平均步长（米/步）为：0.6（1 x）；
故答案为：10000（1＋3x）；0.6（1 x）；
（2）根据题意得，
解得（舍去），.
则的值为0.1.
（3）根据题意可得：10000＋10000（1＋0.1×3）＝23000，
500÷（24000 23000）＝0.5（m）．
答：王老师这500米的平均步长为0.5米．
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