北师大版数学 八年级上册 2.1 认识无理数 （含解析）

2.1 认识无理数 北师大版数学 八年级上册
学校:______姓名:______班级:______考号:______
一、单选题
1.下列各数中是无理数的是( )
A. B. C. D.
2.在实数，，，，，中，无理数的个数是( )个．
A. B. C. D.
3.下列说法中正确的是（ ）
A.无理数就是带根号的数
B.无理数是虚构的数，它实际上并不存在
C.无理数一定是循环小数
D.无限不循环小数一定是无理数
4.半径是的圆的周长的值是一个( )
A.整数 B.分数 C.有理数 D.无理数
5.下列说法中，正确的有： ①无限小数是无理数；②无理数是无限不循环小数；③无理数包括正无理数、零、负无理数；④是无理数．( )
A.个 B.个 C.个 D.个
6.无理数满足：＜＜，那么可能是( )
A. B. C. D.
二、填空题
7.任何 小数或 小数都是有理数，它们都可以写成 的形式 小数叫做无理数，它不能写成分数的形式
8.请写出一个大于且小于的无理数 ．
9.已知实数，，，，，，其中为无理数的是 ．
10.有下列各数：①，②，③，④，⑤ (相邻两个之间的个数逐次增加，⑥，⑦．其中无理数有 (填序号)
11.若和都是无理数，则一定是无理数是错误的，例如分别等于 和 ，结论不成立．
12.如图，方格纸中，的三边长是无理数的有 条．

13.若 ，且是正整数，则
三、解答题
14.下列各数中哪些属于有理数？哪些属于无理数？
，，，，，，(相邻两个之间的个数逐次加，，．
15.设面积为的圆的半径为，请回答下列问题：
(1)是无理数吗？请说明你的理由；
(2)估计的值(结果精确到．
16.如果正方形网格中的每一个小正方形的边长都是，则每个小格的顶点叫做格点．
(1)如图①，以格点为顶点的中，请判断，，三边的长度是有理数还是无理数？
(2)在图②中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为，，．
17.如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是画出两个边长均为无理数的正方形，且它的每个顶点都在小正方形的顶点上，并求出所画正方形的边长.

18.定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作是分母为的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数．可以这样证明：
设，与b是互质的两个整数，且b≠，则，.因为b是整数且不为，所以是不为的偶数．设是整数)，所以，所以b也是偶数，这与，b是互质的两个整数矛盾，所以是无理数．
仔细阅读上文，求证：是无理数
参考答案
1.【答案】D
【解析】. 原式，故不是无理数；
. 原式，故不是无理数；
. 是分数，故不是无理数；
.是无理数，
故选：．
2.【答案】C
【解析】根据无理数是无限不循环小数，逐个判断得无理数有，，，共个，
故选：．
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
【解析】∵ ， ，
∴无理数可能是 ，
故选：．
7.【答案】有限；无限循环；分数；无限不循环
8.【答案】(答案不唯一)
【解析】大于且小于的无理数可以是，等，
故答案为：（答案不唯一）．
9.【答案】，，
【解析】是有理数；无理数有.
10.【答案】①⑤⑦
11.【答案】 (本题答案不唯一) ；(本题答案不唯一)
【解析】所举例子只要满足都是无理数，且它们的和不是无理数即可
12.【答案】
【解析】应用勾股定理，可得
，
，
，
可知，的边长为无理数
13.【答案】
【解析】∵＜ ＜，∴，
据此可知答案为：．
14.【答案】解：有理数：，，，，，，.
无理数：(相邻两个之间的个数逐次加，．
15.【答案】(1)解：是无理数． 理由如下：由题意,得， 所以. 因为不存在一个有理数的平方是， 所以是无理数．
(2)用计算器计算： ， ， ， , 所以估计的值为.
16.【答案】(1)解：由图可知：
，
所以的长度是有理数，和的长度是无理数
(2)如图：∵正方形网格中每个小正方形的边长都是，
∴，，
∴即为所求的三边长分别 为，，的三角形．
【解析】(1)利用勾股定理，找长为有理数的线段，画三角形即可．
(2)画一个边长为，，的三角形即可．
17.【答案】解：答案不唯一，如图所示.
18.【答案】证明：设与是互质的两个整数，且，
则，.
因为是整数且不为，
所以不为且为的倍数．
设是整数)，
所以，
所以也为的倍数，这与，是互质的两个整数矛盾,
所以是无理数.