2023年四川省达州市中考数学冲刺试卷(含解析)

2023年四川省达州市中考数学冲刺试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 等于( )
A. B. C. D.
2. 若把一个数用科学记数法表示后为，则这个数是( )
A. B. C. D.
3. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. 已知，则( )
A. B. C. D.
5. 如图，将一副直角三角尺如图放置，已知，则的度数是( )
A.
B.
C.
D. 不能确定
6. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为( )
A. B. C. D.
7. 周末，青华到公园游玩，参加套环游戏，共进行四局，套中的次数分别为，，，，若将这组数每一个加，则对这一组新数据描述正确的是( )
A. 平均值不变 B. 方差不变 C. 中位数不变 D. 众数不变
8. “行人守法，安全过街”不仅体现了对生命的尊重，也体现了公民的文明素质，更反映了城市的文明程度如图，官渡区森林公园路口的斑马线为横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小官共用秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的倍，则小官通过路段的速度是( )
A. 米秒 B. 米秒 C. 米秒 D. 米秒
9. 如图，在中，，，，以为边在上力作一个等边将四边形折叠，使点与点重合，折痕为，则点到直线的距离为( )
A.
B.
C.
D.
10. 依次连接菱形四条边的中点，得到的中点四边形是( )
A. 梯形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
11. 如图，在矩形中，若，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
12. 如图，在 中，过点分别作边、的垂线、，垂足分别为、，则直线与的距离是( )
A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 如图，已知圆锥的底面圆半径为，则该圆锥的俯视图的面积为______ ．
14. 已知关于的方程是一元一次方程，则的值为______ ．
15. 分解因式： ．
16. 写出一个满足不等式组的整数解______ ．
17. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，我市某家快递公司，今年月份与月份完成投送的快递件数分别为万件和万件如果按此平均速度增长，该公司月份投递的快递总件数将达到______ 万件．
18. 如图，在矩形中，，，点为中点，点从点出发向点运动，到达点停止运动，连接、，、分别是、中点，在点运动的整个过程中，线段扫过图形的面积为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：；
化简求值：，其中．
20. 本小题分
根据河南省教育厅豫教体卫艺号文件河南省中招体育考试改革方案的通知，从年起河南省中招体育考试成绩，由现在的满分分提高到分计入总分某中学为了满足体育课的需要，计划购买一批篮球和足球市场调研得知，购买个篮球和个足球共需元；购买个篮球和个足球共需元．
求篮球和足球的单价；
若学校计划购买篮球和足球共个，且足球购买数量不多于篮球购买数量的经过与商家沟通，篮球可打八折如何购买才能使花费最少？最少的费用为多少元？
21. 本小题分
如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象分别交于，两点，点为轴正半轴上一点，直线与轴交于点，连接；
求反比例函数的表达式；
若的面积为，求的面积．
22. 本小题分
为更好地加强食品企业、学校的食品安全宣传工作，增强企业员工、全校师生对食品安全的防范意识，普及食品安全科学知识，食品安全委员会与市场监督管理局联合开展了线上知识竞赛活动某校为了解学生对食品安全知识点掌握情况，对该校名学生同期开展了线下答题用简单随机抽样的方法，随机抽取若干名学生统计答题成绩，分别制成如下频数分布表和频数分布直方图：
成绩分 频数 频率
请填空： ______ ， ______ ， ______ ，并补全频数分布直方图；
规定成绩分以下不含分的同学需继续参加线上食品安全知识学习，则估计该校需要继续参加线上学习的同学共有多少人？
现有名男生名女生共位同学符合食品安全志愿者推荐要求，学校共有个推荐名额，求从这名同学中被推荐的人性别相同的概率．
23. 本小题分
如图，在 中，点在上，连接，并延长至点，连接，，，，连接交于点，若．
求证：≌；
求证：垂直平分线段．
24. 本小题分
问题提出
如图，在梯形中，，，，，，则的长为______ ；
问题探究
如图，在中，和分别是边、上的高，，若，求的长；
问题解决
如图，某地有一个半径为的圆形运动公园，为方便附近居民跑步锻炼身体，现要沿四边形的边铺设橡胶跑道跑道的宽度忽略不计，其中是的直径，点，在上，根据规划要求跑道的长度尽可能的大即四边形的周长尽可能的大，则四边形的周长是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
25. 本小题分
如图，已知抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作的平行线，分别交于点，交轴于点．
求，，的坐标及直线的解析式．
如图，当四边形是平行四边形时，求出
点的横坐标．
如图，过点作轴，垂足为，连接则是否能成为等腰三角形？若能，直接写出此时点的坐标；若不能，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
零指数幂：，由此即可得到答案．
本题考查零指数幂，关键是掌握零指数幂：．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数和分式的分母不等于零列出不等式，解不等式即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中被开方数的取值范围的求法，即二次根式中的被开方数是非负数．
4.【答案】
【解析】解：，
，
故选：．
根据同底数幂乘法直接计算即可得到答案．
本题考查同底数幂乘法，解题的关键是熟练掌握．
5.【答案】
【解析】解：由三角板的性质可知，，．
，
，
．
．
故选：．
根据平行线的性质及三角形内角定理解答．
本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，平行线的性质：两直线平行同位角相等，同旁内角互补．三角形内角和定理：三角形的内角和等于．
6.【答案】
【解析】解：由题意得：
把代入方程，
得：，
解得：，
，
，
，
故选：．
根据一元二次方程根的定义，将代入关于的一元二次方程得到关于的方程求解，再根据一元二次方程定义确定值即可得到答案．
本题考查一元二次方程的定义及一元二次方程根的定义，熟练掌握相关概念是解决问题的关键．
7.【答案】
【解析】解：将一组数据中的每个数都加，那么所得的新数据的众数、中位数、平均数都增加，方差不变．
故选：．
将一组数据中的每个数都加，那么所得的新数据的众数、中位数、平均数都增加，方差不变，据此可得答案．
本题主要考查了方差，掌握方差、众数、中位数和平均数的概念是关键．
8.【答案】
【解析】解：设小官通过路段时的速度是米秒，则小官通过路段时的速度是米秒，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
小官通过路段时的速度是米秒．
故选：．
设小官通过路段时的速度是米秒，则小官通过路段时的速度是米秒，利用时间路程速度，结合小敏共用秒通过路段，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：过作于，如图，
，，
，
在中，，，
，
，
设，则，
在中，，
在中，，
，
解得：，即，
，
在中，，
，
，，
点到直线的距离为．
故选：．
过作于，设，在中，可得，解得，即得，求出，，即可解决问题．
本题考查直角三角形，等边三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握含角的直角三角形三边的关系，能熟练应用勾股定理解决问题．
10.【答案】
【解析】解：连接、，
四边形是菱形，
，
，，，是中点，
，，
，
同理：，，，
四边形是矩形．
故选：．
连接、，根据菱形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，，，根据矩形的判定定理解答即可．
本题考查的是菱形的性质、矩形的判定定理以及三角形的中位线定理，掌握三个角是直角的四边形是矩形是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，
．
，
∽，
，
在中，，
，
解得．
故选：．
根据矩形的性质得，，即可得出，并根据勾股定理求出，再根据，得出∽，然后根据相似三角形对应边相等得出比例式，代入数值得出答案．
本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法．
12.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
于点，
直线与的距离是的长，
故选：．
由平行四边形的性质得，而于点，则直线与的距离是的长，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、两条平行线之间的距离等知识，正确理解两条平行线之间的距离的定义是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：圆锥的俯视图的面积等于半径为的圆的面积，
该圆锥的俯视图的面积为，
故答案为：．
根据圆锥的俯视图，圆的面积公式即可得出结果．
本题考查了立体图形的三视图，圆的面积公式．根据立体图形判断出俯视图是本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得，
故答案为：．
根据一元一次方程是只有一个未知数且未知数的次数是的方程可知，的系数应为，的系数应不为，列出关系式求解即可．
本题考查了一元一次方程的概念，熟悉一元一次方程应满足的条件是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
16.【答案】、、
【解析】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
所以不等式组的整数解为、、，
故答案为：、、．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，从而得出其整数解．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】
【解析】解：设该公司每月的投递总件数的平均增长率为，
根据题意得：，
解得：或不合题意，舍去，
按此平均速度增长，则该公司月份投递的快递总件数将达到：万件，
故答案为：．
设该公司每月的投递总件数的平均增长率为，结合题意依据增长模型建立方程，求得增长率，从而可求解．
本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量．根据数量关系得出关于的一元二次方程是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，
当点在点上时，点、分别在点、处，
由平移得，且，
四边形是平行四边形，
四边形的面积就是扫过的面积，
是中点，
，
点为中点，
，
是中点，
点与的距离为，
与之间的距离为，
，
，
扫过的面积为：．
故答案为：．
图，在矩形中，，，点在上，且，点从点出发，以个单位每秒的速度向点运动，到达点停止运动，连接，，，分别是，的中点，在点运动的整个过程中，当时，点运动的时间为秒，此时线段扫过图形的面积为．
本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，掌握矩形的性质是解题的关键．
19.【答案】解：原式
；
原式
，
当时，
原式．
【解析】根据特殊三角函数值，负指数幂，二次根式，立方根和绝对值的运算法则进行计算即可；
先利用平方差公式和完全平方公式，根据分式的运算法则进行化简，再代入求值即可．
本题考查了实数的混合运算和分式的化简求值，掌握特殊三角函数值，负指数幂，二次根式，立方根，绝对值，平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
20.【答案】解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，
根据题意得：，
解得，，
篮球的单价为元，足球的单价为元．
设篮球购买个，则足球购买个，费用为元，
根据题意得：，
足球购买数量不多于篮球购买数量的，
，
解得：，
，
随的增大而增大．
当时，最小，此时，
，
答：购买篮球个，足球个，费用最少，最少为元．
【解析】设篮球的单价为元，足球的单价为元，可得：，即可解得篮球的单价为元，足球的单价为元．
设篮球购买个，费用为元．根据足球购买数量不多于篮球购买数量的得：，，而，由一次函数性质即可得到答案．
本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
21.【答案】解：在正比例函数的图象上，
，
，
在反比例函数的图象上，
，
解得，
反比例函数的表达式为；
过作轴于，如图：
正比例函数的图象与反比例函数的图象分别交于，两点，
，
由可知，
的面积为，
，即，
，
，
设直线解析式为，把，代入得：
，
解得，
直线解析式为，
在中，令得，
，
，
，
的面积为．
【解析】由在正比例函数的图象上得，再将代入即得，故反比例函数的表达式为；
过作轴于，由和反比例函数图象的对称性可得，由的面积为，可得，，从而可得直线解析式为，令，故．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，涉及待定系数法，三角形面积等知识，解题的关键是掌握待定系数法和函数图象上点坐标的特征．
22.【答案】
【解析】解：抽取的学生人数为：人，
，
，
，
补全频数分布直方图如下：
故答案为：；；．
由题意得人，
估计该校需要继续参加线上学习的同学共有人．
设名男生为，，，两名女生为，，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，被选中的两名学生恰好为同一性别的结果有种，
被推荐的人性别相同的概率为．
从这名同学中被推荐的人性别相同的概率为．
先根据的频数及频率求出样本容量，可得结论，再根据所得结论画出图形即可；
用总人数乘以成绩分以下不含分的同学所占比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，被推荐的两名学生恰好为同一性别的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查画树状图或列表法求概率、频数分布表和频数分布直方图．画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；概率的公式：概率所求情况数与总情况数之比．解题的关键是根据直方图得出解题所需数据、样本估计总体思想及通过画树状图或列表法求概率的运用．
23.【答案】证明：由 得，，，
．
，
，．
，
，
．
，即，
．
在和中，
≌．
证明：如图：连接．
≌，
，
．
，
四边形为平行四边形，
，．
，，
，，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形，
垂直平分线段．
【解析】首先根据平行四边形的性质，可证得，再根据等腰三角形的判定与性质，可得，，，，据此即可证得结论；
连接，首先根据全等三角形的性质，可证得四边形为平行四边形，可证得四边形为平行四边形，再根据菱形的判定与性质即可证得结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，作出辅助线是解决本题的关键．
24.【答案】
【解析】解：作于，
则四边形是矩形，
，
在中，由勾股定理得，，
，
，
故答案为：．
和分别是边、上的高，
，
，
∽，
，
，
；
如图，连接过点作于点过点作于点，过点作于点．
则四边形是矩形，
，，
设，四边形的周长为，
由垂径定理可知，
，，
∽，
，
，即
解得，
．
，
．
．
≌．
，
，
，
．，
，
．
当时，取得最大值，其值为．
故四边形的周长存在最大值．最大值为．
作于，利用勾股定理求出的长，从而得出的长；
利用∽，得，即可得出的长；
连接过点作于点过点作于点，过点作于点设，四边形的周长为，利用的代数式表示出周长，利用二次函数的性质解决问题．
本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，圆的性质，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用二次函数的性质解决最值问题是解题的关键．
25.【答案】解：令，
，，
点在点的左侧，
点，，
把代入，得，
点，
设直线的解析式为，
把点，分别代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为，
综上，点，，，直线的解析式为；
当四边形为平行四边形时，，，
直线的解析式为，
设直线的解析式，
把点代入，得：，
直线的解析式为，
点在坐标为，
设直线的函数解析式为，
把点，分别代入，得：
，
解得：，
直线的函数解析式为，
设直线的解析式为，
把点代入，得：，
直线的解析式为，
由题意得：，
，
解得：，，
在第一象限内，
点的横坐标为；
如图，设与轴交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
若能成为等腰三角形，只能，即，
，，
，
，
，
点是线段的中点，
，直线的函数解析式为，
设直线的解析式为，
，
直线与相交于点，
，
解得：，
点的坐标为，
设点的坐标为，
的的中点，，
，，
，，
点的坐标为，
点在抛物线上，
，
，
解得：，，
点或，
点在第一象限，
点的坐标为．
【解析】根据抛物线与坐标轴的交点坐标的特征即可求出点，，的坐标然后用待定系数法求出直线的解析式即可；
根据一次函数的平行性质设出直线的解析式，把点的坐标代入解析式即可求出直线的表达式，然后求出点的坐标，再根据一次函数的平行性设出直线的解析式，把点的坐标代入解析式即可求出直线的表达式，最后即可求出抛物线与直线的交点的横坐标；
设与轴交于点，则为直角三角形，当时，可确定点为的中点，设直线的解析式为，用含的代数式表示出直线与的交点的坐标，根据中点坐标的表示方法表示出点的坐标，根据点在抛物线上把点代入的坐标抛物线解析式中解方程求出的值，即可求出点的坐标．
本题是二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识点，确定点是的中点是解决问题的关键．
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