2.2充分条件、必要条件、充要条件 练习（含解析）

2.2充分条件、必要条件、充要条件小练习
一、单项选择题
1.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A B”的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件　
2. “|a|>b”是“a>b”的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，那么“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.关于x的方程x2－(2a＋1)x＋a2＝0有实数根的一个充分不必要条件是(　　)
A. a>1 B. a>－2 C. a≥－ D. a>－4　
二、多项选择题
5.下列命题中，是真命题的有(　　)
A. “”是“a＋b>4”的充要条件
B. “x2＝4”是“x＝2”的必要不充分条件
C. “a≠0或b≠0”是“ab≠0”的充要条件
D. “集合A＝ ”是“A∩B＝A”的充分不必要条件　
6.已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋6＝0}，则B是A的真子集的充分不必要条件可以是(　　)
A. m∈ B. m∈ C. m∈ D. m∈　
三、填空题
7.有下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1；⑤x＞－1.其中，可以作为|x|＜1的一个必要不充分条件的所有序号为________．
8.设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，则p是t的________条件，r是t的________条件．
四、解答题
9.已知a>0，集合A＝{x|010.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是A＝90°.
参考答案
一、单项选择题
1.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A B”的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件　
【解析】因为A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，AB，所以a∈B且a≠1，所以a＝2或a＝3，所以“a＝3”是“AB”的充分不必要条件．故选A．
2. “|a|>b”是“a>b”的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件　
【解析】显然|－2|>1，但－2>1不成立，故充分性不成立；若a>b，则|a|≥a>b，故必要性成立．故“|a|>b”是“a>b”的必要不充分条件．故选B．
3.王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，那么“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 　
【解析】由题意知“有志”不一定能到达“奇伟、瑰怪、非常之观”，故充分性不成立；到达“奇伟、瑰怪，非常之观”必须有志，故必要性成立．故选B．
4.关于x的方程x2－(2a＋1)x＋a2＝0有实数根的一个充分不必要条件是(　　)
A. a>1 B. a>－2 C. a≥－ D. a>－4　
【解析】若方程有实数根，则Δ＝(2a＋1)2－4a2＝4a＋1≥0，可得a≥－，所以其充分不必要条件只需包含于但不等于即可，只有A符合要求．故选A．
二、多项选择题
5.下列命题中，是真命题的有(　　)
A. “”是“a＋b>4”的充要条件
B. “x2＝4”是“x＝2”的必要不充分条件
C. “a≠0或b≠0”是“ab≠0”的充要条件
D. “集合A＝ ”是“A∩B＝A”的充分不必要条件　
【解析】对于A，当时，a＋b>4，但反之，a＋b>4不能得到故A错误；对于B，x2＝4不能得到x＝2，反之x＝2能够得到x2＝4，故B正确；对于C，“a≠0且b≠0”是“ab≠0”的充要条件，故C错误；对于D，由A∩B＝A得AB，所以A＝能够推出A∩B＝A，反之，不一定成立，故D正确．故选BD.
6.已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋6＝0}，则B是A的真子集的充分不必要条件可以是(　　)
A. m∈ B. m∈ C. m∈ D. m∈　
【解析】因为集合A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}，若集合B是集合A的真子集，当m＝0时，即集合B＝ ，显然成立；当m≠0时，则－＝－3或－＝2，所以m＝2或m＝－3，所以若集合B是集合A的真子集，则m∈，所以B是A的真子集的充分不必要条件可以是m∈或m∈.故选AD.
三、填空题
7.有下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1；⑤x＞－1.其中，可以作为|x|＜1的一个必要不充分条件的所有序号为________．　
【解析】由|x|＜1，得－1＜x＜1，因为{x|－1＜x＜1}{x|x＜1}，{x|－1＜x＜1}{x|x＞－1}，所以x＜1和x＞－1均可作为|x|＜1的一个必要不充分条件．
故答案为：①⑤
8.设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，则p是t的________条件，r是t的________条件．　
【解析】由题意知p q，r q，s q，s t，t r，所以p q s t，所以p是t的充分条件．因为r q s t，t r，所以r是t的充要条件．
故答案为：充分　充要
四、解答题
9.已知a>0，集合A＝{x|0(1) A，B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由；
(2) 若命题p：x∈A，命题q：x∈B，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解析】(1) 因为a>0，所以A＝.
若A＝B，则解得a＝2，
所以A，B能相等，此时a＝2.
(2) 由p是q的充分不必要条件，得AB，
则且等号不能同时取得，解得a>2，
所以实数a的取值范围是a>2.
10.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是A＝90°.
【解析】(1)必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，
则x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0－b2＝0.两式相减，得x0＝，
将此式代入x＋2ax0＋b2＝0，可得b2＋c2＝a2，故A＝90°.
(2)充分性：因为A＝90°，所以b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2.①
将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，
即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，
可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0，
故两方程有公共根x＝－(a＋c)，
综上可知：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是A＝90°.