5.3.1函数的单调性 第1课时 讲义（含答案）

编号：027 课题: §5.3.1 函数的单调性——第1课时 函数的单调性
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性；
2.理解单调性的作用和实际意义；
3.会利用定义证明函数的单调性；
4.理解并掌握函数单调性的简单应用.
本节重点难点
重点：利用定义证明函数的单调性；
难点：函数单调性的简单应用．
学科素养目标
函数是“通过建立数学模型来刻画与研究世界”的典范，也是学习数学和研究数学的范例．学习“函数概念与基本初等函数I”（下面简称“函数” ）这一章，从观念上认识“函数” ，它是“语言、工具、应用”．它挑起了“万水千山”（整个高中数学），贯通了数学世界，迎接着广泛的实际问题．认识函数，就是认识它是解决许多实际问题的基本模型；认识函数，在于研究它的性质；认识函数，应明了它的根本价值在于应用，并揭示了它的“生长性”即如许许多多对数据都统一于一个函数式．
通过本章的学习，逐步培养学生的数学思维，养成准确、清晰、有条理地表述问题以及问题的解决过程的习惯，形成、提高数学表达和交流的能力，逐步地发展独立获取数学知识的能力，发展数学应用意识和创新意识，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度，进一步拓宽学生的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神．
教学过程
基础知识积累
1. 函数的单调性
(1)定义
函数 增函数 减函数
图示
条件 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1都有________________ 都有___________
结论 (1)y=f(x)在区间I上是 ___________ (2)I称为y=f(x)的增区间 (1)y=f(x)在区间I上是 ____________ (2)I称为y=f(x)的减区间
(2)本质:函数的单调性反映的是两个变量的对应变换规律,定量地刻画了函数在区间上图象的变化趋势,是函数诸多性质中最核心、最本质的性质.
(3)应用:证明函数的单调性、比较大小、解不等式、求参数范围等.
【思考】
函数单调性的定义中,能否将“任意”改为“存在”
2.单调性与单调区间
【课前小题演练】
题1．已知f(x)＝(3a－1)x＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是 (　　)
A． B．
C． D．
题2．已知函数y＝f(x)在[－1，1]上单调递减，且函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．b题3．设a∈R，已知函数y＝f是定义在上的减函数，且f>f，则a的取值范围是(　　)
A． B． C．(1，2] D．
题4．函数y＝的减区间是(　　)
A．(－∞，1)，(1，＋∞)
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．{x∈R|x≠1}
D．R
题5．若函数f(x)在R上是减函数，则下列关系式一定成立的是(　　)
A．f(a)>f(2a)
B．f(a2)C．f(a2＋a)D．f(a2＋1)题6．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都单调递减，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上(　　)
A．单调递增 B．单调递减
C．先增后减 D．先减后增
题7（多选题）．下列四个函数中，在(－∞，0]上单调递减的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x B．f(x)＝2x2 C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝
题8（多选题）．下列函数中，在区间(1，＋∞)上是增函数的是(　　)
A．y＝3x－1
B．y＝
C．y＝x2－4x＋5
D．y＝|x－1|＋2
题9．已知函数y＝f(x)(x∈)的图象如图所示．根据图象写出y＝f(x)的单调递减区间为________．
题10．若函数f(x)＝x2－2ax＋3在(2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
题11．画出函数y＝|x|(x－2)的图象，并指出函数的单调区间．
【课堂题组训练】
题12．若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有(　　)
A．f(x)在R上是增函数
B．f(x)在R上是减函数
C．函数f(x)先增后减
D．函数f(x)先减后增
题13．已知函数的定义域为R，且对任意的x1，x2(x1≠x2)都有[f(x1 )－f(x2 )](x1 －x2) > 0成立，若f(x2＋1)>f(m2－m－1)对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－1，2)
B．[－1，2]
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
题14（多选题）．设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论不一定正确的是(　　)
A．y＝在R上为减函数
B．y＝|f(x)|在R上为增函数
C．y＝－在R上为增函数
D．y＝－f(x)在R上为减函数
题15（多选题）．下列四个说法，其中说法错误的是(　　)
A．若函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，则f(x)是增函数
B．y＝x＋1和y＝表示同一函数
C．函数f(x)＝x2－2|x|－3的单调增区间为[1，＋∞)
D．若函数f(x)＝x2＋4ax＋2a的值域是[0，＋∞)，则实数a＝0或
题16．函数f(x)＝x2－3|x|＋2的单调减区间是________．
题17．已知f(x)＝2x＋1，则g(x)＝f＝________，g(x)的单调递增区间为________．
题18．已知函数f(x)＝2x－且f()＝3.
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．
题19．已知函数f(x)＝.
(1)判断并证明函数f(x)在(－2，＋∞)上的单调性．
(2)若函数f(x)的定义域为(－2，2)，且满足f(－2m＋3)＞f(m2)，求m的取值范围．
【综合突破拔高】
题20．如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，则下列关于函数f(x)的说法错误的是(　　)
A.函数在区间[－5，－3]上是增函数
B．函数在区间[1，4]上是增函数
C．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上是减函数
D．函数在区间[－5，5]上没有单调性
题21．下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是(　　)
A．y＝|x|－2 B．y＝|x－3|
C．y＝ D．y＝－x2
【解析】选A.根据题意，依次分析选项：
题22．函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，且f(2)＝－1，则满足f(2x－4)＞－1的实数x的取值范围是(　　)
A．(3，＋∞) B．(－∞，3)
C．[2，3) D．[0，3)
题23．已知函数f(x)在R上是单调函数，且对任意x∈R，都有f＝3，则f的值等于(　　)
A．3 B．7 C．9 D．11
题24．已知对任意的0＜x1＜x2都有＞0，设a＝f(π)，b＝f(e)，其中e＝2.718 28…，则(　　)
A．a＞b B．a＝b
C．a＜b D．a，b大小关系不能确定
题25．函数f(x)＝的单调递增区间是(　　)
A． B．和
C．和 D．和
题26（多选题）．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中正确的是(　　)
A．>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．f(a)≤f(x1)题27（多选题）．若函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间上有最小值，则关于函数
g(x)＝在区间上的说法错误的有(　　)
A．g(x)有最小值 B．g(x)有最大值
C．g(x)是减函数 D．g(x)是增函数
题28（多选题）．设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论不一定正确的是 (　 　)
A．y＝在R上为减函数 B．y＝|f(x)|在R上为增函数
C．y＝－在R上为增函数 D．y＝－f(x)在R上为减函数
题29．函数f (x)＝－x2＋|x|(x∈R)的单调递增区间为
________．
题30．已知函数f(x)＝是增函数，则实数a的取值范围是________．
题31．已知x∈R，函数f(x)＝x|x－2|，试画出y＝f(x)的图象，并结合图象写出函数的单调区间．
题32．求证：函数f(x)＝x＋在区间(0，1)内为减函数．
编号：027 课题: §5.3.1 函数的单调性——第1课时 函数的单调性
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性；
2.理解单调性的作用和实际意义；
3.会利用定义证明函数的单调性；
4.理解并掌握函数单调性的简单应用.
本节重点难点
重点：利用定义证明函数的单调性；
难点：函数单调性的简单应用．
学科素养目标
函数是“通过建立数学模型来刻画与研究世界”的典范，也是学习数学和研究数学的范例．学习“函数概念与基本初等函数I”（下面简称“函数” ）这一章，从观念上认识“函数” ，它是“语言、工具、应用”．它挑起了“万水千山”（整个高中数学），贯通了数学世界，迎接着广泛的实际问题．认识函数，就是认识它是解决许多实际问题的基本模型；认识函数，在于研究它的性质；认识函数，应明了它的根本价值在于应用，并揭示了它的“生长性”即如许许多多对数据都统一于一个函数式．
通过本章的学习，逐步培养学生的数学思维，养成准确、清晰、有条理地表述问题以及问题的解决过程的习惯，形成、提高数学表达和交流的能力，逐步地发展独立获取数学知识的能力，发展数学应用意识和创新意识，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度，进一步拓宽学生的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神．
教学过程
基础知识积累
1. 函数的单调性
(1)定义
函数 增函数 减函数
图示
条件 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1都有___ f(x1)f(x2)__
结论 (1)y=f(x)在区间I上是 ___增函数____ (2)I称为y=f(x)的增区间 (1)y=f(x)在区间I上是 ___减函数___ (2)I称为y=f(x)的减区间
(2)本质:函数的单调性反映的是两个变量的对应变换规律,定量地刻画了函数在区间上图象的变化趋势,是函数诸多性质中最核心、最本质的性质.
(3)应用:证明函数的单调性、比较大小、解不等式、求参数范围等.
【思考】
函数单调性的定义中,能否将“任意”改为“存在”
提示:不能,一些特殊的值满足并不能说明函数的单调性.
2.单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数,那么称函数y=f(x)在区间I上具有单调性.增区间和减区间统称为单调区间.
【思考】
函数y=f(x)在定义域内的每一个区间D1,D2,…上都单调递减,那么函数在定义域上是减函数吗 你能举例说明吗
提示:不是.如函数在(-∞,0),(0,+∞)上都单调递减,但在定义域上不具有单调性.
【课前小题演练】
题1．已知f(x)＝(3a－1)x＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是 (　　)
A． B．
C． D．
【解析】选B.f(x)＝(3a－1)x＋b为增函数，应满足3a－1＞0，即a＞.
题2．已知函数y＝f(x)在[－1，1]上单调递减，且函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．b【解析】选D.由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，得b＝f(2)＝f(0)，c＝f(3)＝f(－1)，又函数y＝f(x)在[－1，1]上单调递减，则f(－1)>f(－)>f(0)，即b题3．设a∈R，已知函数y＝f是定义在上的减函数，且f>f，则a的取值范围是(　　)
A． B． C．(1，2] D．
【解析】选C.因为函数y＝f是定义在上的减函数，且f>f，
所以－4≤a＋1<2a≤4，解得1题4．函数y＝的减区间是(　　)
A．(－∞，1)，(1，＋∞)
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．{x∈R|x≠1}
D．R
【解析】选A.单调区间不能写成集合形式，也不能超出定义域，故C，D不对，B表达不当．
题5．若函数f(x)在R上是减函数，则下列关系式一定成立的是(　　)
A．f(a)>f(2a)
B．f(a2)C．f(a2＋a)D．f(a2＋1)【解析】选D. 因为f(x)是R上的减函数，且a2＋1>a2，所以f(a2＋1)题6．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都单调递减，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上(　　)
A．单调递增 B．单调递减
C．先增后减 D．先减后增
【解析】选B.因为y＝ax在(0，＋∞)上是减函数，
所以a<0.因为y＝－在(0，＋∞)上单调递减，所以－b>0，b<0.
则y＝ax2＋bx的对称轴x＝－<0且抛物线开口向下，
所以y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上单调递减．
题7（多选题）．下列四个函数中，在(－∞，0]上单调递减的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x B．f(x)＝2x2 C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝
【解析】选AB.f(x)＝x2－2x在(－∞，1]上单调递减，A对；函数f(x)＝2x2在(－∞，0]上单调递减，B对；函数f(x)＝x＋1在R上单调递增，C错；函数f(x)＝中x≠0，D错．
题8（多选题）．下列函数中，在区间(1，＋∞)上是增函数的是(　　)
A．y＝3x－1
B．y＝
C．y＝x2－4x＋5
D．y＝|x－1|＋2
【解析】选AD.由一次函数的性质可知，y＝3x－1在区间(1，＋∞)上是增函数，故A正确；
由反比例函数的性质可知，y＝在区间(1，＋∞)上是减函数，故B错误；
由二次函数的性质可知，y＝x2－4x＋5在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，故C错误；
由一次函数的性质及图象的变换可知，y＝|x－1|＋2在(1，＋∞)上是增函数．
题9．已知函数y＝f(x)(x∈)的图象如图所示．根据图象写出y＝f(x)的单调递减区间为________．
【解析】由题图可知f(x)在上的单调递增区间为和，单调递减区间为.
答案：
题10．若函数f(x)＝x2－2ax＋3在(2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
【解析】因为函数f(x)＝x2－2ax＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝a，
所以其单调增区间为(a，＋∞)，由题意可得(2，＋∞) (a，＋∞)，所以a≤2.
答案：(－∞，2]
题11．画出函数y＝|x|(x－2)的图象，并指出函数的单调区间．
【解析】y＝|x|(x－2)＝
函数的图象如图所示．
由函数的图象知：函数的增区间为(－∞，0)和[1，＋∞)，减区间为[0，1).
【课堂题组训练】
题12．若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有(　　)
A．f(x)在R上是增函数
B．f(x)在R上是减函数
C．函数f(x)先增后减
D．函数f(x)先减后增
【解析】选A.由>0知f(a)－f(b)与a－b同号，即当ab时，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函数．
题13．已知函数的定义域为R，且对任意的x1，x2(x1≠x2)都有[f(x1 )－f(x2 )](x1 －x2) > 0成立，若f(x2＋1)>f(m2－m－1)对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－1，2)
B．[－1，2]
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
【解析】选A.由[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0，则函数f(x)在R上为增函数，由f(x2＋1)>f(m2－m－1)对x∈R恒成立，故m2－m－1<(x2＋1)min，即m2－m－1<1，解得－1题14（多选题）．设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论不一定正确的是(　　)
A．y＝在R上为减函数
B．y＝|f(x)|在R上为增函数
C．y＝－在R上为增函数
D．y＝－f(x)在R上为减函数
【解析】选ABC.根据题意，依次分析选项：
对于A，若f(x)＝x，则y＝＝，在R上不是减函数，A错误；
对于B，若f(x)＝x，则y＝|f(x)|＝|x|，在R上不是增函数，B错误；
对于C，若f(x)＝x，则y＝－＝－，在R上不是增函数，C错误；
对于D，函数f(x)在R上为增函数，则对于任意的x1，x2∈R，设x1＜x2，必有f(x1)＜f(x2)，
对于y＝－f(x)，则有y1－y2＝[－f(x1)]－[－f(x2)]＝f(x2)－f(x1)＞0，
则y＝－f(x)在R上为减函数，D正确．
题15（多选题）．下列四个说法，其中说法错误的是(　　)
A．若函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，则f(x)是增函数
B．y＝x＋1和y＝表示同一函数
C．函数f(x)＝x2－2|x|－3的单调增区间为[1，＋∞)
D．若函数f(x)＝x2＋4ax＋2a的值域是[0，＋∞)，则实数a＝0或
【解析】选ABC.如f(x)＝－在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但不能说f(x)是增函数，故A错误；
由y＝＝|1＋x|得y＝x＋1和y＝不是同一函数，故B错误；
可得f(x)＝x2－2|x|－3＝，又因为y＝x2－2x－3在[1，＋∞)上单调递增，y＝x2＋2x－3在[－1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝x2－2|x|－3的单调增区间为[－1，0]和[1，＋∞)，故C错误；
若函数f(x)＝x2＋4ax＋2a的值域是[0，＋∞)，则Δ＝(4a)2－4×(2a)＝16a2－8a＝0，解得a＝0或a＝，故D正确．
题16．函数f(x)＝x2－3|x|＋2的单调减区间是________．
【解析】化简函数为：f(x)＝
当x＞0时，函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增，作出图象位于y轴右侧的部分，同理作出左侧部分，
由图象不难得出，函数的单调减区间为
和.
答案：和
题17．已知f(x)＝2x＋1，则g(x)＝f＝________，g(x)的单调递增区间为________．
【解析】由题意，函数f(x)＝2x＋1可得g(x)＝
f()＝2＋1，
又由x2－1≥0，解得x≤－1或x≥1，令h(x)＝x2－1，
根据二次函数的性质，可得h(x)在上单调递增，
又函数y＝在[1，＋∞)上单调递增，
由复合函数的单调性，可得g(x)在上单调递增．
答案：2＋1(x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞))
[1，＋∞)
题18．已知函数f(x)＝2x－且f()＝3.
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．
【解析】(1)函数f(x)＝2x－中，因f()＝3，则2×－2a＝3，解得a＝－1，
所以a的值是－1；
(2)由(1)知：f(x)＝2x＋，f(x)在[1，＋∞)上单调递增，证明如下：
x1，x2∈[1，＋∞)，且x1因x2>x1≥1，则x1－x2<0，且2－>0，即有
f(x1)－f(x2)<0，f(x1)所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增．
题19．已知函数f(x)＝.
(1)判断并证明函数f(x)在(－2，＋∞)上的单调性．
(2)若函数f(x)的定义域为(－2，2)，且满足f(－2m＋3)＞f(m2)，求m的取值范围．
【解析】(1)f(x)＝＝3＋，f(x)在(－2，＋∞)上是减函数，
证明如下：设x1，x2是(－2，＋∞)上的任意两个值，且x1>x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝，
因为x1＞x2＞－2，
所以x1＋2＞0，x2＋2＞0，x2－x1＜0，
所以f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(－2，＋∞)上是减函数．
(2)由(1)可知，当x∈(－2，2)时，函数f(x)是减函数，所以由f(－2m＋3)＞f(m2)得，
解得1所以m的取值范围为(1，).
【综合突破拔高】
题20．如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，则下列关于函数f(x)的说法错误的是(　　)
A.函数在区间[－5，－3]上是增函数
B．函数在区间[1，4]上是增函数
C．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上是减函数
D．函数在区间[－5，5]上没有单调性
【解析】选C.若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接．
题21．下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是(　　)
A．y＝|x|－2 B．y＝|x－3|
C．y＝ D．y＝－x2
【解析】选A.根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝|x|－2＝在区间(0，1)上是增函数，符合题意；
对于B，y＝|x－3|＝在区间(0，1)上是减函数，不符合题意；
对于C，y＝，在区间(0，1)上是减函数，不符合题意；
对于D，y＝－x2，在区间(0，1)上是减函数，不符合题意．
题22．函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，且f(2)＝－1，则满足f(2x－4)＞－1的实数x的取值范围是(　　)
A．(3，＋∞) B．(－∞，3)
C．[2，3) D．[0，3)
【思路导引】从定义域，单调性两个方面列不等式求范围．
【解析】选C.因为f(2)＝－1，
所以由f(2x－4)＞－1得f(2x－4)＞f(2)，
又因为f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
所以0≤2x－4＜2，解得2≤x＜3，
所以满足f(2x－4)＞－1的实数x的取值范围是[2，3).
题23．已知函数f(x)在R上是单调函数，且对任意x∈R，都有f＝3，则f的值等于(　　)
A．3 B．7 C．9 D．11
【解析】选B.因为函数f(x)在R上是单调函数，且f＝3，
所以f(x)－2x为定值，设f(x)－2x＝t，则f(x)＝2x＋t，所以f＝2t＋t＝3t，
所以3t＝3，所以t＝1，所以f(x)－2x＝1，所以f(x)＝2x＋1，
所以f＝7.
题24．已知对任意的0＜x1＜x2都有＞0，设a＝f(π)，b＝f(e)，其中e＝2.718 28…，则(　　)
A．a＞b B．a＝b
C．a＜b D．a，b大小关系不能确定
【解析】选C.因为对0＜x1＜x2都有＞0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(π)＜f(e)，即a＜b.
题25．函数f(x)＝的单调递增区间是(　　)
A． B．和
C．和 D．和
【解析】选B.y＝＝，如图所示
函数的单调递增区间是和.
题26（多选题）．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中正确的是(　　)
A．>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．f(a)≤f(x1)【解析】选AB.由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A，B正确，D错误；对于选项C，因为x1，x2的大小关系无法判断，则f(x1)与f(x2)的大小关系也无法判断，故C不正确．
题27（多选题）．若函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间上有最小值，则关于函数
g(x)＝在区间上的说法错误的有(　　)
A．g(x)有最小值 B．g(x)有最大值
C．g(x)是减函数 D．g(x)是增函数
【解析】选ABC.由题意知f(x)图象的对称轴为直线x＝a，且a<1，
g(x)＝＝x＋－2a.
当a<0时，易知g(x)在上单调递增且无最值；当a＝0时，
g(x)＝x，g(x)在上单调递增且无最值；当0题28（多选题）．设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论不一定正确的是 (　 　)
A．y＝在R上为减函数 B．y＝|f(x)|在R上为增函数
C．y＝－在R上为增函数 D．y＝－f(x)在R上为减函数
【解析】选ABC.根据题意，依次分析选项：
对于A，若f(x)＝x，则y＝＝，在R上不是减函数，A错误；
对于B，若f(x)＝x，则y＝|f(x)|＝|x|，在R上不是增函数，B错误；
对于C，若f(x)＝x，则y＝－＝－，在R上不是增函数，C错误；
对于D，函数f(x)在R上为增函数，则对于任意的x1，x2∈R，设x1＜x2，必有f(x1)＜f(x2)，
对于y＝－f(x)，则有y1－y2＝[－f(x1)]－[－f(x2)]＝f(x2)－f(x1)＞0，
则y＝－f(x)在R上为减函数，D正确．
题29．函数f (x)＝－x2＋|x|(x∈R)的单调递增区间为________．
【解析】f(x)＝－x2＋|x|＝图象如图所示：
所以f(x)的单调递增区间为，.
答案：，
题30．已知函数f(x)＝是增函数，则实数a的取值范围是________．
【解析】因为函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上是增函数，又函数y＝ax2－ax－1的对称轴为x＝1，
所以解得－≤a<0.
答案：
题31．已知x∈R，函数f(x)＝x|x－2|，试画出y＝f(x)的图象，并结合图象写出函数的单调区间．
【解析】f(x)＝x|x－2|＝图象如图所示．
由图象可知，函数的单调增区间为(－∞，1]，[2，＋∞)；单调减区间为[1，2].
题32．求证：函数f(x)＝x＋在区间(0，1)内为减函数．
【证明】设x1，x2是区间(0，1)内的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)＝.
因为00，x1x2－1<0，x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).故函数f(x)＝x＋在区间(0，1)内为减函数．
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