2023年辽宁省锦州市中考数学试卷（含解析）

2023年辽宁省锦州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 如图所示的几何体是由个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
4. 如图，将一个含角的直角三角板按如图所示的位置摆放在直尺上若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
5. 在一次跳绳测试中，参与测试的名学生一分钟跳绳成绩如下表所示：
成绩次
人数人
这名学生跳绳成绩的中位数和众数分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
7. 如图，点，，在上，，连接，若的半径为，则扇形阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图，在中，，，，在中，，，与在同一条直线上，点与点重合以每秒个单位长度的速度沿线段所在直线向右匀速运动，当点运动到点时，停止运动设运动时间为秒，与重叠部分的面积为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 近年来，跑步成为越来越多人的一种生活方式据官方数据显示，年上海半程马拉松报名人数达到人将数据用科学记数法表示为______ ．
10. 因式分解：______．
11. 甲、乙、丙三名运动员在次射击训练中，平均成绩都是环，方差分别是，，，则这三名运动员中次训练成绩最稳定的是______ 填“甲”或“乙”或“丙”
12. 一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______ ．
13. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接若，，则的度数为______ ．
14. 如图，在中，，，，按下列步骤作图：在和上分别截取，，使分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点作射线交于点若点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是______ ．
15. 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，点在第一象限内，点为的中点，反比例函数的图象经过，两点若的面积是，则的值为______ ．
16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形，，，，都是平行四边形，顶点，，，，都在轴上，顶点，，，，都在正比例函数的图象上，且，，，，连接，，，，，分别交射线于点，，，，，连接，，，，得到，，，若，，，则的面积为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
18. 本小题分
年，教育部等八部门联合印发了全国青少年学生读书行动实施方案，某校为落实该方案，成立了四个主题阅读社团：民俗文化，节日文化，古典诗词红色经典学校规定：每名学生必须参加且只能参加其中一个社团，学校随机对部学生选择社团的情况进行了调查下面是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
本次随机调查的学生有______ 名，在扇形统计图中“”部分圆心角的度数为______ ；
通过计算补全条形统计图；
若该校共有名学生，请根据以上调查结果，估计全校参加“”社团的人数．
19. 本小题分
垃圾分类工作是今年全国住房和城乡建设工作会议部署的重点工作之一，为营造人人参与垃圾分类的良好氛围，某市环保部门开展了“让垃圾分类成为低碳生活新时尚”宣传活动，决定从，，三名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者到社区进行垃圾分类知识宣讲，抽签规则：将三名志愿者的名字分别写在三张完全相同且不透明卡片的正面，把三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的两张卡片中随机抽取第二张卡片，记下名字．
从三张卡片中随机抽取一张，恰好是“志愿者”的概率是______ ；
按照抽签规则，请你用列表法或画树状图法表示出两次抽签所有可能的结果，并求出，两名志愿者同时被抽中的概率．
20. 本小题分
年月日，辽宁男篮取得第三次总冠军，辽篮运动员的拼搏精神感染了众多球迷某校篮球社团人数迅增，急需购进，两种品牌篮球，已知品牌篮球单价比品牌篮球单价的倍少元，采购相同数量的，两种品牌篮球分别需要花费元和元求，两种品牌篮球的单价分别是多少．
21. 本小题分
如图，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度他们绘制了图所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，请帮助该数学学习小组求出展板最高点到地面的距离结果精确到参考数据：，
22. 本小题分
如图，为的直径，点在上，与相切于点，与延长线交于点，过点作，交的延长线于点．
求证：；
点为上一点，连接，，与交于点若，，，求的半径及的长．
23. 本小题分
端午节前夕，某批发部购入一批进价为元袋的粽子，销售过程中发现：日销量袋与售价元袋满足如图所示的一次函数关系．
求与之间的函数关系式；
每袋粽子的售价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？
24. 本小题分
【问题情境】如图，在中，，，点在边上将线段绕点顺时针旋转得到线段旋转角小于，连接，，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接．
【尝试探究】
如图，当时，易知；
如图，当时，则与的数量关系为______ ；
如图，写出与的数量关系用含的三角函数表示，并说明理由；
【拓展应用】
如图，当且点，，三点共线时若，，请直接写出的长．
25. 本小题分
如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，顶点为．
求抛物线的表达式；
若点在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，四边形的面积为，求点的坐标；
在的条件下，若点是对称轴上一点，点是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，且，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是，
故选：．
利用相反数的定义判断．
本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】
【解析】解：从上面看，共两层，由上往下第一层是三个小正方形，第二层中间是一个小正方形．
故选：．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．掌握简单组合体的三视图是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：与不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B.，故B符合题意；
C.，故C不符合题意；
D.，故D不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则逐项进行计算即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项，掌握同底数幂的乘法的计算方法，幂的乘方与积的乘方的运算性质以及合并同类项法则是解答的关键．
4.【答案】
【解析】解：如图，
，，
，
直尺上下两边平行，
．
故选：．
如图，首先根据题意求出的度数，再根据两直线平行，同位角相等，即可求出的度数．
本题考查平行线的性质应用，根据题中条件找出平行线是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：从小到大排列此数据为：、、、、、、、、、，
数据出现了三次最多为众数，
中位数为：，
所以本题这组数据的中位数是，众数是．
故选：．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，掌握找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数是关键．
6.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程，
，
方程有两个实数根，
，
解得，
的取值范围是且，
故选：．
根据一元二次方程的定义，得，根据方程有两个实数根，得出，求出的取值范围即可得出答案．
此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，
，
扇形的面积为，
故选：．
先由圆周角定理可得的度数，再由扇形的面积公式求解即可．
此题主要是考查了扇形的面积公式，圆周角定理，能够求得的度数是解答此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：过点作于，
，，
，
，
当时，
如图，重叠部分为，此时，，
∽，
，即，
，
，
当时，
如图，重叠部分为四边形，此时，．
，，
，
∽，
，
又，
，
，
，
∽．
，即，
，
，
当时
如图，重叠部分为四边形，此时，．
，
．
∽，
，即，
，，
综上，
符合题意的函数图象是选项A．
故选：．
分，，三种情况，分别求出函数解析即可判断，
此题结合图象平移时面积的变化规律，考查二次函数相关知识，根据平移点的特点列出函数表达式是关键，有一定难度．
9.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
10.【答案】
【解析】
【分析】
直接提取公因式，进而分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
【解答】
解：．
故答案为：．
11.【答案】乙
【解析】解：，
这三名运动员中次训练成绩最稳定的是乙．
故答案为：乙．
方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，波动性越大，反之也成立．
本题考查了方差的定义，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立是关键．
12.【答案】
【解析】解：由题意知，袋中球的总个数为个，
所以袋中红球的个数为个，
故答案为：．
先根据黑球的个数及其频率的稳定值求出球的总个数，继而可得答案．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
13.【答案】
【解析】解：，
，
，，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
故答案为：．
由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解的度数，利用线段垂直平分线的性质可证得，再根据三角形挨浇的性质可求解．
本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
14.【答案】
【解析】
理由如下：由作图步骤可知，射线为的角平分线，
，，
，
平分，
，
过点作于，交于，
在中，，
，
，
根据点到直线的距离，垂线段最短，此时值最小
在中，，，
，
，
，
故答案为：．
根据题目中所给的条件，判断为角平分线，由问题可知，需要利用胡不归模型构建直角三角形，转化两条线段和为一条线段，利用三角函数求出线段长度．
本题是一道典型的利用胡不归模型解决线段和最值得问题，胡不归模型的中点就在于能否把转化成为，根据题目中的条件构造直角三角形是解决本道题的关键
15.【答案】
【解析】解：过点作轴于点，如图：
设点的坐标为，点的坐标为，
，，
的面积是，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
点为的中点，
点，
点在反比例函数的图象上，
，
即：，
，
将，代入上式得：．
故答案为：．
过点作轴于点，设点的坐标为，点的坐标为，则，，由的面积是得，将点代入反比例函数的表达式得，然后根据点为的中点得点，将点代入反比例函数表达式得，据此即可取出的值．
此题主要考查了反比例函数的图象，解答此题的关键是理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上．
16.【答案】
【解析】解：，
，轴，
同理可得：轴，轴，
可得：∽，
，
，
，
，
，
可得：∽，
：：，
，
，
故答案为：．
先求得和的值，从而求得的值，进而根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进一步得出结果．
本题考查了一次函数的求值，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是利用相似找出规律．
17.【答案】解：原式
，
当时，原式．
【解析】直接利用分式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
18.【答案】
【解析】解：本次调查的总人数为名，
扇形统计图中，所对应的扇形的圆心角度数是，
故答案为：，；
活动小组人数为名，
补全图形如下：
；
估计参加“”活动小组的人数有名．
答：估计参加“”活动小组的名学生．
由的人数及其所占百分比可得总人数，根据各类型人数之和等于总人数求得的人数，用乘以人数所占比例即可得其对应圆心角度数；
据的数据补全图形即可得；
总人数乘以活动小组人数和所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】
【解析】解：从三张卡片中随机抽取一张，恰好是“志愿者”只有一种可能，
恰好是“志愿者”，
故答案为：；
画出树状图如下：
共有种等可能的结果，其中，两名志愿者同时被抽中有种可能的情况，
两名志愿者同时被抽中．
根据等可能事件的概率公式直接求出即可；
利用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出，两名志愿者同时被抽中的结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
本题考查等可能事件概率的求法，掌握概率公式和列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
20.【答案】解：设品牌篮球单价为元，则品牌篮球单价为元，
由题意，可得：，
解得：，
经检验，是所原方程的解，
所以品牌篮球的单价为：元．
答：品牌篮球单价为元，品牌篮球单价为元．
【解析】设品牌篮球单价为元，由题意可得品牌篮球单价为元，根据“采购相同数量的，两种品牌篮球分别需要花费元和元”，列出相应的方程，解答即可．
本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21.【答案】解：如图，过点作于点，与直线交于点，过点作于点，过点作于点
四边形，四边形均为矩形，
，，，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
答：展板最高点到地面的距离为．
【解析】过点作于点，与直线交于点，过点作于点，过点作于点，分别解作出的直角三角形即可解答．
本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造出直角三角形，熟练通过解直角三角形求相应未知量是解题的关键．
22.【答案】证明：为的直径，与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
解：连接，过点作于点，如图，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
设的半径为，则，，
在中，，
，
解得，
在中，，，
，
，，
，
∽，
，
，
，
解得，，
在中，，，
，
答：的半径为，的长为．
【解析】先根据切线的性质得到，然后利用等角的余角相等证明，从而得到；
连接，过点作于点，如图，先在中利用正切的定义求出，根据圆周角定理得到，则可证明，设的半径为，在中利用正切的定义得到，则可求出，接着利用勾股定理可得到，然后证明∽，利用相似比求出，，最后在中利用勾股定理可计算出．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、解直角三角形和相似三角形的判定与性质．
23.【答案】解：设与的函数关系式为，
把，和，别代入解析式，
得，
解得，
与的函数关系式为；
设这种粽子日销售利润为元，
则
，
，抛物线开口向下，
时，有最大值，最大值为，
答：当粽子的售价定为元袋时，日销售利润最大，最大日销售利润是元．
【解析】利用待定系数法确定一次函数的关系式即可；
根据总利润每袋利润销量列出有关关于的函数关系后求得最值即可．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据总利润的相等关系列出函数解析式、利用二次函数的性质求最值问题．
24.【答案】
【解析】解：当时，和是等腰直角三角形，
，
，
，
∽，
，
故答案为：；
如图，
，理由如下：
过点作于点，
，
，，
同理可得：，
，
，
，
∽，
，
；
方法一
如图，
作于点，过点作，交延长线于点，
，
，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，．
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，
由得：，
方法二
如图，
作交延长线于点，过点作于点，
过点作于点，
，
，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，
，
，
，，
，
，
，
是以为底边的等腰三角形，，
，
，
，∽，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，
∽，
．
可证明∽，从而，进而得出结果；
过点作于点，可推出，进而证得∽，从而；
作于点，过点作，交延长线于点，设，则，由得，从而，，进而表示出，．，在中，由勾股定理列出方程，从而，进一步得出结果．
本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
25.【答案】解：抛物线过点和点，
，
，
抛物线的表达式．
设抛物线的对称轴与轴交于点，过点作轴于点，
设，
，，
，
四边形的面积为，
，
，
，
存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，且，满足条件的坐标为或理由如下：
如图，连接，，
四边形是菱形，且，
是等边三角形，
是等边三角形，
≌，
，
直线的表达式为，
，
；
如图，连接、、，
四边形是菱形，且，
是等边三角形，
是等边三角形，
≌，
，
，，
，
≌，
，
直线的表达式为，
，
，
综上，或
【解析】把点和点代入求抛物线的表达式；
将四边形分割，，利用建立方程求点的坐标；
对，，，四个点按顺时针和逆时针排成菱形，分别求解．
本题考查了二次函数解析式的求法，与四边形面积和菱形结合，对于关键是分割，对于关键是找清分类标准．
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