5.1函数的概念与图象 第1课时 函数的概念（一）讲义（含答案）

编号：022 课题: §5.1.1 函数的概念与图象——第1课时 函数的概念（一）
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.学会用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念；
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；
3.了解构成函数的要素；
4.能求简单函数的定义域和值域.
本节重点难点
重点：函数的定义域的求法；
难点：函数的值域的求法．
学科素养目标
函数是“通过建立数学模型来刻画与研究世界”的典范，也是学习数学和研究数学的范例．学习“函数概念与基本初等函数I”（下面简称“函数” ）这一章，从观念上认识“函数” ，它是“语言、工具、应用”．它挑起了“万水千山”（整个高中数学），贯通了数学世界，迎接着广泛的实际问题．认识函数，就是认识它是解决许多实际问题的基本模型；认识函数，在于研究它的性质；认识函数，应明了它的根本价值在于应用，并揭示了它的“生长性”即如许许多多对数据都统一于一个函数式．
通过本章的学习，逐步培养学生的数学思维，养成准确、清晰、有条理地表述问题以及问题的解决过程的习惯，形成、提高数学表达和交流的能力，逐步地发展独立获取数学知识的能力，发展数学应用意识和创新意识，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度，进一步拓宽学生的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神．
教学过程
基础知识积累
函数
(1)概念:
①定义: 设是两个_________数集，如果按某种对应法则，对于集合中的_________元素，在集合中都有_________的元素和它对应，这样的对应叫做从到的一个函数．
②记法:y=f(x),x∈A.
③定义域: 在的对应中___________组成的集合叫做函数的定义域.;
值域: 对于A中的每一个，都有一个输出值与之对应，将组成的集合叫做函数的值域，则.
(2)本质:函数的集合定义.
【思考】
1.对于函数f:A→B,值域一定是集合B吗 为什么
2.对应关系f必须是一个解析式的形式吗 为什么
3.f(x)的含义是什么
【课前小题演练】
题1. 已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|，其中能构成从M到N的函数的是(　　)
A．① B．② C．③ D．④
题2．下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　)
A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方
B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积
题3．若集合M＝{x|－4≤x≤4}，N＝{y|－2≤y≤2}，下列式子不表示定义在集合M到集合N上的函数的是(　　)
A．y＝x B．y＝(x－1)
C．y＝x2－2 D．y＝x2
题4．下列对应关系或关系式中是A到B的函数的有(　　)
A．A＝B＝[－1，1]，x∈A，y∈B且x2＋y2＝1
B．A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图
C.A＝R，B＝R，f ：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z，f ：x→y＝
题5．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A． B．
C． D．
题6．函数f＝＋的定义域是(　　)
A． B．[－2，)
C．[－，2] D．(－∞，2]
题7（多选题）．下列四个方程中表示y是x的函数的是(　　)
A．x－2y＝6 B．x2＋y＝1
C．x＋y2＝1 D．x＝
题8．已知集合M＝{x，y，z}，N＝{－1，1}，则从M到N的函数中，满足f(x)＝1的有______个．
题9．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，f：A→B为集合A到集合B的一个函数，那么该函数的值域C的不同情况有________种．
题10．求下列函数的值域．
(1)f(x)＝.
(2)y＝2x2＋4x－3.
【课堂题组训练】
题11．若两个函数的对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，则称这两个函数为同族函数．那么与函数y＝x2，x∈{－1，0，1，2}为同族函数的有(　　)
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
题12．函数y＝＋的定义域是(　　)
A．(2，3)
B．(2，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(2，3)∪(3，＋∞)
题13（多选题）．已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，给出下列四个对应关系，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝x＋1
C．y＝2|x| D．y＝x2
题14（多选题）．函数y＝f(x)的图象与直线x＝2 022的公共点可以有(　 　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．以上答案都不对
题15．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________；函数定义域与值域的交集为________．
题16．已知函数f(x)的定义域为A＝{1，2，3，4}，值域为B＝{7，8，9}，且对任意的x＜y，恒有f(x)≤f(y)，则满足条件的不同函数共有________个．
题17．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1，7}的“孪生函数”共有______个．
题18．已知集合A＝{1，2，3，k}，B＝{4，7，a4，a2＋3a}，a∈N*，k∈N*，x∈A，y∈B，f：x→y＝3x＋1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k，A，B.
题19．构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式y＝(300＋10x)(200－4x)来描述，其中1≤x≤50，x∈N*.
【综合突破拔高】
题20．函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．(－∞，3] B．∪
C．∪ D．(3，4)∪(4，＋∞)
题21．函数f(x)＝2x－1，x∈{－1，1}，则f(x)的值域为(　　)
A．[－3，1) B．(－3，1] C．[－3，1] D．{－3，1}
题22．若函数f(x)＝5x＋4的值域是，则函数f(x)的定义域为(　　)
A．R B．
C． D．
题23．已知函数f(x)的图象经过点(1，－3)，(－3，22)，则f(f(1))的值为(　　)
A．1 B．－3 C．－22 D．22
题24．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A． B．
C． D．
题25．已知函数f(x)＝的定义域为，则实数a的取值集合为(　　)
A． B．
C． D．
题26．已知f(x)＝x2－2x－3，0≤x≤a，a为大于0的常数，则f(x)的值域可能为(　　)
A． B．R
C． D．
题27．下列各式中，是函数的有(　　)
A．y＝1 B．y＝x2
C．y＝1－x D．y＝＋
题28(多选题)．已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，给出下列四个对应关系，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是 (　 　)
A．y＝ B．y＝x＋1 C．y＝2|x| D．y＝x2
题29．函数f(x)＝x2＋1，x∈{－2，－1，0，1，2}，则函数的值域为________．
题30．若＝R，则a的取值范围是________．
题31．已知函数y＝的定义域为[－3，6]，求a＋b的值．
题32．已知函数f(x)＝的定义域为集合A，函数g(x)＝的定义域为集合B，
(1)当a＝0时，求A∩B；
(2)设p：x∈A，q：x∈B，p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
编号：022 课题: §5.1.1 函数的概念与图象——第1课时 函数的概念（一）
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.学会用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念；
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；
3.了解构成函数的要素；
4.能求简单函数的定义域和值域.
本节重点难点
重点：函数的定义域的求法；
难点：函数的值域的求法．
学科素养目标
函数是“通过建立数学模型来刻画与研究世界”的典范，也是学习数学和研究数学的范例．学习“函数概念与基本初等函数I”（下面简称“函数” ）这一章，从观念上认识“函数” ，它是“语言、工具、应用”．它挑起了“万水千山”（整个高中数学），贯通了数学世界，迎接着广泛的实际问题．认识函数，就是认识它是解决许多实际问题的基本模型；认识函数，在于研究它的性质；认识函数，应明了它的根本价值在于应用，并揭示了它的“生长性”即如许许多多对数据都统一于一个函数式．
通过本章的学习，逐步培养学生的数学思维，养成准确、清晰、有条理地表述问题以及问题的解决过程的习惯，形成、提高数学表达和交流的能力，逐步地发展独立获取数学知识的能力，发展数学应用意识和创新意识，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度，进一步拓宽学生的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神．
教学过程
基础知识积累
函数
(1)概念:
①定义: 设是两个_非空__数集，如果按某种对应法则，对于集合中的__每一个__元素，在集合中都有___唯一的__的元素和它对应，这样的对应叫做从到的一个函数．
②记法:y=f(x),x∈A.
③定义域: 在的对应中__每一个__组成的集合叫做函数的定义域.;
值域: 对于A中的每一个，都有一个输出值与之对应，将组成的集合叫做函数的值域，则.
(2)本质:函数的集合定义.
【思考】
1.对于函数f:A→B,值域一定是集合B吗 为什么
提示:不一定.值域是集合B的子集.
2.对应关系f必须是一个解析式的形式吗 为什么
提示:不一定.可以是数表,也可以是图象.
3.f(x)的含义是什么
提示:集合A中的数x在对应关系f的作用下对应的数.
【课前小题演练】
题1. 已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|，其中能构成从M到N的函数的是(　　)
A．① B．② C．③ D．④
【解析】选D.对应关系若能构成从M到N的函数，须满足：对M中的任意一个数，通过对应关系在N中都有唯一的数与之对应，
①中，当x＝4时，y＝42＝16 N，故①不能构成函数；
②中，当x＝－1时，y＝－1＋1＝0 N，故②不能构成函数；
③中，当x＝－1时，y＝－1－1＝－2 N，故③不能构成函数；
④中，当x＝±1时，y＝|x|＝1∈N，当x＝2时，y＝|x|＝2∈N，当x＝4时，y＝|x|＝4∈N，故④能构成函数．
题2．下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　)
A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方
B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积
【解析】选A.对B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D，A集合不是数集，故不符合函数的定义．
题3．若集合M＝{x|－4≤x≤4}，N＝{y|－2≤y≤2}，下列式子不表示定义在集合M到集合N上的函数的是(　　)
A．y＝x B．y＝(x－1)
C．y＝x2－2 D．y＝x2
【解析】选B.当x＝－4时，×(－4－1)＝－ N，故选项B中函数不是定义在集合M到集合N上的函数．
题4．下列对应关系或关系式中是A到B的函数的有(　　)
A．A＝B＝[－1，1]，x∈A，y∈B且x2＋y2＝1
B．A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图
C.A＝R，B＝R，f ：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z，f ：x→y＝
【解析】选B.对于A项，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值可能不唯一，故不符合．对于B项，符合函数的定义．对于C项，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．对于D项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．
题5．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选A.要使函数有意义，则满足x－2>0，解得x>2，故函数的定义域为.
题6．函数f＝＋的定义域是(　　)
A． B．[－2，)
C．[－，2] D．(－∞，2]
【解析】选C.由函数f＝＋有意义，则，解得
－≤x≤2，所以函数的定义域为[－，2].
题7（多选题）．下列四个方程中表示y是x的函数的是(　　)
A．x－2y＝6 B．x2＋y＝1
C．x＋y2＝1 D．x＝
【解析】选AB.判断y是否为x的函数，主要是看是否满足函数的定义，AB符合要求．
题8．已知集合M＝{x，y，z}，N＝{－1，1}，则从M到N的函数中，满足f(x)＝1的有______个．
【解析】由题意满足f(x)＝1的有
共4个．
答案：4
题9．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，f：A→B为集合A到集合B的一个函数，那么该函数的值域C的不同情况有________种．
【解析】值域C是由集合A中1，2，3所对应的项构成的，故值域C是集合B的非空子集，可能情况为{4}，{5}，{6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，{4，5，6}，共7种．
答案：7
【误区警示】本题容易出现由于分类不全导致漏解．
题10．求下列函数的值域．
(1)f(x)＝.
(2)y＝2x2＋4x－3.
【解析】(1)函数的定义域为R，
f(x)＝＝≤＝2，
且f(x)＞0，所以其值域为(0，2].
(2)因为y＝2x2＋4x－3＝2(x＋1)2－5≥－5，
故函数y＝2x2＋4x－3的值域为{y|y≥－5}．
【课堂题组训练】
题11．若两个函数的对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，则称这两个函数为同族函数．那么与函数y＝x2，x∈{－1，0，1，2}为同族函数的有(　　)
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【解析】选D.由题意知同族函数是只有定义域不同的函数，函数解析式为y＝x2，值域为{0，1，4}时，
定义域中，0是肯定有的，正负1，至少含一个，正负2，至少含一个．它的定义域可以是{0，1，2}，{0，1，－2}，{0，－1，2}，{0，－1，－2}，{0，1，－2，2}，{0，－1，－2，2}，{0，1，－1，－2}，{0，1，－1，2，－2}，共有8种不同的情况．
题12．函数y＝＋的定义域是(　　)
A．(2，3)
B．(2，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(2，3)∪(3，＋∞)
【解析】选D.要使原函数有意义，则
解得x>2，且x≠3，所以函数y＝＋的定义域是(2，3)∪(3，＋∞).
题13（多选题）．已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，给出下列四个对应关系，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝x＋1
C．y＝2|x| D．y＝x2
【解析】选CD.在A中，当x＝－1时，y＝－1 N，故A错误；
在B中，当x＝－1时，y＝－1＋1＝0 N，故B错误；
在C中，任取x∈M，总有y＝2|x|∈N，故C正确；
在D中，任取x∈M，总有y＝x2∈N，故D正确．
题14（多选题）．函数y＝f(x)的图象与直线x＝2 022的公共点可以有(　 　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．以上答案都不对
【解析】选AB.由函数的概念：“对集合A中的任意一个自变量的值，在集合B中有唯一的值与之对应”可知，直线x＝2 022与函数y＝f(x)的图象只有一个公共点或没有公共点．
题15．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________；函数定义域与值域的交集为________．
【解析】x∈{x∈N|1≤x≤5}＝{1，2，3，4，5}，所以x＝1时，f(1)＝－1；x＝2时，f(2)＝1；x＝3时，
f(3)＝3；x＝4时，f(4)＝5；x＝5时，f(5)＝7，所以f(x)∈{－1，1，3，5，7}，函数的定义域和值域的交集为{1，3，5}．
答案：{－1，1，3，5，7}　{1，3，5}
题16．已知函数f(x)的定义域为A＝{1，2，3，4}，值域为B＝{7，8，9}，且对任意的x＜y，恒有f(x)≤f(y)，则满足条件的不同函数共有________个．
【解析】如图，满足条件的函数共有3个．
答案：3
题17．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1，7}的“孪生函数”共有______个．
【解析】由2x2－1＝1，得x1＝1，x2＝－1；
由2x2－1＝7，得x3＝－2，x4＝2，
所以定义域为2个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．
答案：9
题18．已知集合A＝{1，2，3，k}，B＝{4，7，a4，a2＋3a}，a∈N*，k∈N*，x∈A，y∈B，f：x→y＝3x＋1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k，A，B.
【解析】根据对应关系f，有1→4；2→7；3→10；k→3k＋1.
若a4＝10，则a N*，不符合题意，舍去；
若a2＋3a＝10，则a＝2(a＝－5不符合题意，舍去).
故3k＋1＝a4＝16，得k＝5.
综上：a＝2，k＝5，集合A＝{1，2，3，5}，B＝{4，7，10，16}．
题19．构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式y＝(300＋10x)(200－4x)来描述，其中1≤x≤50，x∈N*.
【解析】某汽车租赁公司有200辆小汽车．
若每辆车一天的租金为300元，可全部租出；
若将出租收费标准每天提高10x元(1≤x≤50，x∈N*)，则租出的车辆会相应减少4x辆．
设该汽车租赁公司每天的收入为y(元)，
则y＝(300＋10x)(200－4x).(答案不唯一，合理即可)
【综合突破拔高】
题20．函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．(－∞，3] B．∪
C．∪ D．(3，4)∪(4，＋∞)
【解析】选C.要使函数有意义，则得
得x≤3且x≠，即函数的定义域为∪.
题21．函数f(x)＝2x－1，x∈{－1，1}，则f(x)的值域为(　　)
A．[－3，1) B．(－3，1] C．[－3，1] D．{－3，1}
【解析】选D.f(－1)＝－2－1＝－3，
f(1)＝2－1＝1，所以该函数的值域为{－3，1}．
题22．若函数f(x)＝5x＋4的值域是，则函数f(x)的定义域为(　　)
A．R B．
C． D．
【解析】选C.因为函数f(x)为单调递增的一次函数，所以当f(x)＝9时，即5x＋4＝9，解得x＝1，所以函数的定义域为.
题23．已知函数f(x)的图象经过点(1，－3)，(－3，22)，则f(f(1))的值为(　　)
A．1 B．－3 C．－22 D．22
【解析】选D.因为函数f(x)的图象经过点，所以f(1)＝－3，
因为函数f(x)的图象经过点，所以f(－3)＝22，
所以f＝f(－3)＝22.
题24．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选D.要使f(x)有意义，则，解得－3≤x≤1，
所以f(x)的定义域为.
题25．已知函数f(x)＝的定义域为，则实数a的取值集合为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选A.由题意可得不等式ax2－2ax＋3≥0的解集为，所以一元二次方程ax2－2ax＋3＝0的两个根是－1，3，且a<0，所以－1×3＝，所以a＝－1.
题26．已知f(x)＝x2－2x－3，0≤x≤a，a为大于0的常数，则f(x)的值域可能为(　　)
A． B．R
C． D．
【解析】选AC.二次函数f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
对称轴为x＝1，顶点坐标为(1，－4)，即f(x)≥－4，B错误；
其图象如图所示：
当1≤a≤2时，函数值域为 ，A正确；
当a＞2时，函数值域为，
而存在 ，C正确；
当0＜a＜1时，函数值域为，D错误．
题27．下列各式中，是函数的有(　　)
A．y＝1 B．y＝x2
C．y＝1－x D．y＝＋
【解析】选ABC.根据题意，依次分析选项，
对于A，y＝1，是常数函数，是函数，
对于B，y＝x2，是二次函数，是函数，
对于C，y＝1－x，是一次函数，是函数，
对于D，y＝＋，有，不等式组无解，不是函数．
题28(多选题)．已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，给出下列四个对应关系，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是 (　 　)
A．y＝ B．y＝x＋1 C．y＝2|x| D．y＝x2
【解析】选CD.在A中，当x＝－1时，y＝－1 N，故A错误；
在B中，当x＝－1时，y＝－1＋1＝0 N，故B错误；
在C中，任取x∈M，总有y＝2|x|∈N，故C正确；
在D中，任取x∈M，总有y＝x2∈N，故D正确．
题29．函数f(x)＝x2＋1，x∈{－2，－1，0，1，2}，则函数的值域为________．
【解析】由f(x)＝x2＋1，x∈{－2，－1，0，1，2}，
得f(－2)＝5，f(－1)＝2，f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，
所以函数的值域为{1，2，5}．
答案：{1，2，5}
题30．若＝R，则a的取值范围是________．
【解析】因为＝R，所以函数y＝的定义域为R，
即ax2＋ax－a＋1≠0对于x∈R恒成立，所以方程ax2＋ax－a＋1＝0无实根，
当a＝0时，方程可化为1＝0无实根，所以a＝0符合题意；
当a≠0时，由Δ＝a2－4a<0，整理可得5a2－4a<0，解得0答案：
题31．已知函数y＝的定义域为[－3，6]，求a＋b的值．
【解析】由题意得不等式ax2＋bx＋18≥0的解集为[－3，6]，所以x＝－3和x＝6是方程ax2＋bx＋18＝0的两个根，且a<0，
于是解得所以a＋b＝2.
题32．已知函数f(x)＝的定义域为集合A，函数g(x)＝的定义域为集合B，
(1)当a＝0时，求A∩B；
(2)设p：x∈A，q：x∈B，p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解析】(1)≥0得解得－当a＝0时，g(x)＝，当x2－x≥0时，解得：x≥1或x≤0，
所以B＝{x或x≤0}，所以A∩B＝{x或x＝1}．
(2)x2－x＋a2＋a≥0即≥0，解得x≥a＋1或x≤a，
所以B＝{x或x≤a}，由题意可知AB，所以a≥1或a＋1≤－得a≥1或a≤－.
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