2022-2023学年山东省德州市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省德州市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若集合，，则( )
A. B.
C. D.
2. 设函数，则( )
A. B. C. D.
3. 设，则“”是“为奇函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
5. 如果等比数列的前项和，则常数( )
A. B. C. D.
6. 定义在上的偶函数满足，且，则的值为( )
A. B. C. D.
7. 随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取名学生进行问卷调查，得到如表数据
支持 不支持
男生
女生
通过计算有以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，则在这被调查的名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为( )
附：，其中．
A. B. C. D.
8. 任给两个正数，，使得不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 若正实数，满足，则( )
A. B.
C. D.
10. 已知函数，，下列说法正确的是( )
A. 若是偶函数，则
B. 的单调减区间是
C. 的值域是
D. 当时，函数有两个零点
11. 在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列，进行构造，第次得到数列，，；第次得到数列，，，，；；第次得到数列，，，，，，记，则( )
A. B. 为偶数 C. D.
12. 定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是( )
A. 在处取得极小值
B. 有两个零点
C. 若，恒成立，则
D. 若，，，，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知集合，，若，则的值为______ ．
14. 已知，，且，则的最大值为______ ．
15. 若函数与的图象有一条与直线平行的公共切线，则 ______ ．
16. 已知数列满足，，，，则 ______ ；设，其中表示不超过的最大整数，为数列的前项和，若，则的最小值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知命题：“，使得不等式成立”是真命题．
求实数的取值集合；
设不等式的解集为，若是的充分条件，求实数的取值范围．
18. 本小题分
已知．
若在区间上单调递减，求实数的取值范围；
设函数在上有两个零点，求实数的取值范围．
19. 本小题分
已知数列是等差数列，其前项和为，，，数列满足．
求数列，的通项公式；
数列满足求数列的前项和．
20. 本小题分
已知函数，．
若是的极值点，求函数的极值；
若时，恒有成立，求实数的取值范围．
21. 本小题分
年月，国务院办公厅印发新能源汽车产业发展规划年，要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展，加快建设汽车强国同时为了推广新能源替代传统非绿色能源，除了财政补贴、税收优惠等激励性政策外，可间接通过前期技术研发支持等政策引导能源发展方向某企业多年前就开始进行新能源汽车方面的研发，现对近年的年技术创新投入和每件产品成本的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，，，，．
根据散点图可知，可用函数模型拟合与的关系，试建立关于的回归方程；
已知该产品的年销售额单位：千万元与每件产品成本的关系为该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本千万元，根据的结果回答：当年技术创新投入为何值时，年利润的预报值最大？注：年利润年销售额年投入成本
参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
22. 本小题分
已知函数，．
当时，判断的零点个数；
若恒成立，求实数的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
．
故选：．
根据对数函数和指数函数的单调性求出集合，，再根据交集的定义即可得解．
本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：设函数，
则，
故选：
由已知条件利用分段函数分别求出和，由此能求出结果．
本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．
3.【答案】
【解析】解：若时，，
函数的定义域为，关于原点对称，
，
即，
函数是奇函数，即充分性成立，
若为奇函数，
则，
，，
此式对于定义域内的任意皆成立，必有，即必要性不成立，
则是为奇函数的充分不必要条件．
故选：．
根据函数奇偶性的定义和性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的定义和性质结合对数的运算是解决本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：因为，又，
所以．
故选：．
根据对数函数的单调性可得，根据指数函数和幂函数的单调性可得，从而可求解．
本题主要考查了指数函数及对数函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题，
5.【答案】
【解析】解：等比数列的前项和，
，
，
，
，，成等比数列，
，
解得常数．
故选：．
由等比数列的前项和，求出，，，再由，，成等比数列，能求出常数的值．
本题考查常数值的求法，涉及等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：由为偶函数且得，
所以是以为周期的周期函数，
所以．
故选：．
根据题意可判断是以为周期的周期函数，即可利用周期性和奇偶性求解．
本题主要考查函数奇偶性与周期性的综合，函数的求值，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为有以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，
所以，
化简得，
因为函数在上单调递增，且，，，
所以的最小值为，
即在这被调查的名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为．
故选：．
根据独立性检验公式列出不等式，进而求解即可．
本题考查独立性检验，考查运算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：不等式恒成立，
整理为恒成立，
设，，
，令，得，
当，，当，，
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，
函数的最小值，
所以，得．
故选：．
首先参变分离为，再构造函数，转化为求函数的最值问题，即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，当，时，满足，故A错误；
对于，由，得，所以或舍去，
所以，当且仅当时，取等号，故B正确；
对于，由，得，
则，
当且仅当，即时，取等号，故C正确；
对于，由，得，
则，
当且仅当时，取等号，
所以，故D正确．
故选：．
举出反例即可判断；利用基本不等式即可判断；由题意可得，再利用基本不等式中“”的等量代换即可判断；将两边平方，再利用作差法即可判断．
本题主要考查了不等式的性质及基本不等式的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，若是偶函数，定义域为，对于任意的，由，
所以，所以，A正确；
对于，由复合而成，
由于在单调递减，开口向上的二次函数在单调递增，
所以由复合函数单调性的判断可知的单调减区间是，B正确；
对于，由可知，的单调减区间是，单调增区间为，
故当时，取最大值，故，故值域为，故C错误；
对于，由可知值域为，如图：
当时，此时，所以有两个交点，故D正确．
故选：．
根据偶函数的定义即可判断；根据复合函数的单调性即可判断；由函数的单调性即可判断；由函数的值域即可判断．
本题考查函数零点问题，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由题意得：
，此时
，此时，则，不为偶数，故B不正确；
，此时，故A正确；
，此时
归纳可得，此时，故C正确；
则，，，，
累加可得
所以，则，即，故D正确．
故选：．
通过计算求出，，，的值，并且归纳出每一项与前一项的关系，以及的变化，从而运用归纳法得到，之间的关系，以及，之间的关系，利用累加法可得，逐项判断即可得答案．
本题考查数列性质及应用、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，所以，
令，则，
所以设，所以，
又因为，所以，
对于，因为，所以，
令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在处取得极小值，故A正确；
对于，令，得，
所以有一个零点，故B错误；
对于，因为在单调递增，所以时，，
所以，故C错误；
对于，因为在单调递减，在单调递增，
且唯一零点为，当时，且，
所以若，，，，
可以设，
假设正确，下证明，即证，
因为，，在单调递减，
所以即证，即证，
构造，，
则，
因为，所以，，，则，
所以在上单调递增，所以，
即得证，原式成立，故D正确．
故选：．
首先根据题意构造，结合，求得，对于，通过导数与函数极值点的关系求解即可；对于，令直接求解即可；对于，通过研究函数在的单调性与最值情况即可；对于，先大致研究函数图像变化趋势，假设，并假设正确，通过转化，从而证明，与的关系，进而证明原不等式正确即可．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由得，
所以或，解得或，
因为，所以．
故答案为：．
由题知，进而根据集合关系求解即可．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，即，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
即的最大值为．
故答案为：．
根据对数运算法则，结合基本不等式求解即可．
本题考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意得，，
设公切线与相切于，与相切于，
则，，解得，，
又，，
切线方程为，即，
又在切线上，则，即．
故答案为：．
设公切线与相切于，与相切于，根据公切线斜率为以及点在函数图像上列出方程求解，即可得出答案．
本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程和导数的几何意义，考查转化思想，考查运算能力和逻辑推理能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：因为数列满足，，，，
所以，，，，
由，得，
则是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，
则，
，
则，
所以，
所以，
因为，
所以的最小值为．
故答案为：；．
根据数列满足，，，，递推求得，再由，变形为，得到是等比数列，再由，利用累加法求得，进而求得求解．
本题考查了数列的递推式，重点考查了裂项求和法，属中档题．
17.【答案】解：由，使得不等式成立，
所以，
因为二次函数在上单调递减，在上单调递增，
且，，
所以当时，，
所以．
由可得．
设，，
，，单调递递减，，，单调递增，
，所以，所以，
从而或，
因为是的充分条件，则，
则，即；
实数的取值范围是．
【解析】分离参数得，利用二次函数的图象与性质即可得到答案；
因式分解得，设，证明出，从而得到的解集，则得到不等式，解出即可．
本题主要考查命题真假的判断，充分必要条件的定义，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：已知，
可得，
若函数在区间上单调递减，
此时在区间恒成立，
即在上恒成立，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以函数在定义域上单调递增，
此时，
所以，
即，
则实数的取值范围为；
若函数在上有两个零点，
可得在上有两个不等的实根，
即在上有两个不等的实根，
不妨设，
易知函数为开口向上的二次函数，对称轴，
要使函数与轴有两个交点，
此时，且，
需满足，
解得，
则实数的取值范围为
【解析】由题意，对函数进行求导，将函数在区间上单调递减，转化成在上恒成立，构造函数，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和最值，进而即可求解；
将函数在上有两个零点，转化成在上有两个不等的实根，构造函数，结合二次函数的性质、根的判别式和端点值，列出等式即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
19.【答案】解：设等差数列的首项为，公差为，
因为，，
所以，
即，
解得，
所以，
，
当时，，
可得，，
又，
所以，
当时，适合，
所以；
由可得，为奇数时，，
为偶数时，，
则
．
【解析】根据等差数列基本量相关运算直接得到的通项公式，结合已知等式令得到第二个等式，两式相减并验证的情况得到的通项公式；
先写出通项公式，再结合裂项相消法、等比公式求和公式，运用分组求和的方法求解即可．
本题考查了等差数列通项公式的求法，重点考查了裂项相消法、等比数列求和公式及分组求和的方法求解，属中档题．
20.【答案】解：，因为是的极值点，
所以，所以，
所以，
当或时，；
当时，．
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，
所以极大值，极小值为．
若时，恒有恒成立，即，即，
因为，所以，
令，则，
则时，，时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以的最小值为，所以，
所以的取值范围为．
【解析】利用极值点与导数的联系，结合导数与单调性的关系即可求解；
将恒成立问题参变分离转化为，通过导数研究右侧函数最值即可求出实数的范围．
本题考查导数的综合应用．利用导数可以很好的求解函数的相关性质，恒成立问题常转化为函数最值问题，通过导数研究函数最值从而求出参数范围．
21.【答案】解：令，则关于的线性回归方程为，
，
由题意可得，
，
则，
所以，关于的回归方程为．
由可得，
年利润，
当时，年利润取得最大值，此时，
所以，当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值．
【解析】令，可得出关于的线性回归方程为，利用最小二乘法可求出、的值，即可得出关于的回归方程；
由可得，可计算出年利润关于的函数关系式，结合二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的值．
本题考查线性回归方程相关知识，属于中档题．
22.【答案】解：当时，，
则，
当，，函数在上单调递增，
当，，函数在上单调递减，
所以，
所以的零点个数为．
不等式，即为，
设，，则，
设，，
当时，，可得，则单调递增，
此时当，，而当时，，故不满足题意；
当时，由，单调递增，
当无限趋近时，无限趋近于负数，当无限趋近正无穷大时，无限趋近于正无穷大，故有唯一的零点，
即，则，，
当时，，可得，单调递减；
当时，，可得，单调递增，
所以
，
因为，可得，当且仅当时，等号成立，
所以，
因为恒成立，即恒成立，
令，，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，即
又由恒成立，
则，
所以．
【解析】求导得函数的单调性，即可由单调性求解最值，进而可判断，
将问题转化为，构造函数和，，利用导数求解函数的单调性，分类讨论并结合零点存在性定理即可求解．
本题考查函数的零点以及不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
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