2022-2023学年北京市房山区高二（下）期末数学试卷（Word含解析）

2022-2023学年北京市房山区高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在等差数列，，，中，第项是( )
A. B. C. D.
2. 已知数列的通项公式为，则其前项和( )
A. B. C. D.
3. 函数在上的平均变化率是( )
A. B. C. D.
4. 用数学归纳法证明，从到，左边需要增加的因式是( )
A. B. C. D.
5. 定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在区间上单调递减
C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极大值
6. 已知函数，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
7. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记若在上恒成立，则称在上为凸函数以下四个函数在上不是凸函数的是( )
A. B.
C. D.
8. 设函数，在的导函数存在，且，则当时( )
A. B.
C. D.
9. 设正项等比数列的公比为，且，则“为递减数列”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层上层地面的中心有一块圆形石板称为天心石，环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块下一层的第一环比上一层的最后环多块，向外每环依次也增加块已知每层环数相同，且上、中下三层共有扇面形石板不含天心石块，则中层共有扇面形石板( )
A. 块 B. 块 C. 块 D. 块
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
11. 已知数列为，，，，，则该数列的一个通项公式可以是______ ．
12. 已知函数，则 ______ ．
13. 函数，若，则 ______ ．
14. 在各项均为正数的等比数列中，若，则 ______ ．
15. 如图，将一张的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则小正方形的边长为______ 时，这个纸盒的容积最大，且最大容积是______ ．
16. 若数列满足，，则称该数列为斐波那契数列如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”记以为边长的正方形中的扇形面积为，数列的前项和为给出下列结论：
；
是奇数；
；
．
则所有正确结论的序号是______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
设数列是等差数列，记其前项和为从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ若数列满足，求数列的前项和．
条件：，；
条件：，．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18. 本小题分
设函数．
Ⅰ当时，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ设，若函数有三个不同零点，求的取值范围．
19. 本小题分
设函数在时取得极值．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若对于任意的，都有成立，求的取值范围．
20. 本小题分
已知数列的通项公式为，记该数列的前项和为．
Ⅰ计算，，，的值；
Ⅱ根据计算结果，猜想的表达式，并进行证明．
21. 本小题分
已知函数．
若，证明：当时，；
若在只有一个零点，求．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：在等差数列，，，中，
，，
，
第项为．
故选：．
先求出等差数列，，，的首项和公差，从而求出，由此能求出这个等差数列的第项．
本题考查等差数列的第项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：数列的通项公式为，
，又，
数列是以首项为，公比为的等比数列，
该数列的前项和．
故选：．
根据等比数列的求和公式，即可求解．
本题考查等比数列的求和公式的应用，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：在上的平均变化率是：．
故选：．
根据已知条件，结合平均变化率的定义，即可求解．
本题主要考查平均变化率的求解，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：用数学归纳法证明，
时，左侧，
时，左侧，
从到时左边需增乘的代数式是．
故选：．
写出与时左边的代数式，化简即可得出．
本题考查了数学归纳法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：在区间上，故函数在区间上单调递增，故A正确；
在区间上，故函数在区间上单调递增，故B错误；
当时，，可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故C错误；
当时，，单调递减；当时，，单调递增，故函数在处取得极小值，故D错误，
故选：．
根据函数的单调性和导数值的正负的关系，可判断、；根据函数的极值点和导数的关系可判断、的结论．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，则恒成立，
所以在上单的递增，
因为，
所以．
故选：．
对求导，利用导数判断函数的单调性，从而可得结论．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，，
时，恒成立，该函数是凸函数；
B.，
时，恒成立，该函数是凸函数；
C.，，
时，恒成立，该函数是凸函数；
D.，，
时，恒成立，该函数不是凸函数．
故选：．
求每个选项的函数的二阶导数，判断该导数在上是否恒小于，恒小于时为凸函数，否则不是．
本题考查了凸函数的定义，基本初等函数的求导公式，二阶导数的求法，考查了计算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：设，则，
所以在上单调递减，
因为，
所以，即，
所以，，即选项C正确，D错误，
而选项A和无法判断．
故选：．
设，可得在上单调递减，从而有，再分析选项，即可．
本题考查导数的应用，构造新函数，借助单调性比较大小是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由正项等比数列的公比为，，且为递减数列，
可得，
即，
则，
故“为递减数列”是“”的充要条件．
故选：．
利用等比数列，递增数列的定义得到，从而等价于，即可得出结论．
本题考查等比数列的定义，递增数列的应用，充要条件的判定，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：记从中间向外每环扇面形石板数为，则是以为首项，为公差的等差数列，设每层有环，
则，，
由等差数列的性质可得，，也成等差数列，
所以，
所以，
，
所以中层共有扇面形石板块．
故选：．
由等差数列前项和的性质求解即可．
本题考查了等差数列在实际生活中的应用，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题．
11.【答案】答案不唯一
【解析】解：根据题意，数列为，，，，，即，，，，
则该数列的一个通项公式可以是．
故答案为：答案不唯一．
根据题意，分析与的关系，归纳可得答案．
本题考查数列的表示方法，涉及数列的通项公式，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：，
则，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合导数的求导法则，以及导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的求导法则，以及导数的几何意义，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：，
，解得．
故答案为：．
根据基本初等函数和复合函数的求导公式求导得出，然后根据即可得出的值．
本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
则，即，
等比数列均为正项数列，
．
故答案为：．
根据已知条件，
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设剪下的每个小正方形的边长为，则，
折叠后的无盖的长方体纸盒容积为：
，，
，，
，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
的最大值为．
故答案为：；．
设剪下的每个小正方形的边长为，则，从而可得折叠后的无盖的长方体纸盒容积为：，，再利用导数研究函数的单调性与最值，即可求解．
本题考查函数的实际应用，函数建模，导数的应用，函数思想，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析个命题的真假：
对于，由于，，则，，，，，，正确；
对于，数列的各项为：，，，，，，，，，，归纳可得：当或时，为奇数，当时，为偶数，
由于，故是奇数，正确；
对于，分析可得：，，，，，
则有，错误；
对于，，
，
，
，
故，
变形可得，正确．
故选：．
根据题意，结合“斐波那契数列”的特点，依次分析个命题的真假，综合可得答案．
本题考查数列的应用，注意“斐波那契数列”的特点，属于中档题．
17.【答案】解：Ⅰ数列是等差数列，记其前项和为，
若选条件：，，
则，解得，
；
若选条件：，，
则，解得，
；
Ⅱ数列满足，
若选条件，则由Ⅰ可得，
显然数列是以为首项，为公比的等比数列，
数列的前项和；
若选条件，则由Ⅰ可得，
显然数列是以为首项，为公比的等比数列，
数列的前项和．
【解析】Ⅰ根据所选条件，建立方程组，即可求数列出首项与公差，再通过等差数列的通项公式，即可得解；
Ⅱ根据所选条件，均可得数列为等比数列，再通过等比数列的求和公式，即可求解．
本题考查等差数列的通项公式，等比数列的求和公式，方程思想，化归转化思想，属中档题．
18.【答案】解：，
，
，
，，
所求切线方程为；
设，即有，
由，可得，
由的导数，
当或时，，递增；
当时，，递减．
即有在处取得极大值，且为；
在处取得极小值，且为，
由函数有三个不同零点，可得，
解得，
则的取值范围是
【解析】求出的导数，求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程；
由，可得，由，求得导数，单调区间和极值，由介于极值之间，解不等式即可得到所求范围．
本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数的零点的判断，注意运用导数求得极值，考查化简整理的圆能力，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ，
，
又在时取得极值，
，，经检验，满足题意，
；
Ⅱ由Ⅰ可得，
，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
在上的最大值为，
对于任意的，都有成立，
，
，
解得或，
的取值范围为．
【解析】Ⅰ根据题意可得，从而解得的值，最后再检验即可；
Ⅱ先根据Ⅰ易求得的最大值，从而将恒成立问题转化为最值，即得的不等式，最后解不等式，即可得解．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，恒成立问题的求解，方程思想，化归转化思想，属中档题．
20.【答案】解：Ⅰ数列的通项公式为，
，
，，
，
；
Ⅱ根据Ⅰ的计算结果猜想，证明如下：
，
．
【解析】Ⅰ先将数列的通项公式分母有理化，再分别计算，即可求解；
Ⅱ先猜想，再根据裂项求和法，即可证明．
本题考查裂项求和法的应用，归纳推理思想，属中档题．
21.【答案】证明：当时，函数，
则，
令，则，
令，得，
当时，，当时，，
，
在单调递增，，
解：在只有一个零点方程在只有一个根，
在只有一个根，
即函数与的图象在只有一个交点．
，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，
在只有一个零点时，．
【解析】本题考查了利用导数研究函数单调性，以及函数零点问题，考查了转化思想、数形结合思想，属于拔高题．
通过求导，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明；
分离参数可得在只有一个根，即函数与的图象在只有一个交点，即可求得．
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