2022-2023学年江西省九江市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省九江市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，则集合的子集个数为( )
A. B. C. D.
2. 已知命题：，，则的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 函数的零点所在区间是( )
A. B. C. D.
4. 函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
5. 中国古代数学著作九章算术中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾注：从第个月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱，第月入贯，全年按个月计共入贯”，则该人第月营收贯数为( )
A. B. C. D.
6. 设，，，则( )
A. B. C. D.
7. 已知函数，当时，恒有则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 北京时间年月日时分，经过约小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，已知声音的声强级单位：与声强单位：满足关系式：，若某人交谈时的声强级约为，且火箭发射时的声强与此人交谈时的声强的比值约为，则火箭发射时的声强级约为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
10. 已知幂函数，则( )
A.
B. 的定义域为
C.
D. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
11. 已知函数，则( )
A. 恰有个极值点 B. 在上单调递增
C. D. 的值域为
12. 提丢斯波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在年由德国的一位中学老师戴维提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一个经验公式来表示，即数列：，，，，，，，，，表示的是太阳系第颗行星与太阳的平均距离以天文单位为单位现将数列的各项乘以后再减得到数列，可以发现数列从第项起，每项是前一项的倍，则下列说法正确的是( )
A. 数列的通项公式为
B. 数列的第项为
C. 数列的前项和为
D. 数列的前项和
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数，则的图象在点处的切线的斜率为______ ．
14. 已知，，则的值为______ ．
15. 在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指的是直角三角形的斜边现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形，若其中一个三角形“弦”的长度为，则该矩形周长的最大值为______ ．
16. 长征五号运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是冯卡门外形原始卵形圆柱形，由两个半罩组成某学校航天兴趣小组制作的整流罩模型近似于一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为，且圆锥的高与圆柱高的比为：，则该模型体积的最大值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知等差数列的前项和为，．
求的通项公式；
记数列的前项和为，求．
18. 本小题分
已知定义在上的函数是偶函数．
求，的值；
求函数在其定义域上的最值．
19. 本小题分
已知集合，．
若，求及；
若““是““成立的______，求实数的取值范围．
从“充分不必要条件，必要不充分条件”中任选一个，填在上面横线上并进行作答注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20. 本小题分
已知函数．
求的极大值与极小值之差；
若函数在区间上恰有个零点，求的取值范围．
21. 本小题分
若数列满足，则称数列为“平方递推数列”已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数．
证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
设，，，求数列的前项和．
22. 本小题分
已知函数．
当时，证明：；
若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，则，
其子集为，，，．
故选：．
将集合确定下来，然后根据子集的定义确定子集．
本题考查子集的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据含有量词的命题的否定可知，的否定是：，．
故选：．
根据含有量词的命题的否定即可求解．
本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意得在上单调递增，
又，
的零点在区间，
故选：．
根据函数的单调性、零点存在性定理，即可得出答案．
本题考查函数零点的判定定理，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，函数，其定义域为，
有，为偶函数，排除、，
又由，故定义域上，，排除．
故选：．
根据题意，先分析的奇偶性，排除、，再分析的取值范围，排除，即可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性和单调性分析，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意，可将该人每个月的收入铜钱的贯数构成一个数列，
从第个月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱，
数列是一个等差数列，
设等差数列的公差为，前项和为，
则有，，
即，
整理，得，
解得，
该人第月营收贯数为．
故选：．
先根据题意将该人每个月的收入铜钱的贯数构成一个数列，进一步判断出数列是一个等差数列，设等差数列的公差为，前项和为，再根据题干已知条件列出关于与公差的方程组，解出与的值，最后根据等差数列的通项公式即可计算出的值，即该人第月营收贯数．
本题主要考查了等差数列的实际应用．考查了模型思想，方程思想，转化与化归思想，等差数列的通项公式及求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
6.【答案】
【解析】解：由题意可知，，，
又，
即，
所以．
故选：．
选取合适的中间数进行比较．
本题主要考查对数的大小比较，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：，
依题意可得在区间上单调递减，
则在区间上恒成立，
所以在区间上恒成立，
所以在区间上恒成立，
当时，取得最大值，
所以，
所以的取值范围是，
故选：．
根据题意可得在区间上恒成立，在区间上恒成立，只需，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：设人交谈时的声强为，根据题意得到火箭发射时的声强为，
而且，
所以得到，
故火箭发射时的声强约为，
将其代入中，
得，
故火箭发射时的声强级约为，
故选：．
由指数与对数的互化关系结合函数关系式计算即可．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，则有，A正确；
对于，，则有，B正确；
对于，，则有，C错误；
对于，，则D正确．
故选：．
根据题意，依次分析选项，由作差法比较不等式的大小，综合可得答案．
本题考查不等式的性质以及应用，涉及不等式大小的比较，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由幂函数，幂函数的定义可知，所以．
所以，其定义域为，故A错误，B正确．
由于为奇函数，所以，故C正确．
将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，故 D错误．
故选：．
由题意，利用幂函数的定义和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，
，
令，得，
当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
故恰有一个极小值点，无极大值点，A错误，B正确；
由在上单调递减，可知，C正确；
由于，而当趋近于时，趋近于，
故的值域为，D正确．
故选：．
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值，最值，值域，判断函数值的大小．
本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意，数列各项乘以后再减得到数列：，，，，，，，，，
故该数列从第项起构成首项为，公比为的等比数列，所以故A错误；
从而所以，故B错误；
数列的前项和为
，故C正确；
因为所以当时，，
当时，，
，
所以
，
所以，故D正确，
故选：．
由题意，数列：从第项起构成首项为，公比为的等比数列，所以，从而然后结合数列的前项和公式求解．
本题考查数列知识在天文中的实际应用，考查了分段数列求和及利用错位相减法求和，是中档题，解题时要合理运用等比数列的性质．
13.【答案】
【解析】解：由，得，
，即的图象在点处的切线的斜率为．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在时的导数值得答案．
本题考查导数的几何意义及应用，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，，
所以．
故答案为：．
由已知结合指数及对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数及对数的运算性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设矩形的一组邻边长为，，则该矩形的周长为，，
，
即，当且仅当时取等号，
所以，即该矩形周长的最大值为．
故答案为：．
设矩形的一组邻边长为，，则该矩形的周长为且，由基本不等式的结论可求的范围，进而可求．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：设圆锥与圆柱底面圆的半径为，又圆锥的母线长为，
圆锥的高为，圆柱的高为，，
该模型的体积
，
当且仅当，即时取得等号，
该模型的体积最大值为．
故答案为：．
设圆锥与圆柱底面圆的半径为，根据题意将该模型的体积表示为的函数，再由基本不等式求最值得答案．
本题考查函数思想，基本不等式的应用，属中档题．
17.【答案】解：设等差数列的公差为，
由，可得，
又，
解得，，
所以；
，
所以
．
【解析】设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求；
由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：是定义在上的偶函数，
，解得；
，由得，即，
；
由得，其定义域为，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得最小值；
当时，取得最大值．
【解析】利用偶函数的定义域关于原点对称，可得，解得，再由求得；
由得，其定义域为，利用二次函数的性质可求得函数在其定义域上的最值．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．
19.【答案】解：由已知得，，
当时，，
所以，
所以；
若选：“”是“”成立的充分不必要条件，则，
所以，
解得，
所以实数的取值范围是；
若选：因为“”是“”成立的必要不充分条件，所以，
所以，
解得，
所以实数的取值范围是．
【解析】根据集合的基本运算求解；
若选，则是的真子集，从而得到关于的不等式，求出的取值范围即可；若选，所以是的真子集，从而得到关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题主要考查了集合的基本运算，考查了充分条件和必要条件的定义，属于中档题．
20.【答案】解：由，得，
令，解得或．
当时，，可得的单调递增区间为，；
当时，，单调递减．
的极大值为，极小值为，
的极大值与极小值之差为；
由可知在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
且函数在上恰有个不同的零点，
，解得．
实数的取值范围为．
【解析】求出原函数的导函数，利用导数可得函数的单调性与极值，从而可得的极大值与极小值之差；
由可得在区间上的单调性，求出、、的值，结合题意可得关于的不等式组，求解得答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，是中档题．
21.【答案】证明：因为点在函数的图象上，
所以，
即，
即数列是“平方递推数列”，
又，
则 ，
对两边同时取对数得，
数列是以为首项、为公比的等比数列；
解：由知，
所以
．
【解析】由数列递推式可得，两边同时取对数得，得证；
结合等差数列及等比数列的求和公式求解即可．
本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了等差数列及等比数列的求和公式，属中档题．
22.【答案】解：证明：当时，，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值，
则，
又，
所以；
若关于的不等式恒成立，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增，
又，
此时关于的不等式不成立；
当时，
因为，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以函数单调递减，
又，，，
所以当时，，
故整数的最小值为．
【解析】由题意，将代入函数解析式中，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和最值，进而即可求解；
构造函数，将问题转化成关于的不等式恒成立，分别讨论当和这两种情况，结合导数的几何意义进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
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