2020-2021学年辽宁省沈阳市重点中学高二（下）期末数学试卷（Word含解析）

2020-2021学年辽宁省沈阳市重点中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，集合，则有( )
A. B. C. D.
2. 已知命题：，，则是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
3. 设：在上单调递增，：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知函数在时有极值为，则( )
A. B. 或 C. D.
5. 已知定义在上的函数，对任意实数有，若函数的图象关于直线对称，，则( )
A. B. C. D.
6. 已知数列的前项和为，，若存在两项，，使得，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7. 已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 设函数是奇函数的导函数，当时，，且，则使得成立的的取值范围( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列选项中正确的是( )
A. 不等式恒成立
B. 存在实数，使得不等式成立
C. 若，为正实数，则
D. 若正实数，满足，则
10. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是( )
A. B. 数列是等比数列
C. D. 数列是公差为的等差数列
11. 已知，下列说法正确的是( )
A. 在处的切线方程为
B. 单调递减区间为
C. 的极小值为
D. 方程有两个不同的解
12. ，表示不超过的最大整数十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”则下列命题中正确的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. 函数的值域为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知等差数列的前项和为，若，，则的通项公式为 ．
14. 关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______．
15. 已知函数，若对任意实数，总存在实数，使得，则实数的取值范围是______．
16. 已知在处取得极值，则的最小值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在是与的等差中项；是与的等比中项；数列的前项和为这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题．
已知是公差为的等差数列，其前项和为，_______．
求；
设；是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
18. 本小题分
某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从个试题中随机挑选出个进行作答，至少答对个才能通过初试已知甲、乙两人参加初试，在这个试题中甲能答对个，乙能答对每个试题的概率为，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响．
试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；
若答对一题得分，答错或不答得分，记乙答题的得分为，求的分布列及数学期望和方差．
19. 本小题分
在数列中，已知，且．
证明数列为等差数列，并求出的通项公式；
若，求数列的前项和．
20. 本小题分
已知函数．
Ⅰ讨论函数在定义域内的极值点的个数；
Ⅱ已知函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数的取值范围．
21. 本小题分
在创建“全国文明卫生城”过程中，某城市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查一位市民只能参加一次，通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分统计结果如表所示：．
组别
频数
由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这人得分的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，利用该正态分布，求；
在的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；
每次获赠的随机话费和对应的概率为：
赠送话费的金额单位：元
概率
现有市民甲参加此次问卷调查，记单位：元为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望．
附：参考数据与公式：，若，则；，．
22. 本小题分
已知函数在处的切线方程为．
求，值；
若恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
，．
故选：．
可求出集合，，然后交集和并集的运算即可．
本题考查了二次函数的定义域和值域，交集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】
【分析】
直接利用含有量词的命题的否定进行求解即可．
本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．
【解答】
解：因为命题：，，
则：，．
故选：．

3.【答案】
【解析】解：在内单调递增，
恒成立，即恒成立，
得，，
即，
：，
是的充分不必要条件．
故选：．
利用函数单调性和导数之间的关系，求出的取值范围，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用导数和单调性之间的关系求出的等价条件是解决本题的关键．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了导数求极值时的应用，注意函数要产生增减区间才可以．
求导，由题意列方程组及不等式，从而解出，的值．
【解答】
解：
由题意，
且．
解得，，；
故选A．

5.【答案】
【解析】解：由函数的图象关于直线对称，
所以函数的图象关于轴对称，
故为偶函数，
又，则，
故是周期为的偶函数，
所以．
故选：．
利用函数图象的变换，得到函数的图象关于轴对称，从而得到函数为偶函数，利用恒等式，可得是周期为的偶函数，由此求解即可．
本题考查了抽象函数的应用，函数奇偶性、对称性以及周期性的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：，可得，即，
时，，又，
相减可得，即，
是首项为，公比为的等比数列．
所以．
，即，
得，
所以，
当且仅当时取等号，即为，．
因为、取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则，
验证可得，当，时，取得最小值为．
故选：．
运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得求得，，运用基本不等式，检验等号成立的条件，即可得到所求最小值．
本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，考查基本不等式的运用，注意检验等号成立的条件，考查化简运算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由，得．
，，
当且仅当，即时等号成立，
则，
即，又，
的取值范围是．
故选：．
求出原函数的导函数，再由基本不等式求最值，可得的范围，进一步求解切线倾斜角的取值范围．
本题考查导数的几何意义及应用，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，设，
，
因为当时，，
所以当时，，单调递减，
又，
所以在区间上，，
由于此时，则，
在区间上，，
由于此时，则，
所以在，上，，
因为为奇函数，
所以在，上，，
若，则或，
解得或，
所以的取值范围为，
故选：．
设，，结合题意分析的单调性，又，进而可得，的解集，若，则或，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，不等式的解法，解题中需要一定的推理能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：，时，不等式恒成立，A错误；
B.存在实数，使得不等式成立，B正确；
C.若，为正实数，根据基本不等式可得出，C正确；
D.若正实数，满足，则得出，当且仅当时取等号，
，D正确．
故选：．
根据基本不等式成立的条件即可判断选项A错误；取，则可得出成立，从而判断选项B正确；根据基本不等式可判断C正确；根据基本不等式得出，然后即可判断D正确．
本题考查了基本不等式应用的前提条件和基本不等式的应用，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，，，，公比为整数．
解得．
，．
，数列是公比为的等比数列．
．
数列是公差为的等差数列．
综上可得：只有ABC正确．
故选：．
由，，，，公比为整数．解得，可得，，进而判断出结论．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查导数的综合应用，以及函数的单调性，最值，切线，属于中档题．
对求导，结合导数的几何意义，即可得到切线的斜率，再利用直线的点斜式，即可判断选项，根据已知条件，利用导数分析函数的单调性，极值，即可判断，选项，将方程解的个数转化为两个函数图像交点的个数，结合函数的单调性，即可求解．
【解答】
解：，
，
，，
的图像在点处的切线方程为，即，故A选项正确，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，即的极大值也是最大值为，故B选项正确，选项错误，
方程有两个不同的解，即为，函数与图像交点的个数，
函数在单调递增，且当趋近于正时，趋近于，且单调递减，
函数与图像交点的个数为个，故D选项错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识要点：取整问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
直接利用取整问题的应用判断、、、的结论．
【解答】
解：，表示不超过的最大整数．
对于：，，故A错误；
对于：由于，，所以恒成立，故B错误；
对于：，，，，
所以，
当时，，此时，
当时，，此时，
所以，，，故C正确
对于：函数的值域为，故D正确．
故选：．

13.【答案】
【解析】
【分析】
利用等差数列通项公式、前项和公式列方程，能求出结果．
本题考查等差数列的基本运算，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，是基础题．
【解答】
解：依题意，，解得，
，
，
故数列的公差．
故答案为：．

14.【答案】
【解析】解：关于的不等式的解集为，
，，，
不等式可化为：，
又，，，
解得：，
故答案为．
根据不等式的解集为，推出，，，代入后面不等式可解得．
本题考查了一元二次不等式的解法，属中档题．
15.【答案】
【解析】解：当时，
对任意实数，总存在实数，使得，
，
解得，；
当时，，
解得，，
综上所述，实数的取值范围是，
故答案为：．
根据二次函数的最小值分类讨论，从而解得．
本题考查了分段函数的应用及二次函数的性质的应用．
16.【答案】
【解析】解：由，，
得，
由题意得，则，
所以
，
当且仅当，，即，时，等号成立，
故的最小值为，
故答案为：．
求出函数的导数，得到，根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．
本题考查了导数的应用，考查基本不等式的性质以及转化思想，是中档题．
17.【答案】解：是公差为的等差数列，
若选是与的等差中项，可得，
即有，即为，解得；
若是与的等比中项，可得，即，
即，
解得；
若选数列的前项和为，可得，
即，
解得；
综上可得，；
，
由，
当，时，可得，即；
当，时，可得，即，
则的最大项为，
由，
可得不存在，使得．
【解析】可设公差为，运用等差数列和等比数列的中项性质，以及等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；
求得，计算，可得的大小关系，求得的最大项，与比较，即可判断存在性．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的单调性的判断和运用，同时考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．
18.【答案】解：甲在个试题中甲能答对个，
甲通过自主招生初试的概率，
又乙能答对每个试题的概率为，
乙通过自主招生初试的概率，
，
甲通过自主招生初试的可能性更大．
由题意可知，乙答对题的个数的可能取值为，，，，，，
且，
故的分布列为：


，
．
【解析】根据已知条件，分别利用超几何概型和二项分布计算甲，乙通过自主招生初试的概率，即可求解．
由题意可知，乙答对题的个数的可能取值为，，，，，，分别求出对应的概率，又，即可得的分布列，再结合期望和方差公式，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及需要学生熟练掌握期望和方差公式，属于中档题．
19.【答案】证明：，
两边同除以，得，，
数列为等差数列，首项为，公差为．
，
解得：．
解：，
数列的前项和
．
【解析】由，两边同除以，即可证明结论．再利用通项公式即可得出．
，利用裂项求和方法即可得出．
本题考查了等差数列的定义与通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：Ⅰ，
，分
当时，在上恒成立，函数在单调递减，
在上没有极值点；分
当时，得，得，
在上递减，在上递增，即在处有极小值．分
当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．
Ⅱ函数在处取得极值，
，
，分
令，则，
由得，，由得，，
在上递减，在上递增，分
，即分
【解析】Ⅰ由可求得，对分与讨论的符号，从而确定在其定义域单调性与极值，可得答案；
Ⅱ函数在处取得极值，可求得，于是有，构造函数，即为所求的的值．
本题考查利用导数研究函数的极值，考查恒成立问题，着重考查分类讨论思想与构造函数思想的应用，体现综合分析问题与解决问题能力，属于难题．
21.【答案】解：．
故，易知．
．
又．
故．
由题意一位市民得分高于或低于的概率各为该市民参与活动获赠话费的可能取值为，，，，．
；；；；．
故的分布列为：
所以．
故该市民参与活动获赠话费的数学期望为元．
【解析】本题考查了频率直方图的识图，正态分布的性质及应用，同时也考查了一般情况下分布列的求法，属于中档题．
先算出每个区间上的频率，然后套公式求出的值．最后根据正态分布密度曲线的性质求解即可．
显然得分超过与不超过的概率各占，根据题意可知，所得话费分别为元、元、元、元、元，然后分别算出它们的概率，即可得到分布列，求出期望．
22.【答案】解：，
函数在处的切线方程为，
，
，；
由得，，即，令，则，
令，易知在上递增，
又，故在上存在零点，即，即，
由于在上单调递增，故，即，
且在上递减，在上递增，
，
．
【解析】求导后，根据已知条件建立关于，的方程组，解出即可；
转化可得，令，接下来只需利用导数求得的最小值即可．
本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性，最值等，考查不等式的恒成立问题，考查推理能力及运算能力，属于中档题．
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