2022-2023学年宁夏银川六中高二（下）期末数学试卷（文科）（Word含解析）

2022-2023学年宁夏银川六中高二（下）期末数学试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 点的极坐标为( )
A. B. C. D.
2. 在极坐标系中，已知两点，，则线段的长为( )
A. B. C. D.
3. 在极坐标系中，圆心在且过极点的圆的方程为( )
A. B. C. D.
4. 在同一平面直角坐标系中，将曲线按伸缩变换变换为( )
A. B. C. D.
5. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是( )
A. B.
C. D.
6. 直线为参数的倾斜角是( )
A. B. C. D.
7. 已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为，为参数，则直线与圆的位置关系是( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
8. 在极坐标系中，点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
9. 参数方程为参数表示的曲线是( )
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆
10. 函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
11. 设，是定义域为的恒大于零的可导函数，且，则当时，下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
12. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数，则 ______ ．
14. 在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，则的最大值为______ ．
15. 已知为坐标原点，点在圆：上运动，则线段的中点的轨迹方程为______ ．
16. 函数在区间上的最大值是______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在直角坐标系中，已知曲线：为参数，，在极坐标系中，曲线是以为圆心且过极点的圆．
分别写出曲线普通方程和曲线的极坐标方程；
直线：与曲线、分别交于、两点异于极点，求．
18. 本小题分
在平面直角坐标系中，曲线：所对应的图形经过伸缩变换得到图形．
写出曲线的平面直角坐标方程；
点在曲线上，求点到直线：的距离的最小值及此时点的坐标．
19. 本小题分
平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，直线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
求曲线的极坐标方程；
若直线与曲线交于，两点，求的值．
20. 本小题分
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
设点，若直线与曲线相交于，两点，求的值．
21. 本小题分
已知函数，，，函数在处与直线相切．
求实数，的值；
判断函数在上的单调性．
22. 本小题分
已知函数在处取得极小值，
求实数的值；
若在区间内存在，使不等式成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，设点的极坐标，
则，，，则，
则点的极坐标为；
故选：．
根据题意，设点极坐标，求出的值，又由，，求出的值，分析可得答案．
本题考查极坐标系下点的坐标，注意极坐标系的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：在极坐标系中，两点，都在射线上，
线段的长度为．
故选：．
由已知直接利用零点的极径差得答案．
本题考查简单曲线的极坐标方程，训练了极坐标系内两点间距离的求法，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：在极坐标系中，圆心在且过极点的圆的直角坐标方程是：
，即，
它的极坐标方程为：．
故选：．
先在直角坐标系下求出圆心在且过极点的圆的直角坐标方程，再利用直角坐标与极坐标的互化公式化成极坐标方程即可．
本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了伸缩变换，理解其变形方法是解决问题的关键．
把伸缩变换的式子变为用，表示，，再代入原方程即可求出．
【解答】
解：伸缩变换，
，，
代入，可得，即．
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的导数与函数的图象的关系，判断函数的单调性以及函数的极值点是解题的关键，属于基础题．
利用导函数的图象，判断导函数的符号，得到函数的单调性以及函数的极值点，然后判断选项即可．
【解答】
解：由题意可知：当，或时，，
则函数在，上是增函数；
时，，所以函数在是减函数，
所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，
所以函数的图象只能是．
故选C．

6.【答案】
【解析】解：直线为参数，
消去参数，可得，
即直线的斜率为，
设直线为参数的倾斜角是，，
则，解得．
故选：．
根据已知条件，消去参数，可得，再结合斜率与倾斜角的关系，即可求解．
本题主要考查直线的参数方程，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由线的极坐标方程为，可得直线的直角坐标方程为：．
圆的参数方程为为，为参数，可得圆的直角坐标方程为：．
圆心，半径为：．
所以圆心到直线的距离，
所以直线与圆相交．
故选：．
利用极坐标与直角坐标的互化，求出直线的直角坐标方程与圆的直角坐标方程，求得圆心到直线的距离可得结论．
本题考查参数方程与极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：，
，
，，
，
对应点的坐标为，
点到直线 的距离为．
故选：．
根据已知条件，结合极坐标公式，以及点到直线的距离公式，即可求解．
本题主要考查点到直线的距离公式，考查转化能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：由题可知：，故此参数方程为双曲线．
故选：．
消去参数得到直角坐标方程即可确定曲线的形状．
本题考查参数方程与直角坐标方程的转化，曲线的方程与方程的曲线等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．
10.【答案】
【解析】解：函数，
，
令，解得；
当时，，是单调增函数，
的单调增区间是．
故选：．
求函数的导数，利用导数求出的单调增区间．
本题考查了利用函数的导数判断单调性问题，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：由题意构造函数
则其导函数，
故函数为上单调递减的函数，
，，
即，
又，是定义域为的恒大于零的可导函数，
对式子的后半部分两边同乘以可得．
故选：．
构造函数，求导可判函数为上单调递减的函数，结合可得，由题意结合选项分析，可得答案．
本题考查构造函数证明不等式，涉及商的导数，属基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为有两个不同的极值点，
所以在上有个不同的零点，且零点两侧异号，
所以在有个不同的实数根，，且根据二次函数的性质可知这两根的两侧函数值异号，
所以，解得．
故选：．
计算，再将问题转化为在有个不同的两侧异号的实数根，从而利用二次函数的根的分布即可得解．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，
则，
故．
故答案为：．
先对求导，再将代入导函数，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】
【分析】
先根据椭圆方程设出，，表示出利用两角和公式化简整理后，根据正弦函数的性质求得的最大值．
本题主要考查了椭圆的简单性质及参数方程的问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
【解答】
设，
，
最大值为
故答案为：
15.【答案】
【解析】解：设点，点，
则，所以，
因为点在圆：上，
所以，
所以，
所以点的轨迹方程为，
即．
故答案为：．
设出中点坐标，圆上的点，由中点坐标公式把的坐标用的坐标表示，代入圆的方程得答案．
本题考查轨迹方程的求解，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：，令，解得，
故函数在是严格减函数，在严格增函数，
所以．
故答案为：．
求导得到导函数，再计算单调区间计算最值得到答案．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与最值，属基础题．
17.【答案】解：因为曲线是以为圆心的圆，且过极点，所以圆心为，半径为，
故C的直角坐标方程为：，
即，将代入可得：圆的极坐标方程为．
由曲线：为参数，，消去参数，得；
所以曲线的直角坐标方程为．
因为曲线的直角坐标方程为即，
将代入化简可得的极坐标方程为：，
所以的极坐标方程为；的极坐标方程为；
因为、是直线与曲线、的两个交点，
不妨设，
由得：，：，
所以，从而．
【解析】直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用极径的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：由得到，代入到中，得．
即为曲线的直角坐标方程；
设，则点到直线的距离为，
其中，
当时，即，
于是，
同理，此时，即距离最小值为，此时点．
【解析】通过得到，然后带回到曲线的方程即可；
利用三角换元设出曲线上的点，然后利用点到直线的距离公式求解．
本题主要考查参数方程的应用，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：因为曲线的参数方程为为参数，
所以曲线的普通方程为，即，
由可得曲线的极坐标方程为．
因为直线的方程为，所以直线的极坐标方程为，
设，，将代入可得，
因为，所以，，
所以．
【解析】首先消去参数得到曲线的普通方程，再根据，得到曲线的极坐标方程；
首先求出直线的极坐标方程，设，，将代入曲线的极坐标方程，利用韦达定理计算可得．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．
20.【答案】解：由为参数，消去参数，可得．
即直线的普通方程为．
由，得，
又，，，
曲线的直角坐标方程为；
直线的标准参数方程为，代入，
得．
，，
则．
【解析】直接把参数方程中的参数消去，可得直线的普通方程；把两边同时乘以，结合极坐标与直角坐标的互化公式，可得曲线的直角坐标方程；
写出直线参数方程的标准形式，代入曲线的直角坐标方程，由参数的几何意义及根与系数的关系求解．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：，
由题意，解得；
由，
，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减．
函数的增区间是，减区间是．
【解析】利用导数的几何意义，列出方程组，即可解出，的值；
先求出导函数，再根据导函数的正负即可得到函数的单调区间．
本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性，是中档题．
22.【答案】解：函数的定义域为，函数的导数，
若在处取得极小值，
则，得．
，，
若在区间内存在，使不等式成立，
即成立，
设，
成立等价为，
函数的导数，
由得，得，此时函数为增函数
由得，得，此时函数为减函数，
即当时，取得极小值同时也是最小值，
即，
即，
即实数的取值范围是．
【解析】求函数的导数，结合函数极值和导数之间的关系建立方程进行求解即可．
利用参数分离法，构造函数转化为求即可．
本题主要考查导数的应用，结合函数极值和导数之间的关系进行转化，以及构造函数，利用参法分离法转化为最值是解决本题的关键．
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