(共25张PPT)
21.1一元二次方程
人教版九年级上册
教材分析
一元二次方程的概念，与得出一元一次方程的概念过程类似，教材先给出计算满足条件的正方形面积、计算满足条件的参赛队数等实际问题，用方程的思想建立数学模型，通过观察方程的特点，归纳、总结得到一元二次方程的概念。根据一元二次方程的概念，教材给出其一般形式为：ax2+bx+c=0（a≠0），其中二次项系数、一次项系数、常数项分别为：a、b、c，需注意二次项系数不能为0的原因及系数前的符号问题。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：通过一元一次方程的概念，类比得出一元二次方程的概念。
教学目标
1.理解一元二次方程的概念，根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.
2.灵活应用一元二次方程概念解决有关问题.
3.理解一元二次方程解（根）的概念，并能解决相关问题.
新知导入
设计一座2m高的人体雕像，雕像上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高？
A
C
B
2m
雕像上部的高度AC，下部的高度BC的关系：
设雕像下部高 x m，于是得方程：
x2=2(2–x)
整理得：x2＋2x–4=0 ①
AC:BC=BC:2
即BC2=2AC
跟我们学过的一次方程一样吗？
新知讲解
问题1：如图，有一块矩形铁皮， 长100cm，宽50cm，在它的四角去四各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒；如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
x
100cm
50cm
新知讲解
(100–2x)(50–2x)=3600
整理得：4x2–300x+1400=0
化简得：x2–75x+350=0 ②
设切去的正方形的边长为xcm ，则盒底的长为(100–2x)cm，宽为(50–2x)cm ，根据方盒的底面积为3600cm2，得：
方程②中未知数的个数？最高次数？
新知讲解
问题2: 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
新知讲解
分析:全部比赛共 4×7=28场
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 个队各赛一场。
-1）=28
整理，得
化简，得 6 ③
(x-1)
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，即全部比赛共_____________场
-1）
方程③中未知数的个数？最高次数？
x2–75x+350=0 ②
6 ③
新知讲解
观察下列各方程有什么共同点？
x2＋2x–4=0 ①
讨论：观察上述方程，它们与一元一次方程、二元一次方程、分式方程分别有什么不同点？
总结：
（１）这些方程的两边都是______，
（２）方程中只含有____未知数，未知数的最高次数是___.
（3）这些方程是__________________
一元二次方程
整式
一个
2
ax 2 + bx + c = 0（a≠0）
新知讲解
一元二次方程组概念：只含有_______未知数（元），
并且未知数最高次数是_____，
等号两边都是________，
这样的方程叫一元二次方程。
一个
2
整式
一元二次方程的一般形式为____________________________________________。
二次项
一次项
常数项
二次项系数
一次项系数
为什么a≠0
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
典例精析
例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
解：去括号，得
3x2–3x=5x+10
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2–8x–10=0.
二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10．
小试牛刀
1.判断下列方程是否为一元二次方程？
(1)x2+x=36 (2)x3+x2=36 (3)x+3y=36
(4)x2=0 (5)4x2=9 (6)(x+2)2=(x-1)2
√
√
×
×
√
×
要进行去化简
课堂练习
1．下列方程中，一元二次方程有（ ）
①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式:
(1)一个长方形的宽比长少3,面积是75,求长方形的长x;
(2)两个连续偶数的积为168,求较大的偶数x;
(3)一个直角三角形的两条直角边的长的和是20,面积是25,求其中一条直角边的长x.
x2-3x-75=0
x2-2x-168=0
x2-20x+50=0
B
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
3.若一元二次方程2x2+(2k+1)x-(4k-1)=0的二次项系数、一次项系数、常数项的和是0,则k=___.
4.方程2x2=-8化成一般形式后，二次项系数为___，一次项系数为___,常数项为_____.
2
2
0
8
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
5.若x=2是方程x2-4mx+2m2=0的一个根，求代数式3（m-2）2-1的值.
【知识技能类作业】选做题：
解：依题意得：22-4m×2+2m2=0，
整理得：（m-2）2=3，
所以3（m-2）2-1=3×32-1=26，
即3（m-2）2-1=26．
课堂练习
6．若关于x的方程（k+3）x2－kx＋1＝0是一元二次方程，求k的取值范围。
解：∵方程（k+3）x2－kx＋1＝0是一元二次方程，
∴ k+3≠0
∴ k≠-3
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
7．已知关于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0，问：
（1）k为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
解：（1）∵是关于x的一元一次方程，
∴，解得
（2）∵是关于x的一元二次方程，
∴即，
∴这个一元二次方程的二次项系数为2k+1，一次项系数为，常数项为k-1
【综合拓展类作业】
课堂总结
一元二次方程
概念
是整式方程；
含一个未知数；（一元）
最高次数是2.（二次）
一般形式
ax2+bx+c=0 (a ≠0)
其中(a≠0)是一元二次方程的必要
条件；
解（根）
使方程左右两边相等的未知数的值.
定义
判断
等号两边都是整式，只含一个未知数且未知数的最高次数是2的方程
板书设计
1.一元二次方程概念：
2.一元二次方程的一般形式：
21.1一元二次方程
3.一元二次方程的根
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1. 若x=1是方程 x2-2x+a=0 的根，则 a= ____________．
2. 关于x的方程（2a－4）x2－2x+a=0,
1）在什么条件下此方程为一元二次方程？
2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
1
解：(1)由题意得：2a-4≠0，即a≠2时，方程为一元二次方程
(2)当2a-4=0，即a=2时，方程为一元一次方程
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3. a为何值时，方程(a-1)x︱a︱+1-2x-7=0为一元二次方程？
4. 若a是一元二次方程x2+2x-3=0的一个根，则2a2+4a的值是___________．
解：依题意，（a-1)2x-7=0为一元二次方程时
应满足：|a|+1=2，且a-1≠0
∵|a|+1=2 ∴|a|=1 即a=±1
又∵a≠1 ∴a=-1
即当a等于-1时，为一元二次方程
6
作业布置
【综合拓展类作业】
5.（1）当m为何值时，关于x的方程(m2-1) x2+mx-2=0是一元二次方程？
（2）已知关于x的一元二次方程(m2-1) x2+mx-3-m=0有一个根是0，求m的值．
（3）在第（2）题中，如果要使已知方程有一个根是1，那么m应该等于什么数？
作业布置
【综合拓展类作业】
解: （1）当m2-1≠0，即m≠±1时，方程是一元二次方程。
（2）由题意得：-3-m=0，即m=-3
(3)当x=1得：m2-1+m-3-m=0
解得：m=±2
谢谢
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分课时教学设计
第一课时《一元二次方程》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 一元二次方程的概念，与得出一元一次方程的概念过程类似，教材先给出计算满足条件的正方形面积、计算满足条件的参赛队数等实际问题，用方程的思想建立数学模型，通过观察方程的特点，归纳、总结得到一元二次方程的概念。根据一元二次方程的概念，教材给出其一般形式为：ax2+bx+c=0（a≠0），其中二次项系数、一次项系数、常数项分别为：a、b、c，需注意二次项系数不能为0的原因及系数前的符号问题。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：通过一元一次方程的概念，类比得出一元二次方程的概念。
学习者分析 九年级学生的逻辑推理、逻辑思维能力、计算能力等能力较强，绝大部分学生上课能全神贯注，积极投入到学习中去，加强课堂教学方式的管理,把课堂时间还给学生，把学习的主动权还给学生，激发学习的热情。在教师的指导下让学生独立思考、自主学习，在自主探究与合作交流中得出一元二次方程的概念、一般形式等相关知识。教学中教师直面学生的疑问，显化学生的疑问，采用启发式、类比法、探究式的教学方法，借助多媒体辅助教学。培养建模思想，进一步提升数学符号语言的应用能力，指导学生通过观察、分析、归纳、概括，启发学生释疑，不断增强学生的自信及发展学生的能力。
教学目标 1）通过一元一次方程的概念，探索归纳一元二次方程的概念，提高学生类比、归纳、总结的能力； 2）掌握一元二次方程的一般形式，正确识别一般形式中的二次项及其系数、一次项及其系数、常数项。
教学重点 一元一次方程与一元二次方程的相同点与不同点；
教学难点 正确识别一般形式中的二次项及其系数、一次项及其系数、常数项。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 出示问题： 设计一座2m高的人体雕像，雕像上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高？ 跟我们学过的一次方程一样吗？ 学生活动1： 雕像上部的高度AC，下部的高度BC的关系： AC:BC=BC:2 即BC2=2AC 设雕像下部高 x m，于是得方程： x2=2(2–x) 整理得：x2＋2x–4=0 ① 学生观察方程，得出答案活动意图说明： 通过问题引入课题，引起学生的探究欲望和学习兴趣，激发学生的学习热情。 环节二：新知探究教师活动2： 【问题1】有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600 c（蓝色部分）,那么铁皮各角应切去多大的正方形 【问题2】要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛 学生活动2： 学生思考，独立完成活动意图说明：利用现实生活中实例，让学生通过观察思考，感受列方程并化简的过程，体会生活中处处有数学，引起学生的探究欲望和学习兴趣，从而引出本节课所学内容环节三：问题引领教师活动3： 追问1：观察下列各方程有什么共同点？ x2＋2x–4=0 ① x2–75x+350=0 ② 6 ③ 讨论：观察上述方程，它们与一元一次方程、二元一次方程、分式方程分别有什么不同点？ 总结： （１）这些方程的两边都是______， （２）方程中只含有____未知数，未知数的最高次数是___. （3）这些方程是__________________ 一元二次方程的概念 只含有一个未知数，未知数最高次数是2，等号两边都是整式，这类方程应该叫一元二次方程。 一元二次方程的一般形式为： 根据一元一次方程的解的概念，尝试总结一元二次方程的解的概念。 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。学生活动3： 教师引导学生共同归纳： ①等号两边都是整式 ②只有一个未知数 ③未知数最高次数是2 先由学生尝试归纳总结，再由教师给出一元二次方程的概念 先由学生回答，老师帮助引导与完善，再由教师给出一元二次方程的解的概念活动意图说明：让学生经历合作探究过程，通过观察、发现、归纳，结合一元一次方程的概念概括一元二次方程的概念，培养学生抽象概括的能力。环节四：典例分析教师活动4： 例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． 学生活动4： 先由学生独立思考，再由学生口述解题过程，教师板演。这个过程中教师需强调判断二次项系数、一次项系数、常数项时需带上前面的符号。 答案： 解：去括号，得 3x2–3x=5x+10 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2–8x–10=0. 二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10． 活动意图说明：通过练习使学生理解一元二次方程的概念，通过一元二次方程的特点准确判定一元二次方程。让学生积极回答问题，调动课堂气氛，提高学生学习兴趣
板书设计 1.一元二次方程概念： 2.一元二次方程的一般形式： 3.一元二次方程的根
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列方程中，一元二次方程有（ ） ①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式: (1)一个长方形的宽比长少3,面积是75,求长方形的长x; (2)两个连续偶数的积为168,求较大的偶数x; (3)一个直角三角形的两条直角边的长的和是20,面积是25,求其中一条直角边的长x. 3.若一元二次方程2x2+(2k+1)x-(4k-1)=0的二次项系数、一次项系数、常数项的和是0,则k=___. 4.方程2x2=-8化成一般形式后，二次项系数为___，一次项系数为___,常数项为_____. 选做题： 5.若 是方程 的一个根，求代数式 的值． 6．若关于x的方程（k+3）x2－kx＋1＝0是一元二次方程，求k的取值范围。 【综合拓展类作业】 7.已知关于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0，问： （1）k为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 若是方程的根，则____________． 2. 关于x的方程（2a－4）x2－2x+a=0, 1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ 2）在什么条件下此方程为一元一次方程？ 选做题： 3. a为何值时，方程为一元二次方程？ 4. 若a是一元二次方程的一个根，则的值是___________． 【综合拓展类作业】 5.（1）当为何值时，关于的方程是一元二次方程？ （2）已知关于的一元二次方程有一个根是0，求的值． （3）在第（2）题中，如果要使已知方程有一个根是l，那么m应该等于什么数？
教学反思 本节课主要采用的是任务驱动教学方法.在创设的问题情境下。选择与当前学习主题密切相关任务(问题)作为学习的中心内容，让学生面临一个需要立即去解决的现实问题。本节课的学习任务单中，任务不应该是一个一个数学题，任务的解决应该是使学生更主动地激活原有知识和经验，来理解、分析并解决当前问题，问题的解决为新旧知识的衔接、拓展提供了理想的平台，通过问题的解决来建构知识。
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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第二十一章
课标要求 “数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论具有一般性.数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力推理能力和模型观念，发展几何直观和运算能力。本章的具体要求：能根据二元一次方程组的特征，选择代入消元法或加减消元法解二元一次方程组；理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等；会将一元二次方程根的情况与一元二次方程根的判别式相联系；了解一元二次的根与系数的关系；知道利用一元二次方程的根与系数的关系可以解决一些简单的问题；能根据具体问题的实际意义，检验方程解得合理性，建立模型观念。
内容分析 “一元二次方程”主题单元结构包括一元二次方程的概念、解法和一元二次方程的应用。第一节研究一元二次方程的概念及一般形式；第二节研究用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；第三节研究一元二次方程的应用。一元二次方程是在学习了一元一次方程、二元一次方程组等的基础上进一步学习，是对以前实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，它也是一种数学建模的方法，同时又是以后学习一元二次不等式、二次函数等知识的基础，是学好高中数学的基础。此外，学习一元二次方程对其他学科有重要意义，因此，它在初中数学中占有重要的地位。结合学生的实际水平，采用探索学习方式，以类比发现法为主，讨论法、练习法为辅的教学方法，教学中力求体现“问题情境一数学模型一求解一解释应用”的模式，借助多媒体辅助教学指导学生通过观察直观形象的演示,从具体的问题情境中抽象出数学问题，经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性的解决问题，有效的发挥学生的思维能力。
学情分析 九年级的学生，在讲本节课之前，已经系统的学习了一元一次方程及相关概念，学习了整式、分式和二次根式，从知识结构上看他们已经具备了继续探一元二次方程的基础。这个阶段的学生自主探究和合作交流的能力很强，并且他们比较、分析、抽象和概括的能力也有一定的提高。但是通过近一阶段的教学，也发现很多问题：解一元一次方程、整式乘法、移项、去分母、去括号、分解因式、合并同类项、乘法公式的应用都还存在一问题，在本章知识的教学中，要加强学生计算能力的培养，巩固以前所学的知识。
单元目标 （一）教学目标1、联系一元一次方程、方程组和函数的基本知识，继续探索实际问题中的数量关系及其变化规律，经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型。2、了解一元二次方程及其相关概念，理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法。3、理解配方法的意义，用直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程(数字系数)，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想。4、掌握根的判别式的有关应用，理解一元二次方程两根与系数的关系。5、能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题，解决问题的意识和能力。6、经历在具体情境中估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力。（二）教学重点、难点教学重点：一元二次方程的四种解法:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及一元二次方程的实际应用。教学难点：列一元二次方程解决实际问题和转化思想的灵活运用。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数21.1 一元二次方程121.2 解一元二次方程421.3实际问题与一元二次方程1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务21.1一元二次方程通过一元一次方程的概念，探索归纳一元二次方程的概念，提高学生类比、归纳、总结的能力; .掌握一元二次方程的一般形式，正确识别一般形式中的二次项及其系数、一次项及其系数、常数项。学生能够根据概念判断出一元二次方程；正确指出一般形式中的二次项及其系数、一次项及其系数、常数项任务1.出示问题：一元一次方程的概念，一元一次方程的形式任务2.出示四个问题来探究一元二次方程任务3.步步追问，得出一元二次方程的概念任务4.出示例题任务5.归纳总结21.2.1配方法1.通过平方根的意义，解形如x2=p(p≥0)的方程，再通过数学转化的思想，解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程；2.掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤；通过配方法将一元二次方程变形，让学生进一步体会转化的思想，增强他们的数学应用意识和能力，激发学生学习的兴趣。会利用直接开平方法解一元二次方程；掌握利用配方法解一元二次方程的步骤，正确解出一元二次方程；掌握转化思想在解题中的应用。任务1：由实际问题得出直接开平方法解一元二次方程；任务2：探究配方法解一元二次方程的步骤；任务3：通过例题进一步理解掌握因式分解法；21.2.2公式法1.会用公式法解一元二次方程；2.理解用根的判别式判别根的情况；3.通过推导求根公式的过程，加强推理能力的训练，进一步发展逻辑思维能力， 体验类比、转化、降次的数学思想。会利用公式法解一元二次方程；掌握用判别式判断根的情况；会推导求根公式。任务1：由配方法推导出根的判别式；任务2：得出一元二次方程的求根公式任务3：通过例题掌握用公式法解一元二次方程。21.2.3因式分解法1.利用因式分解法解一元二次方程；2.能根据一元二次方程的特征，灵活选择一元二次方程的解法；3.通过学生讨论解一元二次方程的方法，理 解对于某些特殊的一元二次方程，利用因式分解法解起来较为简单，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度。让学生再次体会“降次”的思想，从而培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。理解因式分解法解一元二次方程的原理，体会“降次”方法的优势；能判断什么情况用因式分解法解一元二次方程简便；会利用因式分解法准确求一元二次方程的解。任务1：探究解方程的方法任务2：思考一元二次方程是如何降次的，得出因式分解法任务3：通过例题掌握用因式分解法解一元二次方程。21.2.4一元二次方程根与系数的关系1.掌握一元二次方程根与系数的关系；2.利用一元二次方程根与系数的关系进行简单计算；3.通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，掌握由特殊一般-特殊的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神。学生掌握一元二次方程根与系数的关系；会利用一元二次方程根与系数的关系解方程。任务1：思考从因式分解法还原到一般式得出根与系数的关系任务2：用求根公式验证根与系数的关系任务3：通过例题会用根与系数的关系求两根的和与积。21.3实际问题与一元二次方程能够利用一元二次方程解决有关实际问题；能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题，解决问题的意识和能力学生能找出题目的等量关系列出方程，并能注意解的合理性，进行取舍。任务1.传播问题任务2.平均增长率问题任务3.几何面积问题
《第二十一章 一元二次方程》单元教学设计
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