3.1不等式的基本性质 讲义（含答案）

编号：012 课题:§3.1 不等式的基本性质
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、理解实数比较大小的基本事实．
2、理解并掌握不等式的基本性质．
3、不等式的基本性质的简单应用．
本节重点难点
重点：理解并掌握不等式的基本性质；
难点：不等式的基本性质的简单应用．
学科素养目标
在本章教材注重突出不等式的实际背景和实际运用，通过对背景的分析、概括和抽象，建立不等式模型，进而对不等式模型进行数学研究，最后再回到实际问题中．这里的展开过程与教材的其它章节是一致的，即按照数学研究的一般程序进行展开．（如图）
教材在研究一元二次不等式的图象解法时，首先提出这样的问题“一元二次不等式与相应的二次函数是否有内在的联系？” 这为学生的活动与发现提供了基础，也为研究不等式的解法指明了方向，即数形结合．教材在研究线性规划的求解方法时，也运用了数形结合的思想方法．
基础知识积累
1. 实数比较大小的基本事实
文字语言 符号表示
如果a＞b，那么a－b是______； 如果a＜b，那么a－b是______； 如果a＝b，那么a－b等于______ a＞b a－b____0 a＜b a－b____0 a＝b a－b____0
2.不等式的基本性质
别名 性质内容 注意
性质1 对称性 a>b b____a 可逆
性质2 传递性 a>b,b>c ____ 同向
性质3 可加性 a>b ________ 可逆
性质3 的推论 移项 法则 a+b>c a____c-b 可逆
性质4 可乘性 a>b,c>0 ac____bc a>b,c<0 _____ c的 符号
性质5 同向可加性 a>b,c>d ______ 同向
性质6 同向同 正可乘性 a>b>0,c>d>0 ______ 同向 同正
【课前小题演练】
题1. 若a，b，c∈R且aA．a＋c≤b－c B．c2≤0
C． D．ac题2．设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是( )
A．a－b>0 B．a3＋b3>0
C．a2－b2<0 D．a＋b<0
题3．不等式的解集是( )
A． B．
C． D．
题4．已知M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则M，N的大小关系是( )
A．M>N B．M≥N
C．M题5．下列命题中一定正确的是( )
A．若aB．若a>b，b≠0，则
C．若a>b，且a＋c>b＋d，则c>d
D．若a>b且ac>bd，则c>d
题6．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )
A．甲先到教室
B．乙先到教室
C．两人同时到教室
D．谁先到教室不确定
题7.“ ”的一个充分不必要条件是( )
A．x＞y B．x＞y＞0
C．x＜y D．y＜x＜0
题8（多选题）．已知a，b，c，m∈R，则下列推证中不正确的是( )
A．a>b am2>bm2
B． a>b
C．ac2>bc2 a>b
D．a2>b2，ab>0
题9（多选题）．如果a>b，给出下列不等式，其中一定成立的不等式是( )
A． B．a3>b3
C． D．2ac2≥2bc2
题10．已知0＜a＜1，则a，，a2的大小关系是________．
题11．下面解不等式的过程及理由对应正确的有________．(填序号)
求解不等式，并用不等式性质说明理由．
解：不等式两边同乘以4，得12－3x＞20. (不等式性质4) ①
两边同加上－12，得－3x＞8. (不等式性质3) ②
两边同乘以－ ，得x＜ . (不等式性质6) ③
题12．已知x，y均为正数，设，比较m和n的大小．
【课堂题组训练】
题13．设a，b∈R，当a＞b和同时成立时，a，b必须满足的条件是( )
A．b－a＜0 B．ab＜0
C．a＞b＞0 D．b＜0＜a
题14．若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④a2＞b2.其中正确的是(　　)
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
题15（多选题）．下列结论正确的是(　　)
A．不等式x－＞5的解集是
B．若x＜a＜0，则x2＞ax＞a2
C．已知a，b，m是正实数，则当a＜b时不等式＜成立
D．已知m＜0，则关于m的不等式m＜m的解集是
题16（多选题）．甲、乙两个项目组完成一项工程，甲项目组在做工程的前一半时间内用速率u工作，后一半用速率v工作；乙项目组在完成工程量的前一半中用速率u工作，在后一半用速率v工作，则(　　)
A．如果u＝v，则两个项目组同时完工
B．如果u＝v，则甲项目组先完工
C．如果u≠v，则甲项目组先完工
D．如果u≠v，则乙项目组先完工
题17．下列命题中的真命题是________(填序号).
①若a>b>0，则<；
②若a>b，则c－2a③若a<0，b>0，则<；
④若a>b，则2a>2b.
题18．某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：
产品种类 每件需要人员数 每件产值/万元
A类 7.5
B类 6
今制订计划欲使总产值最高，则应开发A类电子器件______件，能使总产值最高为________万元．
题19．设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
题20．若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤.
【综合突破拔高】
题21. 不等式＋＞1的解集为(　　)
A． B． C． D．
题22．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是(　　)
A．a－5>b－5 B．6a>6b C．－a>－b D．a－b>0
题23．a，b为非零实数，且a＜b，判断下列命题成立的是(　　)
A．a2＜b2 B．a2b＜ab2 C．＜ D．＜
题24．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是(　　)
A．ac－3>bc－3 B．a2＞b2
C．＞ D．a|c|＞b|c|
题25.如图，在一块长为22 m，宽为17 m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪的面积不小于300 m2.设道路宽为x m，根据题意可列出的不等式为(　　)
A．(22－x)(17－x)≤300 B．(22－x)(17－x)≥300
C．(22－x)(17－x)>300 D．(22－x)(17－x)<300
题26．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．c≥b>a B．a>c≥b C．c>b>a D．a>c>b
题27(多选题)．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题中正确的是(　　)
A．若ab<0，bc－ad>0，则－>0
B．若ab<0，－>0，则bc－ad<0
C．若bc－ad>0，－>0，则ab>0
D．若<<0，则<
题28(多选题)．已知x，y满足的解集为集合A，则下列命题为假命题的是(　　)
A． ∈A，4x＋2y<2 B． ∈A，4x＋2y<2
C． ∈A，4x＋2y<10 D． ∈A，4x＋2y>10
题29．已知－1题30．已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，那么P与Q的大小关系是________．
题31．比较(x＋2)(x＋3)和(x＋1)(x＋4)的大小．
题32．已知2编号：012 课题:§3.1 不等式的基本性质
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、理解实数比较大小的基本事实．
2、理解并掌握不等式的基本性质．
3、不等式的基本性质的简单应用．
本节重点难点
重点：理解并掌握不等式的基本性质；
难点：不等式的基本性质的简单应用．
学科素养目标
在本章教材注重突出不等式的实际背景和实际运用，通过对背景的分析、概括和抽象，建立不等式模型，进而对不等式模型进行数学研究，最后再回到实际问题中．这里的展开过程与教材的其它章节是一致的，即按照数学研究的一般程序进行展开．（如图）
教材在研究一元二次不等式的图象解法时，首先提出这样的问题“一元二次不等式与相应的二次函数是否有内在的联系？” 这为学生的活动与发现提供了基础，也为研究不等式的解法指明了方向，即数形结合．教材在研究线性规划的求解方法时，也运用了数形结合的思想方法．
基础知识积累
1. 实数比较大小的基本事实
文字语言 符号表示
如果a＞b，那么a－b是_正数_； 如果a＜b，那么a－b是_负数_； 如果a＝b，那么a－b等于_0_ a＞b a－b_＞_0 a＜b a－b_＜_0 a＝b a－b_＝_0
2.不等式的基本性质
别名 性质内容 注意
性质1 对称性 a>b b < a 可逆
性质2 传递性 a>b,b>c a>c 同向
性质3 可加性 a>b a+c>b+c 可逆
性质3 的推论 移项 法则 a+b>c a > c-b 可逆
性质4 可乘性 a>b,c>0 ac > bc a>b,c<0 ac性质5 同向可加性 a>b,c>d a+c>b+d 同向
性质6 同向同 正可乘性 a>b>0,c>d>0 ac>bd 同向 同正
【课前小题演练】
题1. 若a，b，c∈R且aA．a＋c≤b－c B．c2≤0
C． D．ac【解析】选B.因为a0时，a＋c≤b－c不一定成立，比如2＋4≤3－4不成立，故A不成立；对B：因为c2≥0，故可得ac2≤bc2，故B一定成立；对C：因为a－b<0，c2≥0，，故C不成立；对D：若c<0，ac>bc，故D不成立．
题2．设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是( )
A．a－b>0 B．a3＋b3>0
C．a2－b2<0 D．a＋b<0
【解析】选D.本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，排除A，B，C.
题3．不等式的解集是( )
A． B．
C． D．
【解析】选C.不等式两边同乘以4得，x≥4x＋2，两边同加上－4x得－3x≥2，两边同乘以 得.
题4．已知M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则M，N的大小关系是( )
A．M>N B．M≥N
C．M【解析】选A.M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3，
Δ＝4－12<0，所以a2－2a＋3>0，即M>N.
题5．下列命题中一定正确的是( )
A．若aB．若a>b，b≠0，则
C．若a>b，且a＋c>b＋d，则c>d
D．若a>b且ac>bd，则c>d
【解析】选A.对于A项，因为，所以，即，又a＜b，所以b－a＞0，所以ab<0；
对于B项，当a>0，b<0时，有<0<1，故B项错；
对于C项，当a＝10，b＝3时，虽有10＋1>3＋2，但1<2，故C项错；
对于D项，当a＝－1，b＝－2时，有(－1)×(－1)>(－2)×7，但－1<7，故D项错．
题6．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )
A．甲先到教室
B．乙先到教室
C．两人同时到教室
D．谁先到教室不确定
【解析】选B.设步行速度与跑步速度分别为v1，v2，则v1则甲用时间为，乙用时间为，则.
所以，故乙先到教室．
题7.“ ”的一个充分不必要条件是( )
A．x＞y B．x＞y＞0
C．x＜y D．y＜x＜0
【解析】选B.当x＞y＞0时，必有 ，
而或x＜y＜0.
所以x＞y＞0是 的充分不必要条件．
题8（多选题）．已知a，b，c，m∈R，则下列推证中不正确的是( )
A．a>b am2>bm2
B． a>b
C．ac2>bc2 a>b
D．a2>b2，ab>0
【解析】选ABD.A.m＝0时不成立．B.c<0时不成立．C.ac2>bc2，两边同除以c2，可得a>b，正确．D.由a2>b2，ab>0，取a＝－2，b＝－1，可，不成立．
题9（多选题）．如果a>b，给出下列不等式，其中一定成立的不等式是( )
A． B．a3>b3
C． D．2ac2≥2bc2
【解析】选BD.当a＝1，b＝－1 时，AC选项均不成立．对于选项B，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝，知a3>b3成立．
对于选项D, 2ac2－2bc2＝2c2(a－b)≥0，D正确．
题10．已知0＜a＜1，则a，，a2的大小关系是________．
【解析】因为，所以.又因为a－a2＝a(1－a)＞0，所以a＞a2，所以a2＜a＜.
答案：a2＜a＜
题11．下面解不等式的过程及理由对应正确的有________．(填序号)
求解不等式，并用不等式性质说明理由．
解：不等式两边同乘以4，得12－3x＞20. (不等式性质4) ①
两边同加上－12，得－3x＞8. (不等式性质3) ②
两边同乘以－ ，得x＜ . (不等式性质6) ③
【解析】根据解不等式的过程可知，步骤①②分别应用了不等式的性质4，3，正确；步骤③应用了不等式的性质4，不是性质6，错误．
答案：①②
题12．已知x，y均为正数，设，比较m和n的大小．
【解析】因为.
又x，y均为正数，
所以x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0.
所以m－n≥0，即m≥n(当x＝y时，等号成立).
【课堂题组训练】
题13．设a，b∈R，当a＞b和同时成立时，a，b必须满足的条件是( )
A．b－a＜0 B．ab＜0
C．a＞b＞0 D．b＜0＜a
【解析】选D.由，及b－a＜0知ab＜0，又a＞b，所以b＜0＜a.
题14．若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④a2＞b2.其中正确的是(　　)
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
【解析】选C.由＜＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0.
故有＜，即①正确；
②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.
故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；
③中，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，所以a－＞b－，故③正确；
④中，因为b＜a＜0，所以b2＞a2＞0，故④错误．由以上分析，知①③正确．
题15（多选题）．下列结论正确的是(　　)
A．不等式x－＞5的解集是
B．若x＜a＜0，则x2＞ax＞a2
C．已知a，b，m是正实数，则当a＜b时不等式＜成立
D．已知m＜0，则关于m的不等式m＜m的解集是
【解析】选BC.解不等式x－＞5得其解集为，A不正确；因为x2－ax＝x(x－a)＞0，所以x2＞ax，又ax－a2＝a(x－a)＞0，所以ax＞a2，所以x2＞ax＞a2，所以B正确；因为－＝ ，当a＞0，b＞0，m＞0，且 a＜b时，a＋m＞0，a－b＜0，所以＜0，C正确；根据不等式性质，不等式m＜m可以化为mx＜2m，因为m＜0，所以不等式解集为，D不正确．
题16（多选题）．甲、乙两个项目组完成一项工程，甲项目组在做工程的前一半时间内用速率u工作，后一半用速率v工作；乙项目组在完成工程量的前一半中用速率u工作，在后一半用速率v工作，则(　　)
A．如果u＝v，则两个项目组同时完工
B．如果u＝v，则甲项目组先完工
C．如果u≠v，则甲项目组先完工
D．如果u≠v，则乙项目组先完工
【解析】选AC.设总工程量为1，因为甲项目组在做工程的前一半时间内用速率u工作，后一半用速率v工作，所以u·＋v·＝1，所以t甲＝，因为乙项目组在完成工程量的前一半中用速率u工作，在后一半用速率v工作，所以t乙＝＋＝，
当u＝v时，t甲＝＝，t乙＝＝，所以t乙＝t甲，即甲、乙项目组同时完工；
当u≠v时，t甲＝，t乙＝，所以t甲－t乙＝－＝＝<0，所以t甲题17．下列命题中的真命题是________(填序号).
①若a>b>0，则<；
②若a>b，则c－2a③若a<0，b>0，则<；
④若a>b，则2a>2b.
【解析】①a>b>0 0<< <，故①正确；②a>b －2a<－2b c－2a答案：①②④
题18．某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：
产品种类 每件需要人员数 每件产值/万元
A类 7.5
B类 6
今制订计划欲使总产值最高，则应开发A类电子器件______件，能使总产值最高为________万元．
【解析】设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50－x)件，则＋≤20，解得x≤20.
由题意得总产值：y＝7.5x＋6＝300＋1.5x≤330 (万元)，
当且仅当x＝20 时，y取最大值330.
答案：20　330
题19．设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
【解析】因为5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
所以5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当x＝y＝且z＝1时取等号．
题20．若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤.
【证明】因为bc－ad≥0，
所以bc≥ad，
所以bc＋bd≥ad＋bd，
即b(c＋d)≥d(a＋b)，
又bd>0，两边同除以bd得，
≤.
【综合突破拔高】
题21. 不等式＋＞1的解集为(　　)
A． B． C． D．
【解析】选C.不等式两边同乘以6得，3x＋2(x－2)＞6，整理得，5x－4＞6，两边同加上4得，5x＞10，两边同乘以得，x＞2.
题22．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是(　　)
A．a－5>b－5 B．6a>6b C．－a>－b D．a－b>0
【解析】选C.由题图可知，实数b<0b－5，6a>6b，－a<－b，a－b>0，故关系式不成立的是选项C.
题23．a，b为非零实数，且a＜b，判断下列命题成立的是(　　)
A．a2＜b2 B．a2b＜ab2 C．＜ D．＜
【解析】选C.对于A，在a＜b中，当a＜0，b＜0时，a2＜b2不成立；对于B，当a＜0，b＞0时，a2b＞0，ab2＜0，a2b＜ab2不成立；对于C，因为a＜b，＞0，所以＜；对于D，当a＝－1，b＝1时，＝＝－1.
题24．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是(　　)
A．ac－3>bc－3 B．a2＞b2
C．＞ D．a|c|＞b|c|
【解析】选C.对A，c<0时，c－3<0，有ac－3对B，若a＝1，b＝－2，则a2＜b2，所以B不成立；
对C，因为c2＋1≥1，且a＞b，所以＞恒成立，所以C正确；
对D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，所以D不成立．
题25.如图，在一块长为22 m，宽为17 m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪的面积不小于300 m2.设道路宽为x m，根据题意可列出的不等式为(　　)
A．(22－x)(17－x)≤300 B．(22－x)(17－x)≥300
C．(22－x)(17－x)>300 D．(22－x)(17－x)<300
【解析】选B.把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，道路的宽为x m，草坪面积为(22－x)(17－x)，因为草坪的面积不小于300 m2，所以(22－x)(17－x)≥300.
题26．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．c≥b>a B．a>c≥b C．c>b>a D．a>c>b
【解析】选A.因为c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，
所以c≥b.又b＋c＝6－4a＋3a2，
所以2b＝2＋2a2，所以b＝a2＋1，
所以b－a＝a2－a＋1＝＋>0，所以b>a，所以c≥b>a.
题27(多选题)．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题中正确的是(　　)
A．若ab<0，bc－ad>0，则－>0
B．若ab<0，－>0，则bc－ad<0
C．若bc－ad>0，－>0，则ab>0
D．若<<0，则<
【解析】选BCD.对于A.因为ab<0，所以<0，又因为bc－ad>0，
所以－＝·(bc－ad)<0，即－<0，故A不正确；
对于B.因为ab<0，－>0，所以ab·<0，所以ab·(bc－ad)<0，即bc－ad<0，故B正确；
对于C.因为－>0，所以>0，又因为bc－ad>0，所以ab>0，故C正确；
对于D.由<<0，可知b0，所以<成立，故D正确．
题28(多选题)．已知x，y满足的解集为集合A，则下列命题为假命题的是(　　)
A． ∈A，4x＋2y<2 B． ∈A，4x＋2y<2
C． ∈A，4x＋2y<10 D． ∈A，4x＋2y>10
【解析】选ABD.令4x＋2y＝μ＋λ，则，解得故4x＋2y＝3＋，又1题29．已知－1【解析】因为－1答案：
题30．已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，那么P与Q的大小关系是________．
【解析】P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2a－2b－2c＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2.因为a，b，c不全相等，所以P－Q>0，所以P>Q.
答案：P>Q
题31．比较(x＋2)(x＋3)和(x＋1)(x＋4)的大小．
【解析】因为(x＋2)(x＋3)－(x＋1)(x＋4)＝x2＋5x＋6－(x2＋5x＋4)＝2>0，所以(x＋2)(x＋3)>(x＋1)(x＋4).
题32．已知2【解析】因为4<2a<6，－2- 0 -