《4 多边形的内角和与外角和》习题
一．填空题
1．若一凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是______．
2．五边形的内角和等于______度．
3．十边形的对角线有_____条．
4．正十五边形的每一个内角等于_______度．
5．内角和是1620°的多边形的边数是________．
6．用正n边形拼地板，则n的值可能是_______．
二．选择题
1．一个多边形的内角和是720°，则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
2．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．若正n边形的一个外角为60°，则n的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
4．下列角度中，不能成为多边形内角和的是（ ）
A．600° B．720° C．900° D．1080°
5．若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°，则此多边形是（ ）
A．八边形 B．十边形 C．十二边形 D．十四边形
6．用下列两种正多边形能拼地板的是（ ）
A．正三角形和正八边形 B．正方形和正八边形
C．正六边形和正八边形 D．正十边形和正八边形
《4 多边形的内角和与外角和》习题
解答题
1．一个多边形的每一个外角都等于45°，求这个多边形的内角和．
2．已知一个多边形的内角和是1440°，求这个多边形的对角线的条数．
3．一个多边形，除一个内角外，其余各内角之和等于1000°，求这个内角及多边形的边数．
4．一个多边形中，每个内角都相等，并且每个外角等于它的相邻内角的，求这个多边形的边数及内角和．
5．如图，一个六边形的六个内角都是120°，AB=1，BC=CD=3，DE=2，求该六边形的周长．
6．用正四边形和正边形拼地板，画出草图．
7．若两个多边形的边数之比是1：2，内角和度数之比为1：3，求这两个多边形的边数．
8．如果多边形恰有四个内角是钝角，那么多边形的边数共有几种可能？其中最多是几边形？最少是几边形？
9．已知四边形ABCD中，∠A：∠B=7：5，∠A－∠C=∠B，∠C=∠D－40°，求各内角的度数．
10．一个多边形除了一个内角等于α，其余角的和等于2750°，求这个多边形的边数及α．
《4 多边形的内角和与外角和》习题
一．填空题
1．如果一个多边形的内角和等于900°，那么这个多边形是_____边形．
2．一个正多边形的每个外角都等于30°，则这个多边形边数是______．
3．n边形的外角和与内角和的度数之比为2：7，则边数为_______．
4．从一个多边形的一个顶点出发，一共做了10条对角线，则这个多边形的内角和为_____度．
5．在四边形ABCD中，如果∠A：∠B：∠C：∠D=1：2：3：4，则∠D=______．
6．用正方形和正十二边形以及正_____边形可以拼地板．
二．选择题
1．用下列一种正多边形可以拼地板的是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形
2．多边形每一个内角都等于120°，则从此多边形一个顶点出发可引的对角线的条数是（ ）
A．5条 B．4条 C．3条 D．2条
3．若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和是2570°，则这个角是（ ）
A．90° B．15° C．120° D．130°
4．在多边形的内角中，锐角的个数不能多于（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．n边形的边数增加一倍，它的内角和增加（ ）
A．180° B．360° C．（n-2）·180° D．n·180°
《4 多边形的内角和与外角和》习题
解答题
1．六角螺母的一个面是正六边形，求它们每一个内角的度数．
2．一个多边形的每一个外角都等于72°，这个多边形是几边形？它的每个内角是多少度？
3．试用黑白两种相同的正三角形拼地板，请你设计两种效果图．
4．一个多边形的最大外角为85°，其他外角依次减少10°，求这个多边形的边数．
5．已知：如图，五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A=107°，∠B=121°，求∠C的度数．
6．已知一个多边形的内角和与外角和之比为9：2，求边数．
7．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，作出∠B和∠D的平分线，观察它们之间的关系，作出猜想并加以说明理由．
8．已知：过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，p边形有p条对条线，求（m-p）n．
9．一个正多边形的每一个内角比每一个外角的3倍还大20°，求这个正多边形的内角和．
10．如果用正三角形与正六边形拼地板，有几种可能的情形？试画出草图．
11．已知一个多边形的内角和与外角和的差为1440°，求这个多边形的边数．
12．已知足球是由黑色的正五边形和白色的正六边形组成的，若黑块有12块，即有12个正五边形，那么白色的正六边形共有几块．
课件2张PPT。1.正五边形 的每一个外角等于___，每一个内角等于_____ ．72108°2.如果一个正多边形的一个内角等于120°，则这个多边 形的边数是_____ ．6双基检测4.如果一个多边形的每一个外角等于30°，则这个多边形的边数是_____ ．A.12 B.9 C. 8 D.73.如果一个正多边形的一个内角等于150°，则这个多边形的边数是_____ ．A12课件18张PPT。多边形的角平分线由这图形你抽象出什么几何图形？四边形由这图形你抽象出什么几何图形？由这图形你抽象出什么几何图形？五边形六边形由这图形你抽象出什么几何图形？由这图形你抽象出什么几何图形？八边形三角形的定义： 在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接而成的图形． 在同一平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．……五边形六边形七边形 多边形按组成它的线段条数分成三角形、四边形、五边形……其中三角形是最简单的多边形． 如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形．内角对角线对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段．可表示为：五边形ABCDE或五边形AEDCB ．ABCDE外角1
探究2：多边形的相关概念顶点边n边形有_____个顶点，
_____条边，
_____个内角，
_____个外角，
_____条对角线．nnn2n？ 连结多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 请说出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数：从同一顶点引出的对角线的条数：123n－3分割出的三角形的个数：234n－201 n边形从一个顶点出发的对角线条数为： 条．（n≥3）n边形共有对角线 条．（n≥3）（n－3）（1）（2）ABCDEFGH你能说出这两幅图形的异同点吗？探究3 如图，画出四边形ABCD的任何一条边所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形． 四边形ABCD是凹四边形，因为画出边CD（或BC）所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧． 正方形的各个角都相等，各条边都相等．
像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．例如：正三角形正方形正五边形正六边形课件3张PPT。解法一：设这个多边形的边数为n，由题意得：
（n－2）× 180＝150× n
解之得 n＝ 12．
答：这个多边形的边数为12 ．已知一个多边形各个内角都相等，都等于150°，求这个多边形的边数．随堂练习：解法二：
每个内角相应的外角度数是：
180o- 150°=30o
360o÷30o=12
所以多边形的边数是12 ．正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形的内角分别是多少度？比一比看谁算得快60°90°108°120°《4 多边形的内角和与外角和》教案
第1课时
教学目标
知识与技能：
表述多边形的有关概念（内角、外角、对角线、凸多边形、凹多边形）；
情感态度价值观：
1、通过探索过程进一步体会知识点之间的联系；
2、通过本节的学习进一步体会数学与现实生活的紧密联系．
教学重难点
表述多边形的有关概念（内角、外角、对角线、凸多边形、凹多边形）．
教学过程
（一）引入
你能从图1中找出几个由一些线段围成的图形吗？
图1
（二）知识点
我们学过三角形，类似地，在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形（polygon）．
多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形．如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形．如图2，螺母底面的边缘可以设计为六边形，也可以设计为八边形．
图2
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．图3中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E是五边形ABCDE的5个内角．多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．图4中的∠1是五边形ABCDE的一个外角．
图3 图4 图5
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线（diagonal）．图5中，AC、AD是五边形ABCDE的两条对角线．
特别提醒：n边形（n≥3）从一个顶点可引出（n－3）条对角线，把n边形分割成（n－2）个三角形，共有对角线条．
例如：十边形有________条对角线．在这里n=10，就可套用对角线条数公式（条）．
图6
如图6（1），画出四边形ABCD的任何一条边（例如CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形．而图6（2）中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD（或BC）所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧．类似地，画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形．本节只讨论凸多边形．
我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等．像正方形那样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．图7是正多边形的一些例子．
图7
特别提醒：（1）正多边形必须两个条件同时具备：①各内角都相等；②各边都相等．例如：矩形各个内角都相等，它就不是正四边形．再如：菱形各边都相等，它却不是正四边形．
第2课时
教学目标
知识与技能：
1、探索并说出多边形的内角和与外角和公式；
2、进一步发展说理能力和简单的推理能力．
过程与方法：
经历探索多边形内角和与外角和公式的过程，实际测量，推理．
情感态度价值观：
1、通过探索过程进一步体会知识点之间的联系；
2、通过本节的学习进一步体会数学与现实生活的紧密联系．
教学重难点
重点是多边形的内角和与外角和定理．
难点是学会善于运用三角形的有关知识来研究多边形的问题，能够灵活运用多边形内角和与外角和解决相关问题．
教学过程
（一）思考
三角形的内角和等于180°．正方形、长方形的内角和都等于360°，其他四边形的内角和等于多少？
（二）探究
任意画一个四边形，量出它的4个内角，计算它们的和．
再画几个四边形，量一量，算一算．你能得出什么结论？能否利用三角形内角和等于180°得出这个结论？
如图8，画出任意一个四边形的一条对角线，都能将这个四边形分为两个三角形．这样，任意一个四边形的内角和，都等于两个三角形的内角和，即360°．
图8
从上面的问题，你能想出五边形和六边形的内角和各是多少吗？观察图9，请填空：
图9
从五边形的一个顶点出发，可以引_______条对角线，它们将五边形分为_______个三角形，五边形的内角和等于180°×_________．
从六边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，它们将六边形分为________个三角形，六边形的内角和等于180°×__________．
通过以上问题，你能发现多边形的内角和与边数的关系吗？
一般地，怎样求n边形的内角和呢？请填空：
从n边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，它们将n边形分为________个三角形，n边形的内角和等于180°×______．
总结：过n边形的一个顶点可以做（n－3）条对角线，将多边形分成（n－2）个三角形，每个三角形内角和180°．
所以n边形内角和（n－2）×180°．
把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形内角和公式吗？
方法2：如图：10过n边形内任意一点与n边形各顶点连接，可得n个三角形，其内角和n×180°．再减去以O为顶点的周角．
即得n边形内角和n·180°－360°．
图10
得出了多边形内角和公式：n边形内角和等于（n－2）·180°．
（三）例题
例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
图11
解：如图11，四边形ABCD中，
∠A＋∠C=180°．
因为∠A＋∠B＋∠C＋∠D=（4－2）×180°=360°，
所以∠B＋∠D=360°－（∠A＋∠C）
=360°－180°=180°．
这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补．
例2：如图12，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？
图12
分析：考虑以下问题：
（1）任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系？
（2）六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？
（3）上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？
联系这些问题，考虑外角和的求法．
解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角，都等于180°．6个外角连同它们各自相邻的内角，共有12个角．这些角的总和等于6×180°．
这个总和就是六边形的外角和加上内角和．所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于6×180°－（6－2）×180°=2×180°=360°．
（四）探究
如果将例2中六边形换为n边形（n的值是不小于3的任意整数），可以得到同样结果吗？
思路：（用计算的方法）
设n边形的每一个内角为∠1，∠2，∠3，……，∠n，其相邻的外角分别为180°－∠1，180°－∠2，180°－∠3，……180°－∠n．外角和为（180°－∠1）＋（180°－∠2）＋……＋（180°－∠n）=n×180°－（∠1＋∠2＋∠3＋……＋∠n）=n×180°－（n－2）×180°=360°
注意：以上各推导方法体现将多边形问题转化为三角形问题来解决的基本思想．
由上面的探究可以得到：
多边形的外角和等于360°．
你也可以像以下这样理解为什么多边形的外角和等于360°．
如图13，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向．在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和．由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°．
图13
《4 多边形的内角和与外角和》教案
第1课时
教学目标
（一）教学知识点：
1．理解多边形及正多边形的定义．
2．掌握多边形的内角和公式．
（二）能力训练要求
1．经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系．
2．探索并了解多边形的内角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力．
（三）情感与价值观要求
经历探索多边形内角和的过程，进一步发展学生合情推理意识、主动探究习惯，进一步体会数学与现时生活的紧密联系．
教学重难点
教学重点：多边形的内角和．
教学难点：探索多边形的内角和公式过程．
教学过程：
一．巧设情景问题，引入课题：
引导学生回忆已经学过哪些图形？书桌面是什么形状？作业本的每一张是什么形状？
提问：若把长方形的一张纸剪去一角，会出现什么形状的图形，并指导．（学生讨论并得出结论：三角形，四边形，五边形）
二．讲授新课
1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形．在定义中应注意：①若干条；②首尾顺次相连，二者缺一不可．多边形有凸多边形和凹多边形之分，如图．
把多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形（如图（2）），图（1）的多边形是凹多边形，我们探讨的一般都是凸多边形．
多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同，即：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角．
如图（3）
多边形通常以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．多边形的表示方法与三角形、四边形类似．可以用表示它的顶点的字母来表示，如可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示，如图（3），可表示为五边形ABCDE，也可表示为五形EDCBA．
好，我们了解了多边形的有关概念后，看一幅图及问题．
（1）一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？与同伴交流．
（2）小明、小亮分别利用下面的图形求出了该五边形的五个内角的和．你知道他们是怎么做的吗？
（3）还有其他的方法吗？
（学生讨论、画图、归纳自己的方法）
在求五边形的内角和时，先把五边形转化成三角形．进而求出内角和，这种由未知转化为已知的方法是我们数学中一种非常重要的方法．
请同学们完成课本的“想一想”．（学生画图，归纳，猜想）
（从n边形的一个顶点出发，向自身和相邻的两个顶点无法引对角线，向其他顶点共引（n－3）条对角线，这时n边形被分割成（n－2）个三角形，因为每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和为（n－2）·180°）
大家想一想，n边形的内角和公式中，字母n取值有没有范围？
（必须是大于3的自然数．）
同学们口答一下：12边形的内角和是多少呢？（1800°）
请同学们“想一想”：观察下图中的多边形，它们的边、角有什么特点？
1．在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形，如上图中的多边形分别为：正三角形、正四边形即正方形、正五边形、正六边形、正八边形．
2．正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形．
下面大家想一想，议一议：
1．一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？
2．一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？
3．正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？
分析：
1．如菱形的四条边相等，但它的内角不一定都相等，所以应该说：一个多边形的边都相等，它的内角不一定都相等．
2．一个多边形的内角都相等，它的边不一定都相等，如：矩形的内角都是直角，但它的边未必都相等．
3．因为正多边形的每个内角都相等，且它的内角和为（n－2）·180°，所以，正n边形的每个内角为：·180°．
因此，正三角形的内角是：；
正方形的内角是：·180°=90°；
正五边形的内角是：________________；
正六边形的内角是：________________；
正八边形的内角是：________________．
三．知识运用：
1．一个多边形的内角和为2520°，则多边形的边数为________________．
2．一个正方形缺去一个角后内角和为多少度？
四．课堂练习
课本“随堂练习”
如下图．
（1）作多边形所有过顶点A的对角线，并分别用字母表示出来．
（2）求这个多边形的内角和．
解：（1）如下图：过顶点A的对角线是AC、AD、AE．
（2）从（1）图中可知：这个六边形被过顶点A的对角线分割成四个三角形，所以，这个多边形的内角和为180°×4=720°．
也可以利用多边形的内角和公式进行计算即：（6－2）×180°=720°．
五．课时小结
本节课我们研究了多边形的定义及其内角和公式，重点探讨了多边形的内角和公式．
即：n边形的内角和等于（n－2）·180°，它揭示了多边形内角和与边数之间的关系．
第2课时
教学目标
（一）教学知识点
1．了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角．
2．掌握多边形的外角和公式，利用内角和与外角和公式解决实际问题．
（二）能力训练要求
1．经历探索多边形的外角和公式的过程．进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系．
2．探索并了解多边形的外角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力．
（三）情感与价值观要求
1．经历多边形外角和的探索过程，培养学生主动探索的习惯；
2．通过对内角、外交之间的关系，体会知识之间的内在联系．
教学重难点
教学重点：多边形的外角和公式及其应用．
教学难点：多边形的外角和公式的应用．
教学过程
一．巧设情景问题，引入课题
清晨，小明沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步．
（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中标出它们．
（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
（3）在上图中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5吗？你是怎样得到的？
（请同学们探讨解决，教师总结）
下面大家来看小亮的思考：如图所示，过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA′、OB′、OC′、OD′、OE′，得到∠α、∠β、∠γ、∠δ、∠θ，其中：∠α=∠1，∠β=∠2，∠γ=∠3，∠δ=∠4，∠θ=∠5．
大家看图，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5不是五边形的角，那是什么角呢？
它们的和叫什么呢？
（这五个角是五边形的外角，它们的和叫外角和．）
我们这节课就来探讨多边形的外角、外角和．
二．讲授新课
那什么是多边形的外角、外角和呢？我们可类似三角形的外角定义来定义多边形的外角．另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角．
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和．
一般地，在多边形的任一顶点处按顺（逆）时针方向可作外角，n边形有n个外角．
那多边形的外角和是多少呢？我们来回忆一下：三角形的外角和为多少？（360°）
刚才我们又研究了五边形的外角和，它为360°，那大家想一想：
如果广场的形状是六边形、八边形．它们的外角和也等于360°吗？
（学生讨论，得出结论）
（六边形的外角和是360°，八边形的外角和是360°．）
那么能不能由此得出：多边形的外角和都等于360°呢？能得证吗？
因为多边形的外角与它相邻的内角是邻补角，所以，n边形的外角和加内角和等于n·180°，内角和为（n－2）·180°，因此，外角和为：n·180°－（n－2）·180°=360°．
性质：多边形的外角和都等于360°．
由此可知，多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°．下面大家来想一想、议一议：利用多边形外角和的结论，能不能推导多边形内角和的结论呢？
（请学生思考后回答）
（因为对于n（n是大于或等于3的整数）边形，每个顶点处的内角及其一个外角恰好组成一个平角．因此，n边形的内角和与外角和的和为n·180°，所以，n边形的内角和就等于n·180°－360°=n·180°－2×180°=（n－2）·180°）．
三．知识应用
［例］一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
分析：这是多边形的内角和公式与外角和公式的简单应用．根据题意，可列方程解答．
（让学生动手解答）
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是（n－2）·180°，外角和等于360°，所以：
（n－2）·180°=3×360°
解得：n=8
这个多边形是八边形．
四．课堂练习
（一）随堂练习
1．一个多边形的外角都等于60°，这个多边形是n边形？
解：因为多边形的外角和等于360°，所以根据题意，可知道这个多边形的边数是：
360°÷60°=6
2．下图是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边形？为什么？
解：这种正多边形是正六边形，理由是：设：这个正多边形的一个内角为x°，
则由题图得：3x=360°．x=120°．再根据多边形的内角和公式得：
n×120°=（n－2）×180°．解得n=6．
（二）试一试
1．是否存在一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角的？为什么？
解：不存在，理由是：
如果存在这样的多边形，设它的一个外角为α，则对应的内角为180°－α，于是：
×α=180°－α，解得α=150°．
这个多边形的边数为：360°÷150°=2.4，而边数应是整数，因此不存在这样的多边形．
2．在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？
解：最多能有三个钝角，最多能有三个锐角．理由是：
设四边形的四个内角的度数分别为：α°，β°，γ°，δ°，则α+β+γ+δ=360°，α、β、γ、δ的值最多能有三个大于90°，否则α、β、γ、δ都大于90°．
α+β+γ+δ＞360°．
同理最多能有三个小于90°．
五．课时小结
本节课我们探讨了多边形的外角及其外角和公式．知道多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°，因而，求解有关多边形的角的计算题；有时直接应用外角和公式会比较简便．
《4 多边形的内角和与外角和》教案
第1课时
教学目标
1．使学生了解多边形的内角、外角等概念．
2．能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用其进行有关计算．
教学重难点
1．重点：多边形的内角和公式．
2．难点：多边形的内角和定理的推导．
教学过程
一．探究
1．我们知道三角形的内角和为180°．
2．我们还知道，正方形的四个角都等于90°，那么它的内角和为360°，同样长方形的内角和也是360°．
3．正方形和长方形都是特殊的四边形，其内角和为360°，那么一般的四边形的内角和为多少呢？
4．画一个任意的四边形，用量角器量出它的四个内角，计算它们的和，与同伴交流你的结果．从中你得到什么结论？
二．思考几个问题
1．从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？
2．从五边形一个顶点出发可以引几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？那么这五边形的内角和为多少度？
3．从n边形的一个顶点出发，可以引几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？n边形的内角和等于多少度？
综上所述，你能得到多边形内角和公式吗？
设多边形的边数为n，则
n边形的内角和等于（n－2）·180°．
想一想：要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理”来完成，就是把一个多边形分成几个三角形．除利用对角线把多边形分成几个三角形外，还有其他的分法吗？你会用新的分法得到n边形的内角和公式吗？
由同学动手并推导在与同伴交流后，老师归纳：（以五边形为例）
分法一：
在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形．其五个三角形内角和为5×180°，而∠1，∠2，∠3，∠4，∠5不是五边形的内角应减去，∴五边形的内角和为5×180°－2×180°＝（5－2）×180°=540°．
如果五边形变成n边形，用同样方法也可以得到n个三角形的内角和减去一个周角，即可得：n边形内角和＝n×180°－2×180°=（n－2）×180°．
分法二：
在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以（5－1）个三角形，而∠1、∠2、∠3、∠4不是五边形的内角，应舍去．
∴五边形的内角和为（5—1）×180°一180°＝（5－2）×180°
用同样的办法，也可以把n边形分成（n－1）个三角形，把不是n边形内角的∠AOB舍去，即可得n边形的内角和为（n－2）×180°．
第2课时
教学目标
利用多边形的内角和推导多边形的外角和公式，并会应用其进行有关计算．
教学重难点
1．重点：多边形的外角和公式．
2．难点：多边形的外角和定理的推导．
教学过程
例：如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？
已知：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角．
求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．
分析：关于外角问题我们马上就会联想到平角，这样我们就得到六边形的6个外角加上它相邻的内角的总和为6×180°．由于六边形的内角和为（6－2）×180°=720°．
这样就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．
解：∵六边形的任何一个外角加上它相邻的内角和为180°．
∴六边形的六个外角加上各自相邻内角的总和为6×180°．
由于六边形的内角和为（6－2）×180°=720°
∴它的外角和为6×180°－720°=360°
如果把六边形横成n边形．（n为不小于3的正整数）
同样也可以得到其外角和等于360°．即：
多边形的外角和等于360°．
《4 多边形的内角和与外角和》教案
教学目的
1、使学生了解多边形，凸多边形的概念．
2、使学生认识多边形的内角和的表示方法及外角和为360°．
3、让学生体会转化（把未知化已知）等数学思想．
4、培养学生合作、表达等能力情感．
教学重难点：
重点：多边形内角和与外角和特点．
难点：利用化归思想归纳多边形内角和与外角和特点．
教学过程：
一、引情导学
1、多边形定义
师出示一个三角形，问：这是什么图形？它是怎样定义的？
生：三条线段首尾顺次连接而成的图形．
师：以次类推，你能告诉我什么样的图形叫做四边形？五边形？……n边形吗？
这些图形我们都叫做多边形．
2、凸多边形概念
师：屏幕上的这一类多边形我们称为凸多边形，还有一类如：
我们叫做凹多边形，不在我们今天的研究范围之内．
二、探究新知
1、确立研究范围．
师：请大家观察这些多边形，结合我们已学过的三角形，大家认为有哪些部分值得我们研究？
生1：多边形的角．
生2：多边形的边．
师：那么今天我们不妨先来研究一下多边形的角．（出示课题：多边形的内角和与外角和）
2、自主探究多边形的内角和．
师：三角形的内角和是多少度？（180°）那么请你猜测一下这个四边形的内角和是多少度？
生：360°．
师：你是根据什么猜测的？
生：连一条线．
师：怎样连？
生：连接BD．
师：这种线段我们叫做多边形的对角线，它是连接多边形不相邻的两个顶点的线段．那么又为什么要这样连呢？
生：这样四边形的内角和就分成了两个三角形的内角和．
师：很好！这位同学把多边形分割成已经学过的三角形来解决多边形的内角和问题，体现了一种很好的数学思想．那么是不是对所有的多边形都适用呢？除此以外是否还有其他的分割三角形的方法呢？我们请各小组展开讨论，并完成表格．
为了求得n边形的内角和，请试着用分割多边形为三角形的方法，完成表格：
3、组代表发言，交流结果．
生1：以多边形一个顶点出发分割三角形，如图：
得到n边形的内角和是（n-2）×180°．
生2：看多边形的边数，发现规律：n边形的内角和是（n-2）×180°．
生3：我们组发现这样分割也行（注：以多边形内部一个点出发分割三角形）
这样n边形的内角和是（n×180-360）°．
师：这几组同学从不同的角度出发，给了几种求多边形内角和的方法，想法很好，都能运用创新思维把问题简单化．那么除此以外，还有没有其他的分割方法？
生4：从多边形的一边出发连线也行．如图：
师：此时n边形的内角和是[（n-1）×180-180]°．
（多媒体显示这几种分割方法后，师进一步归纳小结．）
师：虽然这几种表达方式形式上不同，但经过化简都可以表示成一种形式：（n-2）×180°，而且在分割时我们也应该注意分割出来的三角形必须是不重不漏！
4、围绕n边形的内角和是（n-2）×180°这个知识点，学生进行编题练习．
生1：12边形与10边形的内角和之差是多少？
生：360°．
生2：一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是几边形？
生：七边形．
5、探究多边形的外角和．
师：七边形的内角和是900°，那么它的外角和是多少？为什么？
生1：1800°．因为在三角形中，外角和为360°，是内角和的2倍．
生2：360°．
师：与三角形比较没有变化？你是怎么考虑的？
生2：因为它有七个平角，是1260°，减去900°的内角，就是360°．
师：这样看来多边形的边数并没有影响它的外角和度数，这说明n边形的外角和都为360°
师用钢笔演示：假设一小朋友在多边形的边界上绕圈子（如图），
每经过一个顶点，前进的方向就要改变一次，改变的角度恰好是这个顶点处的外角，绕了一圈，回到原处，方向与当初出发时一致了，角度的改变量之和当然是360°．
6、用内外角和知识解决问题．
三、课堂小结
1、上了这堂课后，你有何收获？
2、上了这堂课后，你还有什么困惑？
注：此时，有一学生举手示意．
生：我又有了一种分割的方法（上来演示），叫做“波浪线”法．
师肯定了这种方法，同时强调分割出来三角形时必须是不重不漏．
课件14张PPT。4 多边形的内角和与外角和？ 1、你能说一说什么叫三角形？ 2、你能说出什么叫四边形、五边形、多边形吗？ 由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，称为n边形．
又称为多边形．探究新知问题1： 你能说一说下面所指的是多边形的什么？ 边内角顶点问题2：请大家细心地填一填，多边形的内角，边，外角三者的关系表，你能发现什么规律？3344556677nn681012142n1、什么叫正三角形？什么叫正方形？ 3、如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形.2、什么叫正多边形？归纳：问题3：三角形如果三条边都相等，三个角也都相等，那么这样的三角形就叫做正三角形． 如果多边形各边都相等，各个角也都相等，那么这样的多边形就叫做正多边形．如正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等等 ．正三角形正四边形正五边形正六边形正八边形（或正三边形）（或正四边形）画出连结下面四点的所有线段：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线． ABCD问题4：四边形的内角和ADCB问题5：四边形的内角和结论：四边形的内角和为360o∠A+∠B+∠C+∠D=360o
5边形6边形7边形探究：多边形的内角和对角线条数：三角形个数：内角和：234345540°720°900°…n边形？？？问题6：过多边形的一个顶点做对角线n边形的内角和公式：
（n-2）×180°结论：那么对于正多边形来说，又遇到怎样的问题呢？因为正多边形的每个角相等，所以知道
正多边形的边数，就可以求出每一个内
角的度数．（n－2）×180°/ n例2 已知多边形的每一内角为150°，求这个多边形的边数．解设这个多边形的边数为n，
根据题意，得（n－2）×180=150 n解这个方程，得n= 12 经检验，符合题意答：这个多边形的边数为12 ．八边形的内角和是 ；例11080°应用公式解题：应用新知考考你 1.如图所示的模板，按规定，AB，CD的延长线相交成80°的角，因交点不在板上，不便测量，质检员测得∠BAE=122°，∠DCF=155°．如果你是质检员，如何知道模板是否合格？为什么？2.一个正方形瓷砖，截去一个角后：(1)还剩几个角？(2)剩下的多边形的内角和是多少度？ 课件16张PPT。4 多边形的内角和与外角和 能否利用三角形知识求出四边形的内角和呢？ 任意四边形的内角和是多少度？ 正方形、长方形的内角和是多少度？三角形内角和是多少度？ 过四边形的一个顶点作其对角线，可将四边形分为２个三角形，由图知，四边形的内角和为：180°×2＝360°方法一： 在四边形内任找一点，作该点与四个顶点的连线，可将四边形分为４个三角形．由图知，四边形的内角和为：方法二：180°×4－ 360° ＝360° 在四边形一边上找一点，作该点与另两个顶点的连线，可将四边形分为3个三角形．由图知，四边形的内角和为：180°×3－ 180° ＝360°方法三：180°×3－ 180° ＝360° 在四边形外部找一点，作该点与另四个顶点的连线．由图知，四边形的内角和为：方法四：试一试： 请选择一种你喜欢的方法，试说明五边形、六边形的内角和．ACEDB内角和=3 × 180°
=540 °．ACDEB内角和=4×180°－180°
=540°．OACDEBO内角和=5×180°－360 °
=540 °．OCE内角和=4×180°－180 °
=540 °
．n边形的内角和等于 （n－2）×180° 由此等式我们可以知道： 已知多边形的边数可以求出它的内角和，反之，已知多边形的内角和也可以求出它的边数．N边形的内角和如何表示呢？ 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？解：
如图，四边形ABCD中，
∠A+ ∠C =180°
∠A+∠B+∠C+∠D=（4－2） ×180 °
= 360 °
因为
∠B＋∠D
= 360°－（∠A＋∠C）
= 360°－ 180° =180°
这就是说：如果四边形一组对角互补，那么另一组对 角也互补．所以
例 ：1 . 八边形的内角和等于多少度？ 十边形呢？（8－2) × 180°= 1080°(10－2) × 180°= 1440° 快速抢答2.一个多边形的内角和是900度，它是几边形？练习：求下列图形中x 的值. 140°x°x°120°150°2x°x°120°80°75°x°x°150°135°60°ABCDEAB∥CD(1)(2)(3)(4)2008年奥运会在北京召开，设计一个内角和为2008度的多边形图案多有意义！
行吗？它是几边形？课件10张PPT。4 多边形的内角和与外角和有一张长方形的桌面，它的四个内角和为360°，现在锯掉它的一个角，剩下残余桌面所有的内角和是多少？有几种情况？
180°×3－ 180° ＝360° 在四边形外部找一点，作该点与另四个顶点的连线．由图知，四边形的内角和为：练习：
已知一个多边形各个内角都相等，都等于150°，求这个多边形的边数．解：设此多边形的边数为n，根据题意，得（n－2）· 180°＝n · 150解得 n = 12则这个多边形的边数为12条．例： 如图，在六边形的顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和，六边形的外角和等于多少？ 考虑以下问题： 1.任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系？
2.六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得的总和是多少？
3.上述总和与六边形的内角和、
外角和有什么关系？
FABCDE543216解：六边形的外角和 = 总和－六边形的内角和
=6×180°－（6－2）×180°
=2×180°
=360° 想一想： n 边形的外角和是多少度呢？（n 的值是不小于3的任意正整数） n边形的外角和= n ×180°－（n－2）×180°
=2×180°
=360° 由此可得： 多边形的外角和都等于360°(与边数无关) n边形外角和是多少度？
探 究 发 现 外角和=n个平角-内角和
结论：n边形的外角和等于360°=n×180°-(n-2) × 180°=360 °如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？解： 四边形ABCD中，
∠A +∠C = 180°
∵∠A +∠B +∠C +∠D
=（4－2）×180°=360°
∴∠B +∠D =360°－（∠A +∠C）
=360°－180° =180°
这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补．CDAB1.一个多边形内角和与外角和相等，它是 边形．
2.一个多边形的每个外角都是 36°，这个多边形是 边形．
3.已知某多边形的内角和与外角和的比为9：2，则它是 边形．
四十十一课件13张PPT。4 多边形的内角和与外角和生活中的多边形? 2、如图，正六边形的内角和是______度，每个内角都是_____度，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6都是_____度，那么∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=
?
1、五边形的内角和是____ ______ _____ ．
（5-2）×180=540°720°120°60°360°温馨回顾问题：小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？跑完一圈身体转过的角度之和是多少？情景引入 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角． 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和． 一般地，在多边形的任一顶点处按顺（逆）时针方向可作外角，n边形有n个外角. 注意概念的理解：12345动动脑：等边三角形正方形正六边形问题：1)每个图形的各内角相等吗？分别是多少度？123 2)每个图中的外角是哪些？它们相等吗？ 3)每个图中外角和分别是多少？1234123456活动一 猜想：动动手：活动二 利用卡片上的多边形小组合作，探索多边形的外角和是多少，说说你的方法.1122334如果是六边形、八边形……n边形，还有类似的结论吗？问题：你能运用多边形内角和结论
推导出多边形外角和结论吗？∵ n边形的每一个外角与它相邻的内角的和是_____ ，
∴ n边形的内角和加外角和等于 ________ ．
∵ n边形的内角和等于 ___________，
∴ n 边形的外角和等于
n ? 180 °– （n-2）? 180 °180°n ? 180 °（n-2） ? 180 ° 多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°． 注意动动脑：= 360 ° 议一议：反过来，你能运用多边形外角和结论
推导出多边形内角和结论吗？
?∵ n边形的每一个外角与它相邻的内角的和是_____，
∴ n边形的内角和加外角和等于 ________ ．
∵ n边形的外角和等于 ______，
∴ n 边形的内角和等于
180 °n ? 180 °360 °n ? 180 ° – 360 °
=（n-2）? 180 ° = n ?180 ° – 2×180 °
［例］一个多边形的内角和等于它
的外角和的3倍，它是几边形？ 解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是
（n－2）·180°，外角和等于360°，
所以（n－2）·180 °=3×360 °
解得：n=8
答：这个多边形是八边形． 例题赏析：练习： 如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30 °，再沿直线前进10米，有向左转30 ° ……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了____米 ． ●30oA30o30o1、若一个多边形的边数增加1，则他的外角和将如何变化？
2、如果有一个多边形糖果盒，他的内角和与外角和相等，你能判断出这个糖果盒是几边形的吗？
3、甘泉公园有一个正多边形花坛，它的一个内角为120°，那么这个花坛边数是____．
分层测试
4、n边形的内角和与外角和的比是7：2，则n的值是（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
5、如图， △ABC中， ∠A=50 °，
则∠1 +∠2的大小为____． ABC12
