《3 公式法》习题
一、选择题
1．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2+y2=（x+y）（x－y） B．x2－y2=（x+y）（x－y）
C．x2+y2=（x+y）2 D．x2－y2=（x－y）2
2．下列各式不是完全平方式的是（ ）
A．x2+4x+1 B．x2－2xy+y2 C．x2y2+2xy+1 D．m2－mn+n2
3．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．m2－mn+n2 B．（a+b）2－4ab C．x2－2x+ D．x2+2x－1
4．某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4－■=（x2+4）（x+2）（x－▲）中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是（ ）
A．8，1 B．16，2 C．24，3 D．64，8
5．若a+b=4，则a2+2ab+b2的值是（ ）
A．8 B．16 C．2 D．4
二、填空题
1．分解因式：a3－4a=______．
2．已知x2－y2=69，x+y=3，则x－y=______．
3．把a2b+b3－2ab2分解因式的结果是______．
4．请你写一个能先提公因式，再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解因式的结果．
_____________________________．
《3 公式法》习题
1．若a+b=1，ab=－1，求a2+b2的值．
2．若9m2－12mn+8n2－4np+2p2－4p+4=0，求m+n+p的值．
3．若（1012+25）2－（1012－25）2=10n，求n．
4．分解因式：a3－ab2=______．
5．分解因式：（x2+4）2－16x2．
6．一个长方形的面积是（x2－9）2米，其长为（x+3）米，用含有x的整式表示它的宽为_______米．
7．已知a，b，c为△ABC的三条边长，且b2+2ab=c2+2ac，试判断△ABC的形状．
8．在边长为179m的正方形农田里，修建一个边长为21m的正方形建筑，问所剩农田为多少平方米？
9．在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”产生的密码，方便记忆，原理是：如对于多项式x4－y4因式分解的结果是（x－y）（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9时，则各个因式的值是x－y=0，x+y=18，x2+y2=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3－xy2，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是_________．（写出一个即可）
10．如图，在一个大圆盘中，镶嵌着四个大小一样的小圆盘，已知大小圆盘的半径都是整数，阴影部分的面积为5cm2，请你求出大小两个圆盘的半径．
《3 公式法》习题
一、填空
1、若是完全平方式，则的值等于_____．
2、，则=____，=____．
3、与的公因式是_______________．
4、若=，则m=_______，n=_________．
5、在多项式中，可以用平方差公式分解因式的有________________________，其结果是_____________________．
6、若是完全平方式，则m=_______．
7、．
8、已知则．
9、若是完全平方式M=________．
10、，．
11、若是完全平方式，则k=_______．
12、若的值为0，则的值是________．
13、若则=_____．
14、若则___．
15、方程的解是________．
二、代数式求值
1、已知，，求的值．
2、若x、y互为相反数，且，求x、y的值．
3、已知，求的值．
《3 公式法》习题
新课标题型
1．已知a－b=，ab=，求－2a2b2+ab3+a3b的值．
2．（结论开放题）多项式4x2+1加上一个单项式后，使它成为一个整式的平方，则加上的单项式可以是_______．（填上一个你认为正确的即可）
3．（存在探究题）是否存在这样一个满足下列条件的正整数，当它加上98时是一个完全平方数，当它加上121时是另一个完全平方数．若存在，请求出该数；若不存在，请说明理由．
4．（阅读理解题）观察下面计算过程：
（1－）（1－）=（1－）（1+）（1－）（1+）=×××=×；
（1－）（1－）（1－）=×××××=×；
（1－）（1－）（1－）（1－）=×××××××=×；…
你发现了什么规律？用含n的式子表示这个规律，并用你发现的规律直接写出
（1－）（1－）（1－）（1－）（1－）…（1－）的值．
课件3张PPT。十字相乘法
(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq
我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）例：因式分解x2+4x+3．
可以看出常数项 3 = 1×3
而一次项系数 4 = 1 + 3
∴原式=(x+1)(x+3)暂且称为p、q型因式分解．十字相乘法试因式分解6x2+7x+2．
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）．既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式．
(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分解就成功了．= 173 x2 + 11 x + 106 x2 + 7 x + 22
31
24+ 3= 7∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)1
35
22+ 15= 111
32
55+ 6∴3x2+11x+10=(x+2)(3x+5)课件2张PPT。总结训练(一)总结训练(二)课件2张PPT。1.下列多项式中，哪几个是完全平方式？请把是完全平方式的多项式因式分解：（1） ；（3） ；（4）x6–10x3–25.（2）9a2b2–3ab+1；2.把下列各式因式分解：（1）x2–12xy+36y2；（3）–2xy–x2–y2；（4）4–12(x–y)+9(x–y)2.（2）16a4+24a2b2+9b4；=(x–6y)2=(4a2+3b2)2=–(x+y)2=[3(x–y)–2]2《3 公式法》教案
第1课时
教学目标
（一）教学知识点
1．使学生了解运用公式法分解因式的意义．
2．使学生掌握用平方差公式分解因式．
3．使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式．
（二）能力训练要求
1．通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力．
2．训练学生对平方差公式的运用能力．
（三）情感与价值观要求
在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法．
教学重难点
教学重点：让学生掌握运用平方差公式分解因式．
教学难点：将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
［师］在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式．
如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法．
Ⅱ．新课讲解
［师］1．请看乘法公式：
（a+b）（a－b）=a2－b2（1）
左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是：
a2－b2=（a+b）（a－b）（2）
左边是一个多项式，右边是整式的乘积．大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？
［生］符合因式分解的定义，因此是因式分解．
［师］对，是利用平方差公式进行的因式分解．第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式．
2．公式讲解
［师］请大家观察式子a2－b2，找出它的特点．
［生］是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差．
［师］如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积．
如x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）．
9m 2－4n2=（3m）2－（2n）2
=（3m +2n）（3m－2n）
3．例题讲解
［例1］把下列各式分解因式：
（1）25－16x2； （2）9a2－b2．
［例2］把下列各式分解因式：
（1）9（m+n）2－（m－n）2； （2）2x3－8x．
说明：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法．
补充例题：
判断下列分解因式是否正确．
（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2． （2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）（a2－1）．
［生］解：（1）不正确．
本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解．
（2）不正确．错误原因是因式分解不到底，因为a2－1还能继续分解成（a+1）（a－1）．
应为a4－1=（a2+1）（a2－1）=（a2+1）（a+1）（a－1）．
Ⅲ．课堂练习
把下列各式分解因式．
（1）36（x+y）2－49（x－y）2；
（2）（x－1）+b2（1－x）；
（3）（x2+x+1）2－1．
Ⅳ．课时小结
我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法．如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行．第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止．
第2课时
教学目标
（一）教学知识点
1．使学生会用完全平方公式分解因式．
2．使学生学习多步骤，多方法的分解因式．
（二）能力训练要求
在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力．
（三）情感与价值观要求
通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．
教学重难点
教学重点：让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法．
教学难点：让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
［师］我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法．现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？
在前面我们不仅学习了平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2
而且还学习了完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2
本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式．
Ⅱ．新课
1．推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点．
［师］由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？
［生］可以．
将完全平方公式倒写：
a2+2ab+b2=（a+b）2； a2－2ab+b2=（a－b）2．
便得到用完全平方公式分解因式的公式．
［师］很好．那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？请大家互相交流，找出这个多项式的特点．
［生］从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍．凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解．
［师］左边的特点有（1）多项式是三项式；
（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；
（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍．
右边的特点：这两数或两式和（差）的平方．
用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．
形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式．
由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．
练一练：
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4； （2）x2+4x+4y2； （3）4a2+2ab+b2；
（4）a2－ab+b2； （5）x2－6x－9； （6）a2+a+0.25
［师］判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍．
［生］（1）是；
（2）不是，因为4x不是x与2y乘积的2倍；
（3）是；
（4）不是，ab不是a与b乘积的2倍．
（5）不是，x2与－9的符号不统一．
（6）是．
2．例题讲解
［例1］把下列完全平方式分解因式：
（1）x2+14x+49；
（2）（m+n）2－6（m+n）+9．
［师］分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式．公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．
解：（1）x2+14x+49=x2+2×7x+72=（x+7）2
（2）（m+n）2－6（m +n）+9=（m+n）2－2（m+n）×3+32=［（m+n）－3］2=（m+n－3）2．
［例2］把下列各式分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2；
（2）－x2－4y2+4xy．
［师］分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式．
如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式．
解：（1）3ax2+6axy+3ay2
=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2
（2）－x2－4y2+4xy
=－（x2－4xy+4y2）
=－［x2－2·x·2y+（2y）2］
=－（x－2y）2
Ⅲ．课堂练习
把下列各式分解因式：
（1）4a2－4ab+b2； （2）a2b2+8abc+16c2；
（3）（x+y）2+6（x+y）+9； （4）－+n2；
（5）4（2a+b）2－12（2a+b）+9； （6）x2y－x4－
Ⅳ．课时小结
这节课我们学习了用完全平方公式分解因式，它与平方差公式不同之处是：
（1）要求多项式有三项．
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负．
同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式．
《3 公式法》教案
第1课时
一、教学目标
1、知识与技能：
（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；
（2）会用平方差公式进行因式分解；
（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式．
2、过程与方法：
（1）发展学生的观察能力和逆向思维能力；
（2）培养学生对平方差公式的运用能力．
3、情感、态度与价值观：
在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法．
二、教学重难点
1、重点：运用平方差公式分解因式．
2、难点：将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；正确判断因式分解的彻底性．
三、教学过程
第一环节：练一练
活动内容：填空：
（1）（x+3）（x–3）=____________________；
（2）（4x+y）（4x–y）=____________________；
（3）（1+2x）（1–2x）=____________________；
（4）（3m+2n）（3m–2n）=____________________．
根据上面式子填空：
（1）9m2–4n2=____________________；；
（2）16x2–y2=____________________；
（3）x2–9=____________________；
（4）1–4x2=____________________．
活动目的：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．
注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系．
第二环节：想一想
活动内容：观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征？
结论：a2–b2=（a+b）（a–b）．
活动目的：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，通过自己的归纳能找到因式分解中平方差公式的特征．
注意事项：学生对平方差公式的正确使用掌握的比较快，但用语言叙述第二组式子的左右两边的共同特征有一定的困难，必须在老师的指导下才能完成．
第三环节：做一做
活动内容：把下列各式因式分解：
（1）25–16x2 （2）9a2–
活动目的：培养学生对平方差公式的应用能力．
注意事项：学生对含有分数的平方差公式应用起来有一定的困难，有的学生由于受解方程的影响，习惯首先去分母，再因式分解，这是很多学生经常犯的一个错误．
第四环节：议一议
活动内容：将下列各式因式分解：
（1）9（x–y）2–（x+y）2 （2）2x3–8x
活动目的：
（1）让学生理解在平方差公式a2–b2=（a+b）（a–b）中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式，向学生渗透换元的思想方法；
（2）使学生清楚地知道提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式．
注意事项：在教师的引导下，学生能逐步理解平方差公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．
第五环节：反馈练习
活动内容：
1、判断正误：
（1）x2+y2=（x+y）（x–y） （ ）
（2）–x2+y2=–（x+y）（x–y） （ ）
（3）x2–y2=（x+y）（x–y） （ ）
（4）–x2–y2=–（x+y）（x–y） （ ）
2、把下列各式因式分解：
（1）4–m2 （2）9m2–4n2
（3）a2b2－m2 （4）（m－a）2－（n＋b）2
（5）–16x4＋81y4 （6）3x3y–12xy
3、如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形．用a与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积．
活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对平方差公式的特征是否清楚，对平方差公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．
注意事项：在实际应用中，部分学生对于第3题因式分解的实际应用不能理解，他们没有采用因式分解的方法，而是利用计算器硬生生地计算出来．
第六环节：学生反思
活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？
活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的平方差公式的与因式分解的平方差公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解．
注意事项：学生认识到了以下事实：
（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；
（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；
（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式．
第2课时
一、教学目标：
1、知识与技能：
（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；
（2）会用完全平方公式进行因式分解；
（3）使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．
2、过程与方法：
（1）发展学生的观察能力和逆向思维能力；
（2）培养学生对完全平方公式的运用能力．
3、情感、态度与价值观：
通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生感受事物间的因果联系．
二、教学重难点：
1、重点：掌握运用完全平方公式进行因式分解．
2、难点：灵活运用公式法或已学过的提公因式法进行因式分解，及正确判断因式分解的彻底性问题．
三、教学过程：
第一环节：做一做
活动内容：填空：
（1）（a+b）（a-b）=____________________；
（2）（a+b）2=____________________；
（3）（a–b）2=____________________．
根据上面式子填空：
（1）a2–b2=____________________；
（2）a2–2ab+b2=____________________；
（3）a2+2ab+b2=____________________．
结论：形如a2+2ab+b2 与a2–2ab+b2的式子称为完全平方式．
活动目的：学生通过观察，把整式乘法中的完全平方公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力，第（1）组a2–b2是起提示作用．
注意事项：学生通过观察能找到第一组式子与第二组式子之间的对应关系．
第二环节：辨一辨
活动内容：观察下列哪些式子是完全平方式？如果是，请将它们进行因式分解．
（1）x2–4y2 （2）x2+4xy–4y2 （3）4m2–6mn+9n2 （4）m2+6mn+9n2
结论：找完全平方式可以紧扣下列口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；完全平方式可以进行因式分解，a2–2ab+b2=（a–b）2；a2+2ab+b2=（a+b）2．
活动目的：加深学生对完全平方式特征的理解，并由此得出因式分解的完全平方公式．
第三环节：试一试
活动内容：把下列各式因式分解：
（1）x2–4x+4 （2）9a2+6ab+b2
（3）m2– （4）
活动目的：（1）培养学生对平方差公式的应用能力；
（2）让学生理解在完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．
注意事项：学生对第（3）小题含有分数的完全平方公式应用起来有一定的困难，有的学生由于受解方程的影响，习惯首先去分母，再因式分解，这是很多学生经常犯的一个错误．
第四环节：想一想
活动内容：将下列各式因式分解：
（1）3ax2+6axy+3ay2 （2）–x2–4y2+4xy
活动目的：使学生清楚地了解提公因式法（包括提取负号）是分解因式首先考虑的方法，再考虑用完全平方公式分解因式．
注意事项：在综合应用提公因式法和公式法分解因式时，一般按以下两步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法进行因式分解．
第五环节：反馈练习
活动内容：
1、判断正误：
（1）x2+y2=（x+y）2 （ ）
（2）x2–y2=（x–y）2 （ ）
（3）x2–2xy –y2=（x–y）2 （ ）
（4）–x2–2xy–y2=–（x+y）2 （ ）
2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：
（1）x2–x+ （2）9a2b2–3ab+1
（3） （4）
3、把下列各式因式分解：
（1）m2–12mn+36n2 （2）16a4+24a2b2+9b4
（3）–2xy–x2–y2 （4）4–12（x–y）+9（x–y）2
活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对完全平方公式的特征是否清楚，对完全平方公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．
注意事项：当完全平方公式中的a与b表示两个或两个以上字母时，学生运用起来有一定的困难，此时，教师应结合完全平方公式的特征给学生以有效的学法指导．
第六环节：学生反思
活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？你认为分解因式中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系？
结论：由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．
活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解．
注意事项：学生认识到了以下事实：
（1）有公因式则先提取公因式；
（2）整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式是互逆关系；
（3）完全平方公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式．
《3 公式法》教案
第1课时
教学目标
1、要求学生理解因式分解的平方差公式的意义．
2、会将数和式子写成平方的形式，根据平方差公式的特征判断能否利用平方差公式进行因式分解．
教学重难点
教学重点：灵活利用平方差公式分解因式．
教学难点：与提公因式法结合，灵活利用平方差公式分解因式．
教学过程
一、复习提问：
1、公因式的概念、因式分解的概念、提公因式法的概念．
2、平方差公式．
二、导入新课：
把乘法公式（a+b）（a-b）=
反过来，就得到=（a+b）（a-b）
这个等式有什么特征？（让学生讨论总结特征）．
三、新课讲解：
结合等式的特征可得到：把形式是平方差的多项式可进行分解因式．
运用平方差公式分解因式的条件是多项式可以写成两个数的平方的形式．因此，运用平方差公式分解因式要进行观察，判断所要分解的多项式是否符合平方差公式的特点，即应是二项式，两项都能写成平方的形式且符号相反．如把分解因式，可以看出它符合平方差公式的特点，先把它写成的形式，再得出=（3x+2）（3x-2）．
例1、把下列各式分解因式：
（1）；（2）；
（3）
由（3）总结：因式分解所得的每一个整式必须化简．
练习：把下列各式分解因式：
（1）； （2）；
（3）；（4）．
例2、如图，大圆的半径为35m，小圆的半径为15m，求圆环的面积．
例3、把下列各式分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
注意：把多项式因式分解时，必须把每一个因式分解到不能再分解为止．
练习：把下列各式分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
第2课时
学习目标
1、会判断多项式是完全平方式，并掌握用此公式分解因式的方法．
2、养成严密的思维习惯，进一步培养观察能力、分析能力和概括能力．
3、培养生主动探索，敢于实践，勇于发现，合作交流的精神．
教学重难点
教学重点：用完全平方式分解因式．
教学难点：灵活运用公式法分解因式．
教学过程
一、学前准备
1、复习提公因式法的步骤__________________________．
2、平方差公式_______________．
3、完全平方式________________．
a2－b2＝（a+b）（a－b） a2+2ab+b2＝（a+b）2 a2－2ab+b2＝（a－b）2
这就是说，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的2倍，等于这两数和（或者差）的平方．
我们运用这公式可以把平方差形式与完全平方形式的多项式进行分解因式．
4、用平方差公式分解因式的一般步骤：
（1）表示成哪个数的平方差的形式；（2）运用平方差公式分解因式．
当然在分解因式的过程中，有的时候需要对某些多项式能否运用平方差公式分解作出判断．
二、例题学习
1、完全平方式：．
对一个多项式能否直接用完全平方公式，首先应判断其是否为完全平方式．
例1、判断下列各式是否完全平方式：
（1）4x3－4x+1 （2）4x2－2x+1 （3）4x2－4x+1
（4）x2－x+ （5）+1－x
归纳总结：具体判别时可按如下的程序操作：
（1）先看能否把其中的某两个数的平方和的形式．
（2）如果能把其中的某两项写成两个数的平方和的形式，那么就要看剩下的一项能否写成加上或减去同样两数乘积的两倍的形式．
例如：4x3－4x+1中的任何两项都不能写成两个整式的平方和的形式，因此不能用完全平方公式来分解因式．
4x2－2x+1中的4x2+1虽然可以看成2x与1的平方和，但是剩下的一项－2x并不是－2x与1乘积的两倍，因此也不能用完全平方公式来分解因式．
4x2－4x+1中的4x2+1可以看成2x与1的平方和，并且剩下的一项－4x恰好是－2x与1乘积的两倍，所以可以用完全平方公式来分解因式，分解的结果应是2x与1的差的平方．
+1－x，虽然外观与a2－2ab+b2不一致，但它是完全平方式．
例2、把下列各式分解因式：
（1）4a2+12ab+9b2； （2）-x2+4xy―4y2 （3）3ax2+6axy+3ay2
注意以下几点：
（1）当两个平方项前面的符号为负时，应先提取“－”号，如―x2+4xy―4y2=―（x2―4xy+4y2）（2）多项式中有公因式的先提取公因式．
三、检测练习
因式分解：
（1）a（x-y）+b（y-x） （2）6（m-n）-12（n-m） （3）9（m+n）2－（m－n）2
（4）2x3－8x （5）25－16x2 （6）9a2－b2
《3 公式法》教案
第1课时
教学目标
1、经历通过整式乘法的平方差公式逆向得出公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维．
2、会用公式法（直接用公式不出两次）分解因式（指数是正整数）．
教学重难点
用公式法（直接用公式不出两次）分解因式（指数是正整数）．
教学过程
一、创设情景，导出问题
（1）观察多项式x2-25，9x2-y2，它们有什么共同特征？
（这是对平方差公式的再认识，通过整式乘法的逆变形得到分解因式的方法，让学生进一步感受到整式乘法与分解因式的互逆关系．）
（2）将它们分别写成两个因式的乘积，说明你的理由，并与同伴交流．
（让学生充分交流，加深对这种方法的理解．）
二、探索交流，概括概念
讨论：
（1）多项式的各项都能写成平方的形式．如x2-25中，x2本身是平方的形式，25=52也是平方的形式；9x2-y2也是如此．
（2）逆用乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2，可知x2-25= x2-52=（x+5）（x-5），9x2-y2=（3x）2-y2=（3x+y）（3x-y）．
所以我们可以借助乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2的逆过程得到乘法公式a2-b2=（a+b）（a-b）
三、巩固应用，拓展研究
例1、把下列各式分解因式：
（直接利用平方差公式分解因式，让学生体会公式中的a，b在此例中分别是什么．）
提问：a2-b2=（a+b）（a-b）中a，b都表示单项式吗？它们可以是多项式吗？
例2、把下列各式分解因式：
（1）9（m+n）2-（m-n）2；（2）2x3-8x；
解：（1）9（m+n）2-（m-n）2=4（2m+n）（m+2n）
（进一步让学生理解平方差公式中的字母a，b不仅可以表示数，而且可以表示其他代数式．）（2）2x3-8x=2x（x2-4）=2x（x2-2x）=2x（x+2）（x-2）
（引导学生体会多项式中若含有公因式，就要先提公因式，然后进一步分解，直至不能再分解为止．）
四、应用加强，课内深化
如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个矩形，通过计算两个阴影部分的面积，可以得到一个矩形，通过计算两个阴影部分的面积，可以得到一个分解因式的公式，这个公式是怎样的？
第2课时
教学目标
1、会把多项式经过适当变形，成为完全平方式的形式，能较熟练地运用完全平方公式把多项式分解因式．
2、通过综合运用提取公因式法、平方差公式和完全平方公式把多项式因式分解，进一步提高学生综合运用知识解决问题的能力．
教学重难点
重点：把多项式通过适当的代换、变形转化为完全平方式，运用完全平方公式分解因式．
难点：综合运用多种方法把多项式因式分解．
教学过程
一、导入新课
问：什么叫完全平方式？试举例加以说明．
答：形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式，例如多项式9x2－12xy+4y2就是一个完全平方式．
问：多项式－x2－4y2+4xy是否符合完全平方式的结构特点？这样的多项式能否进行因式分解？
这节课我们就要解决这个问题．
二、新课
例1、把－x2－4y2+4xy分解因式．
分析：这个多项式的两个平方项的符号均为负，因此不符合完全平方式的形式，不能直接运用完全平方公式把它因式分解，如果把它的各项均提出一个负号，那么括号内的多项式就符合完全平方式的结构特点，从而可以运用完全平方公式分解因式．
解：－x2+4y2+4xy=（x2－4xy+4y2）
=－[x2－2·2x·y+（2y）2]
=－（x－2y）2．
指出：
（1）在一个多项式中，两个平方项的符号必须相同，才有可能成为完全平方式．
（2）在对类似例1的多项式因式分解时，一般都是先把完全平方项的符号变为正的，也就是先把负号提到括号外面，然后再把括号内的多项式运用完全平方公式因式分解．
例2、把（x+y） 2－6（x+y）+9分解因式．
分析：多项式中的两个平方项分别是（x+y）2和32，另一项6（x+y）=2·（x+y）·3，符合完全平方式的形式，这里“x+y”相当于完全平方式中的a，“3”相当于相当于公式中的b，设a=x+y，我们可以把原式变为（x+y）2－6（x+y）+9=a2－6a+9，因而能运用完全平方公式，得到（a－3） 2．
在解题过程中，可以把代换这一步骤省略．
解：（x+y）2－6（x+y）+9=（x+y）2－2（x+y）·3+32=（x+y－3）2．
指出：把较复杂的多项式（x+y）2－6（x+y）2+9，通过代换a=x+y，使原多项式转化为关于字母a的二次三项式a2－6a+9，从而可以用完全平方公式分解因式，这种通过代换解决问题的方法是数学中经常用到的一种重要的思想方法．
例3、把m2+10m（a+b）+25（a+b） 2分解因式．
问：观察和分析这个多项式，是否符合完全平方式形式？为什么？
答：可以把m2+10m（a+b）+25（a+b）2写成m2+2m·5（a+b）+[5（a+b）]2．这里m相当于完全平方式里的a，5（a+b）相当于完全平方式里的b．原式是完全平方式，可以运用完全平方公式因式分解．
解：m2+10m（a+b）+25（a+b）2=m2+2m·5（a+b）+[5（a+b）]2
=[m+5（a+b）]2=（m+5a+5b）2．
指出：通过以上各例题可以看到，在给出的多项式中，两个平方项可以是单项式（数），也可以是多项式．
例4、把下列各式分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2；
（2）81m4－72m2n2+16n4．
解：（1）3ax2+6axy+3ay2=3a（x2+2xy+y2）=3a（x+y）2．
指出：如果多项式的各项有公因式，应该先提出这个公因式，再进一步分解因式．
（2）81m4－72m2n2+16n4=（9m2） 2－2·9m2·4n2+（4n2）2=（9m2－4n2）2．
问：做到这一步还能不能继续再分解？
答：括号内的多项式是平方差形式，可以运用平方差公式分解因式．
原式=（9m2－4n2）2
=[（3m）2－（2n）2]2
=[（3m+2n）（3m－2n）]2
=（3m+2n）2（3m－2n）2．
指出：在把多项式因式分解时，应把多项式分解到不能再分解为止．
三、课堂练习
把下列各式分解因式：
（1）（x+y）2－10（x+y）+25；（2）－2xy－x2－y2；（3）ax2+2a2x+a3；（4）－a2c2－c4+2ac3；
（5）（a+b）2－16（a+b）+64；（6）（x2+2x）2+2（x2+2x）+1；（7）（m2－6）2（m2－6）+9；（8）a4－8a2b2+16b4．
课件11张PPT。3 公式法复习回顾还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？平方差公式：完全平方公式：计算：= (999+1)(999–1)此处运用了什么公式？
新课引入试计算：9992 – 112= 1000×998 = 998000平方差公式逆用因式分解：（1）x2 – ； （2）y2 –4 2522 52= (x+2)(x–2)= (y+5)(y–5) 这些计算过程中都逆用了平方差公式
即：此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为： 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积． 尝试练习(对下列各式因式分解)：
① a2 – 9 = ___________________
② 49 – n2 = __________________
③ 5s2 – 20t2 = ________________
④ 100x2 – 9y2 =_______________(a+3)(a–3)(7+n)(7–n)5(s+2t)(s–2t)(10x+3y)(10x–3y) 判断下列各式是否可以
运用平方差公式进行因式分解．① x2 + 4
② – 4x2 + y2
③ x4 – 1
④ x2 – x6
⑤ 6x3 – 54xy2
⑥ (x+p)2 – (x–q)2= y2 – 4x2 = (y+2x)(y–2x)
= (x2)2 – 12 = (x2+1) (x2–1)② – 4x2 + y2
③ x4 – 1(x2–1)= – ( 4x2 – y2 ) = – (2x+y)(2x–y)(x+1)(x–1)因式分解一定要分解彻底 !④ x2 – x6
= x2 – (x3)2
= (x+x3)(x–x3)
= x·(1+x2)·x·(1–x2)
= x2(1+x2)(1+x)(1–x)④ x2 – x6
= x2 (1–x4)
= x2 (1+x2)(1–x2)
= x2 (1+x2)(1+x)(1–x)更简便！ 在我们现学过的因式分解方法中，先考虑提取公因式，再考虑用公式法．⑤ 6x3 – 54xy2
= 6x (x2–9y2)
= 6x (x+3y)(x–3y)
⑥ (x+p)2 – (x–q)2
= [ (x+p)+(x–q) ]·[ (x+p)–(x–q) ]
= (2x+p–q)(p+q)YXYXYX做一做 利用平方差公式因式分解．提高训练(一)④ 设m、n为自然数且满足关系式12+92+92+22+m2=n2，则m = ____，n = ____．提高训练(二) 3、n是自然数，代入n3 – n中计算时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的只可能是( ) ．
A、421800 B、438911 C、439844 D、428158课件20张PPT。 3 公式法 知识回顾 根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？
1．(2x-1)2=4x2-4x+1
3．4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y)
2. 3x2+9xy-3x＝3x(x+3y-1) 否是否否知识回顾把下列各式进行因式分解:1. a3b3-a2b-ab
2. -9x2y+3xy2-6xyab(a2b2-a-1)-3xy(3x-y+2)和老师比一比，看谁算的又快又准确！ 比一比1、322-3122、682-6724、5.52-4.52在横线内填上适当的式子，使等式成立： （1）（x+5)(x-5)= ； （2）（a+b)(a-b)= ；（3） x2-25 = (x+5)( )；（4） a2-b2 = (a+b)( ) ．x2-25a2-b2x-5a-b知识回顾知识探索平方差公式：（a+b)(a-b)=a2-b2 整式乘法因式分解这种分解因式的方法称为公式法．a2-b2= (a+b)(a-b)比一比：两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差．两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.平方差公式：说一说：（1）公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）２－（ ）２的形式．（2）公式右边：（是分解因式的结果）★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式．试一试，你能行！下列多项式能转化成（ ）２－（ ）２的形式吗？如果能，请将其转化成（ ）２－（ ）２的形式．(1) m2 -1(2) 4m2 -9(3) 4m2+9(4) x2 -25y 2(5) -x2 -25y2(6) -x2+25y2= m2 - 12= (2m)2 - 32不能转化为平方差形式= x2 -(5y)2不能转化为平方差形式= 25y2 - x2 =(5y)2 - x2a2 － b2= (a ＋ b) (a － b)做一做（1）a2-16
（2）64-b2你能试着把下列各式分解因式吗？＝a2-( )2＝( ) 2-b248＝（a+4)(a-4)＝（8+b)(8-b)抢答题：=(4x+y) (4x －y)=(2k+5mn) (2k －5mn)把下列各式分解因式：a2 － b2= (a ＋ b) (a － b) 看谁快又对= (a+8) (a －8)当场编题，考考你！结论：
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解．解决问题例1：把下列各式分解因式：
(1) 16a2-9b2
(2) 9(a+b)2-4(a-b)2
(3) (x+p)2-(x+q)2在使用平方差公式分解因式时，要 注意：先把要计算的式子与平方差公式对照， 明确哪个相当于 a ， 哪个相当于 b.牛刀小试(一）把下列各式分解因式： ② 0.25m2n2 – 1 ③ (2a+b)2 - (a+2b)2 ① x2 -116y2 ④ 25(x+y)2 - 16(x-y)2 利用因式分解计算：牛刀小试（二）（1）2.882-1.882；（2）782-222 ．解决问题例2：如图，求圆环形绿地的面积．拓展：用你学过的方法分解因式：4x3 - 9xy2结论：
多项式的因式分解要分解到不能再分解为止．方法：
先考虑能否用提取公因式法，再考虑能否用平方差公式分解因式．拓展：分解因式： 4x3 - 4x 2. x4-y4
结论：
分解因式的一般步骤：一提二套．
多项式的因式分解要分解到不能再分解为止．解：1. 4x3-4x=4x(x2-1)=x(x+1)(x-1)2. x4-y4=(x2+y2) (x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y) 如图，在边长为6.8cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6cm的小正方形，求剩余部分的面积．再攀高峰考考你你知道992-1能否被100整除吗？说说你是怎么想的？课件13张PPT。3 公式法复习回顾还记得前面学的完全平方公式吗？计算：新课引入试计算：9992 + 1998 + 12×999×1= (999+1)2 = 106此处运用了什么公式？
完全平方公式逆用 就像平方差公式一样，完全平方公式也可以逆用，从而进行一些简便计算与因式分解．
即：这个公式可以用文字表述为： 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 牛刀小试(对下列各式因式分解)：
① a2+6a+9 = _________________
② n2–10n+25 = _______________
③ 4t2–8t+4 = _________________
④ 4x2–12xy+9y2 = _____________(a+3)2(n–5)24(t–1)2(2x–3y)2 判断下列各式是否可以
运用完全平方公式进行因式分解．① 16x2 + 24x + 9
② – 4x2 + 4xy – y2
③ x2 + 2x – 1
④ 4x2 – 8xy + 4y2
⑤ 1 – 2a2 + a4
⑥ (p+q)2 – 12(p+q) + 36 形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式． 完全平方式一定可以利用完全平方公式因式分解．完全平方式的特点：
1、必须是三项式（或可以看成三项的） ．
2、有两个同号的平方项．
3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍） ．
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央．① 16x2 + 24x + 9
② – 4x2 + 4xy – y2
④ 4x2 – 8xy + 4y2= (4x+3)2= – (4x2–4xy+y2)= – (2x–y)2= 4 (x2–2xy+y2)= 4 (x–y)2 – 2a2 +
⑥ (p+q)2 – 12(p+q) + 36a41= (a2–1)2= (a+1)2 (a–1)2= [(a+1) (a–1)]2= (p+q–6)2XXX做一做用完全平方公式进行因式分解．做一做用恰当的方法进行因式分解．备选方法：
提公因式法
平方差公式
完全平方公式
提高训练(一)④ 给4x2+1加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，这个单项式可以是 ________ ．提高训练(二)提高训练(三)课件10张PPT。3 公式法 一、新课引入试计算：9992 + 1998 + 12×999×1= (999+1)2 = 106此处运用了什么公式？
完全平方公式．逆用 就像平方差公式一样，完全平方公式也可以逆用，从而进行一些简便计算与因式分解．
即： 完全平方式的特点：
1、必须是三项式（或可以看成三项的）；
2、有两个同号的平方项；
3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍） ．
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央．二、完全平方式做一做：请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．·例1：分解因式：(1) 16x2+24x+9 ．分析：在(1)中，16x2=(4x)2，9=32，24x=2·4x·3，
所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即
16x2+24x+9= (4x)2+ 2·4x·3 +32
a22abb2+·+解：
(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32=(4x+3)2.三、新知识或新方法运用例1：分解因式：(2) –x2+4xy–4y2 ．解：(2) –x2+4xy-4y2
= -(x2-4xy+4y2)
= -[x2-2·x·2y+(2y)2]
= - (x-2y)2 三、新知识或新方法运用例2：分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2；
（2） (a+b)2-12(a+b)+36.分析：在（1）中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解．
解（1）3ax2+6axy+3ay2
=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2 ．（2）
(a+b)2-12(a+b)+36
=(a+b)2-2·(a+b)·6+62
=(a+b-6)2.三、新知识或新方法运用1、如何用符号表示完全平方公式？a2+2ab+b2=(a+b)2，
a2-2ab+b2(a-b)2．2、完全平方公式的结构特点是什么？四、小结完全平方式的特点：
1、必须是三项式（或可以看成三项的）；
2、有两个同号的平方项；
3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍） ．
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央．练习
1、下列多项式是不是完全平方式？为什么？
(1) a2－4a+4；
(2)1+4a2；
(3) 4b2+4b－1 ；
(4)a2+ab+b2.2、分解因式：
(1) x2+12x+36； (2) －2xy－x2－y2；
(3) a2+2a+1； (4) 4x2－4x+1；
(5) ax2+2a2x+a3； (6) －3x2+6xy－3y2.
