人教03审查版高一（上）第一章集合全章教案[上学期]
文档属性
| 名称 | 人教03审查版高一（上）第一章集合全章教案[上学期] |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 673.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2006-08-21 15:20:00 | ||
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文档简介
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第一章 集合与简易逻辑
1.1 集 合
教学目标
（1）初步理解集合的概念，掌握其记法及表示方法，掌握常用数集的符号，了解空集概念并掌握其符号；
（2）了解集合中元素的概念，初步了解“属于”关系的意义；
（3）理解集合中元素的确定性、互异性，了解集合中元素的无序性；
（4）初步了解有限集、无限集、空集的意义；
（5）会用集合、元素等知识表示简单集合的有关问题；
（6）渗透数学是来源实践反过来又指导实践的辨证唯物主义观点．
教学建议
一、知识结构
本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例人手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明．然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子．
二、重点难点分析
这一节的重点是集合的基本概念和表示方法，难点是运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合．这一节的特点是概念多、符号多，正确理解概念和准确使用符号是学好本节的关键．为此，在教学时可以配备一些需要辨析概念、判断符号表示正误的题目，以帮助学生提高判断能力，加深理解集合的概念和表示方法．
1．关于牵头图和引言分析
章头图是一组跳伞队员编成的图案，引言给出了一个实际问题，其目的都是为了引出本章的内容无论是分析还是解决这个实际间题，必须用到集合和逻辑的知识，也就是把它数学化．一方面提高用数学的意识，一方面说明集合和简易逻辑知识是高中数学重要的基础．
2．关于集合的概念分析
点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念，集合则是集合论中原始的、不加定义的概念．
初中代数中曾经了解“正数的集合”、“不等式解的集合”；初中几何中也知道中垂线是“到两定点距离相等的点的集合”等等．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集．”这句话，只是对集合概念的描述性说明．
我们可以举出很多生活中的实际例子来进一步说明这个概念，从而阐明集合概念如同其他数学概念一样，不是人们凭空想象出来的，而是来自现实世界．
3．关于自然数集的分析
教科书中给出的常用数集的记法，是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意．
新的国家标准定义自然数集N含元素0，这样做一方面是为了推行国际标准化组织（ISO）制定的国际标准，以便早日与之接轨，另一方面，0还是十进位数｛0，1，2，…，9｝中最小的数，有了0，减法运算 仍属于自然数，其中 ．因此要注意几下几点：
（1）自然数集合与非负整数集合是相同的集合，也就是说自然数集包含0；
（2）自然数集内排除0的集，表示成 或 ，其他数集{如整数集Z、有理数集Q、实数集R}内排除0的集，也可类似表示 ， ， ；
（3）原教科书或根据原教科书编写的教辅用书中出现的符号如 ， ， …不再适用．
4．关于集合中的元素的三个特性分析
集合中的每个对象叫做这个集合的元素．例如“中国的直辖市”这一集合的元素是：北京、上海、天津、重庆。
集合中的元素常用小写的拉丁字母 ，…表示．如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作 ；否则，就说a不属于A，记作
要正确认识集合中元素的特性：
（l）确定性： 和 ，二者必居其一．
集合中的元素必须是确定的．这就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了．例如，给出集合{地球上的四大洋}，它的元素是：太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋．其他对象都不用于这个集合．如果说“由接近 的数组成的集合”，这里“接近 的数”是没有严格标准、比较模糊的概念，它不能构成集合．
（2）互异性：若 ， ，则
集合中的元素是互异的．这就是说，集合中的元素是不能重复的，集合中相同的元素只能算是一个．例如方程 有两个重根 ，其解集只能记为｛1｝，而不能记为｛1，1｝．
（3）无序性：｛a，b｝和｛b，a｝表示同一个集合．
集合中的元素是不分顺序的．集合和点的坐标是不同的概念，在平面直角坐标系中，点（l，0）和点（0，l）表示不同的两个点，而集合｛1，0｝和｛0，1｝表示同一个集合．
5．要辩证理解集合和元素这两个概念
（1）集合和元素是两个不同的概念，符号和是表示元素和集合之间关系的，不能用来表示集合之间的关系．例如 的写法就是错误的，而 的写法就是正确的．
（2）一些对象一旦组成了集合，那么这个集合的元素就是这些对象的全体，而非个别现象．例如对于集合 ，就是指所有不小于0的实数，而不是指“ 可以在不小于0的实数范围内取值”，不是指“ 是不小于0的一个实数或某些实数，”也不是指“ 是不小于0的任一实数值”……
（3）集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件．
6．表示集合的方法所依据的国家标准
本小节列举法与描述法所使用的集合的记法，依据的是新国家标准如下的规定．
符号 应用 意义或读法 备注及示例
诸元素 构成的集 也可用 ，这里的I表示指标集
使命题 为真的A中诸元素之集 例： ，如果从前后关系来看，集A已很明确，则可使用 来表示，例如
此外， 有时也可写成 或
7．集合的表示方法分析
集合有三种表示方法：列举法、描述法、图示法．它们各有优点．用什么方法来表示集合，要具体问题具体分析．
（l）有的集合可以分别用三种方法表示．例如“小于 的自然数组成的集合”就可以表为：
①列举法： ；
②描述法： ；
③图示法：如图1。
（2）有的集合不宜用列举法表示．例如“由小于 的正实数组成的集合”就不宜用列举法表示，因为不能将这个集合中的元素—一列举出来，但这个集合可以这样表示：
①描述法： ；
②图示法：如图2．
（3）用描述法表示集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合什么条件，从而准确理解集合的意义．例如：
①集合 中的元素是 ，它表示函数 中自变量 的取值范围，即 ；
②集合 中的元素是 ，它表示函数值。的取值范围，即 ；
③集合 中的元素是点 ，它表示方程 的解组成的集合，或者理解为表示曲线 上的点组成的集合；
④集合 中的元素只有一个，就是方程 ，它是用列举法表示的单元素集合．
实际上，这是四个完全不同的集合．
列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法．要注意，一般无限集，不宜采用列举法，因为不能将无限集中的元素—一列举出来，而没有列举出来的元素往往难以确定．
8．集合的分类
含有有限个元素的集合叫做有限集，如图1所示．
含有无限个元素的集合叫做无限集，如图2所示．
9．关于空集分析
不含任何元素的集合叫做空集，记作 ．空集是个特殊的集合，除了它本身的实际意义外，在研究集合、集合的运算时，必须予以单独考虑．
教学设计方案
第一教时
教材：集合的概念
目的：要求学生初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；初步了解集合的分类及性质。
过程：
一、引言：（实例）用到过的“正数的集合”、“负数的集合”
如：2x-1>3x>2所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集。
如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
如：自然数的集合 0，1，2，3，……
如：高一（5）全体同学组成的集合。
结论： 某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
指出：“集合”如点、直线、平面一样是不定义概念。
二、集合的表示： { … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}
用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5}
常用数集及其记法：
1． 非负整数集（即自然数集） 记作：N
2． 正整数集 N*或 N+
3． 整数集 Z
4． 有理数集 Q
5． 实数集 R
集合的三要素： 1。元素的确定性； 2。元素的互异性； 3。元素的无序性
（例子 略）
三、关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集A 记作 aA ，相反，a不属于集A 记作 aA （或aA）
例： 见P4—5中例
四、练习 P5 略
五、集合的表示方法：列举法与描述法
1． 列举法：把集合中的元素一一列举出来。
例：由方程x2-1=0的所有解组成的集合可表示为{1，1}
例；所有大于0且小于10的奇数组成的集合可表示为{1，3，5，7，9}
2． 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
1 语言描述法：例{不是直角三角形的三角形}再见P6例
2 数学式子描述法：例 不等式x-3>2的解集是{xR| x-3>2}或{x| x-3>2}或{x:x-3>2} 再见P6例
六、集合的分类
1．有限集 含有有限个元素的集合
2．无限集 含有无限个元素的集合 例题略
3．空集 不含任何元素的集合
七、用图形表示集合 P6略
八、练习 P6
小结：概念、符号、分类、表示法
九、作业 P7习题1.1
第二教时
教材： 1、复习
目的： 复习集合的概念；巩固已经学过的内容，并加深对集合的理解。
过程：
1、 复习：（结合提问）
1．集合的概念 含集合三要素
2．集合的表示、符号、常用数集、列举法、描述法
3．集合的分类：有限集、无限集、空集、单元集、二元集
4．关于“属于”的概念
1、 例一 用适当的方法表示下列集合：
1． 平方后仍等于原数的数集
解：{x|x2=x}={0,1}
2． 比2大3的数的集合
解：{x|x=2+3}={5}
3． 不等式x2-x-6<0的整数解集
解：{xZ| x2-x-6<0}={xZ| -24． 过原点的直线的集合
解：{(x,y)|y=kx}
5． 方程4x2+9y2-4x+12y+5=0的解集
解：{(x,y)| 4x2+9y2-4x+12y+5=0}={(x,y)| (2x-1)2+(3y+2)2=0}={(x,y)| (1/2,-2/3)}
6． 使函数y=有意义的实数x的集合
解：{x|x2+x-60}={x|x2且x3,xR}
三、与集合的确定性有关的例题 （选讲）
例1下列备选项中可以组成集合的是（ ）
A﹒与2非常接近的全体实数
B﹒很著名的科学家的全体
C﹒某教室内的全体桌子
D﹒与无理数 相差很小的数
解：由集合的确定性可知答案为C
与集合相等和空集概念有关的例题
例2以下说法中正确的个数有（ ）
① 表示同一个集合
② 与 表示同一个集合；
③空集是唯一的；
④ 与 ，则集合 。
A﹒3个 B﹒2个 C﹒1个 D﹒0个
解：①集合M表示由点（1，2）组成的单点集，集合N表示点（2，1）组成的单点集。
②由集合元素无序性可知M，N表示同一个集合。
③由 且 （其中 、 均为空集）由集合相等定义可知 即证明空集唯一性。
④对于要认识一个集合，应从以下方面入手①判断集合元素是什么；②元素有何属性（如表示数集，点集等），表示集合时与代表元素采用的字母无关。而④中的集合都表示大于等于1的实数组成的集合，故相等，选A。
用列举法表示集合
例3 用列举法表示下列集合。
（1）不大于10的质数集合；
（2）｛ ， 为偶数｝。
解：（1）不大于10的质数集合是｛2，3，5，7｝。
（2） ，又∵ 为偶数，
∴ 为2、4、6、8。答案为｛2，4，6，8｝。
用描述法表示集合
例4 用描述法表示下列集合。
（1）正偶数集合；
（2）被3除余1的整数集合；
（3）坐标平面内不在第一、三象限的点集。
解：（1） ；
（2） ；
（3） 。
与“属于”符号有关的填空题
例5 用符号“ ”或“ ”填空。
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） 。
解：（1） 。
（2） 。
（3）∵ ， ∴ 。
（4）点（1，2）在直线 上，而 表示直线 上的点集，故 。
注意： 表示小于或等于2的实数集，大括号内 一般可以省略，即 。
集合是一种数学语言，因此，学习集合时，要先理解集合表示的内容及意义，要从语言的角度来学习集合。
集合中元素个数的例题
例6 在实数 中选若干数组成集合 ， 中元素的个数最多有几个？
解：∵ ， 。
∴ 时（ ）这列数仅表示两个不同的数，故 中元素的个数最多有2个。
四、作业（选）
【题目】数集A满足条件：若 ，则 （ ）
（1）若 ，试求出A中其他所有元素；
（2）自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；
（3）从上面两小题的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的这个“道理”．
【参考答案】
（1）其他所有元素为－1， ．
（2）略
（3）A中只能有3个元素，它们分别是 ， ， 且三个数的乘积为－1．
一、选择题
1．下面四个命题正确的是（ ）
A．10以内的质数集合是
B．“个子较高的人”不能构成集合
C．方程 的解集是
D．偶数集为
2．下面的结论正确的是（ ）
A． ，则
B． ，则
C． 的解集是
D．正偶数集是有限集
【参考答案】：1．B 2．C
二、填空题
1．设 ，则 P。
2．0
3．1
4．设直线 上的点集为P，则 。点（2，7）与P的关系为（2，7） P。
5．集合 ，用列举法可表示为 。
【参考答案】1． 2． 3． 4． ， 5．
三、解答题
1．已知 ， ， ，求
2．已知 ，若集合P中恰有3个元素，求
3．已知集合 若 ，求满足条件的实数 组成的集合。
4．用适当的方法表示右图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M。
【参考答案】
1． 为点（4，7）
2．
3． 提示：依题意求出的 要进行检验，不符合集合中元素的特性的应舍去。
4．
五、课后反思：
本节课在教学时主要教会学生学习集合的表示方法，在认识集合时，应从两方面入手：
（1）元素是什么？
（2）确定集合的表示方法是什么？表示集合时，与采用字母名称无关。
扩展资料
悖 论
悖论就是自相矛盾的命题，如果承认它是正确的，则可以推出它是错误的。而如果承认它是错误的，又能推出它是正确的。
也许你会说，哪里会有这样的事呀!如果真是这样，世界还不闹得一团糟!让我们看一看下面这个小问题，你就会明白了。在一个村子里，只有一位理发师。他为自己定下了这样一条规矩：“我只为那些不给自己刮胡子的人刮胡子”。那么理发师是否给自己刮胡子呢
现在我们假设理发师可以给自己刮胡子，那么他就成“给自己刮胡子的人”。而按照他的规矩是不能给“自己刮胡子的人”刮胡子的，所以他不能给自己刮胡子。反之，如果理发师不给自己刮胡子，他就成为“不给自己刮胡子的人”。而按规矩他应该给“不自己刮胡子的人”刮胡子，因此他又应该给自己刮胡子。自作聪明的理发师，为自己制定了进退两难的规矩。
也许你会问，这是怎么回事 事实上，这个问题也不是我的发明。它是由19世纪数学家希尔伯特提出的著名的“理发师悖论”。这一悖论的提出，指出康托尔集合论的理论基础的不足之处，促进了集合论的发展。所以悖论的提出并不可怕，它只是表明数学理论的基础缺乏完备性。只要完善理论基础，就可以避免悖论的产生。
康托尔
Kangtuoer康托尔，G.（F.P.）
Georg Ferdinand Philip Cantor (1845～1918)
德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。其父为迁居俄国的丹麦商人。康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于E.E.库默尔、K.（T.W.）外尔斯特拉斯和L.克罗内克。1866年曾去格丁根学习一学期。1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。
大学期间康托尔主修数论，但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和数学分析感兴趣。哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列（即柯西序列）定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质作为对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴趣和要求。
1872年康托尔在瑞士结识了J.W.R.戴德金，此后时常往来并通信讨论。1873年他估计，虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应，但全体正实数似乎不能。他在1874年的论文《关于一切实代数数的一个性质》中证明了他的估计，并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应，这就证明了超越数是存在的而且有无穷多。在这篇论文中，他用一一对应关系作为对无穷集合分类的准则。
在整数和实数两个不同的无穷集合之外，是否还有更大的无穷 从1874年初起,康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索，1877年他证明了□维形体的点和线上的点可以有一一对应。他说，“我见到了，但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年发表后引起了很大的怀疑。P.D.G.杜布瓦－雷蒙和克罗内克都反对，而戴德金早在1877年7月就看到,不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系，而不能有连续的一一对应。此问题直到1910年才由L.E.J.布劳威尔给出证明。
康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身的真子集有一一对应”作为无穷集的特征。
康托尔认为，建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在1879～1884年发表的题为《关于无穷线性点集》论文6篇，其中5篇的内容大部分为点集论，而第5篇很长，此篇论述序关系，提出了良序集、序数及数类的概念。他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列，并对无穷问题作了不少的哲学讨论。在此文中他还提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未给出证明。
在1891年发表的《集合论的一个根本问题》里，他证明了一集合的幂集的基数较原集合的基数大，由此可知，没有包含一切集合的集合。他在1878年论文中曾将连续统假设作为一个估计提出，其后在1883年论文里说即将有一严格证明，但他始终未能给出。
19世纪70年代许多数学家只承认，有穷事物的发展过程是无穷尽的，无穷只是潜在的，是就发展说的。他们不承认已经完成的、客观存在着的无穷整体，例如集合论里的各种超穷集合。康托尔集合论肯定了作为完成整体的实无穷，从而遭到了一些数学家和哲学家的批评与攻击，特别是克罗内克。康托尔曾在1883年的论文和以后的哲学论文里对于无穷问题作了详尽的讨论。另一方面，康托尔创建集合论的工作开始时就得到戴德金、外尔斯特拉斯和D.希尔伯特的鼓励和赞扬。20世纪以来集合论不断发展，已成为数学的基础理论。
他的著作有：《G.康托尔全集》1卷及《康托尔-戴德金通信集》等。
（王宪钧）
康托尔定理中所存在的不足
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文章作者：[胡思之]
康托尔先生无疑是有史以来最伟大的数学家之一，其一一对应概念为集合论在数学上的立足开辟了新的天地，凡以集合论为进取目标的人，无不以康托尔先生为鼻祖，鄙人亦不例外。
然后，作为康托尔学说的信徒，若盲目对待康托尔先生的每一论点，则是裹足不前的表现，显然是有愧于信徒之称呼。故而，在以集合论为工具批判数论中所存在的谬论之同时，也不得不指出在集合论中，同样存在着不足之处，此不足之处就是著名的康托尔定理。
与数论中的谬误相比，康托尔定理不存在逻辑性的错误，其只是不曾将极限引入定理之中。但是，正是由于此一失误，造成数学史上最大的混乱，使之不能正确定位基数的序列，引成了数学中的公理化之缺陷。
那么，康托尔定理究竟所指何谓？问题之前必须对集合及其幂集合的概念作一解释。如果我们以A表示为某一集合，以p(A)表示A的幂集合，就是说若集合A中有三个元素：{1，2，3}，则幂集合p(A)中就有元素：{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}、{φ}等八个元素。一般而言，集合A中若有元素n个，则其幂集合p(A)就有元素2^n个。
集合与其幂集合之间的关系一目了然，集合中的元素比其幂集合中的元素少，这是一个不争的事实。但是，康托尔先生将其引伸到了集合的基数上，从而有了著名的康托尔定理：
“定理8：对于任一集合S，都有S″＜p(S)″。
证明：对于任一x∈S，令f(x)={x}。由于当x_1≠x_2时，有{x_1}≠{x_2}，即f(x_1)≠f(x_2)，所以f就是S→p(S)的一内射函数。因此S″≤p(S)″。下面，我们来证明这个等号是不能成立的。
假定不然，即存在一双射函数ψ:S→p(S)。对于任一x∈S,ψ(x)∈p(S)，即ψ(x)是S的子集。当然我们可以问这一x属于ψ(x)吗？一般说来，可能是x∈ψ(x)成立，也可能是x\∈(x)成立。令S_0为所有使得x\∈ψ(x)的那些元x所组成，亦即S_0:={x|x\∈ψ(x)∧x∈S}.(4.5)显然S_0是S的一子集合。因为ψ是一双射函数，所以在S中必有一元素y使得S_0=ψ(y)。因此，我们可以提出y∈S_0是否成立这样一个问题。按照通常逻辑的排中律，y∈S_0或y\∈S_0，两者必居其一。
若y∈S_0，由(4.5)式得到y\∈ψ(y)。但是，由y的定义，S_0=ψ(y)，所以y\∈S_0；若y\∈S_0，由S_0=ψ(y)，得到y\∈(y)，但是，由(4.5)式，y∈S_0。
这样，不管y是否属于S_0，都要导出矛盾。因此，这样的双射函数ψ是不存在的，亦即证明了定理8。”(见张锦文著《集合论与连续统假设浅说》第四章第四节康托尔定理。第48页到第四49页)。
在上述定理中，以符号“″”表示集合的基数，以符号“\∈”表示不属于。
诚然，当集合A是有限元素的集合时，A→p(A)的内射函数是同态映射的，既然是同态映射，则必不是一一对应，否则就成了同构映射。然而，当集合A为无穷集合时，情况就未必如此。
我们知道，自然数集N的幂集合之基数等价于实数集R的基数，是所知的基数中唯一大于可数集基数的集合。若根据康托尔定理，则实数集R的幂集合之基数也有大于实数集R的基数。但是，根据选择公理，对实数集R的幂集合进行商集化分割，其良序化之链与实数集R的良序化之链却是一样的。
根据实数集R的基数等价于自然数集N的幂集合，因此，我们可以将实数集R中的所有的点同构映射于自然数集N的幂集合上。于是，实数集R的幂集合也就是等价于自然数集N的幂集合之幂集合。
分割自然数集N的幂集合中的元素，使之每一元素属于且仅属于某一商集化子集。按照自然数集N的元素可知，自然数集N的幂集合由自然数的组合而成。例如，有{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}、...等。则其商集化子集可按自然数1、2、3、...等来分割，其最小元素集即其良序化之链乃是自然数列。
对于自然数集N的幂集合之幂集合，用商集合的概念进行分割，其最小元素集依然可以用自然数1、2、3、...，因为自然数集N的幂集合之幂集合，依旧是由自然数组合的。所以其良序化之链依旧是自然数列。
由于自然数集N的幂集合与自然数集N的幂集合之幂集合，都是无穷集合，其商集化子集中的元素也都具有无穷多个元素。因此，根据集合论的一一对应概念，用商集化概念来分割这两个集合，其元素完全可以一一对应。所以，两个集合的基数是相同的。
从自然数集N的幂集合与自然数集N的幂集合之幂集合具有相同的基数中可知，康托尔定理只是将有限集时集合与其幂集合不能一一对应的情况，错误地应用于基数上，而没有考虑到对无穷集合的分割其商集化子集有极限存在。
胡思之写于00-07-05.23:04
康托尔与集合论
康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家，集合论的创立者。是数学史上最富有想象力，最有争议的人物之一。19世纪末他所从事的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统，从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责。然而数学的发展最终证明康托是正确的。他所创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，集合概念大大扩充了数学的研究领域，给数学结构提供了一个基础，集合论不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑。
1．康托尔的生平
1845年3月3日，乔治·康托生于俄国的一个丹麦—犹太血统的家庭。1856年康托和他的父母一起迁到德国的法兰克福。像许多优秀的数学家一样，他在中学阶段就表现出一种对数学的特殊敏感，并不时得出令人惊奇的结论。他的父亲力促他学工，因而康托在1863年带着这个目地进入了柏林大学。这时柏林大学正在形成一个数学教学与研究的中心。康托很早就向往这所由外尔斯托拉斯占据着的世界数学中心之一。所以在柏林大学，康托受了外尔斯特拉斯的影响而转到纯粹的数学。他在1869年取得在哈勒大学任教的资格，不久后就升为副教授，并在1879年被升为正教授。1874年康托在克列勒的《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章。数学史上一般认为这篇文章的发表标志着集合论的诞生。这篇文章的创造性引起人们的注意。在以后的研究中，集合论和超限数成为康托研究的主流，他一直在这方面发表论文直到1897年，过度的思维劳累以及强列的外界刺激曾使康托患了精神分裂症。这一难以消除的病根在他后来30多年间一直断断续续影响着他的生活。1918年1月6日，康托在哈勒大学的精神病院中去世。
2．集合论的背景
为了较清楚地了解康托在集合论上的工作，先介绍一下集合论产生的背景。
集合论在19世纪诞生的基本原因，来自数学分析基础的批判运动。数学分析的发展必然涉及到无穷过程，无穷小和无穷大这些无穷概念。在18世纪，由于无穷概念没有精确的定义，使微积分理论不仅遇到严重的逻辑困难，而且还使实无穷概念在数学中信誉扫地。19世纪上半叶，柯西给出了极限概念的精确描述。在这基础上建立起连续、导数、微分、积分以及无穷级数的理论。正是这19世纪发展起来的极限理论相当完美的解决了微积分理论所遇到的逻辑困难。但是，柯西并没有彻底完成微积分的严密化。柯西思想有一定的模糊性，甚至产生逻辑矛盾。19世纪后期的数学家们发现使柯西产生逻辑矛盾的问题的原因在奠定微积分基础的极限概念上。严格地说柯西的极限概念并没有真正地摆脱几何直观，确实地建立在纯粹严密的算术的基础上。于是，许多受分析基础危机影响的数学家致力与分析的严格化。在这一过程中，都涉及到对微积分的基本研究对象─连续函数的描述。在数与连续性的定义中，有涉及关于无限的理论。因此，无限集合在数学上的存在问题又被提出来了。这自然也就导致寻求无限集合的理论基础的工作。总之，为寻求微积分彻底严密的算术化倾向，成了集合论产生的一个重要原因。
3．集合论的建立
康托在柏林大学的导师是外尔斯托拉斯，库曼和克罗内克。库曼教授是数论专家，他以引进理想数并大大推动费马大定理的研究而举世闻名是。克罗内克是一位大数学家，当时许多人都以得到他的赞许为荣。外尔斯托拉斯是一位优秀教师也是一位大数学家。他的演讲给数学分析奠定了一个精确而稳定的基础。例如，微积分中著名的观念就是他首先引进的。正是由于这些人的影响，康托对数论较早产生兴趣，并集中精力对高斯所留下的问题作了深入的研究。他的毕业论文就是关于++=0的素数问题的。这是高斯在《算术研究》中提出而未解决的问题。这片论文写得相当出色，它足以证明作者具有深刻的洞察力和对优秀思想的继承能力。然而，他的超穷集合论的创立，并没有受惠于早期对数论的研究。相反，他很快接受了数学家海涅的建议转向了其他领域。海涅鼓励康托研究一个十分有趣，也是较困难的问题：任意函数的三角级数的表达式是否唯一？对康托来说这个问题是促使他建立集合论的最直接原因。函数可用三角级数表示，最早是1822年傅立叶提出来的。此后对于间断点的研究，越来越成为分析领域中引人注目的问题，从19世纪30年代起，不少杰出的数学家从事着对不连续函数的研究，并且都在一定程度上与集合这一概念挂起了钩。这就为康托最终建立集合论创造了条件。1870年，海涅证明，如果表示一个函数的三角级数在区间[-π,π]中去掉函数间断点的任意小邻域后剩下的部分上是一致收敛的，那么级数是唯一的。至于间断点的函数情况如何，海涅没有解决。康托开始着手解决这个以如此简洁的方式表达的唯一性问题。于，他跨出了集合论的第一步。
康托一下子就表现出比海涅更强的研究能力。他决定尽可能多地取消限制，当然这会使问题本身增加难度。为了给出最有普遍性的解，康托引进了一些新的概念。在其后的三年中，康托先后发表了五篇有关这一题目的文章。1872年当康托将海涅提出的一致收敛的条件减弱为函数具有无穷个间断点的情况时，他已经将唯一性结果推广到允许例外值是无穷集的情况。康托1872年的论文是从间断点问题过度到点集论的极为重要的环节，使无穷点集成为明确的研究对象。
集合论里的中心，难点是无穷集合这个概念本身。从希腊时代以来，无穷集合很自然地引起数学家们和哲学家们的注意。而这种集合的本质以及看来是矛盾的性质，很难象有穷集合那样来把握它。所以对这种集合的理解没有任何进展。早在中世纪，人们已经注意到这样的事实：如果从两个同心圆出发画射线，那么射线就在这两个圆的点与点之间建立了一一对应，然而两圆的周长是不一样的。16世纪，伽俐略还举例说，可以在两个不同长的线段ab与cd之间建立一一对应，从而想象出它们具有同样的点。
他又注意到正整数可以和它们的平方构成一一对应，只要使每个正整数同它们的平方对应起来就行了:
但这导致无穷大的不同的“数量级”，伽俐略以为这是不可能的.因为所有无穷大都一样大。不仅是伽俐略，在康托之前的数学家大多不赞成在无穷集之间使用一一对应的比较手段，因为它将出现部分等于全体的矛盾.高斯明确表态：“我反对把一个无穷量当作实体，这在数学中是从来不允许的。无穷只是一种说话的方式… …”柯西也不承认无穷集合的存在。他不能允许部分同整体构成一一对应这件事。当然，潜无穷在一定条件下是便于使用的，但若把它作为无穷观则是片面的。数学的发展表明，只承认潜无穷，否认实无穷是不行的。康托把时间用到对研究对象的深沉思考中。他要用事实来说明问题，说服大家。康托认为，一个无穷集合能够和它的部分构成一一对应不是什么坏事，它恰恰反应了无穷集合的一个本质特征。对康托来说，如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。它定义了基数,可数集合等概念。并且证明了实数集是不可数的代数数是可数的.康托最初的证明发表在1874年的一篇题为《关于全体实代数数的特征》的文章中,它标志着集合论的诞生。
随着实数不可数性质的确立，康托又提出一个新的，更大胆的问题。1874年，他考虑了能否建立平面上的点和直线上的点之间的一一对应。从直观上说，平面上的点显然要比线上的点要多得多。康托自己起初也是这样认识的。但三年后，康托宣布：不仅平面和直线之间可以建立一一对应，而且一般的n维连续空间也可以建立一一对应！这一结果是出人意外的。就连康托本人也觉得“简直不能相信”。然而这又是明摆着的事实，它说明直观是靠不住的，只有靠理性才能发现真理，避免谬误。
既然n维连续空间与一维连续统具有相同的基数，于是，康托在1879到1884年间集中于线性连续统的研究，相继发表了六篇系列文章，汇集成《关于无穷的线性点集》。前四篇直接建立了集合论的一些重要结果，包括集合论在函数论等方面的应用。其中第五篇发表于1883年，它的篇幅最长，内容也最丰富。它不仅超出了线性点集的研究范围，而且给出了超穷数的一个完全一般的理论，其中借助良序集的序型引进了超穷序数的整个谱系。同时还专门讨论了由集合论产生的哲学问题，包括回答反对者们对康托所采取的实无穷立场的非难。这篇文章对康托是极为重要的。1883年，康托将它以《集合论基础》为题作为专著单独出版。
《集合论基础》的出版，是康托数学研究的里程碑。其主要成果是引进了作为自然数系的独立和系统扩充的超穷数。康托清醒地认识到，他这样做是一种大胆的冒进。“我很了解这样做将使我自己处于某种与数学中关于无穷和自然数性质的传统观念相对立的地位，但我深信，超穷数终将被承认是对数概念最简单、最适当和最自然的扩充。”《集合论基础》是康托关于早期集合理论的系统阐述，也是他将做出具有深远影响的特殊贡献的开端。
康托于1895年和1897年先后发表了两篇对超限数理论具有决定意义的论文。在该文中,他改变了早期用公理定义(序)数的方法，采用集合作为基本概念。他给出了超限基数和超限序数的定义，引进了它们的符号；依势的大小把它们排成一个“序列”；规定了它们的加法，乘法和乘方… …。到此为止，康托所能做的关于超限基数和超限序数理论已臻于完成。但是集合论的内在矛盾开始暴露出来。康托自己首先发现了集合论的内在矛盾。他在1895年的文章中遗留下两个悬而未决的问题：一个是连续统假说；另一个是所有超穷基数的可比较性。他虽然认为无穷基数有最小数而没有最大数，但没有明显叙述其矛盾之处。一直到1903年罗素发表了他的著名悖论。集合论的内在矛盾才突出出来，成为20世纪集合论和数学基础研究的出发点。
4．对康托集合论的不同评价
康托的集合论是数学上最具有革命性的理论。他处理了数学上最棘手的对象---无穷集合。因此，他的发展道路也自然很不平坦。他抛弃了一切经验和直观，用彻底的理论来论证，因此他所得出的结论既高度地另人吃惊，难以置信，又确确实实，毋庸置疑。数学史上没有比康托更大胆的设想和采取的步骤了。因此，它不可避免地遭到了传统思想的反对。
19世纪被普遍承认的关于存在性的证明是构造性的。你要证明什么东西存在，那就要具体造出来。因此，人只能从具体得数或形出发，一步一步经过有限多步得出结论来。至于“无穷”，许多人更是认为它是一个超乎于人的能力所能认识的世界，不要说去数它，就是它是否存在也难以肯定，而康托竟然“漫无边际地”去数它，去比较它们的大小，去设想没有最大基数的无穷集合的存在……这自然遭到反对和斥责。
集合论最激烈的反对者是克罗内克，他认为只有他研究的数论及代数才最可靠。因为自然数是上帝创造的，其余的是人的工作。他对康托的研究对象和论证手段都表示强烈的 反对。由于柏林是当时的数学中心，克罗内克又是柏林学派的领袖人物，所以他对康托及其集合论的发展前途的阻碍作用是非常大的。另一位德国的知觉主义者魏尔认为，康托把无穷分成等级是雾上之雾。法国数学界的权威人物庞加莱曾预言：我们的“后一代将把（康托的）集合论当作一种疾病”等等。由于两千年来无穷概念数学带来的困难，也由于反对派的权威地位,康托的成就不仅没有得到应有的评价，反而受到排斥。1891年，克罗内克去世之后，康托的处境开始好转。
另一方面，许多大数学家支持康托的集合论。除了狄德金以外，瑞典的数学家米大格---列夫勒在自己创办的国际性数学杂志上把康托的集合论的论文用法文转载，从而大大促进了集合论在国际上的传播。1897年在第一次国际数学家大会上，霍尔维次在对解析函数的最新进展进行概括时，就对康托的集合论的贡献进行了阐述。三年后的第二次国际数学大会上，为了捍卫集合论而勇敢战斗的希尔伯特又进一步强调了康托工作的重要性。他把连续统假设列为20世纪初有待解决的23个主要数学问题之首。希尔伯特宣称:“没有人能把我们从康托为我们创造的乐园中驱逐出去。”特别自1901年勒贝格积分产生以及勒贝格的测度理论充实了集合论之后，集合论得到了公认，康托的工作获得崇高的评价。当第三次国际数学大会于1904年召开时，“现代数学不能没有集合论”已成为大家的看法。康托的声望已经得到举世公认。
5．集合论的意义
集合论是现代数学中重要的基础理论。它的概念和方法已经渗透到代数、拓扑和分析等许多数学分支以及物理学和质点力学等一些自然科学部门，为这些学科提供了奠基的方法，改变了这些学科的面貌。几乎可以说，如果没有集合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解。所以集合论的创立不仅对数学基础的研究有重要意义，而且对现代数学的发展也有深远的影响。
康托一生受过磨难。他以及其集合论受到粗暴攻击长达十年。康托虽曾一度对数学失去兴趣，而转向哲学、文学，但始终不能放弃集合论。康托能不顾众多数学家、哲学家甚至神学家的反对，坚定地捍卫超穷集合论，与他的科学家气质和性格是分不开的。康托的个性形成在很大程度上受到他父亲的影响。他的父亲乔治·瓦尔德玛·康托在福音派新教的影响下成长起来。是一位精明的商人，明智且有天份。他的那种深笃的宗教信仰强烈的使命感始终带给他以勇气和信心。正是这种坚定、乐观的信念使康托义无返顾地走向数学家之路并真正取得了成功。
今天集合论已成为整个数学大厦的基础，康托也因此成为世纪之交的最伟大的数学家之一。
为科学而疯的人——康托儿
由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。在1874—1876年期间，不到30岁的年轻德国数学家康托儿向神秘的无穷宣战。他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”，后来几年，康托儿对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论。
康托儿的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂。有人说，康托儿的集合论是一种“疾病”， 康托儿的概念是“雾中之雾”，甚至说康托儿是“疯子”。来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托儿，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院。
真金不怕火炼，康托儿的思想终于大放光彩。1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托儿的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”可是这时康托儿仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。1918年1月6日，康托儿在一家精神病院去世。
康托儿(1845—1918)，生于俄国彼得堡一丹麦犹太血统的富商家庭，10岁随家迁居德国，自幼对数学有浓厚兴趣。23岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研究。他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础。
1.2 子集、全集、补集
教学目标
（1）理解子集、真子集、补集、两个集合相等概念；
（2）了解全集、空集的意义，
（3）掌握有关子集、全集、补集的符号及表示方法，会用它们正确表示一些简单的集合，培养学生的符号表示的能力；
（4）会求已知集合的子集、真子集，会求全集中子集在全集中的补集；
（5）能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号及图形（文氏图）准确地表示出来，培养学生的数学结合的数学思想；
（6）培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力．
教学建议
1．教材分析
（1）知识结构
本节的教学内容分为两部分，第一部分是子集，介绍了子集、真子集及两个集合相等的概念，说明了任何一个集合是它本身的子集，空集是任何一个集合的子集．
第二部分是全集、补集．给出了全集、补集的意义，说明了如何求出一个给定的集合在全集中的补集．
（2）重点、难点分析
①本小节的重点是子集、补集的概念．
子集概念是本章在介绍了集合概念后，从讨论集合与集合之间的包含与相等地关系入手，给出了子集的概念的．
正确理解子集的概念有助于理解与子集有关的全集、补集的概念，由于学生是刚开始接触集合的符号表示，所以子集和真子集的符号要提醒学生注意这些符号地方向不要搞错．
补集的概念是在子集、全集的概念之后给出的，子集的概念是涉及两个集合之间关系，而补集是涉及三个集合之间的特定关系，在讲解补集概念时还可以加深子集的概念．
正确运用子集、补集的概念，是用集合观点分析、解决问题的重要内容，学好它们，可以为学生进一步学习交集，并集的概念以及集合的其他初步知识打好基础，同时，可以使学生更好地理解数学中出现的集合语言，更好地使用集合语言表述数学问题，更好地运用集合的观点研究、处理数学问题．
②本节的难点是弄清元素与子集，属于与包含之间的区别．
学生在第一节集合概念学习中，刚刚接触了元素与集合之间的属于关系，现在又出现了子集、集合和集合之间的包含关系概念，由于对概念的本质认识不深刻，初学者容易弄混这些概念，在使用符号 ， 表示时经常混用．
这是因为学生在学习中接触了比较多的新概念，新符号，而这两组概念，符号比较容易混淆，这些因素可能给学生学习带来困难，因此在教学中引进符号时，应说明其意义，强调本质区别在与个体与整体、整体与整体的关系，并通过例题、习题，使集合与元素的概念多次出现，结合错例分析，使属于与包含的符号反复使用，以培养学生正确应用概念和使用术语、符号的能力．
2．教法建议
（1）从具体到抽象，从特殊到一般，充分利用图形的直观，引进概念、阐明概念的意义
子集、真子集、补集这些重要概念的教学，首先可以通过一些实例（可以用由数字组成的集合）来引入，并分析它们各自所具有的特征，然后把它一般化，概括出定义，其次，可以充分利用文氏图的直观性，形象地说明真子集、补集，这样处理，学生对这些概念就容易接受，而且还可以通过对图形的观察，发现这些概念所具有的某些重要性质．如包含关系的传递性．但是，应注意，由特殊事例归纳出一般结论的举例最好尽可能地把各种具有代表性的情况都列举出来．例如子集、真子集、集合的相等，可以通过考察三个集合：
间的关系来引入．
（2）概念、术语的意义要讲清，语言表述要确切；对于容易混淆的概念，要抓住不同点，培养学生的判断能力．
例如，“A是B的子集”，意思是A的任何一个元素都是B的元素，即由任一 ，可以推出 ，但不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合．因为B的子集也包括它本身，而这个子集是由B的全体元素组成的．
空集也是B的子集，而这个集合中并不含有B中的元素．由此也可看到，把A是B的真子集解释成A是由B的部分元素组成的集合也是不确切的．正确的说法应该把真子集的两个特征：“A是B的子集”和“B中至少有一个元素不属于A”都指出．
“空集是任何集合的子集”这句话是正确的，但是把空集说成说成是任何集合的真子集就不确切．因为空集是它本身的子集．正确的说法是“空集是任何非空集合的真子集”．总之，对于概念的解释，语言表达必须确切．
再如，“ AB是A在全集B中的补集”，不能把它简单地说成 AB是A的补集，因为补集的概念是相对而言的，集合A在不同的全集中的补集是不同的，所以在描述补集概念时，一定要注明是在哪个集合中的补集，简单的说集合A的补集是没有意义的．
（3）要明确有关数学符号、记号的意义，正确加以使用
本单元中引进的数学符号、记号比较多，初学者往往不善于使用，对此教学中必须在每一符号引进时，说明其意义，配备适当的例题、习题，逐步让学生熟悉这些符号，正确地运用这些符号．
例如，属于符号“ ”、不属于符号“ ”，它们只能用在元素与集合符号之间；包含关系“ ”“ ”、包含于（被包含）符号“ ”或“ ”，它们只能用在两个集合符号之间．对此，必须引起学生充分注意，不能用错，不要出现把 表示成 ，或 之类的错误．
又如， 是含有一个元素的集合， 是不含任何元素的集合，因此，有 ，不能写成 ， ．
关于子集与真子集的记法，教科书中采用的是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意．
关于补集，新的国家标准规定，集合A中子集B的补集或余集记为 ，如果行文中集合A已经很明确，则常常可以省去符号A，而记为 B．
教学设计方案
第三教时
教材: 子集
目的: 让学生初步了解子集的概念及其表示法,同时了解等集与真子集的有关概念.
过程:
一 提出问题:现在开始研究集合与集合之间的关系.
存在着两种关系:“包含”与“相等”两种关系.
二 “包含”关系—子集
1. 实例: A={1,2,3} B={1,2,3,4,5} 引导观察.
结论: 对于两个集合A和B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,
则说:集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,记作AB (或BA)
也说: 集合A是集合B的子集.
2. 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB (或BA)
注意: 也可写成；也可写成； 也可写成；也可写成。
3. 规定: 空集是任何集合的子集 . φA
三 “相等”关系
1. 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”
结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B， 即： A=B
2. ① 任何一个集合是它本身的子集。 AA
② 真子集：如果AB ,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B
③ 空集是任何非空集合的真子集。
④ 如果 AB, BC ,那么 AC
证明：设x是A的任一元素，则 xA
AB,xB 又 BC xC 从而 AC
同样；如果 AB, BC ,那么 AC
⑤ 如果AB 同时 BA 那么A=B
四 例题： P8 例一，例二 （略） 练习 P9
五 小结：子集、真子集的概念，等集的概念及其符号
几个性质： AA
AB, BC AC
AB BA A=B
六 作业：P10 习题1.2 1,2,3
第四教时
教材：全集与补集
目的：要求学生掌握全集与补集的概念及其表示法
过程：
一 复习：子集的概念及有关符号与性质。
提问（板演）：用列举法表示集合：A={6的正约数}，B={10的正约数}，C={6与10的正公约数}，并用适当的符号表示它们之间的关系。
解： A=1，2，3，6}， B={1，2，5，10}， C={1，2}
CA，CB
二 补集
1． 实例：S是全班同学的集合，集合A是班上所有参加校运会同学的集合，集合B是班上所有没有参加校运动会同学的集合。
集合B是集合S中除去集合A之后余下来的集合。
结论：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）
记作： CsA 即 CsA ={x xS且 xA}
2．例：S={1，2，3，4，5，6} A={1，3，5} CsA ={2，4，6}
三 全集
定义： 如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。
如：把实数R看作全集U, 则有理数集Q的补集CUQ是全体无理数的集合。
四 练习：P10（略）
五 小结：全集、补集
六作业 P10 4，5
第五教时
教材： 子集，补集，全集
目的： 复习子集、补集与全集，要求学生对上述概念的认识更清楚，并能较好地处理有关问题。
过程：
一、复习：子集、补集与全集的概念，符号
二、辨析： 1。补集必定是全集的子集，但未必是真子集。什么时候是真子集？
2。AB 如果把B看成全集，则CBA是B的真子集吗？什么时候（什么条件下）CBA是B的真子集？
三、典型例题（选讲）
例1 判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正．
（1） 表示空集；
（2）空集是任何集合的真子集；
（3） 不是 ；
（4） 的所有子集是 ；
（5）如果 且 ，那么B必是A的真子集；
（6） 与 不能同时成立．
解：（1） 不表示空集，它表示以空集为元素的集合，所以（1）不正确；
（2）不正确．空集是任何非空集合的真子集；
（3）不正确． 与 表示同一集合；
（4）不正确． 的所有子集是 ；
（5）正确
（6）不正确． 时， 与 能同时成立．
[说明]本题中某些似是而非的问题是学生学习中常常出现的问题，教学中应及时收集学生作业中的类似问题，让学生判断，以加深学生对子集和真子集，包含和相等的理解．
例2 用适当的符号（ ， ）填空：
（1） ； ； ；
（2） ； ；
（3） ；
（4）设 ， ， ，则A B C．
解：（1）0 0 ；
（2） ＝ ， ；
（3）∵ ∴ ；
（4）∵A，B，C均表示奇数集，∴A＝B＝C．
说明：本题主要是训练学生正确运用集合的符号，这类题的解法应使学生熟练掌握，为此教师还可以选编一些习题供学生练习．
例3 设 ，且 则（ ）
A﹒ B﹒ C﹒ D﹒
解 由B的表示可知， 代表A的子集， ，所以 。
例4 若集合：
， ，则M，N，P的关系是（ ）
A﹒ B﹒
C﹒ D﹒
解 对集合
对集合
对于
∴ ，故选B。
例5 设全集 ， ， ，判断 与 之间的关系．
解：∵
∴
∵
∴
∴
四、习题精选（选）
一、填空题
1．已知三个元素的集合 ， ，如果 ，那么 的值为 ．
2． 已知 ， ．若 ，则实数 的取值范围是 ．
3．设全集为Z， ， ，则 与 的关系是 ．
4．若 ， ， ， ，则满足上述条件的集合A为 ．
二、解答题
1．已知集合 ， ，其中 ， ，且 ．求 的值．
2．设全集 ， ，求由实数 组成的集合．
3．已知 ， ， ，试确定A，B，C之间的关系．
【参考答案】
一、填空题
1．－2． 2． ，或 3． 4． ．
二、解答题
1． ．注意
2． 提示：由题设知 ， ，故可求出 ，注意全集与空集互为补集．
3． ， ， ．
探究活动
子集的个数：同学们知道含一个元素集合子集的个数是2=21，含有两个元素集合子集的个数是4=22，含有3个元素集合子集的个数是8=23,含有4个元素集合子集的个数是16=24,……由此我们给出这样一个结论：一个 阶集合（即有 个元素组成的集合），有 个不同的子集，其中有 －1个非空子集，也有 －1个真子集．
由这条结论我们可以求有关集合不同的子集的个数．如已知 ， ，若 是 的子集，且 ,则子集 共有多少个？
要回答这个问题，我们可先求 的集合的个数．集合 可看作是 ．由 的元素构成子集与 的交集为空集，这样的子集共有 个． 故满足题中所求的子集 的个数是： 个．
题目：已知集合 且M中至多有二个奇数，试问这样的集合M有多少个？
答案：这样的集合M共有15个．
提示：注意两点：① 说明M是 的子集；②M中至多有二个奇数．
说明：M可分为四类：
第一类是空集；
第二类是不含奇数的集合；
第三类是只含一个奇数的集合；
第四类是含有二个奇数的集合．
1.3 交集、并集
教学目标
（1）理解交集与并集的概念；
（2）掌握有关集合的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合；
（3）能用图示法表示集合之间的关系；
（4）掌握两个较简单集合的交集、并集的求法；
（5）通过对交集、并集概念的讲解，培养学生观察、比较、分析、概括、等能力，使学生认识由具体到抽象的思维过程；
（6）通过对集合符号语言的学习，培养学生符号表达能力，培养严谨的学习作风，养成良好的学习习惯．
教学建议
1．教材分析
（1）知识结构
本节首先结合表示两个集合的图，引出交集与并集的概念，然后在完成一些练习的基础上，介绍了交集与并集的简单性质．
（2）重点难点分析
重点：交集与并集的概念；
难点：弄清交集与并集的概念、符号之间的区别与联系．
①本小节的重点是交集与并集的概念，只要结合图形，抓住概念中的关键词“且”、“或”，理解它们并不困难．可以借助代数运算帮助理解“且”、“或”的含义：求方程组的解集是求各个方程的解集的交集，求方程 的解集，则是求方程 和 的解集的并集；求不等式组的解集是求各个不等式的解集的交集，求不等式 的解集，则是求 和 的解集的并集，或是求不等式组 与 及不等式组 与 的解集的并集．
②本小节的难点是弄清交集与并集的概念及符号之间的联系和区别．突破难点的关键是掌握有关集合的术语和符号、简单的性质和推论，并会正确地表示一些简单的集合．利用数形结合的思维，将满足条件的集合用维恩图或数轴一一表示出来，从而求集合的交集、并集、补集，这是既简单又直观且是最基本、最常见的方法，要注意灵活运用．
2．教法建议
（1）注重数形结合，从集合A和B的文氏图中引出交集、并集的概念
在引出交集、并集的概念时，最好不要直接给出它们各自概念的含义，建议结合图形，启发学生从集合A和集合B的文氏图中，寻找它们之间的联系，学生较为容易接受，理解也较为深刻，为以后进行集合之间的交并运算打下基础．
（2）注意交集、并集概念的符号语言表示，提高学生的数学语言表达能力
教材对于交集、并集的概念还给出了它们各自的符号语言表示，即：
①
②
对于符号语言的表示要注意它们的区别和联系，抓住概念中的关键词“且”、“或”．
①中的“且”字，它说明 的任一元素 都是A与B的公共元素。由此可知， 必是A与B的公共子集，即： ．
②式中的“或”字的意义，用它连接的并列成分之间不一定是互相排斥的，“ ”这一条件，包括下列三种情况： ， ，且 （很明显，适合第三种情况的元素 构成的集合就是 ，它不一定是空集）。还要注意，A与B的公共元素在 中只出现一次。因此， 是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合。
由定义可知，A与B都是 的子集，联系到 都是A，B的子集，可得下面的关系式：
（3）运用对比教学的方法，使学生区分开交、并集的概念，能正确对集合之间求交与求并．
教师在讲解了交集、并集的概念后，可以涉及一个表格，让学生填写内容．见下表．
名 称 交 集 并 集
定义 由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集． 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集．
记 号 （读作“A交B”） （读作“A并B”）
简 而言 之 A与B的公共元素组成的集合即 且 A与B的所有元素组成的集合即 或
图 示（一般情形） （阴影为 ） （阴影为 ）
性质 ，,，，． ，,，，．
（4）培养用图示法（即文氏图）表示集合之间的关系的能力
用图示法表示集合之间的关系有两层意思：一方面给定一个集合或集合之间的运算关系，会用图示法（即维恩图）表示；另一方面给出一个维恩图，会用集合表示图中指定的部分（如阴影部分）．
作一些这方面的引导和训练，既可加深对集合关系及运算的理解，又可打提高数形结合思维能力，还可不断培养正向思维和逆向思维的能力．
（5）适当地运用集合关系进行简单推理
运用集合关系进行简单推理虽不是本节的教学要求，但对学有余力的学生不失为一种良好的思维训练，有助于提高抽象思维能力．例如利用集合相等完全可以证明交集与并集的性质和推论，可分为两个步骤去实施：
（1）先举一些具体的集合的实际例子，然后代入性质或推论，说明它们都是成立的（感性认识）。
（2）再尝试用学过的知识去证明这些性质或推论是成立的（逻辑推理）。
例：证明 ．
（1）说明：设 ， ， ．
则 ， ；
， ．
所以 ．
（2）证明：设 ，则 ，且 ，故 ，且 ， ，
即 ，且 ，
从而 ．
根据集合相等的定义，则 ．
类似地，可说明和证明其他的性质和推论．
教学设计方案
第六教时
教材： 交集与并集（1）
目的： 通过实例及图形让学生理解交集与并集的概念及有关性质。
过程：
2、 复习：子集、补集与全集的概念及其表示方法
提问（板演）：U={x|0≤x<6,xZ} A={1,3,5} B={1,4}
求：CuA= {0,2,4}． CuB= {0,2,3,5}．
3、 新授：
1、实例： A={a,b,c,d} B={a,b,e,f}
图
公共部分 A∩B 合并在一起 A∪B
2、定义： 交集： A∩B ={x|xA且xB} 符号、读法
并集： A∪B ={x|xA或xB}
见课本P10--11 定义 （略）
3、例题：课本P11例一至例五
练习P12
补充： 例一、设A={2,-1,x2-x+1}, B={2y,-4,x+4}, C={-1,7} 且A∩B=C求x,y。
解：由A∩B=C知 7A ∴必然 x2-x+1=7 得
x1=-2, x2=3
由x=-2 得 x+4=2C ∴x-2
∴x=3 x+4=7C 此时 2y=-1 ∴y=-
∴x=3 , y=-
例二、已知A={x|2x2=sx-r}, B={x|6x2+(s+2)x+r=0} 且 A∩B={}求A∪B。
解： ∵A且 B ∴
解之得 s= 2 r=
∴A={} B={}
∴A∪B={,}
三、小结： 交集、并集的定义
四、作业：课本 P13习题1、3 1--5
补充：设集合A = {x | 4≤x≤2}, B = {x | 1≤x≤3}, C = {x |x≤0或x≥ },
求A∩B∩C, A∪B∪C。
第七教时
教材：交集与并集（2）
目的：通过复习及对交集与并集性质的剖析，使学生对概念有更深刻的理解
过程：一、复习：交集、并集的定义、符号
提问（板演）：（P13 例8 ）
设全集 U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，A = {3，4，5} B = {4，7，8}
求：（CU A）∩(CU B), (CU A)∪(CU B), CU(A∪B), CU (A∩B)
解：CU A = {1，2，6，7，8} CU B = {1，2，3，5，6}
(CU A)∩(CU B) = {1，2，6}
(CU A)∪(CU B) = {1，2，3，5，6，7，8}
A∪B = {3，4，5，7，8} A∩B = {4}
∴ CU (A∪B) = {1，2，6}
CU (A∩B) = {1，2，3，5，6，7，8，}
结合图 说明：我们有一个公式：
(CUA)∩( CU B) = CU(A∪B)
(CUA)∪( CUB) = CU(A∩B)
二、另外几个性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,
A∪A = A, A∪φ= A , A∪B = B∪A.
（注意与实数性质类比）
例6 （ P12 ） 略
进而讨论 (x,y) 可以看作直线上的点的坐标
A∩B 是两直线交点或二元一次方程组的解
同样设 A = {x | x2x6 = 0} B = {x | x2+x12 = 0}
则 (x2x6)(x2+x12) = 0 的解相当于 A∪B
即： A = {3,2} B = {4,3} 则 A∪B = {4,2,3}
三、关于奇数集、偶数集的概念 略 见P12
例7 （ P12 ） 略
练习 P13
四、关于集合中元素的个数
规定：集合A 的元素个数记作： card (A)
作图 观察、分析得：
card (A∪B) card (A) + card (B)
card (A∪B) = card (A) +card (B) card (A∩B)
五、作业： 课本 P14 6、7、8
第八教时
教材：交集与并集（3）
目的：复习交集与并集，并处理“教学与测试”内容，使学生逐步达到熟练技巧。
过程：
一、复习：交集、并集
二、1．如图（1） U是全集，A，B是U的两个子集，图中有四个用数字标出的区域，试填下表：
区域号 相应的集合
1 CUA∩CUB
2 A∩CUB
3 A∩B
4 CUA∩B
集合 相应的区域号
A 2，3
B 3，4
U 1，2，3，4
A∩B 3
图（1）
图（2）
2．如图（2） U是全集，A，B，C是U的三个子集，图中有8个用数字标
出的区域，试填下表： （见右半版）
3．已知：A={(x,y)|y=x2+1,xR} B={(x,y)| y=x+1,xR }求A∩B。
解：
∴ A∩B= {（0，1），（1，2）}
区域号 相应的集合
1 CUA∩CUB∩CUC
2 A∩CUB∩CUC
3 A∩B∩CUC
4 CUA∩B∩CUC
5 A∩CUB∩C
6 A∩B∩C
7 CUA∩B∩C
8 CUA∩CUB∩C
集合 相应的区域号
A 2，3，5，6
B 3，4，6，7
C 5，6，7，8
∪ 1，2，3，4，5，6，7，8
A∪B 2，3，4，5，6，7
A∪C 2，3，5，6，7，8
B∪C 3，4，5，6，7，8
三、关于集合的交并补运算（选讲）
我们来看这样一个例题．
例 已知集合 ， ， ．求
（1）（ ） （ ） （2） （ ）；
（3）（ ） （ ） （4） （ ）．
利用数形结合的思想，将满足条件的集会在数轴上—一表示出来，从而求集会的交集、并集、补集，既简单又直观，这是最基本最常见的方法．本例题可先在数轴上画出集合 ， ， ，然后求出 ， ， ， ，就能逐一写出各小题的结果，有条件的还可以设计多媒体教学课件．展现这一全过程．
解 利用数轴工具，画出集会 ， ， 的示意图，如下图．
可以得到，
，
，
，
．
从而可求得
（1）（ ） （ ） ．
（2） （ ） ．
（3）（ ） （ ） ．
（4） （ ） ．
认真观察不难发现：
（ ）＝（ ） （ ）；
（ ）＝（ ） （ ）．
这个发现是偶然的呢？还是具有普遍的意义呢？
为了提高学生分析问题和解决问题的能力，培养他们探索研究的思维品质和创新意识，也让学生体验数形结合思想方法解题的要领和重要性．我们可以做两方面的工作：
（1）让学生自己编拟一道集合运算的例题，并验证上述等式是否成立；
（2）设计一套维恩图来验证上述等式（有条件的可设计一多媒体课件来展示并验证）．
第（1）方面的工作让学生自己尝试，我们来做第（2）方面的工作：
我们来看四个图：
细心观察、领会，我们能够看出：
图1–20的阴影部分是 ；
图1–21的阴影部分是 （ ）；
图1–22的阴影部分是 （ ）；
图1–23的阴影部分是 （ ），或者是（ ） （ ）．
从图1–23我们已经得到 （ ）＝（ ） （ ）；
从图1–20我们也可得到 （ ）＝（ ） （ ）．
一般地，对于任意集合 ， ，下列等式成立．
（1） （ ）＝（ ） （ ）；
（2） （ ）＝（ ） （ ）．
这就是著名的德·摩根定律，它可以叙述为：
， 交集的补集等于 ， 的补集的并集；
， 并集的补集等于 ， 的补集的交集．
有了课本上的知识和德·摩根定律，将使我们对一些问题产生新的认识：
1．再一次观察图1–20，1–21，1–22，1–23，我们发现，实际上集合 ， 把全集 分成了四部分．如右图．
注：做成电脑课件，配上色彩或闪动，会更精彩．
有了这种观念，解类似下面的例题就方便多了．
例 已知全集 ， ， 是 的两个子集，且满足 ＝ ， ＝ ，（ ） （ ）＝ ．求集合 和 ．
解法一 （直接解法）依题意， ＝ ，则 ，且 ．
从而知3，5 ，且 ．
同理，由 ，知7，19 ，且7，19 ．
由（ ） （ ）＝ ，知2，17 ，且2，17 ．
因为 ，观察11和13这两个元素，不外乎下面几种情况：
①若11 ，11 ，则 ，且 ，这与（ ） （ ）＝ 矛盾；
②若11 ，11 ，则 ，这与 ＝ 矛盾；
③若11 ，11 ，则 ，这与 ＝ 矛盾；
④若11 ，11 ，则 ．
同理， ．
于是我们可以把这些数字填入集合 ， ，得
， ．
解法二 （利用图）由图，知 ， ＝ ， ＝ ，（ ） （ ）＝ ．可直接将 中元素一一填入图各自的集合．
所以， ， ．
解法一充分利用已知条件，将肯定属于或肯定不属于集合 ， 的元素确定下来，再逐一验证其他的元素分别属于哪个集合．这种方法比较抽象．
解法二数形结合，一目了然．
二种方法能培养我们不同的思维品质，都是学好数学不可缺少的．
2．帮助理解集合与逻辑用语的关系．
设全集 ， ， ，则有
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ （ 是 的充分条件）；
⑥ （ 是 的充分条件）；
⑦ （ ）＝（ ） （ ） ；
⑧ （ ）＝（ ） （ ） ．
四、典型例题
例 如图所示，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A﹒ B﹒
C﹒ IS D﹒ IS
解 此阴影部分是属于M且属于P，即 。但又不属于S集，
所以为 IS，故选C。
五、习题精选（选）
一、填空题
1．已知集合 ， ．则 ．
2．满足 的集合B的个数是 ．
3．已知集合 ，且 ．则 的值为 ．
二、解答题
1．设 ， ．若 ，求实数 的值．
2．50名学生参加体能和智能测验，已知体能优秀的有40人，智能优秀的有31人，两项都不优秀的有4人．问这种测验都优秀的有几人？
【参考答案】
一、填空题
1． ． 2．4个 3．－1，0，
二、解答题
1． 的值为0， ，－1．注意空集是任何集合的子集．
2．25人
探究活动
张明与李坚是一对好朋友，他们在复习集合这一章时决定采用互难互问复习法，即张明提出问题的一部分和问题的框架，要求李坚按张明的要求编出可解的问题，再让张明做．
张明提出问题的一部分是：已知非空集合 ，……求出实数的 的取值范围．
编题要求是：出现两个具有某种关系的集合B、C，且集合B、C中的字母 必须属于A．
请你帮助李坚编出这道题．
分析与解
1．已知非空集合：
， ， ，且 ，求出实数 的取值范围．
2．已知非空集合：
， ， ，且 ，求出实数 的取值范围．
3．已知非空集合：
， ， ，且 ，求出实数 的取值范围．
4．已知非空集合：
， ， ，且 ，求出实数 的取值范围．
5．已知非空集合：
， ， ，且 ，求出实数 的取值范围．
说明 你不妨找一个好友按照这个复习法试一试．
扩展资料
德·摩根，A（Augustus De Morgan 1806－1871） 英国数学家、逻辑学家．1806年6月27日出生于印度的马都拉．1871年3月18日卒于伦敦．1823年入剑桥大学三一学院学习，1827年毕业．后在伦敦大学学院任数学教授（1828－1831；1836－1866）．1865参加筹备伦敦数学会，并于1866年任会长．
他认为：代数学实际上是一系列“运算”，这种“运算”能在任何符号（不一定是数字）的集合上，根据一定的公设业进行．这一新的数学思想使代数得以脱离算术的束缚．
德·摩根在分析学方面给出了形如 的级数的收敛性判别准则，即设
则当 时，级数收敛，当 时，级数发散．
在逻辑学方面，德·摩根首创了关系逻辑的研究．他提出了论域概念，并用代数方法来研究逻辑演算，建立了著名的德·摩根律，即
（ ）＝（） （），
（ ）＝（） （）．
他还分析了关系的种类和性质，研究了关系命题和关系推理，得到了一些逻辑规律和定理，从而突破了古典的主谓逻辑的局限性，这对其后数理逻辑的发展有一定的影响．
德·摩根撰写了不少算术、代数、三角等方面的教材，他在分析学和逻辑学方面的主要著作有《微积分学》（1842）、《形式逻辑》（1847）等．
摘自《中国大百科全书·数学卷》
1.4 含绝对值的不等式
教学目标
（1）掌握 与 （ ）型的绝对值不等式的解法．
（2）掌握 与 （ ）型的绝对值不等式的解法．
（3）通过用数轴来表示含绝对值不等式的解集，培养学生数形结合的能力；
（4）通过将含绝对值的不等式同解变形为不含绝对值的不等式，培养学生化归的思想和转化的能力；
教学建议
（一）教材分析
1．知识结构
2．重点难点分析
重点是 型的不等式的解法；
难点是利用绝对值的意义分析、解决问题．
（1）本小节的重点是 与 （ ）型的不等式的解法，因为它是讨论含绝对值不等式的出发点，是进一步解决 与 （ ）型不等式的基础，并且为较复杂的含绝对值不等式的求解提供了思考的方式与路径．
（2）难点是利用绝对值的意义分析解决问题，造成难点的原因是学生对绝对值的意义理解并不深刻，加之学习的时间较长有一定的遗忘．
要突破难点，注意一下几点：①帮助学生复习回忆绝对值的代数意义及几何意义；②说明问题时借助于数轴的直观性与形象性；③联系方程的对应问题类比讲解；④放慢节拍，多诱导启发．
（二）教法建议
（1）从现实生活实例入手，激发学习兴趣
在引入含绝对值不等式时，应尽可能的结合现实生活，举出一些较为生动有趣的例子，以此来吸引学生，提起学生的注意力，激发他们的兴趣与热情，与此同时要使他们潜在地认识到学习本节内容的实际价值与现实意义．
在本节的初始阶段不宜匆匆忙忙地给出关于 时， 或 型不等式解集的一般结论．
（2）注意新旧知识的衔接
绝对值概念本身是难点，它是初中教材中首次涉及到分类讨论思想的具体体现，因而有的同学对它的认识极力模糊，有的则一直停留在比较肤浅的状态，有的则对它始终存在着某种畏惧心理，这就为解含绝对值不等式设置了无形的障碍．
在讲解有关绝对值的不等式之前，一定要注意根据学生的实际情况，加以复习有关绝对值的意义．
（3）注意利用数轴，体现数形结合的思想
讲含绝对值不等式的解法时要借助于数轴与绝对值的几何意义，从数轴上来观察绝对值不等式的解集，即直观又准确．
求不等式解集的“交”与“并”时要求画数轴，将原始的集合在数轴上表示，借助数轴的直观，得出其“交”或“并”的结果，并将结果表示在数轴上，数轴作为解题的一个组成部分而被保留，为避免混乱可采用不同颜色的笔，或多画一两条数轴．
（4）注重方程与不等式之间的联系
由于初中仅仅讲解了有关绝对值的意义，关于绝对值方程，学生也是初次遇到，并且解方程与解不等式有着直接的联系，所以在教学中一定要对解绝对值方程引起重视．在讲解了有关绝对值方程的基础上来进一步结合数轴来解绝对值的方程．
（5）重视具体示例的教学
重视对具体实例不等式 解集的讨论．联系到对应方程 的解，可由等量问题过渡到不等量的问题，在数轴上标出方程的解＋2与－2，则其对应两点将数轴分为三部分，结合绝对值的几何意义，即一个数的绝对值就是表示这个数离开原点的距离，不难得出 的解集是这两点之间的部分．
讲解此处时，一定要放慢节奏，给学生思考的余地，要循循善诱，引导学生自己得出结论，教师不宜说得过多，应画龙点睛，点到为止．
（6）体现整体的数学思想
利用已有 型结论来解形如 或 （ ）的不等时，应注意体现把 看作整体，当作一个 ，得出 ，即 ，但这里的 可以并不真正出现，是否借助 ，教师可以视学生的水平酌情处理．
（7）在求解集时要注意利用交集和并集的概念
求解形如 （ ）的不等式，会涉及到求不等式 与 解集的并集，在这里老师要带领学生利用数轴解决这一问题．
尽管在集合单元的教学中，已经借助数轴求过集合的“并”与“并”，但对于求“并”的运算，学生还远不如求“交”来的迅速熟练（因为求“交”的运算已在解一元一次不等式组时实施过，只是当时没有上升到集合论的高度去认识），有时还和求“交”混．
因而在此强调，一是为澄清观念，二是意在养成良好的学习习惯，希望学生今后能自觉地采用数形结合的方法去解决有关不等式的问题．为高二不等式单元的学习创立一个良好的开端．
（8）利用化归的思想，将绝对值不等式化为不等式组来解
对于这一部分内容的处理还可以采取另一种方案，即去绝对值．将解不等式 转化为求不等式组 与 的并集．
初中三年的学习中遇到绝对值时这一手法被经常采用，学生较为容易得出结论．
虽然采用这种方法，可以顺理成章地引出较复杂的含绝对值不等式的解法，如对含有两个绝对值的不等式的求解，但鉴于学生的接受能力，在最初阶段不宜主动去提及它，如果学生自己提及应给予肯定，但不必深入，当学生有了一定的解含绝对值不等式的经验后，可选一个恰当的时机给出．
（9）注意控制教学内容难度
由于绝对值是一个难点，所以绝对值不等式作为初学，不易讲解过深．本小节教材中的练习，习题所涉及的不等式，只限于绝对值符号内为一元一次代数式，并且是数字系数的，因而在教学中要注意控制难度，在学生能熟练正确地解基本、简单不等式的前提下，方可考虑提高难度，可参照教材习题1．4的第4题，引入简单的含参数的题目，并要求学生掌握，也可视学生的接受水平让其了解含有两个绝对值的不等式的解法．
教学设计方案
第九教时
教材：含绝对值不等式的解法
目的：从绝对值的意义出发，掌握形如 | x | = a的方程和形如 | x | > a, | x | < a (a>0)不等式的解法，并了解数形结合、分类讨论的思想。
过程：
一、实例导入，提出课题
实例：课本 P14（略） 得出两种表示方法：
1．不等式组表示： 2．绝对值不等式表示:：| x 500 | ≤5
课题：含绝对值不等式解法
二、形如 | x | = a (a≥0) 的方程解法
复习绝对值意义：| a | =
几何意义：数轴上表示 a 的点到原点的距离
． 例：| x | = 2 ．
三、形如| x | > a与 | x | < a 的不等式的解法
例 | x | > 2与 | x | < 2
1从数轴上，绝对值的几何意义出发分析、作图。解之、见 P15 略
结论：不等式 | x | > a 的解集是 { x | a< x < a}
| x | < a 的解集是 { x | x > a 或 x < a}
2从另一个角度出发：用讨论法打开绝对值号
| x | < 2 或 0 ≤ x < 2或2 < x < 0
合并为 { x | 2 < x < 2}
同理 | x | < 2 或 { x | x > 2或 x < 2}
3例题 P15 例一、例二 略
四、典型例题（选讲）
例1 解不等式 （ ）
分析：此题关键在于绝对值符号里有字母系数，解题过程中要注意分类讨论．
解：原不等式可化为
即
当 时，解集为
当 时，解集为
评析：1．遇到字母系数要合理进行讨论，尤其是字母系数为负时，利用不等式性质化简不等式时一定要改变不等号的方向．
2．若遇 的系数为负的含绝对值不等式，如 ， 等，可利用绝对值的性质将其转化为系数为正的情况去解，如将上述两不等式变为 ， 后再解，以减小错误的发生率．
例2 解关于 的不等式 （ ）
分析：这里没有 的条件，应分类求解．
解：若 ，即 ，则 恒不成立，此时原不等式无解；
若 ，即 ，则 ，所以
综上，当 时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式解集为 ．
例3 解不等式 ．
点拨一 这是一个含有两个绝对值的符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论．
解法一 由代数式 ， 知，－2，1把实数集分为三个区间： ， ， ．
当 时，原不等式变为 ，即 ；
当 时，原不等式变为 ，即 ；
当 时，原不等式变为 ，即 ．
综上，知原不等式的解集为 ．
点评 解这类绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是：
（1）令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根；
（2）把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；
（3）由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；
（4）这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．
点拨二 不等式 的几何意义是表示数轴上与 及B（1）两点距离之和小于4的点．而A，B两点距离为3，因此线段AB上每一点到A，B的距离之和都等于3．如下图，要找到与A，B的距离这和为4的点，问题就迎刃而解了．
解法二 如上图，要找到与A，B距离之和为4的点，只需由点B向右移动 个单位，这时距离之和增加1个单位，即移到点 ．或由点A向左移动 个单位，即移到点 ．
可以看出，数轴上点 向左的点或者 向右的点到A，B两点的距离之和均小于4．
所以，原不等式的解集为 ．
点拨三 从函数的角度思考，可分别画出函数 和 的图象．观察即得．
解法三 如右图．
．
不难看出，要使 ，只须 ．
所以，原不等式的解集为 ．
点评 对于解法一，要孰记 或 两种类型的解法，关键是正确分类并转化为不含绝对值的不等式；对于解法二，要搞清它的几何意义是什么，并注意结论是否包括端点；对于解法三，关键是正确画出两个函数的图象，并准确写出它们交点的坐标．三种方法都比较直观、简捷，不同程度体现了分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想方法，各有千秋，都是我们应该熟练掌握的解题通性通法．
例4 解不等式 ．
解法一 原不等式等价于
（Ⅰ）
或（Ⅱ）
解（Ⅰ），得 ，或 ．
解（Ⅱ），得解集为空集．
所以，原不等式的解集为 ．
解法二 原不等式等价于
（Ⅰ），或 （Ⅱ）．
解（Ⅰ），得 ，或 ．
解（Ⅱ），得解集为空集．
所以，原不等式的解集为 ．
点评 比较两种解法可以看出，第二种解法比较简便．在第二种解法中，用到了下列关系：
若 ，则 等价于 ，或 ．
解法三 在直角坐标系中分别画出 ， ， ．
如图，不难看出，要使 ，只须 ，或 ．
所以，原不等式的解集为 ．
五、习题精选（选）
一、填空题
1．若 ， ，则 ．
2．若 ， ，全集为 ．那么 ．
3．若 ，则 ．
二、解答题
1．对于任意实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
2．解不等式组
【参考答案】
一、填空题
1． 2． 3． 10
二、解答题
1． 2．
小结：含绝对值不等式的两种解法。
作业： P16 练习 及习题1．4
扩展资料
高一数学新教材分析与教学设计
随着高一数学新教材的使用及研究性学习的启动、如何将新教材所要体现的知识体系和思维方式结合研究性学习有机地溶入谭堂，使学生成为课堂的主体而达成一种互动效应，是我们应该认真思考的问题。本文拟就此问题从以下几个侧面做些探讨。
一、新教材的特点
新教材最显著一个特点是淡化形式，注重实际，削弱问题的科学性与严谨性，强化问题的研究性与应用性，充分体现了数学的大众性与生活化，较好地呈现出了知识的发生与发展过程。
新教村在保证基础知识教学、基本技能训练、基本能力培养的前提下，删减了老教材中次要的、用处不大的而且学生接受有困难的内容，新增了一些为进一步学习打基础的有广泛应用的并且学生能够接受的新知识。
在教材内容的编排和体系上，新教材注重调动学生学习的积极性和主动性，注意知识的连贯性、整体性、统一性、层次性，注意把学生作为学习的主体来编排队内容，符合学生的认识特点和认知规律。
新教材强调节器理论联系实际，重视培养学生用数学的意识，注意引导学生把所学知识用到相关学科和生活、生产实际中去，使学生在获取知识和运用知识的同时，发展思维能力、提高思维品质，充分体现了素质教育的精神
二、新教材课堂实施构想
基于新教材的以上特点，对新教材的处理笔者认为可以本着这样的原则：强化学生的主体意识，体现师生互动，促进学生的探索思维。
教材主编之一的饶汉昌教授说：“对于新教材，从某个意义上说，我们应该引导学生去广挖坑，而不应该让他们去深挖洞。”在保证基础的前提之下，对教材深度的开掘与拓广应依学生的情况而定，也就在全面了解学生情况的前提下，将所要拓广的内容分为几类并同时将学生也分成相应的几类，多形式、多层次启发、引导、发现、体验、探索、研究等。两种分层都不是绝对的和严格的，应该随时调整和变更，充分体现出可塑性和多元性。
基于此，在授课过程中，教师应该围绕问题，给学生建构一种探索氛围，而决非是一个“自编，自导，自演，自算”的数学知识的传播者。教师不再是单纯的知识的传授者和讲解者了，学生也不再是一种被子老师牵着走的被支的观众了。对学生而言，教师只能是一块似有似无的“石头”，课堂教学的全过程也应该是让学生摸着这块似有似无的“石头”过河。教师这块“石头”的作用应该如那露出水面“八分之一”（当然也可以再多一些，视情况而相对调整）的冰山一样，既隐隐约约，又金碧辉煌，有意无意地适度折射出其下的八分之七的内涵吸引学生深入其下的深层结构。
（选自《高中数学教与学》2002年 第8期）
1.5 一元二次不等式的解法
教学目标
（1）掌握一元二次不等式的解法；
（2）知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组；
（3）了解简单的分式不等式的解法；
（4）能利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，理解它们三者之间的内在联系；
（5）能够进行较简单的分类讨论，借助于数轴的直观，求解简单的含字母的一元二次不等式；
（6）通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想；
（7）通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证的世界观．
教学建议
1．教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
重点是一元二次不等式的解法；
难点是弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系．
①用图象法解一元二次不等式
在教材中对一元二次不等式的解集的求法是从一元一次不等式与一元一次方程、一次函数之间关系中引出的，是从函数图象上，结合方程的解得出解集的求法的，所以在讲解一元二次不等式的解法是也是从函数图象出发来讲解的；
用图象法来解一元二次不等式涉及知识点较多，需联系前面所学的一元二次方程、二次函数的知识，然而有的学生这些知识并未掌握牢固；再者要深刻挖掘它们之间的联系，从中寻求一元二次不等式的解法。这比单纯数形结合要求的水平更高，何况相对一部分学生不合适用数形结合法。由于对于这部分学生来讲数与形是割裂的，没能真正和谐统一在一起，这是其认识及理解水平造成的。
②认识方程、函数、不等式三者之间的关系
在本节中，难点是对一元二次不等式解法的理解与认识，也就是二次函数与二次方程，二次不等式三者之间的关系。
二次函数 （ ）是研究自变量 与 之间的对应关系，也就是研究自变量 变化过程中函数 的变化过程及变化趋势，显然方程与不等式的解集是二次函数自变量变化过程中的某种特殊情况，二次方程的解就是自变量变为何值时，函数值 的这一情况；而二次不等式的解集是自变量变化过程中何时函数值 与 的这一情况，二次方程 的解对研究函数变化是十分重要的。由于两根 、 是函数值由正变负或由负变为正的分界点，也是不等式解区间的端点，正是三者之间的相互联系，我们才知道二次函数与二次方程与二次不等式解集的联系。学习过程中，只有搞清三者联系，才能正确认识与理解二次不等式的解法，才能解决由此产生各种变式的问题。
2．教学建议
（1）注意从两个不同角度去解一元二次不等式
本节对于可分解的一元二次不等式给出了两种解法。第一种方法是结合该一元二次不等式所对应的二次函数图象给出的，第二种方法是将原不等式转化求与它同解的不等式组的并集去解决，应该向学生说明教材中介绍这两种方法的意图。
①第一种方法意在全面讨论，得出一般的一元二次不等式解集，它适用于任何一元二次不等式。
②第二种方法意在说明对于形如 的分式不等式，可化为与它同解的一元二次不等式 去解，而后者在前面已经讨论得十分清楚。它是化归思想的集中体现，即化分式不等式为一元二次不等式，化一元二次不等式为一元一次不等式组去解的思想方法。它介绍了一种更为一般的方法，即把二次或二次以上的不等式化为一次或低次不等式的方法，为解较复杂不等式，特别是高次不等式提供了依据。
然而真正用这种方法去解一元二次不等式不仅较第一种方法复杂繁琐，并且局限于可因式分解的一元二次不等式，应该向学生突出强调这一点。
这种方法重在思想，而并非实用，解题中不宜提倡。因为在全面掌握第一种方法后，再用第二种方法去解题，在某种程度上意味着倒退。
（2）建议对函数的对应值表以低调处理，而突出强调函数图象本身
教科书中为了让
第一章 集合与简易逻辑
1.1 集 合
教学目标
（1）初步理解集合的概念，掌握其记法及表示方法，掌握常用数集的符号，了解空集概念并掌握其符号；
（2）了解集合中元素的概念，初步了解“属于”关系的意义；
（3）理解集合中元素的确定性、互异性，了解集合中元素的无序性；
（4）初步了解有限集、无限集、空集的意义；
（5）会用集合、元素等知识表示简单集合的有关问题；
（6）渗透数学是来源实践反过来又指导实践的辨证唯物主义观点．
教学建议
一、知识结构
本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例人手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明．然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子．
二、重点难点分析
这一节的重点是集合的基本概念和表示方法，难点是运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合．这一节的特点是概念多、符号多，正确理解概念和准确使用符号是学好本节的关键．为此，在教学时可以配备一些需要辨析概念、判断符号表示正误的题目，以帮助学生提高判断能力，加深理解集合的概念和表示方法．
1．关于牵头图和引言分析
章头图是一组跳伞队员编成的图案，引言给出了一个实际问题，其目的都是为了引出本章的内容无论是分析还是解决这个实际间题，必须用到集合和逻辑的知识，也就是把它数学化．一方面提高用数学的意识，一方面说明集合和简易逻辑知识是高中数学重要的基础．
2．关于集合的概念分析
点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念，集合则是集合论中原始的、不加定义的概念．
初中代数中曾经了解“正数的集合”、“不等式解的集合”；初中几何中也知道中垂线是“到两定点距离相等的点的集合”等等．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集．”这句话，只是对集合概念的描述性说明．
我们可以举出很多生活中的实际例子来进一步说明这个概念，从而阐明集合概念如同其他数学概念一样，不是人们凭空想象出来的，而是来自现实世界．
3．关于自然数集的分析
教科书中给出的常用数集的记法，是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意．
新的国家标准定义自然数集N含元素0，这样做一方面是为了推行国际标准化组织（ISO）制定的国际标准，以便早日与之接轨，另一方面，0还是十进位数｛0，1，2，…，9｝中最小的数，有了0，减法运算 仍属于自然数，其中 ．因此要注意几下几点：
（1）自然数集合与非负整数集合是相同的集合，也就是说自然数集包含0；
（2）自然数集内排除0的集，表示成 或 ，其他数集{如整数集Z、有理数集Q、实数集R}内排除0的集，也可类似表示 ， ， ；
（3）原教科书或根据原教科书编写的教辅用书中出现的符号如 ， ， …不再适用．
4．关于集合中的元素的三个特性分析
集合中的每个对象叫做这个集合的元素．例如“中国的直辖市”这一集合的元素是：北京、上海、天津、重庆。
集合中的元素常用小写的拉丁字母 ，…表示．如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作 ；否则，就说a不属于A，记作
要正确认识集合中元素的特性：
（l）确定性： 和 ，二者必居其一．
集合中的元素必须是确定的．这就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了．例如，给出集合{地球上的四大洋}，它的元素是：太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋．其他对象都不用于这个集合．如果说“由接近 的数组成的集合”，这里“接近 的数”是没有严格标准、比较模糊的概念，它不能构成集合．
（2）互异性：若 ， ，则
集合中的元素是互异的．这就是说，集合中的元素是不能重复的，集合中相同的元素只能算是一个．例如方程 有两个重根 ，其解集只能记为｛1｝，而不能记为｛1，1｝．
（3）无序性：｛a，b｝和｛b，a｝表示同一个集合．
集合中的元素是不分顺序的．集合和点的坐标是不同的概念，在平面直角坐标系中，点（l，0）和点（0，l）表示不同的两个点，而集合｛1，0｝和｛0，1｝表示同一个集合．
5．要辩证理解集合和元素这两个概念
（1）集合和元素是两个不同的概念，符号和是表示元素和集合之间关系的，不能用来表示集合之间的关系．例如 的写法就是错误的，而 的写法就是正确的．
（2）一些对象一旦组成了集合，那么这个集合的元素就是这些对象的全体，而非个别现象．例如对于集合 ，就是指所有不小于0的实数，而不是指“ 可以在不小于0的实数范围内取值”，不是指“ 是不小于0的一个实数或某些实数，”也不是指“ 是不小于0的任一实数值”……
（3）集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件．
6．表示集合的方法所依据的国家标准
本小节列举法与描述法所使用的集合的记法，依据的是新国家标准如下的规定．
符号 应用 意义或读法 备注及示例
诸元素 构成的集 也可用 ，这里的I表示指标集
使命题 为真的A中诸元素之集 例： ，如果从前后关系来看，集A已很明确，则可使用 来表示，例如
此外， 有时也可写成 或
7．集合的表示方法分析
集合有三种表示方法：列举法、描述法、图示法．它们各有优点．用什么方法来表示集合，要具体问题具体分析．
（l）有的集合可以分别用三种方法表示．例如“小于 的自然数组成的集合”就可以表为：
①列举法： ；
②描述法： ；
③图示法：如图1。
（2）有的集合不宜用列举法表示．例如“由小于 的正实数组成的集合”就不宜用列举法表示，因为不能将这个集合中的元素—一列举出来，但这个集合可以这样表示：
①描述法： ；
②图示法：如图2．
（3）用描述法表示集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合什么条件，从而准确理解集合的意义．例如：
①集合 中的元素是 ，它表示函数 中自变量 的取值范围，即 ；
②集合 中的元素是 ，它表示函数值。的取值范围，即 ；
③集合 中的元素是点 ，它表示方程 的解组成的集合，或者理解为表示曲线 上的点组成的集合；
④集合 中的元素只有一个，就是方程 ，它是用列举法表示的单元素集合．
实际上，这是四个完全不同的集合．
列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法．要注意，一般无限集，不宜采用列举法，因为不能将无限集中的元素—一列举出来，而没有列举出来的元素往往难以确定．
8．集合的分类
含有有限个元素的集合叫做有限集，如图1所示．
含有无限个元素的集合叫做无限集，如图2所示．
9．关于空集分析
不含任何元素的集合叫做空集，记作 ．空集是个特殊的集合，除了它本身的实际意义外，在研究集合、集合的运算时，必须予以单独考虑．
教学设计方案
第一教时
教材：集合的概念
目的：要求学生初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；初步了解集合的分类及性质。
过程：
一、引言：（实例）用到过的“正数的集合”、“负数的集合”
如：2x-1>3x>2所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集。
如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
如：自然数的集合 0，1，2，3，……
如：高一（5）全体同学组成的集合。
结论： 某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
指出：“集合”如点、直线、平面一样是不定义概念。
二、集合的表示： { … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}
用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5}
常用数集及其记法：
1． 非负整数集（即自然数集） 记作：N
2． 正整数集 N*或 N+
3． 整数集 Z
4． 有理数集 Q
5． 实数集 R
集合的三要素： 1。元素的确定性； 2。元素的互异性； 3。元素的无序性
（例子 略）
三、关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集A 记作 aA ，相反，a不属于集A 记作 aA （或aA）
例： 见P4—5中例
四、练习 P5 略
五、集合的表示方法：列举法与描述法
1． 列举法：把集合中的元素一一列举出来。
例：由方程x2-1=0的所有解组成的集合可表示为{1，1}
例；所有大于0且小于10的奇数组成的集合可表示为{1，3，5，7，9}
2． 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
1 语言描述法：例{不是直角三角形的三角形}再见P6例
2 数学式子描述法：例 不等式x-3>2的解集是{xR| x-3>2}或{x| x-3>2}或{x:x-3>2} 再见P6例
六、集合的分类
1．有限集 含有有限个元素的集合
2．无限集 含有无限个元素的集合 例题略
3．空集 不含任何元素的集合
七、用图形表示集合 P6略
八、练习 P6
小结：概念、符号、分类、表示法
九、作业 P7习题1.1
第二教时
教材： 1、复习
目的： 复习集合的概念；巩固已经学过的内容，并加深对集合的理解。
过程：
1、 复习：（结合提问）
1．集合的概念 含集合三要素
2．集合的表示、符号、常用数集、列举法、描述法
3．集合的分类：有限集、无限集、空集、单元集、二元集
4．关于“属于”的概念
1、 例一 用适当的方法表示下列集合：
1． 平方后仍等于原数的数集
解：{x|x2=x}={0,1}
2． 比2大3的数的集合
解：{x|x=2+3}={5}
3． 不等式x2-x-6<0的整数解集
解：{xZ| x2-x-6<0}={xZ| -2
解：{(x,y)|y=kx}
5． 方程4x2+9y2-4x+12y+5=0的解集
解：{(x,y)| 4x2+9y2-4x+12y+5=0}={(x,y)| (2x-1)2+(3y+2)2=0}={(x,y)| (1/2,-2/3)}
6． 使函数y=有意义的实数x的集合
解：{x|x2+x-60}={x|x2且x3,xR}
三、与集合的确定性有关的例题 （选讲）
例1下列备选项中可以组成集合的是（ ）
A﹒与2非常接近的全体实数
B﹒很著名的科学家的全体
C﹒某教室内的全体桌子
D﹒与无理数 相差很小的数
解：由集合的确定性可知答案为C
与集合相等和空集概念有关的例题
例2以下说法中正确的个数有（ ）
① 表示同一个集合
② 与 表示同一个集合；
③空集是唯一的；
④ 与 ，则集合 。
A﹒3个 B﹒2个 C﹒1个 D﹒0个
解：①集合M表示由点（1，2）组成的单点集，集合N表示点（2，1）组成的单点集。
②由集合元素无序性可知M，N表示同一个集合。
③由 且 （其中 、 均为空集）由集合相等定义可知 即证明空集唯一性。
④对于要认识一个集合，应从以下方面入手①判断集合元素是什么；②元素有何属性（如表示数集，点集等），表示集合时与代表元素采用的字母无关。而④中的集合都表示大于等于1的实数组成的集合，故相等，选A。
用列举法表示集合
例3 用列举法表示下列集合。
（1）不大于10的质数集合；
（2）｛ ， 为偶数｝。
解：（1）不大于10的质数集合是｛2，3，5，7｝。
（2） ，又∵ 为偶数，
∴ 为2、4、6、8。答案为｛2，4，6，8｝。
用描述法表示集合
例4 用描述法表示下列集合。
（1）正偶数集合；
（2）被3除余1的整数集合；
（3）坐标平面内不在第一、三象限的点集。
解：（1） ；
（2） ；
（3） 。
与“属于”符号有关的填空题
例5 用符号“ ”或“ ”填空。
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） 。
解：（1） 。
（2） 。
（3）∵ ， ∴ 。
（4）点（1，2）在直线 上，而 表示直线 上的点集，故 。
注意： 表示小于或等于2的实数集，大括号内 一般可以省略，即 。
集合是一种数学语言，因此，学习集合时，要先理解集合表示的内容及意义，要从语言的角度来学习集合。
集合中元素个数的例题
例6 在实数 中选若干数组成集合 ， 中元素的个数最多有几个？
解：∵ ， 。
∴ 时（ ）这列数仅表示两个不同的数，故 中元素的个数最多有2个。
四、作业（选）
【题目】数集A满足条件：若 ，则 （ ）
（1）若 ，试求出A中其他所有元素；
（2）自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；
（3）从上面两小题的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的这个“道理”．
【参考答案】
（1）其他所有元素为－1， ．
（2）略
（3）A中只能有3个元素，它们分别是 ， ， 且三个数的乘积为－1．
一、选择题
1．下面四个命题正确的是（ ）
A．10以内的质数集合是
B．“个子较高的人”不能构成集合
C．方程 的解集是
D．偶数集为
2．下面的结论正确的是（ ）
A． ，则
B． ，则
C． 的解集是
D．正偶数集是有限集
【参考答案】：1．B 2．C
二、填空题
1．设 ，则 P。
2．0
3．1
4．设直线 上的点集为P，则 。点（2，7）与P的关系为（2，7） P。
5．集合 ，用列举法可表示为 。
【参考答案】1． 2． 3． 4． ， 5．
三、解答题
1．已知 ， ， ，求
2．已知 ，若集合P中恰有3个元素，求
3．已知集合 若 ，求满足条件的实数 组成的集合。
4．用适当的方法表示右图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M。
【参考答案】
1． 为点（4，7）
2．
3． 提示：依题意求出的 要进行检验，不符合集合中元素的特性的应舍去。
4．
五、课后反思：
本节课在教学时主要教会学生学习集合的表示方法，在认识集合时，应从两方面入手：
（1）元素是什么？
（2）确定集合的表示方法是什么？表示集合时，与采用字母名称无关。
扩展资料
悖 论
悖论就是自相矛盾的命题，如果承认它是正确的，则可以推出它是错误的。而如果承认它是错误的，又能推出它是正确的。
也许你会说，哪里会有这样的事呀!如果真是这样，世界还不闹得一团糟!让我们看一看下面这个小问题，你就会明白了。在一个村子里，只有一位理发师。他为自己定下了这样一条规矩：“我只为那些不给自己刮胡子的人刮胡子”。那么理发师是否给自己刮胡子呢
现在我们假设理发师可以给自己刮胡子，那么他就成“给自己刮胡子的人”。而按照他的规矩是不能给“自己刮胡子的人”刮胡子的，所以他不能给自己刮胡子。反之，如果理发师不给自己刮胡子，他就成为“不给自己刮胡子的人”。而按规矩他应该给“不自己刮胡子的人”刮胡子，因此他又应该给自己刮胡子。自作聪明的理发师，为自己制定了进退两难的规矩。
也许你会问，这是怎么回事 事实上，这个问题也不是我的发明。它是由19世纪数学家希尔伯特提出的著名的“理发师悖论”。这一悖论的提出，指出康托尔集合论的理论基础的不足之处，促进了集合论的发展。所以悖论的提出并不可怕，它只是表明数学理论的基础缺乏完备性。只要完善理论基础，就可以避免悖论的产生。
康托尔
Kangtuoer康托尔，G.（F.P.）
Georg Ferdinand Philip Cantor (1845～1918)
德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。其父为迁居俄国的丹麦商人。康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于E.E.库默尔、K.（T.W.）外尔斯特拉斯和L.克罗内克。1866年曾去格丁根学习一学期。1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。
大学期间康托尔主修数论，但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和数学分析感兴趣。哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列（即柯西序列）定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质作为对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴趣和要求。
1872年康托尔在瑞士结识了J.W.R.戴德金，此后时常往来并通信讨论。1873年他估计，虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应，但全体正实数似乎不能。他在1874年的论文《关于一切实代数数的一个性质》中证明了他的估计，并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应，这就证明了超越数是存在的而且有无穷多。在这篇论文中，他用一一对应关系作为对无穷集合分类的准则。
在整数和实数两个不同的无穷集合之外，是否还有更大的无穷 从1874年初起,康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索，1877年他证明了□维形体的点和线上的点可以有一一对应。他说，“我见到了，但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年发表后引起了很大的怀疑。P.D.G.杜布瓦－雷蒙和克罗内克都反对，而戴德金早在1877年7月就看到,不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系，而不能有连续的一一对应。此问题直到1910年才由L.E.J.布劳威尔给出证明。
康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身的真子集有一一对应”作为无穷集的特征。
康托尔认为，建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在1879～1884年发表的题为《关于无穷线性点集》论文6篇，其中5篇的内容大部分为点集论，而第5篇很长，此篇论述序关系，提出了良序集、序数及数类的概念。他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列，并对无穷问题作了不少的哲学讨论。在此文中他还提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未给出证明。
在1891年发表的《集合论的一个根本问题》里，他证明了一集合的幂集的基数较原集合的基数大，由此可知，没有包含一切集合的集合。他在1878年论文中曾将连续统假设作为一个估计提出，其后在1883年论文里说即将有一严格证明，但他始终未能给出。
19世纪70年代许多数学家只承认，有穷事物的发展过程是无穷尽的，无穷只是潜在的，是就发展说的。他们不承认已经完成的、客观存在着的无穷整体，例如集合论里的各种超穷集合。康托尔集合论肯定了作为完成整体的实无穷，从而遭到了一些数学家和哲学家的批评与攻击，特别是克罗内克。康托尔曾在1883年的论文和以后的哲学论文里对于无穷问题作了详尽的讨论。另一方面，康托尔创建集合论的工作开始时就得到戴德金、外尔斯特拉斯和D.希尔伯特的鼓励和赞扬。20世纪以来集合论不断发展，已成为数学的基础理论。
他的著作有：《G.康托尔全集》1卷及《康托尔-戴德金通信集》等。
（王宪钧）
康托尔定理中所存在的不足
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文章作者：[胡思之]
康托尔先生无疑是有史以来最伟大的数学家之一，其一一对应概念为集合论在数学上的立足开辟了新的天地，凡以集合论为进取目标的人，无不以康托尔先生为鼻祖，鄙人亦不例外。
然后，作为康托尔学说的信徒，若盲目对待康托尔先生的每一论点，则是裹足不前的表现，显然是有愧于信徒之称呼。故而，在以集合论为工具批判数论中所存在的谬论之同时，也不得不指出在集合论中，同样存在着不足之处，此不足之处就是著名的康托尔定理。
与数论中的谬误相比，康托尔定理不存在逻辑性的错误，其只是不曾将极限引入定理之中。但是，正是由于此一失误，造成数学史上最大的混乱，使之不能正确定位基数的序列，引成了数学中的公理化之缺陷。
那么，康托尔定理究竟所指何谓？问题之前必须对集合及其幂集合的概念作一解释。如果我们以A表示为某一集合，以p(A)表示A的幂集合，就是说若集合A中有三个元素：{1，2，3}，则幂集合p(A)中就有元素：{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}、{φ}等八个元素。一般而言，集合A中若有元素n个，则其幂集合p(A)就有元素2^n个。
集合与其幂集合之间的关系一目了然，集合中的元素比其幂集合中的元素少，这是一个不争的事实。但是，康托尔先生将其引伸到了集合的基数上，从而有了著名的康托尔定理：
“定理8：对于任一集合S，都有S″＜p(S)″。
证明：对于任一x∈S，令f(x)={x}。由于当x_1≠x_2时，有{x_1}≠{x_2}，即f(x_1)≠f(x_2)，所以f就是S→p(S)的一内射函数。因此S″≤p(S)″。下面，我们来证明这个等号是不能成立的。
假定不然，即存在一双射函数ψ:S→p(S)。对于任一x∈S,ψ(x)∈p(S)，即ψ(x)是S的子集。当然我们可以问这一x属于ψ(x)吗？一般说来，可能是x∈ψ(x)成立，也可能是x\∈(x)成立。令S_0为所有使得x\∈ψ(x)的那些元x所组成，亦即S_0:={x|x\∈ψ(x)∧x∈S}.(4.5)显然S_0是S的一子集合。因为ψ是一双射函数，所以在S中必有一元素y使得S_0=ψ(y)。因此，我们可以提出y∈S_0是否成立这样一个问题。按照通常逻辑的排中律，y∈S_0或y\∈S_0，两者必居其一。
若y∈S_0，由(4.5)式得到y\∈ψ(y)。但是，由y的定义，S_0=ψ(y)，所以y\∈S_0；若y\∈S_0，由S_0=ψ(y)，得到y\∈(y)，但是，由(4.5)式，y∈S_0。
这样，不管y是否属于S_0，都要导出矛盾。因此，这样的双射函数ψ是不存在的，亦即证明了定理8。”(见张锦文著《集合论与连续统假设浅说》第四章第四节康托尔定理。第48页到第四49页)。
在上述定理中，以符号“″”表示集合的基数，以符号“\∈”表示不属于。
诚然，当集合A是有限元素的集合时，A→p(A)的内射函数是同态映射的，既然是同态映射，则必不是一一对应，否则就成了同构映射。然而，当集合A为无穷集合时，情况就未必如此。
我们知道，自然数集N的幂集合之基数等价于实数集R的基数，是所知的基数中唯一大于可数集基数的集合。若根据康托尔定理，则实数集R的幂集合之基数也有大于实数集R的基数。但是，根据选择公理，对实数集R的幂集合进行商集化分割，其良序化之链与实数集R的良序化之链却是一样的。
根据实数集R的基数等价于自然数集N的幂集合，因此，我们可以将实数集R中的所有的点同构映射于自然数集N的幂集合上。于是，实数集R的幂集合也就是等价于自然数集N的幂集合之幂集合。
分割自然数集N的幂集合中的元素，使之每一元素属于且仅属于某一商集化子集。按照自然数集N的元素可知，自然数集N的幂集合由自然数的组合而成。例如，有{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}、...等。则其商集化子集可按自然数1、2、3、...等来分割，其最小元素集即其良序化之链乃是自然数列。
对于自然数集N的幂集合之幂集合，用商集合的概念进行分割，其最小元素集依然可以用自然数1、2、3、...，因为自然数集N的幂集合之幂集合，依旧是由自然数组合的。所以其良序化之链依旧是自然数列。
由于自然数集N的幂集合与自然数集N的幂集合之幂集合，都是无穷集合，其商集化子集中的元素也都具有无穷多个元素。因此，根据集合论的一一对应概念，用商集化概念来分割这两个集合，其元素完全可以一一对应。所以，两个集合的基数是相同的。
从自然数集N的幂集合与自然数集N的幂集合之幂集合具有相同的基数中可知，康托尔定理只是将有限集时集合与其幂集合不能一一对应的情况，错误地应用于基数上，而没有考虑到对无穷集合的分割其商集化子集有极限存在。
胡思之写于00-07-05.23:04
康托尔与集合论
康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家，集合论的创立者。是数学史上最富有想象力，最有争议的人物之一。19世纪末他所从事的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统，从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责。然而数学的发展最终证明康托是正确的。他所创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，集合概念大大扩充了数学的研究领域，给数学结构提供了一个基础，集合论不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑。
1．康托尔的生平
1845年3月3日，乔治·康托生于俄国的一个丹麦—犹太血统的家庭。1856年康托和他的父母一起迁到德国的法兰克福。像许多优秀的数学家一样，他在中学阶段就表现出一种对数学的特殊敏感，并不时得出令人惊奇的结论。他的父亲力促他学工，因而康托在1863年带着这个目地进入了柏林大学。这时柏林大学正在形成一个数学教学与研究的中心。康托很早就向往这所由外尔斯托拉斯占据着的世界数学中心之一。所以在柏林大学，康托受了外尔斯特拉斯的影响而转到纯粹的数学。他在1869年取得在哈勒大学任教的资格，不久后就升为副教授，并在1879年被升为正教授。1874年康托在克列勒的《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章。数学史上一般认为这篇文章的发表标志着集合论的诞生。这篇文章的创造性引起人们的注意。在以后的研究中，集合论和超限数成为康托研究的主流，他一直在这方面发表论文直到1897年，过度的思维劳累以及强列的外界刺激曾使康托患了精神分裂症。这一难以消除的病根在他后来30多年间一直断断续续影响着他的生活。1918年1月6日，康托在哈勒大学的精神病院中去世。
2．集合论的背景
为了较清楚地了解康托在集合论上的工作，先介绍一下集合论产生的背景。
集合论在19世纪诞生的基本原因，来自数学分析基础的批判运动。数学分析的发展必然涉及到无穷过程，无穷小和无穷大这些无穷概念。在18世纪，由于无穷概念没有精确的定义，使微积分理论不仅遇到严重的逻辑困难，而且还使实无穷概念在数学中信誉扫地。19世纪上半叶，柯西给出了极限概念的精确描述。在这基础上建立起连续、导数、微分、积分以及无穷级数的理论。正是这19世纪发展起来的极限理论相当完美的解决了微积分理论所遇到的逻辑困难。但是，柯西并没有彻底完成微积分的严密化。柯西思想有一定的模糊性，甚至产生逻辑矛盾。19世纪后期的数学家们发现使柯西产生逻辑矛盾的问题的原因在奠定微积分基础的极限概念上。严格地说柯西的极限概念并没有真正地摆脱几何直观，确实地建立在纯粹严密的算术的基础上。于是，许多受分析基础危机影响的数学家致力与分析的严格化。在这一过程中，都涉及到对微积分的基本研究对象─连续函数的描述。在数与连续性的定义中，有涉及关于无限的理论。因此，无限集合在数学上的存在问题又被提出来了。这自然也就导致寻求无限集合的理论基础的工作。总之，为寻求微积分彻底严密的算术化倾向，成了集合论产生的一个重要原因。
3．集合论的建立
康托在柏林大学的导师是外尔斯托拉斯，库曼和克罗内克。库曼教授是数论专家，他以引进理想数并大大推动费马大定理的研究而举世闻名是。克罗内克是一位大数学家，当时许多人都以得到他的赞许为荣。外尔斯托拉斯是一位优秀教师也是一位大数学家。他的演讲给数学分析奠定了一个精确而稳定的基础。例如，微积分中著名的观念就是他首先引进的。正是由于这些人的影响，康托对数论较早产生兴趣，并集中精力对高斯所留下的问题作了深入的研究。他的毕业论文就是关于++=0的素数问题的。这是高斯在《算术研究》中提出而未解决的问题。这片论文写得相当出色，它足以证明作者具有深刻的洞察力和对优秀思想的继承能力。然而，他的超穷集合论的创立，并没有受惠于早期对数论的研究。相反，他很快接受了数学家海涅的建议转向了其他领域。海涅鼓励康托研究一个十分有趣，也是较困难的问题：任意函数的三角级数的表达式是否唯一？对康托来说这个问题是促使他建立集合论的最直接原因。函数可用三角级数表示，最早是1822年傅立叶提出来的。此后对于间断点的研究，越来越成为分析领域中引人注目的问题，从19世纪30年代起，不少杰出的数学家从事着对不连续函数的研究，并且都在一定程度上与集合这一概念挂起了钩。这就为康托最终建立集合论创造了条件。1870年，海涅证明，如果表示一个函数的三角级数在区间[-π,π]中去掉函数间断点的任意小邻域后剩下的部分上是一致收敛的，那么级数是唯一的。至于间断点的函数情况如何，海涅没有解决。康托开始着手解决这个以如此简洁的方式表达的唯一性问题。于，他跨出了集合论的第一步。
康托一下子就表现出比海涅更强的研究能力。他决定尽可能多地取消限制，当然这会使问题本身增加难度。为了给出最有普遍性的解，康托引进了一些新的概念。在其后的三年中，康托先后发表了五篇有关这一题目的文章。1872年当康托将海涅提出的一致收敛的条件减弱为函数具有无穷个间断点的情况时，他已经将唯一性结果推广到允许例外值是无穷集的情况。康托1872年的论文是从间断点问题过度到点集论的极为重要的环节，使无穷点集成为明确的研究对象。
集合论里的中心，难点是无穷集合这个概念本身。从希腊时代以来，无穷集合很自然地引起数学家们和哲学家们的注意。而这种集合的本质以及看来是矛盾的性质，很难象有穷集合那样来把握它。所以对这种集合的理解没有任何进展。早在中世纪，人们已经注意到这样的事实：如果从两个同心圆出发画射线，那么射线就在这两个圆的点与点之间建立了一一对应，然而两圆的周长是不一样的。16世纪，伽俐略还举例说，可以在两个不同长的线段ab与cd之间建立一一对应，从而想象出它们具有同样的点。
他又注意到正整数可以和它们的平方构成一一对应，只要使每个正整数同它们的平方对应起来就行了:
但这导致无穷大的不同的“数量级”，伽俐略以为这是不可能的.因为所有无穷大都一样大。不仅是伽俐略，在康托之前的数学家大多不赞成在无穷集之间使用一一对应的比较手段，因为它将出现部分等于全体的矛盾.高斯明确表态：“我反对把一个无穷量当作实体，这在数学中是从来不允许的。无穷只是一种说话的方式… …”柯西也不承认无穷集合的存在。他不能允许部分同整体构成一一对应这件事。当然，潜无穷在一定条件下是便于使用的，但若把它作为无穷观则是片面的。数学的发展表明，只承认潜无穷，否认实无穷是不行的。康托把时间用到对研究对象的深沉思考中。他要用事实来说明问题，说服大家。康托认为，一个无穷集合能够和它的部分构成一一对应不是什么坏事，它恰恰反应了无穷集合的一个本质特征。对康托来说，如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。它定义了基数,可数集合等概念。并且证明了实数集是不可数的代数数是可数的.康托最初的证明发表在1874年的一篇题为《关于全体实代数数的特征》的文章中,它标志着集合论的诞生。
随着实数不可数性质的确立，康托又提出一个新的，更大胆的问题。1874年，他考虑了能否建立平面上的点和直线上的点之间的一一对应。从直观上说，平面上的点显然要比线上的点要多得多。康托自己起初也是这样认识的。但三年后，康托宣布：不仅平面和直线之间可以建立一一对应，而且一般的n维连续空间也可以建立一一对应！这一结果是出人意外的。就连康托本人也觉得“简直不能相信”。然而这又是明摆着的事实，它说明直观是靠不住的，只有靠理性才能发现真理，避免谬误。
既然n维连续空间与一维连续统具有相同的基数，于是，康托在1879到1884年间集中于线性连续统的研究，相继发表了六篇系列文章，汇集成《关于无穷的线性点集》。前四篇直接建立了集合论的一些重要结果，包括集合论在函数论等方面的应用。其中第五篇发表于1883年，它的篇幅最长，内容也最丰富。它不仅超出了线性点集的研究范围，而且给出了超穷数的一个完全一般的理论，其中借助良序集的序型引进了超穷序数的整个谱系。同时还专门讨论了由集合论产生的哲学问题，包括回答反对者们对康托所采取的实无穷立场的非难。这篇文章对康托是极为重要的。1883年，康托将它以《集合论基础》为题作为专著单独出版。
《集合论基础》的出版，是康托数学研究的里程碑。其主要成果是引进了作为自然数系的独立和系统扩充的超穷数。康托清醒地认识到，他这样做是一种大胆的冒进。“我很了解这样做将使我自己处于某种与数学中关于无穷和自然数性质的传统观念相对立的地位，但我深信，超穷数终将被承认是对数概念最简单、最适当和最自然的扩充。”《集合论基础》是康托关于早期集合理论的系统阐述，也是他将做出具有深远影响的特殊贡献的开端。
康托于1895年和1897年先后发表了两篇对超限数理论具有决定意义的论文。在该文中,他改变了早期用公理定义(序)数的方法，采用集合作为基本概念。他给出了超限基数和超限序数的定义，引进了它们的符号；依势的大小把它们排成一个“序列”；规定了它们的加法，乘法和乘方… …。到此为止，康托所能做的关于超限基数和超限序数理论已臻于完成。但是集合论的内在矛盾开始暴露出来。康托自己首先发现了集合论的内在矛盾。他在1895年的文章中遗留下两个悬而未决的问题：一个是连续统假说；另一个是所有超穷基数的可比较性。他虽然认为无穷基数有最小数而没有最大数，但没有明显叙述其矛盾之处。一直到1903年罗素发表了他的著名悖论。集合论的内在矛盾才突出出来，成为20世纪集合论和数学基础研究的出发点。
4．对康托集合论的不同评价
康托的集合论是数学上最具有革命性的理论。他处理了数学上最棘手的对象---无穷集合。因此，他的发展道路也自然很不平坦。他抛弃了一切经验和直观，用彻底的理论来论证，因此他所得出的结论既高度地另人吃惊，难以置信，又确确实实，毋庸置疑。数学史上没有比康托更大胆的设想和采取的步骤了。因此，它不可避免地遭到了传统思想的反对。
19世纪被普遍承认的关于存在性的证明是构造性的。你要证明什么东西存在，那就要具体造出来。因此，人只能从具体得数或形出发，一步一步经过有限多步得出结论来。至于“无穷”，许多人更是认为它是一个超乎于人的能力所能认识的世界，不要说去数它，就是它是否存在也难以肯定，而康托竟然“漫无边际地”去数它，去比较它们的大小，去设想没有最大基数的无穷集合的存在……这自然遭到反对和斥责。
集合论最激烈的反对者是克罗内克，他认为只有他研究的数论及代数才最可靠。因为自然数是上帝创造的，其余的是人的工作。他对康托的研究对象和论证手段都表示强烈的 反对。由于柏林是当时的数学中心，克罗内克又是柏林学派的领袖人物，所以他对康托及其集合论的发展前途的阻碍作用是非常大的。另一位德国的知觉主义者魏尔认为，康托把无穷分成等级是雾上之雾。法国数学界的权威人物庞加莱曾预言：我们的“后一代将把（康托的）集合论当作一种疾病”等等。由于两千年来无穷概念数学带来的困难，也由于反对派的权威地位,康托的成就不仅没有得到应有的评价，反而受到排斥。1891年，克罗内克去世之后，康托的处境开始好转。
另一方面，许多大数学家支持康托的集合论。除了狄德金以外，瑞典的数学家米大格---列夫勒在自己创办的国际性数学杂志上把康托的集合论的论文用法文转载，从而大大促进了集合论在国际上的传播。1897年在第一次国际数学家大会上，霍尔维次在对解析函数的最新进展进行概括时，就对康托的集合论的贡献进行了阐述。三年后的第二次国际数学大会上，为了捍卫集合论而勇敢战斗的希尔伯特又进一步强调了康托工作的重要性。他把连续统假设列为20世纪初有待解决的23个主要数学问题之首。希尔伯特宣称:“没有人能把我们从康托为我们创造的乐园中驱逐出去。”特别自1901年勒贝格积分产生以及勒贝格的测度理论充实了集合论之后，集合论得到了公认，康托的工作获得崇高的评价。当第三次国际数学大会于1904年召开时，“现代数学不能没有集合论”已成为大家的看法。康托的声望已经得到举世公认。
5．集合论的意义
集合论是现代数学中重要的基础理论。它的概念和方法已经渗透到代数、拓扑和分析等许多数学分支以及物理学和质点力学等一些自然科学部门，为这些学科提供了奠基的方法，改变了这些学科的面貌。几乎可以说，如果没有集合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解。所以集合论的创立不仅对数学基础的研究有重要意义，而且对现代数学的发展也有深远的影响。
康托一生受过磨难。他以及其集合论受到粗暴攻击长达十年。康托虽曾一度对数学失去兴趣，而转向哲学、文学，但始终不能放弃集合论。康托能不顾众多数学家、哲学家甚至神学家的反对，坚定地捍卫超穷集合论，与他的科学家气质和性格是分不开的。康托的个性形成在很大程度上受到他父亲的影响。他的父亲乔治·瓦尔德玛·康托在福音派新教的影响下成长起来。是一位精明的商人，明智且有天份。他的那种深笃的宗教信仰强烈的使命感始终带给他以勇气和信心。正是这种坚定、乐观的信念使康托义无返顾地走向数学家之路并真正取得了成功。
今天集合论已成为整个数学大厦的基础，康托也因此成为世纪之交的最伟大的数学家之一。
为科学而疯的人——康托儿
由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。在1874—1876年期间，不到30岁的年轻德国数学家康托儿向神秘的无穷宣战。他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”，后来几年，康托儿对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论。
康托儿的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂。有人说，康托儿的集合论是一种“疾病”， 康托儿的概念是“雾中之雾”，甚至说康托儿是“疯子”。来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托儿，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院。
真金不怕火炼，康托儿的思想终于大放光彩。1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托儿的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”可是这时康托儿仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。1918年1月6日，康托儿在一家精神病院去世。
康托儿(1845—1918)，生于俄国彼得堡一丹麦犹太血统的富商家庭，10岁随家迁居德国，自幼对数学有浓厚兴趣。23岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研究。他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础。
1.2 子集、全集、补集
教学目标
（1）理解子集、真子集、补集、两个集合相等概念；
（2）了解全集、空集的意义，
（3）掌握有关子集、全集、补集的符号及表示方法，会用它们正确表示一些简单的集合，培养学生的符号表示的能力；
（4）会求已知集合的子集、真子集，会求全集中子集在全集中的补集；
（5）能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号及图形（文氏图）准确地表示出来，培养学生的数学结合的数学思想；
（6）培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力．
教学建议
1．教材分析
（1）知识结构
本节的教学内容分为两部分，第一部分是子集，介绍了子集、真子集及两个集合相等的概念，说明了任何一个集合是它本身的子集，空集是任何一个集合的子集．
第二部分是全集、补集．给出了全集、补集的意义，说明了如何求出一个给定的集合在全集中的补集．
（2）重点、难点分析
①本小节的重点是子集、补集的概念．
子集概念是本章在介绍了集合概念后，从讨论集合与集合之间的包含与相等地关系入手，给出了子集的概念的．
正确理解子集的概念有助于理解与子集有关的全集、补集的概念，由于学生是刚开始接触集合的符号表示，所以子集和真子集的符号要提醒学生注意这些符号地方向不要搞错．
补集的概念是在子集、全集的概念之后给出的，子集的概念是涉及两个集合之间关系，而补集是涉及三个集合之间的特定关系，在讲解补集概念时还可以加深子集的概念．
正确运用子集、补集的概念，是用集合观点分析、解决问题的重要内容，学好它们，可以为学生进一步学习交集，并集的概念以及集合的其他初步知识打好基础，同时，可以使学生更好地理解数学中出现的集合语言，更好地使用集合语言表述数学问题，更好地运用集合的观点研究、处理数学问题．
②本节的难点是弄清元素与子集，属于与包含之间的区别．
学生在第一节集合概念学习中，刚刚接触了元素与集合之间的属于关系，现在又出现了子集、集合和集合之间的包含关系概念，由于对概念的本质认识不深刻，初学者容易弄混这些概念，在使用符号 ， 表示时经常混用．
这是因为学生在学习中接触了比较多的新概念，新符号，而这两组概念，符号比较容易混淆，这些因素可能给学生学习带来困难，因此在教学中引进符号时，应说明其意义，强调本质区别在与个体与整体、整体与整体的关系，并通过例题、习题，使集合与元素的概念多次出现，结合错例分析，使属于与包含的符号反复使用，以培养学生正确应用概念和使用术语、符号的能力．
2．教法建议
（1）从具体到抽象，从特殊到一般，充分利用图形的直观，引进概念、阐明概念的意义
子集、真子集、补集这些重要概念的教学，首先可以通过一些实例（可以用由数字组成的集合）来引入，并分析它们各自所具有的特征，然后把它一般化，概括出定义，其次，可以充分利用文氏图的直观性，形象地说明真子集、补集，这样处理，学生对这些概念就容易接受，而且还可以通过对图形的观察，发现这些概念所具有的某些重要性质．如包含关系的传递性．但是，应注意，由特殊事例归纳出一般结论的举例最好尽可能地把各种具有代表性的情况都列举出来．例如子集、真子集、集合的相等，可以通过考察三个集合：
间的关系来引入．
（2）概念、术语的意义要讲清，语言表述要确切；对于容易混淆的概念，要抓住不同点，培养学生的判断能力．
例如，“A是B的子集”，意思是A的任何一个元素都是B的元素，即由任一 ，可以推出 ，但不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合．因为B的子集也包括它本身，而这个子集是由B的全体元素组成的．
空集也是B的子集，而这个集合中并不含有B中的元素．由此也可看到，把A是B的真子集解释成A是由B的部分元素组成的集合也是不确切的．正确的说法应该把真子集的两个特征：“A是B的子集”和“B中至少有一个元素不属于A”都指出．
“空集是任何集合的子集”这句话是正确的，但是把空集说成说成是任何集合的真子集就不确切．因为空集是它本身的子集．正确的说法是“空集是任何非空集合的真子集”．总之，对于概念的解释，语言表达必须确切．
再如，“ AB是A在全集B中的补集”，不能把它简单地说成 AB是A的补集，因为补集的概念是相对而言的，集合A在不同的全集中的补集是不同的，所以在描述补集概念时，一定要注明是在哪个集合中的补集，简单的说集合A的补集是没有意义的．
（3）要明确有关数学符号、记号的意义，正确加以使用
本单元中引进的数学符号、记号比较多，初学者往往不善于使用，对此教学中必须在每一符号引进时，说明其意义，配备适当的例题、习题，逐步让学生熟悉这些符号，正确地运用这些符号．
例如，属于符号“ ”、不属于符号“ ”，它们只能用在元素与集合符号之间；包含关系“ ”“ ”、包含于（被包含）符号“ ”或“ ”，它们只能用在两个集合符号之间．对此，必须引起学生充分注意，不能用错，不要出现把 表示成 ，或 之类的错误．
又如， 是含有一个元素的集合， 是不含任何元素的集合，因此，有 ，不能写成 ， ．
关于子集与真子集的记法，教科书中采用的是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意．
关于补集，新的国家标准规定，集合A中子集B的补集或余集记为 ，如果行文中集合A已经很明确，则常常可以省去符号A，而记为 B．
教学设计方案
第三教时
教材: 子集
目的: 让学生初步了解子集的概念及其表示法,同时了解等集与真子集的有关概念.
过程:
一 提出问题:现在开始研究集合与集合之间的关系.
存在着两种关系:“包含”与“相等”两种关系.
二 “包含”关系—子集
1. 实例: A={1,2,3} B={1,2,3,4,5} 引导观察.
结论: 对于两个集合A和B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,
则说:集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,记作AB (或BA)
也说: 集合A是集合B的子集.
2. 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB (或BA)
注意: 也可写成；也可写成； 也可写成；也可写成。
3. 规定: 空集是任何集合的子集 . φA
三 “相等”关系
1. 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”
结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B， 即： A=B
2. ① 任何一个集合是它本身的子集。 AA
② 真子集：如果AB ,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B
③ 空集是任何非空集合的真子集。
④ 如果 AB, BC ,那么 AC
证明：设x是A的任一元素，则 xA
AB,xB 又 BC xC 从而 AC
同样；如果 AB, BC ,那么 AC
⑤ 如果AB 同时 BA 那么A=B
四 例题： P8 例一，例二 （略） 练习 P9
五 小结：子集、真子集的概念，等集的概念及其符号
几个性质： AA
AB, BC AC
AB BA A=B
六 作业：P10 习题1.2 1,2,3
第四教时
教材：全集与补集
目的：要求学生掌握全集与补集的概念及其表示法
过程：
一 复习：子集的概念及有关符号与性质。
提问（板演）：用列举法表示集合：A={6的正约数}，B={10的正约数}，C={6与10的正公约数}，并用适当的符号表示它们之间的关系。
解： A=1，2，3，6}， B={1，2，5，10}， C={1，2}
CA，CB
二 补集
1． 实例：S是全班同学的集合，集合A是班上所有参加校运会同学的集合，集合B是班上所有没有参加校运动会同学的集合。
集合B是集合S中除去集合A之后余下来的集合。
结论：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）
记作： CsA 即 CsA ={x xS且 xA}
2．例：S={1，2，3，4，5，6} A={1，3，5} CsA ={2，4，6}
三 全集
定义： 如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。
如：把实数R看作全集U, 则有理数集Q的补集CUQ是全体无理数的集合。
四 练习：P10（略）
五 小结：全集、补集
六作业 P10 4，5
第五教时
教材： 子集，补集，全集
目的： 复习子集、补集与全集，要求学生对上述概念的认识更清楚，并能较好地处理有关问题。
过程：
一、复习：子集、补集与全集的概念，符号
二、辨析： 1。补集必定是全集的子集，但未必是真子集。什么时候是真子集？
2。AB 如果把B看成全集，则CBA是B的真子集吗？什么时候（什么条件下）CBA是B的真子集？
三、典型例题（选讲）
例1 判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正．
（1） 表示空集；
（2）空集是任何集合的真子集；
（3） 不是 ；
（4） 的所有子集是 ；
（5）如果 且 ，那么B必是A的真子集；
（6） 与 不能同时成立．
解：（1） 不表示空集，它表示以空集为元素的集合，所以（1）不正确；
（2）不正确．空集是任何非空集合的真子集；
（3）不正确． 与 表示同一集合；
（4）不正确． 的所有子集是 ；
（5）正确
（6）不正确． 时， 与 能同时成立．
[说明]本题中某些似是而非的问题是学生学习中常常出现的问题，教学中应及时收集学生作业中的类似问题，让学生判断，以加深学生对子集和真子集，包含和相等的理解．
例2 用适当的符号（ ， ）填空：
（1） ； ； ；
（2） ； ；
（3） ；
（4）设 ， ， ，则A B C．
解：（1）0 0 ；
（2） ＝ ， ；
（3）∵ ∴ ；
（4）∵A，B，C均表示奇数集，∴A＝B＝C．
说明：本题主要是训练学生正确运用集合的符号，这类题的解法应使学生熟练掌握，为此教师还可以选编一些习题供学生练习．
例3 设 ，且 则（ ）
A﹒ B﹒ C﹒ D﹒
解 由B的表示可知， 代表A的子集， ，所以 。
例4 若集合：
， ，则M，N，P的关系是（ ）
A﹒ B﹒
C﹒ D﹒
解 对集合
对集合
对于
∴ ，故选B。
例5 设全集 ， ， ，判断 与 之间的关系．
解：∵
∴
∵
∴
∴
四、习题精选（选）
一、填空题
1．已知三个元素的集合 ， ，如果 ，那么 的值为 ．
2． 已知 ， ．若 ，则实数 的取值范围是 ．
3．设全集为Z， ， ，则 与 的关系是 ．
4．若 ， ， ， ，则满足上述条件的集合A为 ．
二、解答题
1．已知集合 ， ，其中 ， ，且 ．求 的值．
2．设全集 ， ，求由实数 组成的集合．
3．已知 ， ， ，试确定A，B，C之间的关系．
【参考答案】
一、填空题
1．－2． 2． ，或 3． 4． ．
二、解答题
1． ．注意
2． 提示：由题设知 ， ，故可求出 ，注意全集与空集互为补集．
3． ， ， ．
探究活动
子集的个数：同学们知道含一个元素集合子集的个数是2=21，含有两个元素集合子集的个数是4=22，含有3个元素集合子集的个数是8=23,含有4个元素集合子集的个数是16=24,……由此我们给出这样一个结论：一个 阶集合（即有 个元素组成的集合），有 个不同的子集，其中有 －1个非空子集，也有 －1个真子集．
由这条结论我们可以求有关集合不同的子集的个数．如已知 ， ，若 是 的子集，且 ,则子集 共有多少个？
要回答这个问题，我们可先求 的集合的个数．集合 可看作是 ．由 的元素构成子集与 的交集为空集，这样的子集共有 个． 故满足题中所求的子集 的个数是： 个．
题目：已知集合 且M中至多有二个奇数，试问这样的集合M有多少个？
答案：这样的集合M共有15个．
提示：注意两点：① 说明M是 的子集；②M中至多有二个奇数．
说明：M可分为四类：
第一类是空集；
第二类是不含奇数的集合；
第三类是只含一个奇数的集合；
第四类是含有二个奇数的集合．
1.3 交集、并集
教学目标
（1）理解交集与并集的概念；
（2）掌握有关集合的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合；
（3）能用图示法表示集合之间的关系；
（4）掌握两个较简单集合的交集、并集的求法；
（5）通过对交集、并集概念的讲解，培养学生观察、比较、分析、概括、等能力，使学生认识由具体到抽象的思维过程；
（6）通过对集合符号语言的学习，培养学生符号表达能力，培养严谨的学习作风，养成良好的学习习惯．
教学建议
1．教材分析
（1）知识结构
本节首先结合表示两个集合的图，引出交集与并集的概念，然后在完成一些练习的基础上，介绍了交集与并集的简单性质．
（2）重点难点分析
重点：交集与并集的概念；
难点：弄清交集与并集的概念、符号之间的区别与联系．
①本小节的重点是交集与并集的概念，只要结合图形，抓住概念中的关键词“且”、“或”，理解它们并不困难．可以借助代数运算帮助理解“且”、“或”的含义：求方程组的解集是求各个方程的解集的交集，求方程 的解集，则是求方程 和 的解集的并集；求不等式组的解集是求各个不等式的解集的交集，求不等式 的解集，则是求 和 的解集的并集，或是求不等式组 与 及不等式组 与 的解集的并集．
②本小节的难点是弄清交集与并集的概念及符号之间的联系和区别．突破难点的关键是掌握有关集合的术语和符号、简单的性质和推论，并会正确地表示一些简单的集合．利用数形结合的思维，将满足条件的集合用维恩图或数轴一一表示出来，从而求集合的交集、并集、补集，这是既简单又直观且是最基本、最常见的方法，要注意灵活运用．
2．教法建议
（1）注重数形结合，从集合A和B的文氏图中引出交集、并集的概念
在引出交集、并集的概念时，最好不要直接给出它们各自概念的含义，建议结合图形，启发学生从集合A和集合B的文氏图中，寻找它们之间的联系，学生较为容易接受，理解也较为深刻，为以后进行集合之间的交并运算打下基础．
（2）注意交集、并集概念的符号语言表示，提高学生的数学语言表达能力
教材对于交集、并集的概念还给出了它们各自的符号语言表示，即：
①
②
对于符号语言的表示要注意它们的区别和联系，抓住概念中的关键词“且”、“或”．
①中的“且”字，它说明 的任一元素 都是A与B的公共元素。由此可知， 必是A与B的公共子集，即： ．
②式中的“或”字的意义，用它连接的并列成分之间不一定是互相排斥的，“ ”这一条件，包括下列三种情况： ， ，且 （很明显，适合第三种情况的元素 构成的集合就是 ，它不一定是空集）。还要注意，A与B的公共元素在 中只出现一次。因此， 是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合。
由定义可知，A与B都是 的子集，联系到 都是A，B的子集，可得下面的关系式：
（3）运用对比教学的方法，使学生区分开交、并集的概念，能正确对集合之间求交与求并．
教师在讲解了交集、并集的概念后，可以涉及一个表格，让学生填写内容．见下表．
名 称 交 集 并 集
定义 由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集． 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集．
记 号 （读作“A交B”） （读作“A并B”）
简 而言 之 A与B的公共元素组成的集合即 且 A与B的所有元素组成的集合即 或
图 示（一般情形） （阴影为 ） （阴影为 ）
性质 ，,，，． ，,，，．
（4）培养用图示法（即文氏图）表示集合之间的关系的能力
用图示法表示集合之间的关系有两层意思：一方面给定一个集合或集合之间的运算关系，会用图示法（即维恩图）表示；另一方面给出一个维恩图，会用集合表示图中指定的部分（如阴影部分）．
作一些这方面的引导和训练，既可加深对集合关系及运算的理解，又可打提高数形结合思维能力，还可不断培养正向思维和逆向思维的能力．
（5）适当地运用集合关系进行简单推理
运用集合关系进行简单推理虽不是本节的教学要求，但对学有余力的学生不失为一种良好的思维训练，有助于提高抽象思维能力．例如利用集合相等完全可以证明交集与并集的性质和推论，可分为两个步骤去实施：
（1）先举一些具体的集合的实际例子，然后代入性质或推论，说明它们都是成立的（感性认识）。
（2）再尝试用学过的知识去证明这些性质或推论是成立的（逻辑推理）。
例：证明 ．
（1）说明：设 ， ， ．
则 ， ；
， ．
所以 ．
（2）证明：设 ，则 ，且 ，故 ，且 ， ，
即 ，且 ，
从而 ．
根据集合相等的定义，则 ．
类似地，可说明和证明其他的性质和推论．
教学设计方案
第六教时
教材： 交集与并集（1）
目的： 通过实例及图形让学生理解交集与并集的概念及有关性质。
过程：
2、 复习：子集、补集与全集的概念及其表示方法
提问（板演）：U={x|0≤x<6,xZ} A={1,3,5} B={1,4}
求：CuA= {0,2,4}． CuB= {0,2,3,5}．
3、 新授：
1、实例： A={a,b,c,d} B={a,b,e,f}
图
公共部分 A∩B 合并在一起 A∪B
2、定义： 交集： A∩B ={x|xA且xB} 符号、读法
并集： A∪B ={x|xA或xB}
见课本P10--11 定义 （略）
3、例题：课本P11例一至例五
练习P12
补充： 例一、设A={2,-1,x2-x+1}, B={2y,-4,x+4}, C={-1,7} 且A∩B=C求x,y。
解：由A∩B=C知 7A ∴必然 x2-x+1=7 得
x1=-2, x2=3
由x=-2 得 x+4=2C ∴x-2
∴x=3 x+4=7C 此时 2y=-1 ∴y=-
∴x=3 , y=-
例二、已知A={x|2x2=sx-r}, B={x|6x2+(s+2)x+r=0} 且 A∩B={}求A∪B。
解： ∵A且 B ∴
解之得 s= 2 r=
∴A={} B={}
∴A∪B={,}
三、小结： 交集、并集的定义
四、作业：课本 P13习题1、3 1--5
补充：设集合A = {x | 4≤x≤2}, B = {x | 1≤x≤3}, C = {x |x≤0或x≥ },
求A∩B∩C, A∪B∪C。
第七教时
教材：交集与并集（2）
目的：通过复习及对交集与并集性质的剖析，使学生对概念有更深刻的理解
过程：一、复习：交集、并集的定义、符号
提问（板演）：（P13 例8 ）
设全集 U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，A = {3，4，5} B = {4，7，8}
求：（CU A）∩(CU B), (CU A)∪(CU B), CU(A∪B), CU (A∩B)
解：CU A = {1，2，6，7，8} CU B = {1，2，3，5，6}
(CU A)∩(CU B) = {1，2，6}
(CU A)∪(CU B) = {1，2，3，5，6，7，8}
A∪B = {3，4，5，7，8} A∩B = {4}
∴ CU (A∪B) = {1，2，6}
CU (A∩B) = {1，2，3，5，6，7，8，}
结合图 说明：我们有一个公式：
(CUA)∩( CU B) = CU(A∪B)
(CUA)∪( CUB) = CU(A∩B)
二、另外几个性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,
A∪A = A, A∪φ= A , A∪B = B∪A.
（注意与实数性质类比）
例6 （ P12 ） 略
进而讨论 (x,y) 可以看作直线上的点的坐标
A∩B 是两直线交点或二元一次方程组的解
同样设 A = {x | x2x6 = 0} B = {x | x2+x12 = 0}
则 (x2x6)(x2+x12) = 0 的解相当于 A∪B
即： A = {3,2} B = {4,3} 则 A∪B = {4,2,3}
三、关于奇数集、偶数集的概念 略 见P12
例7 （ P12 ） 略
练习 P13
四、关于集合中元素的个数
规定：集合A 的元素个数记作： card (A)
作图 观察、分析得：
card (A∪B) card (A) + card (B)
card (A∪B) = card (A) +card (B) card (A∩B)
五、作业： 课本 P14 6、7、8
第八教时
教材：交集与并集（3）
目的：复习交集与并集，并处理“教学与测试”内容，使学生逐步达到熟练技巧。
过程：
一、复习：交集、并集
二、1．如图（1） U是全集，A，B是U的两个子集，图中有四个用数字标出的区域，试填下表：
区域号 相应的集合
1 CUA∩CUB
2 A∩CUB
3 A∩B
4 CUA∩B
集合 相应的区域号
A 2，3
B 3，4
U 1，2，3，4
A∩B 3
图（1）
图（2）
2．如图（2） U是全集，A，B，C是U的三个子集，图中有8个用数字标
出的区域，试填下表： （见右半版）
3．已知：A={(x,y)|y=x2+1,xR} B={(x,y)| y=x+1,xR }求A∩B。
解：
∴ A∩B= {（0，1），（1，2）}
区域号 相应的集合
1 CUA∩CUB∩CUC
2 A∩CUB∩CUC
3 A∩B∩CUC
4 CUA∩B∩CUC
5 A∩CUB∩C
6 A∩B∩C
7 CUA∩B∩C
8 CUA∩CUB∩C
集合 相应的区域号
A 2，3，5，6
B 3，4，6，7
C 5，6，7，8
∪ 1，2，3，4，5，6，7，8
A∪B 2，3，4，5，6，7
A∪C 2，3，5，6，7，8
B∪C 3，4，5，6，7，8
三、关于集合的交并补运算（选讲）
我们来看这样一个例题．
例 已知集合 ， ， ．求
（1）（ ） （ ） （2） （ ）；
（3）（ ） （ ） （4） （ ）．
利用数形结合的思想，将满足条件的集会在数轴上—一表示出来，从而求集会的交集、并集、补集，既简单又直观，这是最基本最常见的方法．本例题可先在数轴上画出集合 ， ， ，然后求出 ， ， ， ，就能逐一写出各小题的结果，有条件的还可以设计多媒体教学课件．展现这一全过程．
解 利用数轴工具，画出集会 ， ， 的示意图，如下图．
可以得到，
，
，
，
．
从而可求得
（1）（ ） （ ） ．
（2） （ ） ．
（3）（ ） （ ） ．
（4） （ ） ．
认真观察不难发现：
（ ）＝（ ） （ ）；
（ ）＝（ ） （ ）．
这个发现是偶然的呢？还是具有普遍的意义呢？
为了提高学生分析问题和解决问题的能力，培养他们探索研究的思维品质和创新意识，也让学生体验数形结合思想方法解题的要领和重要性．我们可以做两方面的工作：
（1）让学生自己编拟一道集合运算的例题，并验证上述等式是否成立；
（2）设计一套维恩图来验证上述等式（有条件的可设计一多媒体课件来展示并验证）．
第（1）方面的工作让学生自己尝试，我们来做第（2）方面的工作：
我们来看四个图：
细心观察、领会，我们能够看出：
图1–20的阴影部分是 ；
图1–21的阴影部分是 （ ）；
图1–22的阴影部分是 （ ）；
图1–23的阴影部分是 （ ），或者是（ ） （ ）．
从图1–23我们已经得到 （ ）＝（ ） （ ）；
从图1–20我们也可得到 （ ）＝（ ） （ ）．
一般地，对于任意集合 ， ，下列等式成立．
（1） （ ）＝（ ） （ ）；
（2） （ ）＝（ ） （ ）．
这就是著名的德·摩根定律，它可以叙述为：
， 交集的补集等于 ， 的补集的并集；
， 并集的补集等于 ， 的补集的交集．
有了课本上的知识和德·摩根定律，将使我们对一些问题产生新的认识：
1．再一次观察图1–20，1–21，1–22，1–23，我们发现，实际上集合 ， 把全集 分成了四部分．如右图．
注：做成电脑课件，配上色彩或闪动，会更精彩．
有了这种观念，解类似下面的例题就方便多了．
例 已知全集 ， ， 是 的两个子集，且满足 ＝ ， ＝ ，（ ） （ ）＝ ．求集合 和 ．
解法一 （直接解法）依题意， ＝ ，则 ，且 ．
从而知3，5 ，且 ．
同理，由 ，知7，19 ，且7，19 ．
由（ ） （ ）＝ ，知2，17 ，且2，17 ．
因为 ，观察11和13这两个元素，不外乎下面几种情况：
①若11 ，11 ，则 ，且 ，这与（ ） （ ）＝ 矛盾；
②若11 ，11 ，则 ，这与 ＝ 矛盾；
③若11 ，11 ，则 ，这与 ＝ 矛盾；
④若11 ，11 ，则 ．
同理， ．
于是我们可以把这些数字填入集合 ， ，得
， ．
解法二 （利用图）由图，知 ， ＝ ， ＝ ，（ ） （ ）＝ ．可直接将 中元素一一填入图各自的集合．
所以， ， ．
解法一充分利用已知条件，将肯定属于或肯定不属于集合 ， 的元素确定下来，再逐一验证其他的元素分别属于哪个集合．这种方法比较抽象．
解法二数形结合，一目了然．
二种方法能培养我们不同的思维品质，都是学好数学不可缺少的．
2．帮助理解集合与逻辑用语的关系．
设全集 ， ， ，则有
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ （ 是 的充分条件）；
⑥ （ 是 的充分条件）；
⑦ （ ）＝（ ） （ ） ；
⑧ （ ）＝（ ） （ ） ．
四、典型例题
例 如图所示，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A﹒ B﹒
C﹒ IS D﹒ IS
解 此阴影部分是属于M且属于P，即 。但又不属于S集，
所以为 IS，故选C。
五、习题精选（选）
一、填空题
1．已知集合 ， ．则 ．
2．满足 的集合B的个数是 ．
3．已知集合 ，且 ．则 的值为 ．
二、解答题
1．设 ， ．若 ，求实数 的值．
2．50名学生参加体能和智能测验，已知体能优秀的有40人，智能优秀的有31人，两项都不优秀的有4人．问这种测验都优秀的有几人？
【参考答案】
一、填空题
1． ． 2．4个 3．－1，0，
二、解答题
1． 的值为0， ，－1．注意空集是任何集合的子集．
2．25人
探究活动
张明与李坚是一对好朋友，他们在复习集合这一章时决定采用互难互问复习法，即张明提出问题的一部分和问题的框架，要求李坚按张明的要求编出可解的问题，再让张明做．
张明提出问题的一部分是：已知非空集合 ，……求出实数的 的取值范围．
编题要求是：出现两个具有某种关系的集合B、C，且集合B、C中的字母 必须属于A．
请你帮助李坚编出这道题．
分析与解
1．已知非空集合：
， ， ，且 ，求出实数 的取值范围．
2．已知非空集合：
， ， ，且 ，求出实数 的取值范围．
3．已知非空集合：
， ， ，且 ，求出实数 的取值范围．
4．已知非空集合：
， ， ，且 ，求出实数 的取值范围．
5．已知非空集合：
， ， ，且 ，求出实数 的取值范围．
说明 你不妨找一个好友按照这个复习法试一试．
扩展资料
德·摩根，A（Augustus De Morgan 1806－1871） 英国数学家、逻辑学家．1806年6月27日出生于印度的马都拉．1871年3月18日卒于伦敦．1823年入剑桥大学三一学院学习，1827年毕业．后在伦敦大学学院任数学教授（1828－1831；1836－1866）．1865参加筹备伦敦数学会，并于1866年任会长．
他认为：代数学实际上是一系列“运算”，这种“运算”能在任何符号（不一定是数字）的集合上，根据一定的公设业进行．这一新的数学思想使代数得以脱离算术的束缚．
德·摩根在分析学方面给出了形如 的级数的收敛性判别准则，即设
则当 时，级数收敛，当 时，级数发散．
在逻辑学方面，德·摩根首创了关系逻辑的研究．他提出了论域概念，并用代数方法来研究逻辑演算，建立了著名的德·摩根律，即
（ ）＝（） （），
（ ）＝（） （）．
他还分析了关系的种类和性质，研究了关系命题和关系推理，得到了一些逻辑规律和定理，从而突破了古典的主谓逻辑的局限性，这对其后数理逻辑的发展有一定的影响．
德·摩根撰写了不少算术、代数、三角等方面的教材，他在分析学和逻辑学方面的主要著作有《微积分学》（1842）、《形式逻辑》（1847）等．
摘自《中国大百科全书·数学卷》
1.4 含绝对值的不等式
教学目标
（1）掌握 与 （ ）型的绝对值不等式的解法．
（2）掌握 与 （ ）型的绝对值不等式的解法．
（3）通过用数轴来表示含绝对值不等式的解集，培养学生数形结合的能力；
（4）通过将含绝对值的不等式同解变形为不含绝对值的不等式，培养学生化归的思想和转化的能力；
教学建议
（一）教材分析
1．知识结构
2．重点难点分析
重点是 型的不等式的解法；
难点是利用绝对值的意义分析、解决问题．
（1）本小节的重点是 与 （ ）型的不等式的解法，因为它是讨论含绝对值不等式的出发点，是进一步解决 与 （ ）型不等式的基础，并且为较复杂的含绝对值不等式的求解提供了思考的方式与路径．
（2）难点是利用绝对值的意义分析解决问题，造成难点的原因是学生对绝对值的意义理解并不深刻，加之学习的时间较长有一定的遗忘．
要突破难点，注意一下几点：①帮助学生复习回忆绝对值的代数意义及几何意义；②说明问题时借助于数轴的直观性与形象性；③联系方程的对应问题类比讲解；④放慢节拍，多诱导启发．
（二）教法建议
（1）从现实生活实例入手，激发学习兴趣
在引入含绝对值不等式时，应尽可能的结合现实生活，举出一些较为生动有趣的例子，以此来吸引学生，提起学生的注意力，激发他们的兴趣与热情，与此同时要使他们潜在地认识到学习本节内容的实际价值与现实意义．
在本节的初始阶段不宜匆匆忙忙地给出关于 时， 或 型不等式解集的一般结论．
（2）注意新旧知识的衔接
绝对值概念本身是难点，它是初中教材中首次涉及到分类讨论思想的具体体现，因而有的同学对它的认识极力模糊，有的则一直停留在比较肤浅的状态，有的则对它始终存在着某种畏惧心理，这就为解含绝对值不等式设置了无形的障碍．
在讲解有关绝对值的不等式之前，一定要注意根据学生的实际情况，加以复习有关绝对值的意义．
（3）注意利用数轴，体现数形结合的思想
讲含绝对值不等式的解法时要借助于数轴与绝对值的几何意义，从数轴上来观察绝对值不等式的解集，即直观又准确．
求不等式解集的“交”与“并”时要求画数轴，将原始的集合在数轴上表示，借助数轴的直观，得出其“交”或“并”的结果，并将结果表示在数轴上，数轴作为解题的一个组成部分而被保留，为避免混乱可采用不同颜色的笔，或多画一两条数轴．
（4）注重方程与不等式之间的联系
由于初中仅仅讲解了有关绝对值的意义，关于绝对值方程，学生也是初次遇到，并且解方程与解不等式有着直接的联系，所以在教学中一定要对解绝对值方程引起重视．在讲解了有关绝对值方程的基础上来进一步结合数轴来解绝对值的方程．
（5）重视具体示例的教学
重视对具体实例不等式 解集的讨论．联系到对应方程 的解，可由等量问题过渡到不等量的问题，在数轴上标出方程的解＋2与－2，则其对应两点将数轴分为三部分，结合绝对值的几何意义，即一个数的绝对值就是表示这个数离开原点的距离，不难得出 的解集是这两点之间的部分．
讲解此处时，一定要放慢节奏，给学生思考的余地，要循循善诱，引导学生自己得出结论，教师不宜说得过多，应画龙点睛，点到为止．
（6）体现整体的数学思想
利用已有 型结论来解形如 或 （ ）的不等时，应注意体现把 看作整体，当作一个 ，得出 ，即 ，但这里的 可以并不真正出现，是否借助 ，教师可以视学生的水平酌情处理．
（7）在求解集时要注意利用交集和并集的概念
求解形如 （ ）的不等式，会涉及到求不等式 与 解集的并集，在这里老师要带领学生利用数轴解决这一问题．
尽管在集合单元的教学中，已经借助数轴求过集合的“并”与“并”，但对于求“并”的运算，学生还远不如求“交”来的迅速熟练（因为求“交”的运算已在解一元一次不等式组时实施过，只是当时没有上升到集合论的高度去认识），有时还和求“交”混．
因而在此强调，一是为澄清观念，二是意在养成良好的学习习惯，希望学生今后能自觉地采用数形结合的方法去解决有关不等式的问题．为高二不等式单元的学习创立一个良好的开端．
（8）利用化归的思想，将绝对值不等式化为不等式组来解
对于这一部分内容的处理还可以采取另一种方案，即去绝对值．将解不等式 转化为求不等式组 与 的并集．
初中三年的学习中遇到绝对值时这一手法被经常采用，学生较为容易得出结论．
虽然采用这种方法，可以顺理成章地引出较复杂的含绝对值不等式的解法，如对含有两个绝对值的不等式的求解，但鉴于学生的接受能力，在最初阶段不宜主动去提及它，如果学生自己提及应给予肯定，但不必深入，当学生有了一定的解含绝对值不等式的经验后，可选一个恰当的时机给出．
（9）注意控制教学内容难度
由于绝对值是一个难点，所以绝对值不等式作为初学，不易讲解过深．本小节教材中的练习，习题所涉及的不等式，只限于绝对值符号内为一元一次代数式，并且是数字系数的，因而在教学中要注意控制难度，在学生能熟练正确地解基本、简单不等式的前提下，方可考虑提高难度，可参照教材习题1．4的第4题，引入简单的含参数的题目，并要求学生掌握，也可视学生的接受水平让其了解含有两个绝对值的不等式的解法．
教学设计方案
第九教时
教材：含绝对值不等式的解法
目的：从绝对值的意义出发，掌握形如 | x | = a的方程和形如 | x | > a, | x | < a (a>0)不等式的解法，并了解数形结合、分类讨论的思想。
过程：
一、实例导入，提出课题
实例：课本 P14（略） 得出两种表示方法：
1．不等式组表示： 2．绝对值不等式表示:：| x 500 | ≤5
课题：含绝对值不等式解法
二、形如 | x | = a (a≥0) 的方程解法
复习绝对值意义：| a | =
几何意义：数轴上表示 a 的点到原点的距离
． 例：| x | = 2 ．
三、形如| x | > a与 | x | < a 的不等式的解法
例 | x | > 2与 | x | < 2
1从数轴上，绝对值的几何意义出发分析、作图。解之、见 P15 略
结论：不等式 | x | > a 的解集是 { x | a< x < a}
| x | < a 的解集是 { x | x > a 或 x < a}
2从另一个角度出发：用讨论法打开绝对值号
| x | < 2 或 0 ≤ x < 2或2 < x < 0
合并为 { x | 2 < x < 2}
同理 | x | < 2 或 { x | x > 2或 x < 2}
3例题 P15 例一、例二 略
四、典型例题（选讲）
例1 解不等式 （ ）
分析：此题关键在于绝对值符号里有字母系数，解题过程中要注意分类讨论．
解：原不等式可化为
即
当 时，解集为
当 时，解集为
评析：1．遇到字母系数要合理进行讨论，尤其是字母系数为负时，利用不等式性质化简不等式时一定要改变不等号的方向．
2．若遇 的系数为负的含绝对值不等式，如 ， 等，可利用绝对值的性质将其转化为系数为正的情况去解，如将上述两不等式变为 ， 后再解，以减小错误的发生率．
例2 解关于 的不等式 （ ）
分析：这里没有 的条件，应分类求解．
解：若 ，即 ，则 恒不成立，此时原不等式无解；
若 ，即 ，则 ，所以
综上，当 时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式解集为 ．
例3 解不等式 ．
点拨一 这是一个含有两个绝对值的符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论．
解法一 由代数式 ， 知，－2，1把实数集分为三个区间： ， ， ．
当 时，原不等式变为 ，即 ；
当 时，原不等式变为 ，即 ；
当 时，原不等式变为 ，即 ．
综上，知原不等式的解集为 ．
点评 解这类绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是：
（1）令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根；
（2）把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；
（3）由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；
（4）这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．
点拨二 不等式 的几何意义是表示数轴上与 及B（1）两点距离之和小于4的点．而A，B两点距离为3，因此线段AB上每一点到A，B的距离之和都等于3．如下图，要找到与A，B的距离这和为4的点，问题就迎刃而解了．
解法二 如上图，要找到与A，B距离之和为4的点，只需由点B向右移动 个单位，这时距离之和增加1个单位，即移到点 ．或由点A向左移动 个单位，即移到点 ．
可以看出，数轴上点 向左的点或者 向右的点到A，B两点的距离之和均小于4．
所以，原不等式的解集为 ．
点拨三 从函数的角度思考，可分别画出函数 和 的图象．观察即得．
解法三 如右图．
．
不难看出，要使 ，只须 ．
所以，原不等式的解集为 ．
点评 对于解法一，要孰记 或 两种类型的解法，关键是正确分类并转化为不含绝对值的不等式；对于解法二，要搞清它的几何意义是什么，并注意结论是否包括端点；对于解法三，关键是正确画出两个函数的图象，并准确写出它们交点的坐标．三种方法都比较直观、简捷，不同程度体现了分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想方法，各有千秋，都是我们应该熟练掌握的解题通性通法．
例4 解不等式 ．
解法一 原不等式等价于
（Ⅰ）
或（Ⅱ）
解（Ⅰ），得 ，或 ．
解（Ⅱ），得解集为空集．
所以，原不等式的解集为 ．
解法二 原不等式等价于
（Ⅰ），或 （Ⅱ）．
解（Ⅰ），得 ，或 ．
解（Ⅱ），得解集为空集．
所以，原不等式的解集为 ．
点评 比较两种解法可以看出，第二种解法比较简便．在第二种解法中，用到了下列关系：
若 ，则 等价于 ，或 ．
解法三 在直角坐标系中分别画出 ， ， ．
如图，不难看出，要使 ，只须 ，或 ．
所以，原不等式的解集为 ．
五、习题精选（选）
一、填空题
1．若 ， ，则 ．
2．若 ， ，全集为 ．那么 ．
3．若 ，则 ．
二、解答题
1．对于任意实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
2．解不等式组
【参考答案】
一、填空题
1． 2． 3． 10
二、解答题
1． 2．
小结：含绝对值不等式的两种解法。
作业： P16 练习 及习题1．4
扩展资料
高一数学新教材分析与教学设计
随着高一数学新教材的使用及研究性学习的启动、如何将新教材所要体现的知识体系和思维方式结合研究性学习有机地溶入谭堂，使学生成为课堂的主体而达成一种互动效应，是我们应该认真思考的问题。本文拟就此问题从以下几个侧面做些探讨。
一、新教材的特点
新教材最显著一个特点是淡化形式，注重实际，削弱问题的科学性与严谨性，强化问题的研究性与应用性，充分体现了数学的大众性与生活化，较好地呈现出了知识的发生与发展过程。
新教村在保证基础知识教学、基本技能训练、基本能力培养的前提下，删减了老教材中次要的、用处不大的而且学生接受有困难的内容，新增了一些为进一步学习打基础的有广泛应用的并且学生能够接受的新知识。
在教材内容的编排和体系上，新教材注重调动学生学习的积极性和主动性，注意知识的连贯性、整体性、统一性、层次性，注意把学生作为学习的主体来编排队内容，符合学生的认识特点和认知规律。
新教材强调节器理论联系实际，重视培养学生用数学的意识，注意引导学生把所学知识用到相关学科和生活、生产实际中去，使学生在获取知识和运用知识的同时，发展思维能力、提高思维品质，充分体现了素质教育的精神
二、新教材课堂实施构想
基于新教材的以上特点，对新教材的处理笔者认为可以本着这样的原则：强化学生的主体意识，体现师生互动，促进学生的探索思维。
教材主编之一的饶汉昌教授说：“对于新教材，从某个意义上说，我们应该引导学生去广挖坑，而不应该让他们去深挖洞。”在保证基础的前提之下，对教材深度的开掘与拓广应依学生的情况而定，也就在全面了解学生情况的前提下，将所要拓广的内容分为几类并同时将学生也分成相应的几类，多形式、多层次启发、引导、发现、体验、探索、研究等。两种分层都不是绝对的和严格的，应该随时调整和变更，充分体现出可塑性和多元性。
基于此，在授课过程中，教师应该围绕问题，给学生建构一种探索氛围，而决非是一个“自编，自导，自演，自算”的数学知识的传播者。教师不再是单纯的知识的传授者和讲解者了，学生也不再是一种被子老师牵着走的被支的观众了。对学生而言，教师只能是一块似有似无的“石头”，课堂教学的全过程也应该是让学生摸着这块似有似无的“石头”过河。教师这块“石头”的作用应该如那露出水面“八分之一”（当然也可以再多一些，视情况而相对调整）的冰山一样，既隐隐约约，又金碧辉煌，有意无意地适度折射出其下的八分之七的内涵吸引学生深入其下的深层结构。
（选自《高中数学教与学》2002年 第8期）
1.5 一元二次不等式的解法
教学目标
（1）掌握一元二次不等式的解法；
（2）知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组；
（3）了解简单的分式不等式的解法；
（4）能利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，理解它们三者之间的内在联系；
（5）能够进行较简单的分类讨论，借助于数轴的直观，求解简单的含字母的一元二次不等式；
（6）通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想；
（7）通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证的世界观．
教学建议
1．教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
重点是一元二次不等式的解法；
难点是弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系．
①用图象法解一元二次不等式
在教材中对一元二次不等式的解集的求法是从一元一次不等式与一元一次方程、一次函数之间关系中引出的，是从函数图象上，结合方程的解得出解集的求法的，所以在讲解一元二次不等式的解法是也是从函数图象出发来讲解的；
用图象法来解一元二次不等式涉及知识点较多，需联系前面所学的一元二次方程、二次函数的知识，然而有的学生这些知识并未掌握牢固；再者要深刻挖掘它们之间的联系，从中寻求一元二次不等式的解法。这比单纯数形结合要求的水平更高，何况相对一部分学生不合适用数形结合法。由于对于这部分学生来讲数与形是割裂的，没能真正和谐统一在一起，这是其认识及理解水平造成的。
②认识方程、函数、不等式三者之间的关系
在本节中，难点是对一元二次不等式解法的理解与认识，也就是二次函数与二次方程，二次不等式三者之间的关系。
二次函数 （ ）是研究自变量 与 之间的对应关系，也就是研究自变量 变化过程中函数 的变化过程及变化趋势，显然方程与不等式的解集是二次函数自变量变化过程中的某种特殊情况，二次方程的解就是自变量变为何值时，函数值 的这一情况；而二次不等式的解集是自变量变化过程中何时函数值 与 的这一情况，二次方程 的解对研究函数变化是十分重要的。由于两根 、 是函数值由正变负或由负变为正的分界点，也是不等式解区间的端点，正是三者之间的相互联系，我们才知道二次函数与二次方程与二次不等式解集的联系。学习过程中，只有搞清三者联系，才能正确认识与理解二次不等式的解法，才能解决由此产生各种变式的问题。
2．教学建议
（1）注意从两个不同角度去解一元二次不等式
本节对于可分解的一元二次不等式给出了两种解法。第一种方法是结合该一元二次不等式所对应的二次函数图象给出的，第二种方法是将原不等式转化求与它同解的不等式组的并集去解决，应该向学生说明教材中介绍这两种方法的意图。
①第一种方法意在全面讨论，得出一般的一元二次不等式解集，它适用于任何一元二次不等式。
②第二种方法意在说明对于形如 的分式不等式，可化为与它同解的一元二次不等式 去解，而后者在前面已经讨论得十分清楚。它是化归思想的集中体现，即化分式不等式为一元二次不等式，化一元二次不等式为一元一次不等式组去解的思想方法。它介绍了一种更为一般的方法，即把二次或二次以上的不等式化为一次或低次不等式的方法，为解较复杂不等式，特别是高次不等式提供了依据。
然而真正用这种方法去解一元二次不等式不仅较第一种方法复杂繁琐，并且局限于可因式分解的一元二次不等式，应该向学生突出强调这一点。
这种方法重在思想，而并非实用，解题中不宜提倡。因为在全面掌握第一种方法后，再用第二种方法去解题，在某种程度上意味着倒退。
（2）建议对函数的对应值表以低调处理，而突出强调函数图象本身
教科书中为了让
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