《完全平方公式与平方差公式》习题
1．计算（－x+2y）2的结果是（ ）
A．－x2+4xy+y2 B．x2－4xy+4y2
C．－x2－4xy+y2 D．x2－2xy+2y2
2．（a+1）（－a－1）的结果是（ ）
A．－a2－2a－1 B．－a2－1 C．－a2+2a－1 D．a2－1
3．下列等式成立的是（ ）
A．（x－y）2=（－x－y）2 B．（x+y）2=（－x－y）2
C．（m+n）2=m2+n2 D．（－m－n）2=m2－2mn+n2
4．（x－3）2=x2+kx+9，则k的值为（ ）
A．3 B．－3 C．6 D．－6
5．（1）（－2x－1）2；（2）（－2x－1）（－2x+1）；（3）（－2x+1）（2x+1）；（4）（2x－1）2；（5）（2x+1）2；计算结果相同的是（ ）
A．（1）（4） B．（1）（5） C．（2）（3） D．（2）（4）
6．利用完全平方公式计算：
（1）1012 （2）992
7．计算：
（1）（2x+y）2 （2）（3x－y）（－y+3x）
（2x+1）2－（2x－1）（2x+1） （4）（2x－y－3）（2x－y+3）
8．解方程：（1－3x）2+（2x－1）2=13（x－1）（x+1）．
9．已知x+y=5，xy=2，求x2+y2的值.
《完全平方公式与平方差公式》习题
一、填一填
1、计算：（2+3x）（－2+3x）=__________；（－a－b）2=__________.
2、一个多项式除以a2－6b2得5a2+b2，那么这个多项式是_______________.
3、若ax2+bx+c=（2x－1）（x－2），则a=_____，b=_____，c=______.
4、已知 （x－ay） （x + ay ） = x2－16y2， 那么 a = __________.
5、多项式9x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是____________.（填上一个你认为正确的即可）
6、计算：（a－1）（a+1）（a2－1）=________.
7、已知x－y=3，x2－y2=6，则x+y=______.
8、若x+y=5，xy=6，则x2+y2=__________.
9、利用乘法公式计算：1012=___________；1232－124×122=____________.
10、若A=（2－1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）……（232＋1）+1，则A的个位数字是_______.
二、选一选
1、计算结果是2x2－x－3的是（ ）.
A.（2x－3）（x+1） B.（2x－1）（x－3）
C.（2x+3）（x－1） D.（2x－1）（x+3）
2、下列各式的计算中，正确的是（ ）.
A.（a+5）（a－5）=a2－5 B.（3x+2）（3x－2）=3x2－4
C.（a+2）（a－3）=a2－6 D.（3xy+1）（3xy－1）=9x2y2－1
3、计算（－a+2b）2结果是（ ）.
A.－a2+4ab+b2 B. a2－4ab+4b2
C.－a2－4ab+b2 D. a2－2ab+2b2
4、设x+y=6，x－y=5，则x2－y2等于（ ）.
A.11 B.15 C. 30 D. 60
5、如果（y+a）2=y2－8y+b，那么a、b的值分别为（ ）.
A. a=4，b=16 B. a=－4，b=－16
C. a=4，b=－16 D. a=－4，b=16
6、若（x－2y）2=（x+2y）2+m，则m等于（ ）.
A.4xy B.－4xy C. 8xy D.－8xy
7、下列式子可用平方差公式计算的式子是（ ）.
A.（a－b）（b－a） B.（－x+1）（x－1）
C.（－a－b）（－a+b） D.（－x－1）（x+1）
8、当a=－1时，代数式（a+1）2+a（a－3）的值等于（ ）.
A.－4 B. 4 C.－2 D. 2
9、两个连续奇数的平方差是（ ）.
A.6的倍数 B.8的倍数 C.12的倍数 D. 16的倍数
10、将正方形的边长由acm增加6cm，则正方形的面积增加了（ ）.
A. 36cm2 B. 12acm2 C.（36+12a）cm2 D.以上都不对
三、做一做
1、化简求值.
（1）（x+4）（x－2）（x－4），其中x=－1
（2）x（x+2y）－（x+1）2+2x，其中x=，y=－25.
2、对于任意有理数a、b、c、d，我们规定 =ad－bc，求 的值.
3、（1）（2x－3y）2－（x－2y）（x－5y）－（2x+y）（2x－y），先化简，然后选择一个你喜欢的x、y值代入求值.
（2）已知2x－3=0，求代数式x（x2－x）+x2（5－x）－9的值.
4、a、b、c是三个连续的正整数，以b为边长作正方形，分别以a、c为长和宽作长方形，哪个图形的面积大？大多少？
5、一个正方形的一边增加3cm，相邻一边减少3cm，所得矩形面积与这个正方形的每边减去1cm，所得正方形面积相等，求这矩形的长和宽.
6、计算下列各式，然后回答问题.
（a+2）（a+3）=______；（a+2）（a－3）=______.
（a－2）（a+3）=______；（a－2）（a－3）=______.
《完全平方公式与平方差公式》习题
一、填空
1、若a2+b2－2a+2b+2=0，则a2004+b2005=________.
2、一个长方形的长为（2a+3b），宽为（2a－3b），则长方形的面积为________.
3、5－（a－b）2的最大值是________，当5－（a－b）2取最大值时，a与b的关系是________.
4、要使式子0.36x2+y2成为一个完全平方式，则应加上________.
5、（4am+1－6am）÷2am－1=________.
6、29×31×（302+1）=________.
7、已知x2－5x+1=0，则x2+=________.
8、已知（2005－a）（2003－a）=1000，请你猜想（2005－a）2+（2003－a）2=________.
二、选择
9、.若x2－x－m=（x－m）（x+1）且x≠0，则m等于（ ）
A.－1 B.0 C.1 D.2
10、（x+q）与（x+）的积不含x的一次项，猜测q应是（ ）
A.5 B. C.－ D.－5
11、下列四个算式:①4x2y4÷xy=xy3 ；②16a6b4c÷8a3b2=2a2b2c ；③9x8y2÷3x3y=3x5y
④（12m3+8m2－4m）÷（－2m）=－6m2+4m+2，其中正确的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
12、设（xm－1yn+2）·（x5my－2）=x5y3，则mn的值为（ ）
A.1 B.－1 C.3 D.－3
13、计算［（a2－b2）（a2+b2）］2等于（ ）
A.a4－2a2b2+b4 B.a6+2a4b4+b6 C.a6－2a4b4+b6 D.a8－2a4b4+b8
14、已知（a+b）2=11，ab=2，则（a－b）2的值是（ ）
A.11 B.3 C.5 D.19
15、若x2－7xy+M是一个完全平方式，那么M是（ ）
A.y2 B.y2 C.y2 D.49y2
16、若x，y互为不等于0的相反数，n为正整数，你认为正确的是（ ）
A.xn、yn一定是互为相反数 B.（）n、（）n一定是互为相反数
C.x2n、y2n一定是互为相反数 D.x2n－1、－y2n－1一定相等
三、综合
17、计算
（1）（a－2b+3c）2－（a+2b－3c）2 ；
（2）［ab（3－b）－2a（b－b2）］（－3a2b3） ；
（3）－2100×0.5100×（－1）2005÷（－1）－5 ；
（4）［（x+2y）（x－2y）+4（x－y）2－6x］÷6x.
18、解方程
x（9x－5）－（3x－1）（3x+1）=5.
四、生活中的数学
19、如果运载人造星球的火箭的速度超过11.2 km/s（俗称第二宇宙速度），则人造星球将会挣脱地球的束缚，成为绕太阳运行的恒星.一架喷气式飞机的速度为1.8×106 m/h，请你推算一下第二宇宙速度是飞机速度的多少倍？
五、探究拓展与应用
20、计算.
（2+1）（22+1）（24+1）
=（2－1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22－1）（22+1）（24+1）
=（24－1）（24+1）=（28－1）.
根据上式的计算方法，请计算
（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）－的值.
《完全平方公式与平方差公式》习题
1.已知m2+n2-6m+10n+34=0，求m+n的值.
2.已知，都是有理数，求的值.
3.已知 求与的值
4.已知求与的值.
5.已知求与的值.
6.已知求与的值.
7.已知(a+b)2=60，(a-b)2=80，求a2+b2及ab的值.
8.已知，求的值.
9.已知，求的值.
10.已知，求的值.
11.已知，求的值.
12.试说明不论x，y取何值，代数式的值总是正数.
课件3张PPT。1.由多项式乘法计算：两个数的和乘以这两个数的差，等于这两数平方的差.3.你能设计一个图形来说明上面的公式吗？a2－b2(a＋b)(a－b)∴ (a＋b)(a－b) ＝a2－b2课件3张PPT。1.利用乘法公式计算：2.如图，是一张正方形的纸片，如果把它沿着个边都剪去3cm宽的一条，那么所得的小正方形的面积比原正方形的面积减少84cm2，求原正方形的边长.单位：cm课件2张PPT。1.利用乘法公式计算：2.利用乘法公式计算：课件2张PPT。1.计算：2.计算：《完全平方公式与平方差公式》教案
教学目标：
1、学会推导完全平方公式和平方差公式.
2、了解公式的几何背景，会用公式进行简单计算.
教学重点：
对公式的理解.
教学难点：
1、对完全平方公式和平方差公式的运用；
2、对公式中字母所表示的广泛含义的理解和正确运用.
教学过程：
完全平方公式
（一）导入新课：
请同学们回忆多项式乘法法则并用多项式的乘法法则计算：
（a+b）2=
（a-b）2=
说明：
乘法公式实际是几个特殊形式的多项式乘法结果，让学生知道公式的来历.
多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.
（二）新课讲解：
总结：上述两个公式可以直接用于计算.我们把①和②称为完全平方公式.
思考：你能用语言表述这两个公式吗？
语言叙述：
完全平方公式的语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍.
平方差公式语言叙述：两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.
几何意义：
应用举例：
例：利用乘法公式计算：
（1）（2x+y）2 （2）（3a-2b） 2
※字母a、b可以是数字，也可以是整式.
（三）课堂练习：计算：（1）（3x+1）2 （2）（a-3b）2 （3）（2x+y/2）2 （4）（-2x+3y）2
平方差公式
（一）探究平方差公式
计算下列多项式的积．
（1）（x+1）（x-1）=
（2）（m+2）（m-2）=
（3）（2x+1）（2x-1）=
（4）（x+5y）（x-5y）=
观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？分别用文字语言和符号语言叙述这个公式．
用字母表示：
（二）平方差公式的应用
例：运用平方差公式计算：
（1）（3x+2）（3x-2）
（2）（b+2a）（2a-b）
（3）（-x+2y）（-x-2y）
（1）中可以把3x看作a，2看作b．
即：（3x+2）（3x-2）=（3x）2 -22 （a+b）（a–b）=a2 -b2
同样的方法可以完成（2）、（3）．如果形式上不符合公式特征，可以做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特征．比如（2）应先作如下转化：
如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑多项式的乘法法则．
例：计算：
（1）102×98
（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
应注意以下几点：
（1）公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式．
（2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．
（3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式．
（4）运算的最后结果应该是最简.
巩固练习
下列计算对不对？如不对，应当怎样改正？
（1）（x+2）（x-2）=x2 -2
（2）（-3a-2）（3a-2）=9a2 -4
《完全平方公式与平方差公式》教案
教学目标
①经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力．
②会推导平方差公式并掌握公式的结构特征，能运用公式进行简单的计算．
③了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法．
教学重点与难点
重点：平方差公式的推导及应用．
难点：用公式的结构特征判断题目能否使用公式．
教学设计
一、引入探究：
计算下列多项式的积，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗？
（1）（x+1）（x-1）=
（2）（m+2）（m-2）=
（3）（2x+1）（2x-1）=
再举几个这样的运算例子．我们再来计算（a+b）（a-b）=
二、授课内容：
公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此应注意向学生渗透数学的思想方法：特例→归纳→猜想→验证→用数学符号表示．
平方差公式及其形式特征．
运用平方差公式计算：
（1）（3x+2）（3x-2）
（2）（b+2a）（2a-b）
（3）（-x+2y）（-x-2y）
填表：
（a+b）（a-b）
a
b
a2—b2
最后结果
（3x+2）（3x-2）
2
（3x）2-22
（b+2a）（2a-b）
（-x+2y）（-x-2y）
在给出表格所提示的解法之后，思考别的解法：提取后一个因式里的负号，将2y看作“a”，将x看作“b”，然后运用平方差公式计算．
例、计算：
（1）102×98
（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
你能根据下面的两个图形解释平方差公式吗？
《完全平方公式与平方差公式》教案
教学目标：
掌握完全平方公式和平方差公式以及图形表示.
教学重难点：
会利用完全平方公式和平方差公式进行计算.
教学过程：
完全平方公式
[复习回顾]
多项式与多项式的乘法法则： .
2、计算：（1）（a＋b）（a＋b） （2）（a－b）（a－b）
[探索新知]
（一）完全平方式
1、（a＋b）2等于什么？你能用多项式与多项式相乘法则说明理由吗？（a－b）2呢？
由此导出两个公式：
（a＋b）2＝ ①
（a－b）2＝ ②
公式①②称为完全平方公式
注：①乘法公式实际是几个特殊形式的多项式乘法结果，掌握这些公式，在遇到形式相同的多项式相乘时，就可以直接写出结果，从而省略了乘法运算的过程，达到简化运算的目的.
②乘法公式的应用非常广泛，除了要掌握公式的特征，防止用错公式外，还要理解公式中字母的广泛意义.
2、完全平方公式的几何背景.
你能用课本P68图（1）（2）中图形面积割补的方法，分别说明两个完全平方公式吗？与同伴交流.
图（1）中大正方形的面积等于两个小正方形的面积的和再加上两个矩形的面积之和.
图（2）中阴影（深色的正方形）面积等于大正方形的面积减去两个矩形面积，再加上重复减去的小正方形面积.
3、范例讲解
例1：利用乘法公式计算.
（1）（3a＋2b）2 （2）（－4x2－1）2
解：（1）（3a＋2b）2＝（3a）2＋2·3a·2b＋（2b）2
（a＋b）2＝a2＋2·a· b＋b2
（2）（－4x2－1）2＝（－4x2）2－2·（－4x2）·1＋12
（a －b）2＝a2－2·a·b＋b2＝16x4＋8x2＋1
本题也可以把原式变形为［－（4x2＋1）］2＝（4x2＋1）2
解法二：（－4x2－1）2＝（4x2＋1）2
＝（4x2）2－2·4x2·1＋12
＝16x4＋8x2＋1
点拔：运用完全平方公式的关键在于准确地确定公式中的a和b，首先把原式写成符合公式的结构，然后再运用公式，例如（－a＋b）2＝（b－a）2，（－a－b）2＝（a＋b）2，（a＋b－c）2＝［（a＋b）－c］2或［a＋（b－c）
例2：利用乘法公式计算.
（1）992 （2）（50）2
分析：要利用完全平方公式，需具备完全平方公式的结构，（1）992转化为（100－1）2，（2）题转化为（50＋）2.
（二）平方差公式
1、做一做
（1）（x＋1）（x－1）＝ =
（2）（a＋2）（a－2）＝ ＝
（3）（3x＋2）（3x－2）＝ ＝
（4）（a＋b）（a－b）＝ ＝
观察以上算式及运算结果，你发现了什么？再举两例验证你的发现.
点拔：以上每个算式都是两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，我们把这样特殊形式的多项式相乘，作为乘法公式，今后可以直接使用.
（a＋b）（a－b）＝ 叫做平方差公式.
用语文叙述为：两个数的 与这两个数的 相乘，等于这两个数的 .
注：（1）认识公式的结构特征，要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.
（2）公式中的a、b不仅可以代表数，字母、单项式，还可以是多项式.
（3）有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形后能应用公式.
2、范例点睛
例1：利用平方差公式计算：
（1）（2x＋y）（2x－y）
（2）（－1－3m2）（－3m2＋1）
解：（1）（2x＋y）（2x－y）＝（2x）2－y2＝4x2－y2
（a＋b）（a－ b）＝a2－b2
例2：利用乘法公式计算：
（1）1999×2001 （2）49×50
[课堂小结]
本节课你学到了什么？
《完全平方公式与平方差公式》教案
学习目标：
1、经历探索完全平方公式与平方差公式的过程.
2、会推导公式，了解公式的几何背景，会用公式计算.
学习重点：会推导完全平方公式和平差方公式，并能运用公式进行简单的计算.
学习难点：掌握公式的结构特征，理解公式中a，b的广泛含义.
学习过程：
（一）完全平方公式
1、创设情景，导入新知
在复习整式乘法的基础上，创设情境：有一个边长为a米的正方形广场，现要扩建该广场，要求将其边长增加b米，试问这个正方形广场的面积有多大？
可用填空形式引导：
（1）四块面积分别为：______、______、______、______；
（2）两种形式表示广场的总面积：
① 整体看：边长为______的大正方形，S=__________；
② 部分看：四块面积的和，S=____________________.
在学生探究出的基础上，提问：你能用多项式乘法法则说明理由吗？
2、引导操作，探究新知
提问：如果将该正方形广场的边长缩减b米，则其边长又为多少？面积呢？
要求：让学生分组动手拼图：用手头的彩色纸，在原有的正方形广场上，拼出现在的广场，探究其面积的不同表示方法及其内在联系，体会完全平方公式的几何背景（小组成员之间要相互合作、相互交流）.
在学生探究出的基础上，提问：你能用多项式乘法法则说明理由吗？
3、观察特征、建立模型
在学生自主探究出和这两个公式，并明白其几何解释后，鼓励学生自主探究这两个公式的结构特征.
问题：①这两个公式有何相同点与不同点？ ②你能用自己的语言叙述这两个公式吗？
顺口溜强化记忆：首平方，尾平方，首尾两倍中间放，中间符号看首尾.
4、范例解析，深化新知
练习一：（口答）
运用完全平方公式计算，一般步骤：
1、确定首尾，分别平方；
2、确定中间系数与符号，得到结论.
练习二：
① ② ③
④ ⑤ ⑥
（二）平方差公式
一、学习准备
1、利用多项式乘以多项式计算：
（1）（a+1）（a-1）
（2）（x+y）（x-y）
（3）（3a+2b）（3a-2b）
（4）（0.2x+0.04y）（0.2x-0.04y）
观察以上算式及运算结果，你发现了什么？再举两例验证你的发现.
2、以上算式都是两个数的和与这两个的差相乘，运算结果是这两个数的平方的差.我们把这样特殊形式的多项式相乘，称为平方差公式，以后可以直接使用.
平方差公式用字母表示为：（a+b）（a-b）=a2-b2
尝试用自己的语言叙述平方差公式：
3、平方差公式的结构特征：（a+b）（a-b）=a2-b2
左边是两个二项式相乘，两个二项式中的项有什么特点？右边的结果与左边的项有什么关系？
注意：公式中字母的含义广泛，可以是 ，只要题目符合公式的结构特就
可以运用这一公式，可用符号表示为：（□+○）（□-○）=□2-○2
4、判断下列算式能否运用平方差公式.
（1）（x+y）（-x-y） （2）（-y+x）（x+y）
（3）（x-y）（-x-y） （4）（x-y）（-x+y）
二、合作探究
1、利用乘法公式计算：
（1）（2m+3）（2m-3） （2）（-4x+5y）（4x+5y）
分析：要分清题目中哪个式子相当于公式中的a（相同的一项），哪个式子相当于公式中的b（互为相反数的一项）
2、利用乘法公式计算：
（1）999×1001 （2）
分析：要利用完全平方公式，需具备完全平方公式的结构，所以999×1001可以转化为（ ）×（ ），可以转化为（ ）×（ ）
3、利用乘法公式计算：
（1）（x+y+z）（x+y-z） （2）（a-2b+3c）（a+2b-3c）
课件16张PPT。标题完全平方公式与平方差公式标题 完全平方公式 完 全 平 方 公 式 一块边长为a米的正方形实验田，图1 因需要将其边长增加 b 米. 形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图1). 用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较. (a+b) ；2a2+ab+ab+b2.(a+b)2=a2+ab+b2.2 完全平方公式 (1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?(a+b)2=a2+2ab+b2 ;(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;(2)a2 ?2ab+b2.小颖写出了如下的算式:(a?b)2=[a+(?b)]2?她是怎么想的?利用两数和的
完全平方公式
?推证公式?= 2 + 2 + 2 aa(?b)(?b)=a22ab?b2.+你能继续做下去吗?的证明(a+b)2 = a2+2ab+b2 .
(a?b)2 = a2?2ab+b2 .?2aba2 +b2 (a?b)2 = a2?2ab+b2 初 识 完全平方 公式a2abb2结构特征:左边是的平方;二项式右边是a2 +b2 (两数和 )(差)(a+b)2=a2?ab?b(a?b)=a2?2ab+b2 .=(a?b)2a?ba?bb(a?b)(a?b)2a2+2ab+b2a+ba?b两数的平方和+加上(减去)2ab这两数乘积的两倍.(a?b)2 = a2?2ab+b2语言表述:两数和 的平方 等于
这两数的平方和 加上 这两数乘积的两倍.22(差)(减去)例题解析例题 例 利用完全平方公式计算：
(1) (2x?3)2 ； (2) (4x+5y)2 ; (3) (mn?a)2 使用完全平方公式与平方差公式的使用一样, 先把要计算的式子与完全平方公式对照, 明确个是 a , 哪个是 b.第一数2x4x22x的平方,( )2?减去2x第一数与第二数?2x3?乘积的2倍,?2加上+第二数3的平方.2=?12x+9 ;3随堂练习 (1) ( x ? 2y)2 ；
(2) (2xy+ x )2 ;计算：(3) (n +1)2 ? n2.(4) 9.92纠 错 练 习 指出下列各式中的错误，并加以改正：
(1) (2a?1)2＝2a2?2a+1;
(2) (2a+1)2＝4a2 +1；
(3) (?a?1)2＝?a2?2a?1.解: (1)第一数被平方时, 未添括号;第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2 ;应改为: (2a?1)2＝ (2a)2?2?2a?1+1; (2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项);应改为: (2a+1)2＝ (2a)2+2?2a?1 +1; (3) 第一数平方未添括号, 第一数与第二数乘积的2倍 错了符号;第二数的平方 这一项错了符号;应改为: (?a?1)2＝(?a)2?2?(?a )?1+12; 拓 展 练 习 下列等式是否成立? 说明理由．
(1) (?4a+1)2=(1?4a)2；
(2) (?4a?1)2=(4a+1)2；
(3) (4a?1)(1?4a)＝(4a?1)(4a?1)＝(4a?1)2；
(4) (4a?1)(?1?4a)＝(4a?1)(4a+1).(1) 由加法交换律 ?4a+l＝l?4a.成立理由:(2) ∵ ?4a?1＝?(4a+1)，成立∴(?4a?1)2＝[?(4a+1)]2＝(4a+1)2.(3) ∵ (1?4a)＝?(?1+4a)不成立．即 (1?4a)＝?(4a?1)＝?(4a?1)，∴ (4a?1)(1?4a)＝(4a?1)·[?(4a?1)]＝?(4a?1)(4a?1)＝?(4a?1)2. 不成立．(4) 右边应为:?(4a?1)(4a+1). 平方差公式平 方 差 公 式计算下列各题:=x2?9 ;=1?4a2 ;=x2?16y2 ;=y2?25z2 ;你发现了什么规律？=x2?32 ;=12?(2a)2 ;=x2?(4y)2 ;=y2?(5z)2 .(a+b)(a?b)=a2?b2.两数和与这两数差的积,等于这两数的平方的差.用式子表示，即：初 识 平 方 差 公 式(a+b)(a?b)=x2?b2 (1) 公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘； 且左边两括号内的第一项相等、 第二项符号相反[互为相反数(式)];(2) 公式右边是这两个数的平方差； 即右边是左边括号内的第一项的平方
减去第二项的平方. (3) 公式中的 a和b 可以代表数，
也可以是代数式． 例题解析例题 例 利用平方差公式计算：
(1) (5+6x)(5?6x)；(2) (x+2y)(x?2y); (3) (?m+n)(?m?n).解: (1) (5+6x)(5?6x)=55第一数a52?要用括号把这个数整个括起来， 再平方; ( )26x=25?36x2 ;(2) (x+2y) (x?2y)
=x2?( )22y=x2 ?4y2 ;(3) (?m+n)(? m? n )
=?m( )2?n2=n2 ?n2 .随堂练习(1)(a+2)(a?2)； (2)(3a +2b)(3a?2b) ;计算：(3)(?x+1)(?x?1) ; (4)(?4k+3)(?4k?3) .纠 错 练 习(1) (1+2x)(1? 2x)=1? 2x2
(2) (2a2+b2)(2a2?b2)= 2a4?b4
(3) (3m+2n)(3m?2n)= 3m2? 2n2本题对公式的直接运用，以加深对公式本质特征的理解． 指出下列计算中的错误： 第二数被平方时，未添括号.第一 数被平方时，未添括号.第一数与第二数被平方时，
都未添括号.拓 展 练 习本题是公式的变式训练，以加深对公式本质特征的理解． 运用平方差公式计算：
(?4a?1)(4a?1)． (用两种方法) ?运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，
找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式． (?4a?1)(4a?1)
==(?1)2 ?(4a)2 = 1?16a2.(?4a?1)(4a?1)= ?(4a+1) (?4a?1)(4a?1)= (4a)2 ?1??[ ] = 1?16a2.( ?4a?1 ) ( 4a ?1 )?1?4a?1+4a(4a+1)(4a?1)拓 展 练 习(1) (a+b)(?a?b) ；
(2) (a?b)(b?a) ;
(3) (a+2b)(2b+a);
(4) ?(a?b)(a+b) ;
(5) (?2x+y)(y?2x). (不能) 本题是公式的变式训练，以加深对公式本质特征的理解． 下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如果能够，怎样计算? (第一个数不完全一样 ) (不能) (不能) (能) ?(a2 ?b2)= ?a2 + b2 ;(不能) 课件22张PPT。完全平方公式与平方差公式
完全平方公式的数学表达式：完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
你能根据图1和图2中的面积说明完全平方公式吗?思考:(a+b)2a2b2和的完全平方公式：完全平方公式 的几何意义(a-b)2b2差的完全平方公式：完全平方公式 的几何意义 公式特征：4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和
多项式.(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b21、积为二次三项式；2、积中两项为两数的平方和；3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中
间的符号相同.首平方，尾平方，积的2倍放中央 . 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？(x+y)2=x2 +y2(2)(x -y)2 =x2 -y2(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2错错错错(x +y)2 =x2+2xy +y2(x -y)2 =x2 -2xy +y2 (-x +y)2 =x2 -2xy +y2 (2x +y)2 =4x2+4xy +y2想一想:例1、运用完全平方公式计算：解: (4m+n)2==16m2(1)(4m+n)2(a +b)2= a2 + 2 a b + b2(4m)2+2?(4m) ?n+n2+8mn+n2解： (x-2y)2==x2(2)(x-2y)2(a - b)2= a2 - 2 ab + b2x2-2?x ?2y+(2y)2-4xy+4y2(1) 1022解： 1022= (100+2)2=10000+400+4=10404(2) 992解： 992= (100 –1)2=10000 -200+1=9801 例2、运用完全平方公式计算：思考
(a+b)2与(-a-b)2相等吗?
(a-b)2与(b-a)2相等吗?
(a-b)2与a2-b2相等吗?
为什么?拓展练习:1. =_______;
2.若 是一个完全平方公式,
则 _______;
3.若 是一个完全平方公式,
则 _______;1 平方差公式观察等式大胆猜想 两数和与这两数差的积等于这两数的平方差平方差公式
概括总结（2）等号右边是这两个数(字母)的平方差.平方差公式的特征： （1）等号左边是两个数(字母)的和乘以这两个数(字母)的差.
注：必须符合平方差
公式特征的代数式才能
用平方差公式公式中的字母的意义很广泛,可以代表常数,单项式或多项式
下图是一个边长为 a 的大正方形,割去一个边长为b 的小正方形.小明将绿色和黄色两部分拼成一个长方形.
问:小明能拼成功吗?
原图实际面积为：________________长方形的面积为：_________________bab解决问题练一练阅读算式，按要求填写下面的表格2m3n (-2m+3n)(2m+3n)3x2(2-3x)(2+3x)5x(x+5)(x-5)写成“a2-b2”的形式与平方差公式中b对应的项与平方差公式中a对应的项算式(3n)2-(2m)2 运用平方差公式计算:
(2)
例题示解:练一练能力提高课件22张PPT。 完全平方公式与平方差公式完全平方公式探究
计算下列各式,你能发现什么规律?
(p+1)2 = (p+1) (p+1) = ______；
(m+2)2= _________;
(p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = ________;
(m-2)2 = __________.p2+2p+1m2+4m+4p2-2p+1m2-4m+4我们再来计算(a+b)2, (a-b)2 (a+b)2=(a+b) (a+b)
=a2+2ab+b2
(a-b)2 = (a-b) (a-b)
=a2-2ab+b2 两数差的平方,等于它们的平方和,减它们的积的2倍.
(a+b)2=a2+2ab+b2, 一般地,我们有
(a-b) 2 = a2-2ab +b2.两数和的平方,等于它们的平方和,加它们的积的2倍.
这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
公式特点：4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b21、积为二次三项式；2、积中两项为两数的平方和；3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.首平方，尾平方，积的2倍在中央 完全平方公式(a+b)2完全平方和公式：完全平方公式 的图形理解完全平方差公式：完全平方公式 的图形理解练习： 利用完全平方公式计算：
(1) (2x?3)2 ； (2) (4x+5y)2 ; (3) (mn?a)2 先把要计算的式子与完全平方公式对照, 明确哪个是 a , 哪个是 b.第一数2x4x22x的平方,( )2?减去2x第一数与第二数?2x3?乘积的2倍,?2加上+第二数3的平方.2=?12x+9 ;3x2+2xy+y2=( )2x+yx2+2x+1=( )2x+1a2-4ab+4b2=( )2a-2bx2-4x +4=( )2x-2巩固练习:
1.下列各式哪些可用完全平方公式计算 (1)(2a-3b)(3b-2a) (2)(2a-3b)(-3b-2a)
(3)(-2m+n)(2m+n) (4)(2m+n)(-2m-n) 2.错例分析：
(1)（a+b)2=a2+b2 (2)(a-b)2=a2-b2想一想 灰太狼开了租地公司,一天他把一边长为a米的正方形土地租给慢羊羊种植.有一年他对慢羊羊说:“我把这块地的一边增加5米,另一边减少5米,再继续租给你, 你也没吃亏,你看如何?”慢羊羊一听觉得没有吃亏,就答应了.回到羊村,就把这件事对喜羊羊他们讲了,大家一听,都说道:“村长，您吃亏了!” 慢羊羊村长很吃惊…同学们,你能告诉慢羊羊这是为什么吗?相等吗？原来现在面积变了吗？a2(a+5)(a-5)a2a2－25①（x ＋ 4)( x－4）
②（1 ＋ 2a)( 1－2a）
③（m＋ 6n)( m－6n）
④（5y ＋ z)(5y－z）计算下列各题算一算，比一比，看谁算得又快又准 ②（1 ＋ 2a)( 1－2a）=1 －4a2③（m＋ 6n)( m－6n)=m2 － 36n2④（5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2①（x ＋ 4)( x－4）=x2 － 16它们的结果有什么特点？x2 － 4212－(2a)2m2 － (6n)2(5y)2 － z2平方差公式平方差公式：(a+b)(a?b)=a2?b2两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.公式变形:1、（a – b ) ( a + b) = a2 - b22、（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2适当交换合理加括号平方差公式注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等等． 口答下列各题：
(l)(-a+b)(a+b)=??_________
(2)(a-b)(b+a)= __________
(3)(-a-b)(-a+b)= ________
(4)(a-b)(-a-b)= _________a2-b2a2-b2b2-a2b2-a2(1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a)(0.3x-1)(1+0.3x)(1+a)(-1+a)1、找一找、填一填aba2-b21x-3a12-x2(-3)2-a2a1a2-12 0.3x1( 0.3x)2-12(a-b)(a+b)(a + b ) ( a – b ) = a2 - b2例1、用平方差公式计算
(1)（3x+2y)(3x-2y)解：原式＝ (3x)2 - (2y)2＝9x2 - 4y21、先把要计算的式子与公式对照, 2、哪个是 a
哪个是 b例题ab(2 )(-7+2m2)(-7-2m2).解：原式=(-7)2－(2m2)2= 49－4m4试试就能行ab例2 计算:
(1) 803×797;
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .解: (1) 803×797(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5)= 8002-32=640 000 – 9 =（800＋3）(800－3)=639 991= y2-22-(y2+4y-5)= y2-4-y2-4y+5= - 4y + 1.挑战自我课件20张PPT。完全平方公式与平方差公式
完全平方公式 去年，一位农民在一次“科技下乡”活动中得到启示，将一块边长为a米的正方形农田改成试验田，种上了优质的杂交水稻，一年来，收益很大，今年，又一次“科技下乡”活动，使老农铁了心，要走科技兴农的路子，于是他想把原来的试验田，边长增加b米，形成四块试验田，种植不同的新品种. 问题1：同学们，谁来帮老爷爷实现这个愿望呢？问题2：哪位同学能用不同的方式表示试验田的面积？① a2+b2+2ab ②(a+b)2∴ (a+b)2=a2+2ab+b2问题3：哪位同学能从代表运算角度推导出这样的公式.想一想： (a-b)2等于什么？你是怎样想的？问题4：上面的几何解释和代数推导各有什么利弊？几何解释：优点：直观、易懂、明了
缺点：有局限性、受条件限制代数推导：优点：应用宽、广
缺点：不直观、抽象问题5：你能用数学语言描述出完全平方公式I和II吗？两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和（或差）. 完全平方公式 逆向完全平方公式
I.（a+b)2=a2+2ab+b2 a2+2ab+b2=(a+b)2
II. (a-b)2 =[a+(-b)]2 a2-2ab+b2 =[a+(-b)]2
=a2-2ab+b2 = (a-b)2 应用
1、直接应用
例1：利用完全平方公式计算
(1) (2x+3)2 (2) (mn-a)22、灵活应用
例2：利用完全平方公式计算
(-x+2y)2 (2)(-x-y)2
(3)(x+y-z)2 (4)(x+y)2-(x-y)23、简便算法
例3：计算
(1) 1022 (2) 1972活动与探究
1.已知x+y=8 xy=12 求x2+y2的值.
2.已知x2-2x+y2+6y+10=0 求x+y的值.
3.已知 a=2002x+2001 b=2002x+2002
c=2002x+2003
求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值趣味题
一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都拿出糖果招待他们，来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖……
1、第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
2、第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
3、第三天有(a+b)个孩子一块去看老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
4、这些孩子第三天得到糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？习题包
A:(3x-1)2=(3x)2-2(3x)( )+( )2
=9x2-6x+1
B: (x+2)2=x2-kx+4 那么 k的值是( )
A.-2 B.2 C.-4 D.4
C:不论x为何值(x+a)2=x2+x+a2则常数a等于( ). A.2 B.-2 C.1/2 D.-1/2
D:若m2+km+36是一个完全平方式，则常数k=_________.平方差公式计算下列各题，你能发现什么规律？(1) (x+1)(x-1)；
(2) (m+2)(m-2)；
(3) (2x+1)(2x-1) ；答案:
(x+1)(x-1)=___________;
(2) (m+2)(m-2)=__________;
(3) (2x+1)(2x-1)=________.
x2－1m2－ 44x2－1合作交流，探究新知 探究： 平方差公式:(a+b)(a－ b) = a2－ b2.
即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.(a+b)(a－ b)=a2－ b2 .
a2－ ab+ab－ b2=注：这里的两数可以是数字、字母、单项式也可以是两个多项式等．将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪下宽为b的长方形条（如图1），拼成有空缺的正方形（如图2），并请用等式表示你剪拼前后的图形的面积关系．?(a+b)(a－b)=a2－b2.
图1图2活动探究参照平方差公式“(a+b)(a-b)=a2-b2”填空.(1)(t+s)(t-s)=____
(2)(3m+2n)(3m-2n)=_________
(3)(1+n)(1-n)=_____
(4)(10+2)(10-2)=______应用新知尝试练习
运用平方差公式计算:
(1) (3x+2) (3x-2);
(2) (b+2a)(2a-b);
(3) (-x+2y) (-x-2y).
下列计算对不对？如果不对，怎样改正？
错错计算:
(1) 102×98;
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .解: (1)102×98
=(100+2)(100-2)
= 1002-22
=10000 – 4
= 9996.(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5)
= y2-22-(y2+4y-5)
= y2-4-y2-4y+5
= - 4y + 1.利用平方差公式计算：(1)(a+3b)(a-3b);
(2)(3+2a)(-3+2a).
(3)51×49
(4)(x+y-1)(x+y+1)
快乐练习：看谁做得最快最正确！计算下列各题
轻松闯关：1002×998 (转化思想)
(x+y)(x-y)(x2+y2) (灵活运用)
(3) (a+b)2-(a-b)2 (逆向思维训练)
思维延伸
已知,两个正方形的周长之和等于32cm,它们的面积之差为48cm2,求这两个正方形的边长.超越自我
