《公式法》习题
1. 在代数式，中是完全平方式的是__________.
2．若的值是__________.
3．要在二次三项式x2+□x-6的□中填上一个整数，使它能按x2＋（a＋b）x＋ab型分解为（x＋a）（x＋b）的形式，那么这些数只能是 .
4. 已知__________.
5. 若：被2x – 3 除后余3，则商式是__________，且a = __________.
6．分解因式.
7．证明：
（1）若n为整数，则一定是8的倍数；
（2）四个连续自然数的积加1必为一完全平方数.
8．对于任意整数，（n+11）2－n2能被11整除吗？为什么？
9．已知：2x–3 和 3x + 1是多项式的因式，求a，b的值.
10．分解因式：x2 －120x+3456.
分析：由于常数项数值较大，则采用x 2 －120x变为差的平方的形式进行分解，这样简便易行：
x2－120x+3456 = x2－2×60x+3600－3600+3456=（x－60）2－144=（x－60+12）（x-60-12）
=（x－48）（x－72）
请按照上面的方法分解因式：x2+42x－3528.
《公式法》习题
一、选择
1．下列分解因式正确的是（ ）
A．3x2-6x=x（3x-6） B．-a2+b2=（b+a）（b-a）
C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y） D．4x2-2xy+y2=（2x-y）2
2．分解因式（x-1）2-2（x-1）+1的结果是（ ）
A．（x-1）（x-2） B．x2 C．（x+1）2 D．（x-2）2
3．下列分解因式正确的是（ ）
A．x2-4=（x+2）（x+2） B．x2-x-3=x（x-1）-3
C．2m2n-8n3=2n（m2-4n2） D．x（x-y）-y（x-y）=（x-y）2
4．下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）
A．x2+1 B．x2+2x-1 C．x2+x+1 D．x2+4x+4
5．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值可以是（ ）
A．4 B．-4 C．±2 D．±4
6．把多项式x2-6x+9分解因式，所得结果正确的是（ ）
A．（x-3）2 B．（x+3）2 C．x（x-6）+9 D．（x+3）（x-3）
7．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）
A．x2-xy B．x2+xy C．x2-y2 D．x2+y2
8．把多项式x2-4x+4分解因式，所得结果是（ ）
A．x（x-4）+4 B．（x-2）（x+2） C．（x-2）2 D．（z+2）2
9．将整式9-x2分解因式的结果是（ ）
10．因式分解（x-1）2-9的结果是（ ）
A．（x+8）（x+1） B．（x+2）（x-4） C．（x-2）（x+4） D．（x-10）（x+8）
11．若a+b=4，则a2+2ab+b2的值是（ ）
A．8 B．16 C．2 D．4
12．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2+4y2 B．x2-2y2+1 C．-x2+4y2 D．-x2-4y2
13．把多项式x2-4x+4分解因式，结果是（ ）
A．（x+2）2 B．（x-2）2 C．x（x-4）+4 D．（x+2）（x-2）
14．因式分解4-4a+a2，正确的是（ ）
A．4（1-a）+a2 B．（2-a）2 C．（2-a）（2+a） D．（2+a）2
15．在有理数范围内，下列各多项式能用公式法进行因式分解的是（ ）
A．a2-6a B．a2-ab+b2 C．a2-ab+ b2 D．a2-ab+b2
16．下列各式中能运用公式法进行因式分解的是（ ）
A．x2+4 B．x2+2x+4 C．x2-2x D．x2-4y2
17．下列各式正确的是（ ）
A．a-（b+c）=a-b+c B．x2-1=（x-1）2
C．a2-ab+ac-bc=（a-b）（a+c） D．（-x）2÷x3=x（x≠0）
18． y2+4y+4分解因式为（ ）
A．（y+4）2 B．（y-4）2 C．（y+2）2 D．（y-2）2
二、填空
1．如果a+b=2005，a-b=1，那么a2-b2=
2．如果x+y=-1，x-y=-2008，那么x2-y2=
3．分解因式：（a+b）2-6（a+b）+9=
4．若（x+y）2-6（x+y）+9=0，则x+y=
5．已知x2-y2=69，x+y=3，则x-y=
6．给出下列等式：32-12=8×1，52-32=16=8×2，72-52=24=8×3，…观察后得规律：（2n+1）2-（2n-1）2=
7．已知x-y=2，x2-y2=6，则x= ，y= ．
《公式法》习题
1、多项式分解因式的结果是（ ）.
A． B． C． D．
2、的结果为（ ）.
A． B．
C． D．
3、是一个完全平方式，那么值为（ ） .
4、分解因式： ．分解因式： ．
5、（1）运用公式法计算：．
（2）用简便方法计算：．
6、 分解因式：（1） （2）
7、把下列各式分解因式．
（1）； （2）；
（3）； （4）．
8、把下列各式分解因式．
（1）； （2）；
（3）； （4）．
9、把下列各式分解因式．
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）（x+）2（x－）2 ．
10、把分解因式利用分解因式进行简便运算.
11、已知2a－b=3，求－8a2+8ab－2b2的值. 已知x+y=，xy=，求x3y＋2x2y2+xy3的值.
12、观察下列等式
12－02=1 22－12=3 32－22=5 42－32=7
根据以上计算，你发现了什么规律，请用含有n的式子表示该规律.用因式分解的知识证明你发现的规律.
《公式法》习题
1.填写解方程3x（x+5）=5（x+5）的过程.
解：3x（x+5）__________=0
（x+5）（__________）=0
x+5=__________或__________=0
∴x1=__________，x2=__________
2.方程x（x－1）=2的两根为（ ）.
A.x1=0，x2=1 B.x1=0，x2=－1
C.x1=1，x2=－2 D.x1=－1，x2=2
3.用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ）.
A.（2x－2）（3x－4）=0 ∴2－2x=0或3x－4=0
B.（x+3）（x－1）=1 ∴x+3=0或x－1=1
C.（x－2）（x－3）=2×3 ∴x－2=2或x－3=3
D.x（x+2）=0 ∴x+2=0
4.方程x2+3x=14的解是（ ）.
A.x= B.x=
C.x= D.x=
5.下列方程中不含一次项的是（ ）.
A.3x2－8=4x B.1+7x=49x2
C.x（x－1）=0 D.（x+）（x－）=0
6.2x（5x－4）=0的解是（ ）.
A.x1=2，x2= B.x1=0，x2=
C.x1=0，x2= D.x1=，x2=
7.方程2x（x+3）=5（x+3）的根是（ ）.
A.x= B.x=－3或x=
C.x=－3 D.x=－或x=3
8、解下列关于x的方程.
（1）x2+2x－2=0
（2）3x2+4x－7=0
（3）（x+3）（x－1）=5
《提公因式法》习题
基础训练
1．多项式8x3y2-12xy3z的公因式是_________．
2．多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（ ）
A．-6ab2c B．-ab2 C．-6ab2 D．-6a3b2c
3．下列用提公因式法因式分解正确的是（ ）.
A．12abc-9a2b2=3abc（4-3ab） B．3x2y-3xy+6y=3y（x2-x+2y）
C．-a2+ab-ac=-a（a-b+c） D．x2y+5xy-y=y（x2+5x）
4．下列多项式应提取公因式5a2b的是（ ）.
A．15a2b-20a2b2 B．30a2b3-15ab4-10a3b2
C．10a2b-20a2b3+50a4b D．5a2b4-10a3b3+15a4b2
5．下列因式分解不正确的是（ ）.
A．-2ab2+4a2b=2ab（-b+2a） B．3m（a-b）-9n（b-a）=3（a-b）（m+3n）
C．-5ab+15a2bx+25ab3y=-5ab（-3ax-5b2y）； D．3ay2-6ay-3a=3a（y2-2y-1）
6．填空题：
（1）ma+mb+mc=m（________）； （2）多项式32p2q3-8pq4m的公因式是_________；
（3）3a2-6ab+a=_________（3a-6b+1）； （4）因式分解：km+kn=_________；
（5）-15a2+5a=________（3a-1）； （6）计算：21×3.14-31×3.14=_________．
7．用提取公因式法分解因式：
（1）8ab2-16a3b3； （2）-15xy-5x2；
（3）a3b3+a2b2-ab； （4）-3a3m-6a2m+12am．
8．因式分解：-（a-b）mn-a+b．
提高训练
9．多项式m（n-2）-m2（2-n）因式分解等于（ ）.
A．（n-2）（m+m2） B．（n-2）（m-m2）
C．m（n-2）（m+1） D．m（n-2）（m-1）
10．将多项式a（x-y）+2by-2bx分解因式，正确的结果是（ ）.
A．（x-y）（-a+2b） B．（x-y）（a+2b）
C．（x-y）（a-2b） D．-（x-y）（a+2b）
11．把下列各式分解因式：
（1）（a+b）-（a+b）2； （2）x（x-y）+y（y-x）；
（3）6（m+n）2-2（m+n）； （4）m（m-n）2-n（n-m）2；
（5）6p（p+q）-4q（q+p）．
应用拓展
12．多项式-2an-1-4an+1的公因式是M，则M等于（ ）.
A．2an-1 B．-2an C．-2an-1 D．-2an+1
13．用简便方法计算：39×37-13×34=_______．
14．因式分解：x（6m-nx）-nx2．
《提公因式法》习题
一、填空题
1.把一个多项式__________________________，这样的式子变形，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式______________.
2.把下列各多项式的公因式填写在横线上.
（1）x2-5xy _________ （2）-3m2+12mn _________
（3）12b3-8b2+4b _________ （4）-4a3b2-12ab3 __________
（5）-x3y3+x2y2+2xy _________
3.在括号内填入适当的多项式，使等式成立.
（1）-4ab-4b=-4b（ ）
（2）8x2y-12xy3=4xy（ ）
（3）9m3+27m2=（ ）（m+3）
（4）-15p4-25p3q=（ ）（3p+5q）
（5）2a3b-4a2b2+2ab3=2ab（ ）.
（6）-x2+xy-xz=-x（ ）.
（7）a2-a=a（ ）.
二、选择题
1.下列各式从左到右的变形是因式分解的是 （ ）.
（A）m（a+b）=ma+mb （B）x2+3x-4=x（x+3）-4
（C）x2-25=（x+5）（x-5） （D）（x+1）（x+2）=x2+3x+2
2.下列各等式从左到右的变形是因式分解的是 （ ）.
（A）8a2b3c=2a2·2b3·2c （B）x2y+xy2+xy=xy（x+y）
（C）（x-y）2=x2-2xy+y2 （D）3x3+27x=3x（x2+9）
3.下列各式因式分解错误的是 （ ）.
（A）8xyz-6x2y2=2xy（4z-3xy） （B）3x2-6xy+x=3x（x-2y）
（C）a2b2-ab3=ab2（4a-b） （D）-a2+ab-ac=-a（a-b+c）
4.多项式-6a3b2-3a2b2+12a2b3因式分解时，应提取的公因式是 （ ）.
（A）3ab （B）3a2b2 （C）- 3a2b （D）- 3a2b2
5.把下列各多项式分解因式时，应提取公因式2x2y2的是 （ ）.
（A）2x2y2-4x3y （B）4x2y2-6x3y3+3x4y4
（C）6x3y2+4x2y3-2x3y3 （D）x2y4-x4y2+x3y3
6.把多项式-axy-ax2y2+2axz提公因式后，另一个因式是 （ ）.
（A）y+xy2-2z （B）y-xy2+2z （C）xy+x2y2-2xz （D）-y+xy2-2z
7.如果一个多项式4x3y-M可以分解因式得4xy（x2-y2+xy） ，那么M等于 （ ）.
（A）4xy3+4x2y2 （B）4xy3-4x2y2 （C）-4xy3+4x2y2 （D）-4xy3-4x2y2
8. 下列各式从左到右的变形：
①（a+b）（a-b）=a2-b2 ②x2+2x-3=x（x+2）-3 ③x+2=（x2+2x） ④a2-2ab+b2=（a-b）2是因式分解的有（ ）.
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
三、计算
1.把下列各式分解因式
（1）9m2n-3m2n2
（2）4x2-4xy+8xz
（3）-7ab-14abx+56aby
（4）6x4-4x3+2x2
（5）6m2n-15mn2+30m2n2
（6）-4m4n+16m3n-28m2n
（7）xn+1-2xn-1
（8）-2x2n+6xn
（9）an-an+2+a3n
2.用简便方法计算：
（1）9×10100-10101
（2）4.3×199.7+7.5×199.7-1.8×199.7
3.已知a+b=2，ab=-3求代数式2a3b+2ab3的值.
4.如果哥哥和弟弟的年龄分别为x岁、y岁，且x2+xy=99，求出哥哥、弟弟的年龄.
5.如图1为在边长为a的正方形的一角上挖去一个边长为b的小正方形（a>b），把余下的部分可以剪拼成一个如图2的矩形.由两个图形中阴影部分面积，可以得到一个分解因式的等式，这个等式是_______________________
6.求证：257-512能被120整除.
7.计算：
2002×20012002-2001×20022002.
8.已知x2+x+1=0，求代数式x2006+x2005+x2004+…+x2+x+1的值.
《提公因式法》习题
一、填空题
1.在横线上填入“+”或“-”号，使等式成立.
（1）a-b=______（b-a） （2）a+b=______（b+a）
（3）（a-b）2=______（b-a）2 （4）（a+b）2=______（b+a）2
（5）（a-b）3=______（b-a）3 （6）（-a-b）3=______（a+b）3
2.多项式6（x-2）2+3x（2-x）的公因式是______________.
3.5（x-y）-x（y-x）=（x+y）·_____________.
4.a（b-c）+c-b=（b-c）·_____________.
5.p（a-b）+q（b-a）=（p-q）·_____________.
6.分解因式a（a-1）-a+1=_______________.
7.x（y-1）-（____________）=（y-1）（x+1）
8.分解因式：（a-b）2（a+b）+（a-b）（a+b）2=（__________）（a-b）（a+b）
二、选择题.
1.下列各组的两个多项式，没有公因式的一组是 （ ）.
（A）ax-bx与by-ay （B）6xy+8x2y与-4x-3
（C）ab-ac与ab-bc （D）（a-b）3x与（b-a）2y
2.将3a（x-y）-9b（y-x）分解因式，应提取的公因式是 （ ）.
（A）3a-9b （B）x-y （C）y-x （D）3（x-y）
3.下列由左到右的变形是因式分解的是 （ ）.
（A）4x+4y-1=4（x+y）-1 （B）（x-1）（x+2）=x2+x-2
（C）x2-1=（x+1）（x-1） （D）x+y=x（1+）
4.下列各式由左到右的变形，正确的是 （ ）.
（A）-a+b=-（a+b） （B）（x-y）2=-（y-x）2
（C）（a-b）3=（b-a）3 （D）（x-1）（y-1）=（1-x）（1-y）
5.把多项式m（m-n）2+4（n-m）分解因式，结果正确的是 （ ）.
（A）（n-m）（mn-m2+4） （B）（m-n）（mn-m2+4） （C）（n-m）（mn+m2+4） （D）（m-n）（mn-m2-4）
6.下列各多项式，分解因式正确的是 （ ）.
（A）（x-y）2-（x-y）=（x-y）（x-y）2 （B）（x-y）2-（x-y）=（x-y）（x-y）=（x-y）2
（C）（x-y）2-（x-y）=（x-y）（x-y-1） （D）a2（a-b）-ab（b-a）=a（a-b）（a-b）=a（a-b）2
7.如果m（x-y）-2（y-x）2分解因式为（y-x）·p则p等于 （ ）.
（A）m-2y+2x （B）m+2y-2x （C）2y-2x-m （D）2x-2y-m
三、分解因式
1.3xy（a-b）2+9x（b-a） 2.（2x-1）y2+（1-2x）2y
3.a2（a-1）2-a（1-a）2 4.ax+ay+bx+by
四、计算
1.分解因式：
（1）ab+b2-ac-bc （2）ax2-ax-bx+b
（3）ax+1-a-x （4）x4-x3+4x-4
2.分解因式：
（1）6m（m-n）2-8（n-m）3 （2）15b（2a-b）2+25（b-2a）3
（3）a3-a2b+a2c-abc （4）4ax+6am-20bx-30bm
3.当x=，y=-时，求代数式2x（x+2y）2-（2y+x）2（x-2y）的值.
4.化简求值（2x+1）2（3x-2）-（2x+1）（2-3x）2-x（2-3x）（1+2x），其中x=
5.分解因式：
（1）ab（c2+d2）+cd（a2+b2） （2）（ax+by）2+（bx-ay）2
6.求证：20052+20052·20062+20062是一个完全平方数.
7.实数a、b、c、x、y、z满足a《提公因式法》习题
基础训练
1．下列由左到右的变形哪些是因式分解，哪些不是（是的打“√”，不是的打“×”）：
（1）（x+3）（x-3）=x2-9； （ ）； （2）x2+2x+2=（x+1）2+1；（ ）
（3）x2-x-12=（x+3）（x-4）；（ ）； （4）x2+3xy+2y2=（x+2y）（x+y）；（ ）
（5）1-=（1+）（1-）；（ ）； （6）m2++2=（m+）2；（ ）
（7）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）．（ ）
2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．（a+3）（a-3）=a2-9； B．a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）
C．a2-4a-5=（a-2）2-9； D．a2-4a-5=a（a-4）-5
3．下列各式因式分解错误的是（ ）
A．8x2y-24xy2=8xy（x-3y）； B．ax+bx+ay+by=x（a+b）+y（a+b）
C．12x2y+14x2y2-2xy=2xy（6x+7xy-1）； D．x3-8=（x-2）（x2+2x+4）
4．在下列各式中等号右边的括号前填入适当的单项式或正负号，使等式左右两边相等．
（1）-a+b=______（a-b）； （2）-2x-2y=_______（x+y）；
（3）（a+b）（a-b）=______（a+b）（a-b）； （4）（a-b）2=______（b-a）2；
（5）2R-2r=______（R-r）； （6）-8a2b-2ab+6b2=________（4a2+a-3b）．
5．把下列各式分解因式：
（1）y2-16； （2）25m2-n2；
（3）x2+14x+49； （4）4-4x+x2．
6．如果2x2+mx-2可因式分解为（2x+1）（x-2），那么m的值是（ ）.
A．-1 B．1 C．-3 D．3
提高训练
一、选择题
1.下列各式公因式是a的是（ ）.
A. ax＋ay＋5 B．3ma－6ma2 C．4a2＋10ab D．a2－2a＋ma
2.－6xyz＋3xy2－9x2y的公因式是（ ）.
A.－3x B．3xz C．3yz D．－3xy
3.把多项式（3a－4b）（7a－8b）＋（11a－12b）（8b－7a）分解因式的结果是（ ）.
A．8（7a－8b）（a－b）；B．2（7a－8b）2 ；
C．8（7a－8b）（b－a）；D．－2（7a－8b）
4．把（x－y）2－（y－x）分解因式为（ ）.
A．（x－y）（x－y－1） B．（y－x）（x－y－1）
C．（y－x）（y－x－1） D．（y－x）（y－x＋1）
5．下列各个分解因式中正确的是（ ）.
A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3c）
B．（a－b）3－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1）
C．x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y－1）
D．（a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）2＝（a－2b）（11b－2a）
6．观察下列各式: ①2a＋b和a＋b，②5m（a－b）和－a＋b，③3（a＋b）和－a－b，④x2－y2和x2+y2.其中有公因式的是（ ）.
A．①② B.②③ C．③④ D．①④
二、填空题
7．当n为_____时，（a－b）n＝（b－a）n；当n为______时，（a－b）n＝－（b－a）n.（其中n为正整数）
8．多项式－ab（a－b）2＋a（b－a）2－ac（a－b）2分解因式时，所提取的公因式应是_____.
9．（a－b）2（x－y）－（b－a）（y－x）2＝（a－b）（x－y）×________.
10．多项式18xn+1－24xn的公因式是_______.
三、解答题：
11．把下列各式分解因式：
（1）15×（a－b）2－3y（b－a）； （2）（a－3）2－（2a－6）
（3）－20a－15ax； （4）（m＋n）（p－q）－（m＋n）（q＋p）
应用拓展
12．多项式-2an-1-4an+1的公因式是M，则M等于（ ）.
A．2an-1 B．-2an C．-2an-1 D．-2an+1
13．用简便方法计算：39×37-13×34=_______．
14．因式分解：x（6m-nx）-nx2．
（1）a（s+t）－（s+t） （2）6a（a+b）－4b（b+a）
（3）（2a－b）2+2a－b （4）2（x－1）2－x+1
（5）3a（x－y）－6b（y－x） （6）（m－n）3+2n（n－m）2
课件2张PPT。课件2张PPT。课件4张PPT。1.填空：6x2a－32.把下列各式分解因式：3.把下列各式分解因式：课件3张PPT。1.把下列各式写成完全平方形式：2.把下列各式分解因式：课件1张PPT。把下列多项式分解因式：课件2张PPT。把下列各式分解因式：课件6张PPT。1.利用因式分解计算：
1002-992+982-972+962-952+… +22-12【解析】原式=（100+99)(100-99)+(98+97)(98-97） +…
+(2+1)(2-1)
=199+195+191 +… +3
=50502.因式分解:2a2－8＝___________.
【解析】 原式=
答案：3.因式分解: =______.【解析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式；
即a（x2－y2）=a（x+y）（x－y）
答案:a(x+y)(x－y) 4. 因式分解：x3-x=___.
【解析】x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1)
答案: x(x+1)(x-1) 5.因式分解: =______.
【解析】 原式=（x+3）(x-3).答案:（x+3）(x-3).6. 分解因式 m3 – 4m = . 7.分解因式:x2-x=_____.【解析】m3 – 4m =m(m+2)(m-2). 答案：m(m+2)(m-2)8. 计算: 7652×17－2352 ×17
【解析】7652×17－2352 ×17
=17(7652 －2352)=17(765+235)(765 －235)
=17 ×1000 ×530=90100009.20102+2010能被2011整除吗? 【解析】∵20102+2010=2010(2010+1)=2010 ×2011
∴ 20102+2010能被2011整除.10.把代数式 分解因式，下列结果中正确的是（ ） A． B． C． D．11.分解因式：2a2–4a+2【解析】选D . =m（x2－6x＋9)=m(x－3)2. 【解析】2a2–4a+2=2（a2–2a +1）=2（a–1）2
答案：2（a–1）2 《公式法》教案
学习目标：
1.了解运用公式法分解因式的意义.
2.掌握用平方差公式和完全平方公式分解因式.
3.了解提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式和完全平方公式分解因式.
重点：
让学生掌握运用公式分解因式.
难点：
将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；多步骤分解因式.
教学过程：
一、课前准备，自主探究
1.回顾乘法公式：
平方差公式：（a+b）（a－b）=
左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是： =
这个式子左边是一个多项式，右边是整式的乘积.，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？
完全平方公式：
（a+b）=a+2ab+b
（a-b）=a-2ab+b
反过来就是多项式=整式乘法
a+2ab+b=（a+b）
a-2ab+b=（a-b）
2.尝试学习
（1）x2－16=（ ）2－（ ）2=（x+4）（x－4）.
（2）9 m 2－4n2=（ ）2－（ ）2=（ + ）（ － ）
（3）25－36x2=（ ）2－（ ）2=（ + ）（ － ）
（4）49a2－b2=（ ）2－（ ）2=
（5）9（m+n）2－（m－n）2= 2－（ ）2 =
（二）新课探究
合作探究
把下列各式分解因式
（1）
（2）
（3）
把下列各式分解因式：
（1）4a2－4ab+b2；
（2）a2b2+8abc+16c2；
（3）（x+y）2+6（x+y）+9；
（4）－+n2；
（5）4（2a+b）2－12（2a+b）+9；
（6）x2y－x4－
《公式法》教案
教学目标
1.了解运用公式法分解因式的意义；
2.掌握用平方差公式和完全平方公式分解因式.
教学重点
掌握运用平方差公式和完全平方公式分解因式.
教学难点
将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式.
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.
如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.
Ⅱ.新课讲解
1.请看乘法公式
（1）（a+b）（a－b）=a2－b2
左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是
（2）a2－b2=（a+b）（a－b）左边是一个多项式，右边是整式的乘积.判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？
第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.
同理，完全平方公式需要反向运用
2.例题讲解
［例1］把下列各式分解因式：
（1）25－16x2；
（2）9a2－b2.
解：（1）25－16x2=52－（4x）2
=（5+4x）（5－4x）；
（2）9a2－ b2=（3a）2－（b）2
=（3a+b）（3a－b）.
［例2］把下列各式分解因式：
（1）9（m+n）2－（m－n）2；
（2）2x3－8x.
解：（1）9（m +n）2－（m－n）2
=［3（m +n）］2－（m－n）2
=［3（m +n）+（m－n）］［3（m+n）－（m－n）］
=（3m+3n+m－n）（3m +3n－m+n）
=（4m+2n）（2m +4n）
=4（2m+n）（m+2n）
（2）2x3－8x=2x（x2－4）
=2x（x+2）（x－2）
说明：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法.
[例3]分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2 （2）（a+b）2-12（a+b）xy+36x2y2
Ⅲ.课堂练习
1.判断正误
（1）x2+y2=（x+y）（x－y）；（ ）
（2）x2－y2=（x+y）（x－y）；（ ）
（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）；（ ）
（4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）.（ ）
2.把下列各式分解因式
（1）a2b2－m2
（2）（m－a）2－（n+b）2
（3）x2－（a+b－c）2
（4）－16x4+81y4
3．下列各式是否是完全平方式？如果不是，请说明理由.
（1）a2－4a＋4；
（2）x2＋4x＋4y2；
（3）4a2＋2ab＋4b2；
（4）a2－2ab＋b2；
（5）x2－6x－9；
（6）a2＋a＋0.25．
《公式法》教案
学习目标
1、会运用完全平方公式和平方差公式分解因式.
2、灵活地运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式.
学习重难点
掌握完全平方公式和平方差公式，会运用公式进行因式分解.
学习过程
一、自主学习：
1、（1）我们已经学过的因式分解的方法有什么？
（2）分解因式x2-y?2.
2、根据乘法公式进行计算：
（1）（6+x）（6-x）=__________（2）（2-y）2=________________
（3）（b-a）2=_____ （4）（b+a）2=__________
3、猜一猜：你能将下面的多项式分解因式吗？
（1）x2+6x+9=_____________（2）52-32=__________
探究一：
观察上面3中各式的左、右两边有什么共同特点？
左边的特点：______________________________,右边的特点：_____________________.
4、试用公式表示：______________________你能用语言来描述吗？____________________公式中的a、b代表什么？_________________________.
二、合作探究
反思：判断一个式子是否是完全平方式或者平方差应从几个方面思考？
三、应用新知
例1：你能将下列各式因式分解吗？
（1）16x2+24x+9
（2）-x2+4xy-4y2
思考：
1、它们是完全平方公式或平方差公式吗？
2、例1（1）中的a、b分别是什么？
3、例1（2）中的负号怎么处理？
例2：16x2-9
思考：
1、在（1）中有公因式3a，应怎么办？
2、（2）中可将__________看作一个整体，应用完全平方公式？
3、例2应该怎样运用公式进行因式分解？
《 公式法》教案
学习目标
1．能说出平方差公式和完全平方公式的特点．
2．能较熟练地应用公式分解因式．
学习重点：
应用公式分解因式．
学习难点：
灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．
学习过程
（一）知识链接
问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？
问题2：运用提公因式法分解因式的步骤是什么？
问题3：你能将a2 - b2分解因式吗？你是如何思考的？
（二）探索平方差公式分解因式
观察平方差公式：a2 - b2 =（a + b）（a - b）的项、指数、符号有什么特点？
（1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反．
（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差．
（3）在乘法公式中，“平方差”是计算结果，而在分解因式，“平方差”是得分解因式的多项式．
由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．
填空：
（1）4a2 =（ ）2； （2）b2=（ ）2；
（3）0.16a4 =（ ）2； （4）1.21a2b2=（ ）2；
（5）2x4 =（ ）2； （6）5x4y2=（ ）2．
（三）运用平方差公式分解因式
例1、分解因式
（1）4x2 - 9 （2）（x+p）2 -（x+q）
例2、分解因式
（1）x4 - y4 （2）a3b - ab
例3、计算7582 - 2582
注：（1）多项式分解因式的结果要化简
（2）在化简过程中要正确应用去括号法则，并注意合并同类项．
（四）在前面我们不仅学习了平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2，而且还学习了完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2
（五）新课
1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.
由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？
将完全平方公式倒写：a2+2ab+b2=（a+b）2；a2－2ab+b2=（a－b）2.便得到用完全平方公式分解因式的公式.
从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解
左边的特点有：
（1）多项式是三项式；
（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；
（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.
右边的特点：这两数或两式和（差）的平方.
用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式.
由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.
练一练
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4;
（2）x2+4x+4y2;
（3）4a2+2ab+b2;
（4）a2－ab+b2;
（5）x2－6x－9;
（6）a2+a+0.25.
判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍.
2.例题讲解
例4、把下列完全平方式分解因式：
（1）x2+14x+49;
（2）（m+n）2－6（m +n）+9.
先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式.
解：（1）x2+14x+49=x2+2×7x+72=（x+7）2
（2）（m +n）2－6（m +n）+9=（m +n）2－2·（m +n）×3+32=［（m +n）－3］2=（m +n－3）2.
例5、把下列各式分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2;
（2）－x2－4y2+4xy.
如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式.
解：（1）3ax2+6axy+3ay2
=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2
（2）－x2－4y2+4xy
=－（x2－4xy+4y2）
=－［x2－2·x·2y+（2y）2］
=－（x－2y）2
《提公因式法》教案
教学目标
1．掌握因式公解、公因式．
2．用提公因式法分解因式．
教学重点
会用提公因式法分解因式．
教学难点
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
（1）20×（-3）2+60×（-3）
（2）1012-992
（3）572+2×57×43+432
解：（1）20×（-3）2+60×（-3）
=20×9+60×-3
=180-180=0
或20×（-3）2+60×（-3）
=20×（-3）2+20×3×（-3）
=20×（-3）（-3+3）=-60×0=0．
（2）1012-992=（101+99）（101-99）
=200×2=400
（3）572+2×57×43+432
=（57+43）2=1002
=10000．
在上述运算中，或将数字分解成两个数的乘积，或者逆用乘法公式使运算变得简单易行，类似地，在式的变形中，有时也需要将一个多项式写成几个整式的乘积形式，这就是我们从今天开始要探究的内容──因式分解．
Ⅱ．导入新课
1．分析讨论，探究新知．
把下列多项式写成整式的乘积的形式．
（1）x2+x=_________
（2）x2-1=_________
（3）am+bm+cm=__________
根据整式乘法和逆向思维原理，可以做如下计算：
（1）x2+x=x（x+1）
（2）x2-1=（x+1）（x-1）
（3）am+bm+cm=m（a+b+c）
像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．
再观察上面的第（1）题和第（3）题，你能发现什么特点．
发现（1）中各项都有一个公共的因式x，（2）中各项都有一个公共因式m，是不是可以叫这些公共因式为各自多项式的公因式呢？
因为ma+mb+mc=m（a+b+c）．
于是就把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式a+b+c是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2．例题教学，运用新知．
把8a3b2-12ab3c分解因式．
把2a（b+c）-3（b+c）分解因式．
把3x3-6xy+x分解因式．
把-4a3+16a2-18a分解因式．
把6（x-2）+x（2-x）分解因式．
总结：提取公因式后，要满足另一个因式不再有公因式才行．可以概括为一句话：括号里面分到“底”，这里的底是不能再分解为止．
解：2a（b+c）-3（b+c）=（b+c）（2a-3）．
解：3x2-6xy+x=x·3x-x·6y+x·1=x（3x-6y+1）．
注意：x（3x-6y+1）=3x2-6xy+x，而x（3x-6y）=3x2-6xy，所以原多项式因式分解为x（3x-6xy+1）而不是x（3x-6y）．这就是说，1作为项的系数，通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，可以概括为：某项提出莫漏1．
解：-4a3+16a2-18a
=-（4a3-16a2+18a）
=-2a（2a2-8a+9）
注意：如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．在提出“－”号时，多项式的各项都要变号．可以用一句话概括：首项有负常提负．
分析：先找6（x-2）与x（2-x）的公因式，再提取公因式．因为2-x=-（x-2），所以x-2即公因式．
解：6（x-2）+x（2-x）
=6（x-2）-x（x-2）
=（x-2）（6-x）．
总结：有时多项式的各项从表面上看没有公因式，但将其中一些项变形后，但可以发现公因式，然后再提取公因式．
《提公因式法》教案
教学目标：
1、了解因式分解的意义，了解因式分解和整式乘法是整式的两种相反方向的变形.
2、会确定多项式中各项的公因式，会用提取公因式法分解多项式的因式.
教学重难点
教学重点：因式分解的概念及提取公因式法.
教学难点：多项式中公因式的确定和当公因式是多项式时的因式分解.
教学设计：
（一）新课引入：
回忆：运用所学知识填空
（1）x（x+1）= （2）（x+1）（x-1）=
（3）2ab（a2+b+1）=
反之：（1）x2+x= （2）x2-1=
（3）2a3b+2ab2+2ab=
观察以下式子的特点：
（1）15=3×5
（2）18=2×32
（3）x2+x=x（x+1）
（4）x2-1=（x+1）（x-1）
（5）2a3b+2ab2+2ab=2ab（a2+b+1）
由分解质因数类比到分解因式.
（二）新知学习：
1、分解因式的概念，与整式乘法的关系.
巩固概念：判断下列各式从左到右哪些是因式分解？
（1）m（a+b）=ma+mb
（2）2a+4=2（a+2）
（3）4a2-6ab2+2a=2a（2a-3b2+1）
（4）a2-2a+1=a（a-2）+1
（5）
2、确定公因式.
问题：ma+mb+mc 这个多项式有什么特征？ 引入公因式概念.
例1：找出6x3y5-3x2y4的公因式,归纳找公因式的办法.
课堂练习一：找出下列各多项式中的公因式填在后面括号内.
（1）3mx-6nx2 （ ）
（2）x4y3+x3y4 （ ）
（3）12x2yz-9x2y2 （ ）
（4）5a2-15a3+25a （ ）
3、用提公因式法分解因式.
m（a+b+c）＝ma+mb+mc 可得ma+mb+mc＝m（a+b+c），观察构成乘积的两个因式分别是怎样形成的？
m是这个多项式的公因式，而另一个因式是原多项式除以公因式所得的商式.像这种分解因式的方法叫做提公因式法.
想一想：提公因式法的理论依据是什么?
4、知识运用：
例2：把8a2b2+12ab2c分解因式
例3：把－24x3－12x2＋28x分解因式.
判断下列各式分解因式是否正确？如果不对，请加以改正.
（1）2a2+4a+2=2（a2+2a）
（2）3x2y3－6xy2z=3xy（xy2－2yz）
把下列各式分解因式.
（1）x2+x6 （2）12xyz-9x2y2
（3）-6x2-18xy+3x （4）2an+2-4an+1-6an-1
例4：把3a（b+c）-3（b+c）分解因式
将下列各式分解因式.
（1） p（a2+b2）-q（a2+b2）
（2） 2a2 （y-z）2-4a（z-y）2
例5：先分解因式，再求值.
4a2（x+7）-3（x+7），其中a=-5，x=3.
5、拓展与提高：
（1）20112+2011能被2012整除吗？
（2）利用因式分解进行计算：23.1×24-46.2×7
（3）将2a（a+b-c）-3b（a+b-c）+5c（c-a-b）分解因式.
（三）课堂小结：
（1）什么叫因式分解？
（2）确定公因式的方法.
（3）提公因式法分解因式的步骤.
（4）提公因式法分解因式的步骤.
《提公因式法》教案
教目标：
掌握提公因式法.
教学重点：
会利用提公因式法进行计算.
教学过程
用字母表示分配律的等式m（a+b+c）=ma+mb+mc①
这个式子表明了两个因式相等所得的结果，结果是一个多项式，其中各项都含有一个公共的因式m．
把①式反过来写，就是ma+mb+mc=m（a+b+c）②
这个式子表明：如果一个多项式的各项都含有一个公共的因式m，那么这个多项式可化为因式m与另一个因式的积．这种把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
①式是做整式乘法，②式是进行因式分解，由此可以看出因式分解正好与整式乘法相反，就是说，因式分解是整式乘法的逆变形．
看多项式 ma+mb+mc，各项都含有一个公共的因式m，这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式．
也就是，多项式ma+mb+mc各项都含有公因式m，可以把公因式m提到括号外面，将多项式ma+mb+mc写成因式m与a+b+c乘积的形式：ma+mb+mc=m（a+b+c）．这里的m既可以是单项式，也可以是多项式．
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法．
下面，我们用提公因式的方法把一些多项式分解因式．
1．公因式是单项式的类型
例1 把8a3b2－12ab3c分解因式．
解：8a3b2－12ab3c
=4ab2·2a2－4ab2·3bc
=4ab2（2a2－3bc）
说明：怎样提公因式呢？公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的．
例2 把3x2－6xy+x分解因式．
解：3x2－6xy+x
=x·3x－x·6y+x·1
=x（3x－6y+1）
说明：提公因式后，不能出现漏项的情况，1作为项的系数，通常可以省略不写，但如果单独成一项时，如例2中的x，它在因式分解过程中不能漏掉，检查是否漏项的方法是用乘法进行验证．
例3 把－4m3+16m2－26m分解因式．
解：－4m3+16m2－26m
=－（4m3－16m2+26m）
=－2m（2m2－8m+13）
说明：如果多项式首项的系数是负的，一般要提取“－”号，使括号内的第一项系数是正的，在提取负号时，多项式的各项都要变号．
2．公因式是二项式或三项式乘方的类型．
例4 把2a（b+c）－3（b+c）分解因式
解：令m=b+c，则：
2a（b+c）－3（b+c）
=（b+c）（2a－3）
例5 把6（x－2）+x（2－x）分解因式．
解：6（x－2）+x（2－x）
=6（x－2）－x（x－2）
=（x－2）（6－x）
例6 把18b（a－b）2－12（a－b）3分解因式．
解：18b（a－b）2－12（a－b）3
=6（a－b）2·3b－6（a－b）2·2（a－b）
=6（a－b）2[3b－2（a－b）]
=6（a－b）2（3b－2a+2b）
=6（a－b）2（5b－2a）
例7 把5（x－y）3+10（y－x）2分解因式．
解：因为（y－x）2=[－（x－y）]2=（x－y）2所以：
5（x－y）3+10（y－x）2
=5（x－y）2·（x－y）+5（x－y）2·2
=5（x－y）2（x－y+2）
说明：（1）进行因式分解时常用的一些等式：
b－a=－（a－b）；
（b－a）2=（a－b）2;
（b－a）3=－（a－b）3.
（2）在提公因式后的多项式因式里，如果有同类项，要合并同类项，如例6；如果化简后的因式化为单项式，要把单项式因式写在前面，如
（m+n）（p+q）－（m+n）（p－q）
=（m+n）[（p+q）－（p－q）]
=（m+n）（p+q－p+q）
=（m+n）·2q=2q（m+n）
《提公因式法》教案
教学目标
了解公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式.
教学重点
能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.
教学难点
识别多项式的公因式.
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为，，，宽都是，求这块场地的面积.
解法一：S=× + × + × =++=2
解法二：S=× + × + × = （ ++）=×4=2
从上面的解答过程看，解法一是按运算顺序：先算乘，再算和进行的，解法二是先逆用分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些.这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法.
二、新课讲解
1.公因式与提公因式法分解因式的概念.
将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积为ma+mb+mc，或m（a+b+c），可以用等号来连接.ma+mb+mc=m（a+b+c）
从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？等式右边的项有什么特点？
等式左边的每一项都含有因式m，等式右边是m与多项式（a+b+c）的乘积，从左边到右边是分解因式.
由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的公因式.
由上式可知，把多项式ma+mb+mc写成m与（a+b+c）的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
2.例题讲解
［例］将下列各式分解因式：
（1）3x+6；
（2）7x2－21x；
（3）8a3b2－12ab3c+abc；
（4）－24x3－12x2+28x.
分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来.
解：（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2）；
（2）7x2－21x=7x·x－7x·3=7x（x－3）；
（3）8a3b2－12ab3c+abc
=8a2b·ab－12b2c·ab+ab·c
=ab（8a2b－12b2c+c）
（4）－24x3－12x2+28x
=－4x（6x2+3x－7）
3.议一议
总结出找公因式的一般步骤.
首先找各项系数的最大公约数，如8和12的最大公约数是4.
其次找各项中含有的相同的字母，如（3）中相同的字母有ab，相同字母的指数取次数最低的.
4.想一想
从例中能否看出提公因式法分解因式与单项式乘以多项式有什么关系？
提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式.
三、课堂练习
（一）随堂练习
1.写出下列多项式各项的公因式.
（1）ma+mb （m）
（2）4kx－8ky （4k）
（3）5y3+20y2 （5y2）
（4）a2b－2ab2+ab （ab）
2.把下列各式分解因式.
（1）8x－72=8（x－9）
（2）a2b－5ab=ab（a－5）
（3）4m3－6m2=2m2（2m－3）
（4）a2b－5ab+9b=b（a2－5a+9）
（二）补充练习
把3x2－6xy+x分解因式
四、课时小结
1.提公因式法分解因式的一般形式，如：ma+mb+mc=m（a+b+c）.
这里的字母a、b、c、m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式.
2.提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式.
3.找公因式的一般步骤
（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；
（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；
（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.
（4）所有这些因式的乘积即为公因式.
4.初学提公因式法分解因式，最好先在各项中将公因式分解出来，如果这项就是公因式，也要将它写成乘1的形式，这样可以防范错误，即漏项的错误发生.
5.公因式相差符号的，如（x－y）与（y－x）要先统一公因式，同时要防止出现符号问题.
课件18张PPT。公式法运用公式法
把乘法公式反过来用,可以把符合公式
特点的多项式因式分解,这种方法叫公式法. (1) 平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)
(2) 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2平方差公式反过来就是说：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积a2 - b2 = (a+b)(a-b)
因式分解平方差公式：
(a+b)(a-b) = a2 - b2整式乘法将下面的多项式分解因式
1) m2 - 16 2) 4x2 - 9y2m2 - 16= m2 - 42 =( m + 4)( m - 4) a2 - b2 = ( a + b)( a - b )4x2 - 9y2=(2x)2-(3y)2=(2x+3y)(2x-3y)例1.把下列各式分解因式
（1）16a2- 1
( 2 ) 4x2- m2n2
( 3 ) — x2 - — y2
925116( 4 ) –9x2 + 4
解：1）16a2-1=(4a)2 - 1
=(4a+1)(4a-1)解：2） 4x2- m2n2
=(2x)2 - (mn)2
=（2x+mn)(2x-mn)例2.把下列各式因式分解
( x + z )2- ( y + z )2
4( a + b)2 - 25(a - c)2
4a3 - 4a
(x + y + z)2 - (x – y – z )2
5)—a2 - 212巩固练习：
1.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）
4X2+y2 B. 4 x- (-y)2 C. -4 X2-y3 D. - X2+ y2
-4a2 +1分解因式的结果应是 （ ）
-(4a+1)(4a-1) B. -( 2a –1)(2a –1)
-(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1)
2. 把下列各式分解因式：
1）18-2b2 2) x4 –1 DD完全平方公式现在我们把这个公式反过来很显然，我们可以运用以上这个公式来分解因式了，我们把它称为“完全平方公式”我们把以上两个式子叫做完全平方式“头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾”两倍中间放.
判别下列各式是不是完全平方式是是是是完全平方式的特点：1、必须是三项式2、有两个平方的“项”3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍下列各式是不是完全平方式是是是否是否请补上一项，使下列多项式成为完全平方式我们可以通过以上公式把“完全平方式”分解因式
我们称之为：运用完全平方公式分解因式例题：把下列式子分解因式4x2+12xy+9y25、把 分解因式得
（ ）
A、 B、
6、把 分解因式得
（ ）
A、 B、BA 将一个正方形的一角剪去一个小正方形，观察剪剩下的部分，你能在只能剪一刀的情况下，将剩余部分重新拼接成一个特殊四边形吗？动手实践=a2-b2(a+b) (a-b)课件10张PPT。公式法1、什么是因式分解？它与整式乘法有什么关系？ 2、运用乘法公式计算: 把一个多项式化为几个整式的积的的形式叫因式分解.它与整式乘法互为逆运算.提问：这几道题我们运用了学过的什么公式？完全平方公式： 平方差公式：利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解的方法叫做公式法观察下列各式，他们有什么共同特征？
提问：符合什么结构特征的多项式可以用公式法因式分解？例1、把下列各式分解因式
随堂练习： 1、填空（把下列各式写成完全平方的形式） 2、把下列各式分解因式例2、把下列各式分解因式例3、在一个边长为（n+2)cm的正方形中截去一个边长为ncm的正方形，剩下的面积是多少？小结： 1、内容归纳： （1）因式分解的方法：公式法 （2）因式分解的3个公式 2、方法归纳 在运用公式分解因式时，要通过观察、分析、判断所给多项式是否符合公式的特征，弄清所给多项式中，相当于公式的a,b分别是 什么，正确地运用公式.课件24张PPT。公式法比一比，看谁心算速度最快：试试你的身手！想一想:
以前学过哪些乘法公式？1、什么叫因式分解？我们已学过什么因式分解的方法？课前提问
2、因式分解与整式乘法有什么关系？
小试牛刀把下列多项式因式分解：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法. 关键词： 公式 反 某些因式分解的完全平方公式因式分解的平方差公式平方差公式
（三）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.这个公式就是平方差公式.（一）公式： a2-b2=(a+b)(a-b)
（二）结构特点：
1、左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反； 2、右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差．（二）结构特点：
1、公式左边是三项式，其中首末两项都为正，且这两项可化为两个数的平方，中间一项可正可负，还是这两个数的乘积的2倍；完全平方公式（一）公式：2、右边是两个数的平方和（或差）的平方.3、用完全平方式分解因式时，要根据第二项的符号来选择运用哪一个完全平方公式．（三）语言：两数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，等于这两个数和（或差）的平方.0.81x2=( )2
25a4=( )2
100p4q2=( )25a210p2q0.9x填空：呵呵，来热热身!例1：把下列各式分解因式 a2 + 2 a b + b2 = ( a + b)2 a2 - 2 a b + b2 = ( a - b)2 a2 - b2 = ( a + b) ( a - b )例2：把下列各式分解因式本节课开始的速算题你现在会做吗？智力大冲浪填空（2）(x2＋y2)2-4x2y2 把下列各式分解因式更上一层楼根据多项式乘法，我们还可以得出一个公式：这个等式，从左边到右边是整式乘法运算，从右边到左边是因式分解.你能利用这个公式把下列各式分解因式吗？.课外探究课件19张PPT。提公因式法讨 论问题1：630能被哪些数整除？说说你是怎样想的？问题2：a=101，b=99时，求a2 – b2 的值.运用前面所学的知识填空：把下列多项式写 成乘积的形式 (1) ma+mb+mc=( )( )
(2) x2 -1 =( )( )
(3) a2 +2ab+b2 =( )2
(1) m(a+b+c)=
(2) (x+1)(x-1)=
(3) (a+b)2 =ma+mb+mcx2 -1a2 +2ab+b2m a+b+cx+1 x-1a+b 把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. X2-1 (x+1)(x-1)因式分解整式乘法X2-1 = (x+1)(x-1)
等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积
初步应用 巩固新知③⑥ 多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.相同因式m这个多项式有什么特点？例1: 找 3 x 2 – 6 xy 的公因式.系数：最大
公约数.3字母：相同的字母
x 所以，公因式是3x.指数：相同字母的最低次幂1正确找出多项式各项公因式的关键是：1、定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2、定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3、定指数： 相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂
找一找: 下列各多项式的公因式是什么？ （3）（a）（a2）（2(m+n)）（3mn）（-2xy）(1) 3x+6y
(2)ab-2ac
(3) a 2 - a 3
(4)4 (m+n) 2 +2(m+n)
(5)9 m 2n-6mn
(6)-6 x 2 y-8 xy 2 如果一个多项式的各项含有公因式，那么
就可以把这个公因式提出来，从而将多项式
化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的
方法叫做提公因式法. ( a+b+c )ma+ mb +mcm=(1) 8a3b2 + 12ab3c例2: 把下列各式分解因式 分析：提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.
(2) 2a(b+c) - 3(b+c)注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可
以是一个多项式的形式整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.小明解的有误吗？
错误注意：公因式要提尽.诊断正确解：原式=6xy(2x+3y)小亮解的有误吗？当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.错误注意：某项提出莫漏1.正确解：原式=3x?x-6y ? x+1 ? x
=x(3x-6y+1)小华解的有误吗？
提出负号时括号里的项没变号错误诊断注意：首项有负常提负.正确解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)例3: 把 12b(a-b)2 – 18(b-a)2 分解因式解： 12b(a-b)2 – 18(b-a)3
=12b(a-b)2 + 18(a-b)3
=6(a-b)2 [2b+3(a-b)]
=6(a-b)2 (2b+3a-3b)
=6(a-b)2(3a-b)
练习：(x-y)2+y(y-x)
(1) 13.8×0.125+86.2×1/8(2)已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值. 解：原式=13.8×0.125+86.2×0.125
=0.125×(13.8+86.2)
=0.125×100
=12.5 解: a2b+ab2 =ab(a+b)=3 × 5=15巧妙计算
看你能否过关？
把下列各式分解因式：(1)8 m2n+2mn
(2)12xyz-9x2y2
(3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )
(4) -x3y3-x2y2-xy
智力抢答 99 × 99 + 99
×=259 =9900= 99 ×(99+1)综合闯关：1、计算（-2）101+（-2）100
2、已知, , 求代数式 的值.
课件18张PPT。提公因式法你能把12、15因数分解吗？12=2 × 2×3；
15= 3 × 512、15这两数有公因数吗？有公因数是 3多项式中ma+mb有公共的因式吗？如果有，请你指出来！联想和类比一下！有公因式是 m? a c+ b c
?3 x2 +x
?30 m b2 + 5n b
?3x+6
? a2 b – 2a b2 + ab
? 7 ( a– 3 ) – b ( a– 3)
下列各多项式中的各项有没有共同的因式？c x5b3ab
a-3试一试你的眼光！ 多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. 公因式与多项式的各项有什么关系？怎样确定多项式的公因式？30 m b2 + 5n b 正确找出多项式各项公因式的关键是什么？系数：1、公因式的系数是多项式各项系数 的最大公约数. 字母： 2、字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
指数： 3、相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.
4、多项式中的公因式可以是单项式，
也可以是多项式.提取公因式法分解因式
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公
因式法.指出下列多项式中各项的公因式：（1） （2） （3） （4）a 5x2 ymn x - y练一练：因式分解结果应提取的公因式的是：各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积.点例透视 运用新知例1.把下列各式分解因式：（1）2x3+6x2（2）3pq3+15p3q（3）4x2-8ax+2x（4）-3ab+6abx-9aby解 ： 原式= 2x2(x+3)解 ： 原式= 3pq(q2+5p2 )解 ： 原式=2x(2x-4a+1)解 ： 原式=-3ab(1-2x+3y)? 7x2 – 21x ?8 a 3 b2 –12ab 3 + ab
? m b2 + n b ?7x 3y2 –42x2y 3
? a2 b – 2a b2 + abc
? 7 ( x – 3 ) – x ( 3 – x )
⑦—4x2+8ax+2x
⑧—3ab+6abx—9ab练习 ：把下列各式分解因式.
X2 公因式包括系数和字母（1）2x2 + 3x3 + x = x(2x +3x2)（2）a2c - 6a3c = 3a2(c - 2ac)（3）-2s3 + 4s2 - 6s = - s(2s2 - 4s + 6)（4）a2b + 6ab2 - 8a = ab(a+6b) - 8a下列的分解因式对吗？如不对，请指出原因:比一比、看谁会订正应为: 原式=x(2x +3x2+1)应为: 原式= -2s(s2-2s+3)应为: 原式= a (ab+6b2-8)应为: 原式=a2c(1 -6a) 分解因式前有几项，提取公因式后括号内仍为几项. 公因式提取后各项不再含有公因式. 公因式是每一项都含有的①提取不尽③疏忽变号④只提取部分公因式,整个式子未成乘积形式.(3).提取公因式的一般步骤:①确定应提取的公因式:②用公因式去除这个多项式,把所得的商作为另一个因式:③把多项式写成这两个因式的积的形式.【反思】(2).提取公因式要彻底;注意易犯的错误:②漏项(1).当首项系数为负时,通常应提取负因数,在提取“－”号时,余下的各项都变号.下面的解法对吗？
把 8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab分解因式.解：8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab
=ab(8a2 b- 12 b2 c)当多项式的某一项和公因式相同时，提取公因式后剩余的项是1.=ab?8a2 b-ab ? 12 b2 c+ab ? 1=ab(8a2 b-12 b2 c+1)解：问：（a-b)2 - (b-a)3能因式分解吗？原式=2(a-b)2-(a-b)=(a-b)〔 2(a-b)-1 〕=(a-b)(2a-2b-1)原式=(a-b)2+(a-b)3=(a-b)2(a-b+1)或者原式=(b-a)2-(b-a)3=(b-a)2〔1-(b-a)〕=(b-a)2(1-b+a)例2 .把2(a—b)2—a+b 分解因式.做一做:在下列各式等号右边填入“+”或“-”号,使等式成立:————+ + 归纳 括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变号;括号前面是“—”号,括到括号里的各项都变号.综合练习：1、分解因式计算（-2）101+（-2）100
2、利用简便方法计算：
4.3x199.8+0.76x1998-1.9x199.8
3、已知a+b=3,ab=2,求代数式
a2 b + 2 a2 b2 +a b2的值.
4、把 9am+1 –21 am+7a m-1分解因式.提高理解提取公因式时，有时需要将因式经过符号变换、字母位置重新排列或添括号后，才能看出公因式.【反思】课件16张PPT。提公因式法概念及注意 1 多项式的分解因式的概念：
把一个多项式化为几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式分解因式.
2 分解因式与整式乘法是互逆过程.
3 分解因式要注意以下几点:
① 分解的对象必须是多项式.
② 分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
（1）（2）（3） 1993-199能被200整除吗?还能被哪些整数整除?? a c+ b c
? 3 x2 +x
? 30 m b2 + 5n b
? 3x+6
? a2 b – 2a b2 + ab
? 7 ( a– 3 ) – b ( a– 3)下列各多项式有没有共同的因式？c x5b3aba-3? 7x2 -21x
? 8 a 3 b2 –12ab 3 + ab
? m b2 + n b
? 7x 3y2 –42x2y 3
? 4a2 b – 2a b2 + 6abc说出下列各式的公因式：
7xabb7x2y22ab 多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. 怎样确定多项式的公因式？
公因式与多项式的各项有什么关系？公因式：怎样正确多项式各项的公因式？ 1、公因式的系数是多项式各项系 数的最大公约数； 字母：2、字母取多项式各项中都含有的相同的字母； 指数：3、相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂； 注：多项式各项的公因式可以是单项式，也可以是多项式 . 系数：例1: 找 3x2y2– 6xy3 的公因式.系数：最大公约数3字母：相同字母指数：最低次幂xy2 所以，3x2-6x 的公因式是3x因为提公因式法 分解因式 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 例2: 把 9x2– 6xy+3xz 分解因式.=3x·3x - 3x·2y + 3x·z 解：=3x (3x-2y+z)9x2 – 6 x y + 3x z 方法步骤：
①找出 — 公因式；
②提出 — 公因式，
（即用多项式中每一项除以公因式）小颖解的有误吗？
把 8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab分解因式.解：8 a3b2 –12ab3c + ab
= ab·8a2b - ab·12b2 c +ab·1
= ab(8a2b - 12b2c) 当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.错误例3:例4: 把 -24x3–12x2+28x 分解因式.当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号.提公因式法分解因式正确的找出多项式各项的公因式.注意：1 多项式是几项，提公因式后也剩几项.
2 当多项式的某一项和公因式相同时提公 因式后剩余的项是1.
3 当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号.
? 25x-5
? 3 x3 - 3x2 –9x
? 8a 2c+ 2b c
? - 4a 3b3 + 6 a2 b - 2ab
? - 2x2 –12xy2 +8xy3 练习 把下列各式分解因式：
想一想： 提公因式法分解因式与单项
式乘多项式有什么关系？ 提公因式法与单项式乘多项是互为逆运算关系.1、分解因式计算 (-2)101+(-2)100
2、利用简便方法计算：
4.3x199.8+0.76x1998-1.9x199.8
3、已知 a+b=3, ab=2,
求代数式 a2 b + 2 a2 b2 +a b2 的值.
4、把 9am+1 –21 am+7a m-1分解因式.思考题课件16张PPT。提公因式法列式：3.7 × 3.8 + 3.7 ×6.2如图，一块菜地由两个长方形组成，
两个长方形的长分别是3.8米和6.2米，
宽都是3.7米，如何计算这块菜地
的面积呢？= 3.7 ×( 3.8 + 6.2 )
= 3.7 × 10 = 37(m2)菜地 菜地 ma+mb=m(a+b) 想一想m(a+b) =ma+mb 观察：比较表格中每行左右两个等式有什么联系和区别？
整式乘法多项式化为几个整式的积
因式分解试一试：下列等式中，从左到右的变形是因式分解的在括号内打“√”，不是的打“×”.
（1）（2）（3）（4）（ ）（ ）（ ）（ ）√√××公因式:
一个多项式中每一项都含有的因式.叫做这个多项式的公因式.am+bm=m(a+b)探索新知左边的这个多项式有什么特点呢？你能寻找出2ab+4abc的公因式吗？ 议一议：多项式 有公因式吗？是什么？公因式为:________3x2y各项系数的最
大公因数各项都含有的
相同字母的最
低次幂2.字母:取相同字母最低次幂.1.系数:取最大公因数;(系数为整数时)找出公因式的方法:3 a5b23a2b说一说下列各式的公因式原式公因式是:提取公因式法:
如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式.这种分解因式的方法叫做提取公因式法.例1：分解因式例题解析1提取公因式后, 余下的多项式不再含有公因式；
2可用整式乘法检验因式分解的正确性.注意：（1）（2）练习1：分解因式（1）（2）例2：分解因式例题解析 当多项式的某一项恰好是公因式时，这一项应看成它与1的乘积，提取公因式后剩下的应是1.注意：练习2：分解因式（1）（2）例3：分解因式例题解析 当首项的系数为负时,通常应提取负号,此 时需添加括号，且括号内的各项都改变符号.注意：练习3：分解因式（1）（2）错错错错小明在学完提取公因式法分解因式后，做了如下四题.请同学们帮他检查一下,他解对了吗？如果不对，应怎样改正？巩固练习测一测（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
分解因式课堂小结2.公因式的概念
找公因式的方法
1.因式分解的意义
因式分解和整式乘法的关系
3.提取公因式法分解因式的一般步骤
提取公因式法分解因式的注意事项
挑战一下（1）（2）分解因式课堂延伸1、已知 ， ，
求 的值．
2、已知代数式 的值是7，
求 的值．
