北师大版数学九年级上册同步练习——第六章《反比例函数》综合练习A
一、选择题
1．（2023·包头）从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和.若点的坐标记作，则点在双曲线上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；概率公式
【解析】【解答】解：从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，点A的坐标共有6种情况：（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），并且它们出现的可能性相等，点A坐标在双曲线上有2种情况：（2，3），（3，2），所以， 点在双曲线上的概率为.
故答案为：A.
【分析】先列出A的坐标的所有可能情况是6种，再根据反比例函数的性质求出A坐标在双曲线上的情况有2种，从而得到点A在双曲线上的概率。
2．（2023·怀化）已知压力、压强与受力面积之间有如下关系式：．当F为定值时，下图中大致表示压强p与受力面积S之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴当F为定值时， 压强p与受力面积S之间函数关系是反比例函数，
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出，再结合函数图象判断即可。
3．（2023·临沂）正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目．一段工程施工需要运送土石方总量为，设土石方日平均运送量为V（单位：/天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（ ）
A．反比例函数关系 B．正比例函数关系
C．一次函数关系 D．二次函数关系
【答案】A
【知识点】反比例函数的定义；列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∴，
即V与t满足反比例函数关系，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出，再求出，最后求解即可。
4．（2023·云南）若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】因为A（1.3）是反比例函数上的点，所以k=xy=1×3=3.
故答案为：A。
【分析】根据反比例函数图象上的点符合反比例函数关系是，直接代入关系式，求得k的值即可。
5．（2022·南京）反比例函数（为常数，）的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵k≠0，
∴k2＞0，
∴ 反比例函数（为常数，）的图象位于第一、三象限.
故答案为：A.
【分析】反比例函数(k≠0)中，当k＞0时，图象的两支分别位于第一、三象限，当k＜0时，图象的两支分别位于第二、四象限，据此判断可得答案.
6．（2022·郴州）如图，在函数 的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数 的图象于点B，连接OA，OB，则 的面积是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：令AB与y轴的交点为C，
∵点A、B分别在反比例函数y=、y=上，
∴S△AOC=1，S△BOC=4，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=5.
故答案为：B.
【分析】令AB与y轴的交点为C，根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AOC=1，S△BOC=4，相加即可.
7．（2022·东营）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由题意得不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围，
∴不等式的解集为或，
故答案为：A．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
8．（2023八下·杭州期末）若反比例函数的图象过点，则该图象必经过第（ ）象限
A．一、三 B．二、四 C．一、二 D．三、四
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象过点
∴k=m2＞0
∴反比例函数的图象必经过第一、三象限.
故答案为：A.
【分析】 由点 的坐标先求出反比例系数k，再根据k的大小确定图象经过哪两个象限即可.
9．（2023八下·慈溪期末）对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．点在它的图象上 B．它的图象在第二、四象限
C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：A、将x=-2代入函数，得到y=1，则（-2，1）在它的图像上，故A项正确，不符合题意；
B、根据反比例函数画出图象，可得图象在第二，四象限，故B项正确，不符合题意
C、根据图象可得当x＞0时，y随x的增大而增大，故C项正确，不符合题意；
D、根据图象，当x＜0时，y随x的增大而减小，故D项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】我们可以利用反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质对A、B、C、D，进行判断.
10．（2023·双柏模拟）已知反比例函数的图象过点，则代数式的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把点代入中，
∴ab=-2；
故答案为：A.
【分析】把点代入反比例函数解析式中即可求解.
11．（2023八下·宁武期中）对于函数，下列说法错误的是（ ）
A．它的图像分布在第一、三象限
B．它的图像与直线无交点
C．当时，y的值随x的增大而增大
D．当时，y的值随x的增大而减小
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】A项正确
；C项错误
；D项正确
B项正确
故答案为：C
【分析】该题考查学生对函数图象的记忆及图像在各象限内的单调性，需要学生记忆函数图象的性质
12．（2023八下·东阳期末）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（ ）
A．3 B．-6 C．6 D．-3
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：连接AO，
∵AB⊥x轴，
∴AB∥OC，
∴S△OAB=S△CAB=3.
∵S△OAB=，k<0，
∴k=-6.
故答案为：-6.
【分析】连接AO，则AB∥OC，根据等底等高的三角形面积相等可得S△OAB=S△CAB=3，由反比例函数系数k的几何意义可得S△OAB=，据此求解.
二、填空题
13．（2023·长沙）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数为常数，，的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵的面积为，
∴，
故答案为：
【分析】根据反比例函数k的几何意义结合题意即可求解。
14．（2022·郴州）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻 三者之间的关系： ，测得数据如下：
100 200 220 400
2.2 1.1 1 0.55
那么，当电阻 时，电流 A.
【答案】4
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵
∴ V，
∴I=
∴当电阻 时， A.
故答案为：4.
【分析】将R=100、I=2.2代入I=中可得U的值，据此可得R与I的关系式，然后将R=55代入求解可得I的值.
15．（2022·河池）如图，点P（x，y）在双曲线的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的解析式为 .
【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴，
∵图象位于第二象限内，
∴，
∴该反比例函数的解析式为.
故答案为：.
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AOP=|k|=2，结合反比例函数图象所在的象限可确定出k的值，据此可得函数解析式.
16．（2020·云南）已知一个反比例函数的图象经过点 ，若该反比例函数的图象也经过点 ，则 .
【答案】-3
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设反比例函数关系式为y＝ （k≠0），
∵反比例函数图象经过点（3，1），
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数解析式为y＝ ，
∵图象经过 ，
∴-1×m＝3，
解得：m＝ 3，
故答案为：-3.
【分析】首先设反比例函数关系式为y＝ ，根据图象所经过的点可得k＝3×1＝3，进而得到函数解析式，再根据反比例函数图象上点的坐标特点可得m的值.
17．（2023八下·拱墅期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数的图象交于 A（1，y1）B（-3，y2）．请根据图象写出不等式的解集 ．
【答案】-3＜x＜0或x>1
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：求关于x的不等式的解集，就是求不等式x+b＞的解集，
由图象可得其解集为：-3＜x＜0或x>1，
故答案为：-3＜x＜0或x>1.
【分析】求关于x的不等式的解集，就是求不等式x+b＞的解集，从图象来看，就是求一次函数的图象在反比例函数的图象的上方部分相应的自变量的取值范围，结合交点坐标即可得出答案.
18．（2021九上·乳山期中）如图，等边△ABO的顶点O与原点重合，点A的坐标是（-4，0），点B在第二象限．反比例函数的图象经过点B，则k的值是 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABO为等边三角形，且点A的坐标为(-4，0)，
∴点B的坐标为(-2，)，
∵反比例函数的图象经过点B，
∴.
故答案为：
【分析】先求出点B的坐标，再将点B的坐标代入求出k的值即可。
三、解答题
19．（2023八下·慈溪期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点.
（1）求反比例函数的表达式.
（2）根据图象，直接写出时的取值范围.
【答案】（1）解：反比例函数图象与一次函数图象交于A、B两点，
反比例函数的解析式为.
（2）或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：先由点的坐标求函数解析式，然后解由解析式组成的方程组求出交点的坐标.
（1）先把A，B点坐标代入求出a的值，然后将其代入反比例函数即可得到表达式.
（2）根据图象即可得出答案.
20．（2022九下·泾阳月考）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这个函数的表达式；
（2）当气球的体积是1m3时，气球内的气压是多少千帕？
【答案】（1）解：设p与V的函数的表达式为p=
把点A（0.8，120）代入，
∴这个函数的表达式为p=
（2）解：把V=1代入p= 得：p=96，
当气球的体积为1m'时，气球内的气压是96千帕．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m）的反比例函数， 可设函数的表达式为，由函数图象可知，函数恒过点 A(0.8，120)，把点 A(0.8，120)代入函数表达式即可求出k的值；
（2）把V= 1m3 代入（1）求得的函数表达式即可求出p的值.
21．（2023八下·南浔期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A和点B在x轴的负半轴上，，，以线段AB为边向上作正方形ABCD，反比例函数的图象经过顶点C，且与边AD相交于点E．
（1）当时，求k的值及点E的坐标；
（2）连接OC，CE，OE．
①若的面积为，求该反比例函数的表达式；
②是否存在某一位置，使得．若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵正方形ABCD，，
∴，
∵，
当时，
∴，，
∴；
∴，
令，则
∴；
（2）解：①，，
∴，，，
∴
当时，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴；
②由①知，，
∴，，，
当时，，
∴
化简整理，得，
解得：，（舍去）
∴存在，当时，．
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形ABCD，，得，当时，表示出A和C的坐标，将C的坐标代入函数关系式，解出k，令x=-8，求出y，即为E的坐标；
（2）①表示出A、B、C的坐标，求得k=-4m，再求出E的坐标，根据解出m，得到C的坐标和k的值；
②根据勾股定理，计算CE，当时，，将数据代入求得m的值.
22．（2018·连云港）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x＋b的图像与反比例函数 的图像交于A(4，﹣2)、B(﹣2，n)两点，与x轴交于点C．
（1）求k2，n的值；
（2）请直接写出不等式k1x＋b＜ 的解集；
（3）将x轴下方的图像沿x轴翻折，点A落在点A′处，连接A′B、A′C，求△A′BC的面积．
【答案】（1）解：将A（4，-2）代入 ，得k2=-8，所以y=-
将（-2.n），代入y=- 得n=4.所以k2=-8，n=4
（2）
（3）解：∵点B（-2，n）在反比例函数 上，
当x=-2时，则y=4，则B（-2，4）.
将A（4，-2），B（-2，4）代入 ，可得
，解得
∴一次函数的关系式为 ，与x轴交于点C（2，0）.
图象沿x轴翻折后，得A'（4，2），如图，过点B作BD⊥AA'，交AA'的延长线为D，
，
∴△A'BC的面积为8.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】（2）当k1x＋b＜ 时，表示一次函数值y比反比例函数值小，即在坐标系中，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方时，-24.
【分析】（1）将A（4，-2）代入 ，求k2的值即可；（2）采用图象法，由一次函数y=k1x＋b和反比例函数y= 的图象，当k1x＋b＜ 时，表示一次函数值y比反比例函数值小，根据图象写出x的取值范围；（3）由 计算面积即可.
23．（2023八下·玄武期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，.
（1）若，求与的值；
（2）关于的不等式的解集为 ；
（3）连接，，若的面积为12，则的值为 .
【答案】（1）解：当时，
将代入得，解得，
∴反比例函数的表达式为.
将代入得.
（2）或0（3）9
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：（2）由图象可得kx+n<的解集为x<-6或0故答案为：x<-6或0（3）分别过A、B向x轴、y轴作垂线交于点G，交x轴于点E，交y轴于点F，
∴S△AOB+S△BOG+S△AOG=S△ABG，
∴12+×8(-b)+×2(a-b)=×8(a-b)，
∴3a+b=12.
∵A（2，a）、B（-6，b）在y=的图象上，
∴a=，b=，
∴=12，
∴m=9.
故答案为：9.
【分析】（1）将A（2，6）代入y=中可得m的值，据此可得反比例函数的表达式，然后将x=-6代入进行计算就可求出b的值；
（2）根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方部分所对应的x的范围即可；
（3）分别过A、B向x轴、y轴作垂线交于点G，交x轴于点E，交y轴于点F，则S△AOB+S△BOG+S△AOG=S△ABG，结合三角形的面积公式可得3a+b=12，根据点A、B在反比例函数图象上可得a=，b=，代入求解即可.
24．（2023·东营）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：
∴反比例函数的表达式为．
∵在反比例函数的图象上，
∴，
解得，（舍去）．
∴点A的坐标为．
∵点A，B在一次函数的图象上，
把点，分别代入，得，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：∵点C为直线与y轴的交点，
∴把代入函数，得
∴点C的坐标为
∴，
∴
．
（3）或
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（3）由图象可得，不等式 的解集是 或 ．
【分析】（1）运用待定系数法结合题意即可求出反比例函数和一次函数的解析式；
（2）先根据题意结合一次函数的性质即可求出点C的坐标，进而即可得到OC，再根据即可求解；
（3）直接观察图像结合交点坐标即可求解。
25．（2023·郴州）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离（）（），记录容器中加入的水的质量，得到下表：
托盘与点的距离 30 25 20 15 10
容器与水的总质量 10 12 15 20 30
加入的水的质量 5 7 10 15 25
把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象．
（1）请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象；
（2）观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式；
②求关于的函数表达式；
③当时，随的增大而 （填“增大”或“减小”），随的增大而 （填“增大”或“减小”），的图象可以由的图象向 （以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．
（3）若在容器中加入的水的质量（g）满足，求托盘与点的距离（cm）的取值范围．
【答案】（1）解：函数图象如图所示，
（2）解：①②③减小；减小；下
（3）解：当时，解得，
当时，解得，
∴托盘与点的距离（）的取值范围．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】（2） ①观察图象可知， 可能是 反比例函数，设 ，
把 的坐标代入 ，得 ，
经检验，其余各个点坐标均满足 ，
∴ 关于 的函数表达式 ；
②观察表格以及①可知， 可能与 成反比例，设 ，
把 的坐标代入 ，得 ，
经检验，其余各个点坐标均满足 ，
∴ 关于 的函数表达式 ；
③由图图像可知，当 时， 随 的增大而减小， 随 的增大而减小， 的图象可以由 的图象向下平移得到，
故答案为：减小，减小，下；
【分析】（1）平滑的连接平面直角坐标系中的点即可求解；
（2）①先观察图象可知， 可能是 反比例函数，设 ，进而待定系数法求出反比例函数的解析式，再检验即可求解；②观察表格以及①可知， 可能与 成反比例，设 ，进而即可求解；③根据反比例函数的性质即可求解；
（3）根据反比例函数的性质代入和即可求解。
1 / 1北师大版数学九年级上册同步练习——第六章《反比例函数》综合练习A
一、选择题
1．（2023·包头）从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和.若点的坐标记作，则点在双曲线上的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·怀化）已知压力、压强与受力面积之间有如下关系式：．当F为定值时，下图中大致表示压强p与受力面积S之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·临沂）正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目．一段工程施工需要运送土石方总量为，设土石方日平均运送量为V（单位：/天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（ ）
A．反比例函数关系 B．正比例函数关系
C．一次函数关系 D．二次函数关系
4．（2023·云南）若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为（ ）
A．3 B． C． D．
5．（2022·南京）反比例函数（为常数，）的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
6．（2022·郴州）如图，在函数 的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数 的图象于点B，连接OA，OB，则 的面积是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
7．（2022·东营）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
8．（2023八下·杭州期末）若反比例函数的图象过点，则该图象必经过第（ ）象限
A．一、三 B．二、四 C．一、二 D．三、四
9．（2023八下·慈溪期末）对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．点在它的图象上 B．它的图象在第二、四象限
C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小
10．（2023·双柏模拟）已知反比例函数的图象过点，则代数式的值为（ ）
A． B．2 C． D．
11．（2023八下·宁武期中）对于函数，下列说法错误的是（ ）
A．它的图像分布在第一、三象限
B．它的图像与直线无交点
C．当时，y的值随x的增大而增大
D．当时，y的值随x的增大而减小
12．（2023八下·东阳期末）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（ ）
A．3 B．-6 C．6 D．-3
二、填空题
13．（2023·长沙）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数为常数，，的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则 ．
14．（2022·郴州）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻 三者之间的关系： ，测得数据如下：
100 200 220 400
2.2 1.1 1 0.55
那么，当电阻 时，电流 A.
15．（2022·河池）如图，点P（x，y）在双曲线的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的解析式为 .
16．（2020·云南）已知一个反比例函数的图象经过点 ，若该反比例函数的图象也经过点 ，则 .
17．（2023八下·拱墅期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数的图象交于 A（1，y1）B（-3，y2）．请根据图象写出不等式的解集 ．
18．（2021九上·乳山期中）如图，等边△ABO的顶点O与原点重合，点A的坐标是（-4，0），点B在第二象限．反比例函数的图象经过点B，则k的值是 ．
三、解答题
19．（2023八下·慈溪期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点.
（1）求反比例函数的表达式.
（2）根据图象，直接写出时的取值范围.
20．（2022九下·泾阳月考）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这个函数的表达式；
（2）当气球的体积是1m3时，气球内的气压是多少千帕？
21．（2023八下·南浔期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A和点B在x轴的负半轴上，，，以线段AB为边向上作正方形ABCD，反比例函数的图象经过顶点C，且与边AD相交于点E．
（1）当时，求k的值及点E的坐标；
（2）连接OC，CE，OE．
①若的面积为，求该反比例函数的表达式；
②是否存在某一位置，使得．若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
22．（2018·连云港）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x＋b的图像与反比例函数 的图像交于A(4，﹣2)、B(﹣2，n)两点，与x轴交于点C．
（1）求k2，n的值；
（2）请直接写出不等式k1x＋b＜ 的解集；
（3）将x轴下方的图像沿x轴翻折，点A落在点A′处，连接A′B、A′C，求△A′BC的面积．
23．（2023八下·玄武期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，.
（1）若，求与的值；
（2）关于的不等式的解集为 ；
（3）连接，，若的面积为12，则的值为 .
24．（2023·东营）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式的解集．
25．（2023·郴州）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离（）（），记录容器中加入的水的质量，得到下表：
托盘与点的距离 30 25 20 15 10
容器与水的总质量 10 12 15 20 30
加入的水的质量 5 7 10 15 25
把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象．
（1）请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象；
（2）观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式；
②求关于的函数表达式；
③当时，随的增大而 （填“增大”或“减小”），随的增大而 （填“增大”或“减小”），的图象可以由的图象向 （以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．
（3）若在容器中加入的水的质量（g）满足，求托盘与点的距离（cm）的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；概率公式
【解析】【解答】解：从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，点A的坐标共有6种情况：（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），并且它们出现的可能性相等，点A坐标在双曲线上有2种情况：（2，3），（3，2），所以， 点在双曲线上的概率为.
故答案为：A.
【分析】先列出A的坐标的所有可能情况是6种，再根据反比例函数的性质求出A坐标在双曲线上的情况有2种，从而得到点A在双曲线上的概率。
2．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴当F为定值时， 压强p与受力面积S之间函数关系是反比例函数，
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出，再结合函数图象判断即可。
3．【答案】A
【知识点】反比例函数的定义；列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∴，
即V与t满足反比例函数关系，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出，再求出，最后求解即可。
4．【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】因为A（1.3）是反比例函数上的点，所以k=xy=1×3=3.
故答案为：A。
【分析】根据反比例函数图象上的点符合反比例函数关系是，直接代入关系式，求得k的值即可。
5．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵k≠0，
∴k2＞0，
∴ 反比例函数（为常数，）的图象位于第一、三象限.
故答案为：A.
【分析】反比例函数(k≠0)中，当k＞0时，图象的两支分别位于第一、三象限，当k＜0时，图象的两支分别位于第二、四象限，据此判断可得答案.
6．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：令AB与y轴的交点为C，
∵点A、B分别在反比例函数y=、y=上，
∴S△AOC=1，S△BOC=4，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=5.
故答案为：B.
【分析】令AB与y轴的交点为C，根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AOC=1，S△BOC=4，相加即可.
7．【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由题意得不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围，
∴不等式的解集为或，
故答案为：A．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
8．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象过点
∴k=m2＞0
∴反比例函数的图象必经过第一、三象限.
故答案为：A.
【分析】 由点 的坐标先求出反比例系数k，再根据k的大小确定图象经过哪两个象限即可.
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：A、将x=-2代入函数，得到y=1，则（-2，1）在它的图像上，故A项正确，不符合题意；
B、根据反比例函数画出图象，可得图象在第二，四象限，故B项正确，不符合题意
C、根据图象可得当x＞0时，y随x的增大而增大，故C项正确，不符合题意；
D、根据图象，当x＜0时，y随x的增大而减小，故D项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】我们可以利用反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质对A、B、C、D，进行判断.
10．【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把点代入中，
∴ab=-2；
故答案为：A.
【分析】把点代入反比例函数解析式中即可求解.
11．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】A项正确
；C项错误
；D项正确
B项正确
故答案为：C
【分析】该题考查学生对函数图象的记忆及图像在各象限内的单调性，需要学生记忆函数图象的性质
12．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：连接AO，
∵AB⊥x轴，
∴AB∥OC，
∴S△OAB=S△CAB=3.
∵S△OAB=，k<0，
∴k=-6.
故答案为：-6.
【分析】连接AO，则AB∥OC，根据等底等高的三角形面积相等可得S△OAB=S△CAB=3，由反比例函数系数k的几何意义可得S△OAB=，据此求解.
13．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵的面积为，
∴，
故答案为：
【分析】根据反比例函数k的几何意义结合题意即可求解。
14．【答案】4
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵
∴ V，
∴I=
∴当电阻 时， A.
故答案为：4.
【分析】将R=100、I=2.2代入I=中可得U的值，据此可得R与I的关系式，然后将R=55代入求解可得I的值.
15．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴，
∵图象位于第二象限内，
∴，
∴该反比例函数的解析式为.
故答案为：.
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AOP=|k|=2，结合反比例函数图象所在的象限可确定出k的值，据此可得函数解析式.
16．【答案】-3
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设反比例函数关系式为y＝ （k≠0），
∵反比例函数图象经过点（3，1），
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数解析式为y＝ ，
∵图象经过 ，
∴-1×m＝3，
解得：m＝ 3，
故答案为：-3.
【分析】首先设反比例函数关系式为y＝ ，根据图象所经过的点可得k＝3×1＝3，进而得到函数解析式，再根据反比例函数图象上点的坐标特点可得m的值.
17．【答案】-3＜x＜0或x>1
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：求关于x的不等式的解集，就是求不等式x+b＞的解集，
由图象可得其解集为：-3＜x＜0或x>1，
故答案为：-3＜x＜0或x>1.
【分析】求关于x的不等式的解集，就是求不等式x+b＞的解集，从图象来看，就是求一次函数的图象在反比例函数的图象的上方部分相应的自变量的取值范围，结合交点坐标即可得出答案.
18．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABO为等边三角形，且点A的坐标为(-4，0)，
∴点B的坐标为(-2，)，
∵反比例函数的图象经过点B，
∴.
故答案为：
【分析】先求出点B的坐标，再将点B的坐标代入求出k的值即可。
19．【答案】（1）解：反比例函数图象与一次函数图象交于A、B两点，
反比例函数的解析式为.
（2）或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：先由点的坐标求函数解析式，然后解由解析式组成的方程组求出交点的坐标.
（1）先把A，B点坐标代入求出a的值，然后将其代入反比例函数即可得到表达式.
（2）根据图象即可得出答案.
20．【答案】（1）解：设p与V的函数的表达式为p=
把点A（0.8，120）代入，
∴这个函数的表达式为p=
（2）解：把V=1代入p= 得：p=96，
当气球的体积为1m'时，气球内的气压是96千帕．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m）的反比例函数， 可设函数的表达式为，由函数图象可知，函数恒过点 A(0.8，120)，把点 A(0.8，120)代入函数表达式即可求出k的值；
（2）把V= 1m3 代入（1）求得的函数表达式即可求出p的值.
21．【答案】（1）解：∵正方形ABCD，，
∴，
∵，
当时，
∴，，
∴；
∴，
令，则
∴；
（2）解：①，，
∴，，，
∴
当时，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴；
②由①知，，
∴，，，
当时，，
∴
化简整理，得，
解得：，（舍去）
∴存在，当时，．
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形ABCD，，得，当时，表示出A和C的坐标，将C的坐标代入函数关系式，解出k，令x=-8，求出y，即为E的坐标；
（2）①表示出A、B、C的坐标，求得k=-4m，再求出E的坐标，根据解出m，得到C的坐标和k的值；
②根据勾股定理，计算CE，当时，，将数据代入求得m的值.
22．【答案】（1）解：将A（4，-2）代入 ，得k2=-8，所以y=-
将（-2.n），代入y=- 得n=4.所以k2=-8，n=4
（2）
（3）解：∵点B（-2，n）在反比例函数 上，
当x=-2时，则y=4，则B（-2，4）.
将A（4，-2），B（-2，4）代入 ，可得
，解得
∴一次函数的关系式为 ，与x轴交于点C（2，0）.
图象沿x轴翻折后，得A'（4，2），如图，过点B作BD⊥AA'，交AA'的延长线为D，
，
∴△A'BC的面积为8.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】（2）当k1x＋b＜ 时，表示一次函数值y比反比例函数值小，即在坐标系中，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方时，-24.
【分析】（1）将A（4，-2）代入 ，求k2的值即可；（2）采用图象法，由一次函数y=k1x＋b和反比例函数y= 的图象，当k1x＋b＜ 时，表示一次函数值y比反比例函数值小，根据图象写出x的取值范围；（3）由 计算面积即可.
23．【答案】（1）解：当时，
将代入得，解得，
∴反比例函数的表达式为.
将代入得.
（2）或0（3）9
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：（2）由图象可得kx+n<的解集为x<-6或0故答案为：x<-6或0（3）分别过A、B向x轴、y轴作垂线交于点G，交x轴于点E，交y轴于点F，
∴S△AOB+S△BOG+S△AOG=S△ABG，
∴12+×8(-b)+×2(a-b)=×8(a-b)，
∴3a+b=12.
∵A（2，a）、B（-6，b）在y=的图象上，
∴a=，b=，
∴=12，
∴m=9.
故答案为：9.
【分析】（1）将A（2，6）代入y=中可得m的值，据此可得反比例函数的表达式，然后将x=-6代入进行计算就可求出b的值；
（2）根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方部分所对应的x的范围即可；
（3）分别过A、B向x轴、y轴作垂线交于点G，交x轴于点E，交y轴于点F，则S△AOB+S△BOG+S△AOG=S△ABG，结合三角形的面积公式可得3a+b=12，根据点A、B在反比例函数图象上可得a=，b=，代入求解即可.
24．【答案】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：
∴反比例函数的表达式为．
∵在反比例函数的图象上，
∴，
解得，（舍去）．
∴点A的坐标为．
∵点A，B在一次函数的图象上，
把点，分别代入，得，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：∵点C为直线与y轴的交点，
∴把代入函数，得
∴点C的坐标为
∴，
∴
．
（3）或
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（3）由图象可得，不等式 的解集是 或 ．
【分析】（1）运用待定系数法结合题意即可求出反比例函数和一次函数的解析式；
（2）先根据题意结合一次函数的性质即可求出点C的坐标，进而即可得到OC，再根据即可求解；
（3）直接观察图像结合交点坐标即可求解。
25．【答案】（1）解：函数图象如图所示，
（2）解：①②③减小；减小；下
（3）解：当时，解得，
当时，解得，
∴托盘与点的距离（）的取值范围．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】（2） ①观察图象可知， 可能是 反比例函数，设 ，
把 的坐标代入 ，得 ，
经检验，其余各个点坐标均满足 ，
∴ 关于 的函数表达式 ；
②观察表格以及①可知， 可能与 成反比例，设 ，
把 的坐标代入 ，得 ，
经检验，其余各个点坐标均满足 ，
∴ 关于 的函数表达式 ；
③由图图像可知，当 时， 随 的增大而减小， 随 的增大而减小， 的图象可以由 的图象向下平移得到，
故答案为：减小，减小，下；
【分析】（1）平滑的连接平面直角坐标系中的点即可求解；
（2）①先观察图象可知， 可能是 反比例函数，设 ，进而待定系数法求出反比例函数的解析式，再检验即可求解；②观察表格以及①可知， 可能与 成反比例，设 ，进而即可求解；③根据反比例函数的性质即可求解；
（3）根据反比例函数的性质代入和即可求解。
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