北师大版数学九年级上册同步练习——第六章《反比例函数》综合练习B
一、选择题
1．（2023·株洲）下列哪个点在反比例函数的图像上？（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵k=4，
∴在反比例函数上的点横坐标和纵坐标相乘等于4，
∴1×（-4）=4×（-1）=-4≠4，2×4=8，，
∴点在反比例函数的图像上，
故答案为：D
【分析】根据反比例函数图象上的点的特征结合题意即可求解。
2．（2023·泰安）一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、根据直线的位置可以判断a＞0，b＞0，∴ab＞0，∴双曲线的两个分支应该在第一、三象限，所以A不符合题意；
B、根据直线的位置可以判断a＜0，b＞0，∴ab＜0，∴双曲线的两个分支应该在第二、四象限，所以B不符合题意；
C、根据直线的位置可以判断a＞0，b＜0，∴ab＜0，∴双曲线的两个分支应该在第二、四象限，所以C不符合题意；
D、根据直线的位置可以判断a＜0，b＞0，∴ab＜0，∴双曲线的两个分支应该在第二、四象限，所以D符合题意；
故答案为：D。
【分析】对于每个选项，首先根据直线的位置，判断a、b的正负，从而得出ab的正负，然后判断出双曲线的位置，选择与与图象一致的选项即可。
3．（2023·广西）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：设点A，
由题意可知点B，点D，点C，
∴S2=S4=1，S1=k，S3=，
∵，
∴，
解之：k=2.
故答案为：C
【分析】设点A，利用函数解析式，分别表示出点B，D，C的坐标，由此可得到S2=S4=1，S1=k，S3=，再根据已知可得到关于k的方程，解方程求出k的值.
4．（2023·福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接正方形的对角线，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
∵四边形为正方形，
∴AO=BO.
∵AO=BO，∠ACO=∠BDO=90°，∠CAO=∠BOD，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴S△AOC=S△OBD==，
∴n=-3.
故答案为：A.
【分析】连接正方形的对角线，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，利用AAS证明△AOC≌△OBD，结合反比例函数系数k的几何意义可得S△AOC=S△OBD==，据此可得n的值.
5．（2023·金华）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象经过点A（2，3），B（m，-2）
∴k=2×3=-2m，
∴m=-3，
∴B（-3，-2），
∴ 不等式的解为-3＜x＜0或x＞2.
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积都等于比例系数k可得k=2×3=-2m，求解可得m的值，从图象看，求不等式的解就是求一次函数的图象在反比例函数图象上方部分相应的自变量的取值范围，结合交点坐标即可得出答案.
6．（2022·枣庄）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵点A的坐标为（4，0），
∴OA＝4，
∵AB＝5，
∴OB＝＝3，
在△ABO和△BCE中，，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，
∴点C的坐标为（﹣3，1），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，
∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3，
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理先求出OB=3，再求出△ABO≌△BCE，最后求解即可。
7．（2023八下·眉山期末）如图，点B在y轴的正半轴上，点C在反比例函数的图象上，菱形的面积为8，则k的值为（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；菱形的性质
【解析】【解答】∵S菱形OABC=8，
∴，
又∵反比例函数图象在第二象限，
∴k＜0，
∴k=-4.
故答案为：A。
【分析】根据菱形的性质可以得出等于菱形面积的一半，再根据图象所在的象限，确定k的正负号即可。
8．（2023八下·嘉兴期末）如图，在第一象限内，点A是一次函数图象上一动点，点B，C的坐标分别是，，若反比例函数和的图象分别经过点A，D，则下列代数式的值为定值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；平行四边形的性质；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵点A在一次函数y=x的图象上，
∴可设A（a，a）.
∵四边形ABCD为平行四边形，B（b，1），C（b+1，2），
∴点B向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位得到点C，
∴D（a+1，a+1）.
∵点A、D分别在y=、y=的图象上，
∴a2=k1，(a+1)2=k2，
∴=a，=a+1，
∴-=1，为定值.
故答案为：D.
【分析】由题意可设A（a，a），根据平行四边形的性质以及点的平移规律可得D（a+1，a+1），由点A、D分别在y=、y=的图象上可得a2=k1，(a+1)2=k2，然后表示出，，据此判断.
9．（2023八下·余姚期末）已知点，，都在反比例函数的图象上，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：如图，
，
在图象所在的每一个象限内，随的增大而增大，
，
故答案为：C.
【分析】对于反比例函数，当k>0时，在图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在图象所在的每一个象限内，y随x的增大而增大.
10．（2023八下·东阳期末）如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为点为轴上的一点，连接，若的面积为，则的值是（ ）
A．3 B．-6 C．6 D．-3
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图，作，
点是反比例函数的图象上的一点，
设，
轴，，
，，
，
的面积为，
，
，
故答案为：B.
【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，作出AB边上的高是解题关键.设，利用点A坐标表示出的边AB及AB边上的高线CD，再通过的面积求出k的值.
11．（2023·富锦模拟）如图，菱形在第二象限内，，反比例函数的图象经过点，交边于点，若的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，过A作AE⊥x轴于点E，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AO∥CB，OA=OC，∠AOC=60°，
∴△AOC为等边三角形，且AE⊥CO，
∴S△AOE=S△AOC=S△AOD=，
∴=.
∵k<0，
∴k=.
故答案为：B.
【分析】连接AC，过A作AE⊥x轴于点E，由菱形的性质可得AO∥CB，OA=OC，∠AOC=60°，退出△AOC为等边三角形，且AE⊥CO，结合反比例函数系数k的几何意义可得S△AOE==S△AOC=S△AOD=，求解即可.
12．（2021九上·沙坪坝月考）如图， 的边 在x轴上，边 交y轴于点E， ，反比例函数 过C点，且交线段 于D， ，连接 ，若 ，则k的值为（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过C点作CN⊥y轴于N点，过C点作CE⊥x轴于E点，过D点作DF⊥x轴于F点，
设CN=2a，则OE=2a
∵CN AE
∴△AOE∽△CNE，
∴
∴AO=a
∵C点在函数 上
∴C（2a， ）
∴CE=NO=
∵CE DF
∴△BDF∽△BCE，
∵
∴
∴DF= ，
∵D点在函数 上
∴D点坐标为（8a， ）
∴EF=8a-2a=6a
∵
∴BF=2a
∴B（10a，0）
∴AB=11a
∵
∴
解得k=4
故答案为：C.
【分析】过C点作CN⊥y轴于N点，过C点作CE⊥x轴于E点，过D点作DF⊥x轴于F点，设CN=2a，则OE=2a，易证△AOE∽△CNE，△BDF∽△BCE，由相似三角形的性质可得AO=a，DF=，将点C、D的坐标代入中可得AO=a，BF=2a，则B（10a，0），表示出AB，然后根据三角形的面积公式进行计算.
二、填空题
13．（2023八下·东阳期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，E为正方形对角线的交点，反比例函数的图象经过点C，E．若点，则k的值是 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥y轴于点F，
∵点A（4，0），
∴OA=4，
∴∠BFC=∠AOB=90°，∠ABO+∠OAB=90°，
∵正方形ABCD，
∴BC=AB，∠CBA=90°，
∴∠CBF+∠ABO=90°，
∴∠CBF=∠ABO，
在△ABO和△BCF中
∴△ABO≌△BCF（AAS）
∴OA=BF=4，CF=OB，
∵点C，E在反比例函数图象上，点E是AC的中点，
设，则点
∴，
解之：，
∴，
∴，
∴点
∴
【分析】过点C作CF⊥y轴于点F，利用点A的坐标可求出OA的长，利用正方形的性质及余角的性质可证得BC=AB，∠CBF=∠ABO，利用AAS证明△ABO≌△BCF，利用全等三角形的性质可证得OA=BF=4，CF=OB；设，利用点A的坐标及中点坐标公式可表示出点E的坐标，将点E代入函数解析式，可求出m的值，即可得到CF，OF的长，由此可得到点C的坐标；然后将点C的坐标代入函数解析式，可求出k的值.
14．（2023·徐州）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点轴于点．一次函数与交于点，若为的中点，则的值为 ．
【答案】4
【知识点】反比例函数的图象；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：设一次函数图象与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，则M（-1，0），N（0，1），
∴OM=ON=1.
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，PA=PB，
∴四边形AOBP为正方形，
∴PB∥x轴，PB=OB，
∴△DBN∽△MON，
∴=1，
∴BD=BN.
∵D为PB的中点，
∴N为OB的中点，
∴OB=2ON=2，
∴PB=OB=2，
∴P（2，2）.
∵点P在反比例函数y=图象上，
∴k=2×2=4.
故答案为：4.
【分析】设一次函数图象与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，则M（-1，0），N（0，1），OM=ON=1，易得四边形AOBP为正方形，则PB∥x轴，PB=OB，根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得△DBN∽△MON，由相似三角形的性质可得BD=BN，则N为OB的中点，OB=2ON=2，表示出点P的坐标，然后代入y=中就可求出k的值.
15．（2023·齐齐哈尔）如图，点A在反比例函数图象的一支上，点B在反比例函数图象的一支上，点C，D在x轴上，若四边形ABCD是面积为9的正方形，则实数k的值为 .
【答案】-6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设，，
四边形是正方形，
，
，，，，
，
正方形的面积为9，
，
.
故答案为：-6.
【分析】本题考查的是反比例函数比例系数的几何意义，观察图象用含有k的代数式表示正方形的面积求解是解题关键.
16．（2022·衢州）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE=CE，CD=2BD，，则k= ．
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点C作CM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，
∵点C在反比例函数图象上，
设点C
∴，
∵CM∥DN∥OE，AE=CE，CD=2BD，
∴，，
∴OA=OM=m，，
∴
解之：x=3m，
∴ON=3m，MN=3m-m=2m，
∴BN=m，
∴AB=m+m+2m+m=5m，
∵
解之：.
故答案为：.
【分析】过点C作CM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，设点C，可得到OM，CM的长；再利用CM∥DN∥OE，AE=CE，CD=2BD，利用平行线分线段成比例定理可表示出OA，DN的长，由此可得到关于x的方程，解方程表示出x，即可表示出ON，MN，BN，AB的长，然后利用△ABC的面积为6，可求出k的值.
17．（2023·威海）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接．若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：过点A作CD⊥y轴于点D，过点B作CB⊥AD交AD的延长线与点C，如图所示：
∴∠ODC=∠C=90°，
∵点的坐标为，
∴OD=2，DA=m，
∵，
∴∠OAD=∠ABC，
∴△ABC≌△OAD，
∴CA=DO=2，BC=DA=m，
∴B（m+2，2-m），
∵点在反比例函数的图象上，
∴2m=（2-m）（2+m），
解得，
∴k=，
故答案为：
【分析】过点A作CD⊥y轴于点D，过点B作CB⊥AD交AD的延长线与点C，进而得到∠ODC=∠C=90°，根据点A的坐标即可得到OD=2，DA=m，再根据题意得到∠OAD=∠ABC，进而根据三角形全等的判定与性质即可得到CA=DO=2，BC=DA=m，进而得到B（m+2，2-m），再根据反比例函数的性质即可得到2m=（2-m）（2+m），进而解出m即可求解。
18．（2023·广安）在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在直线上，若点的坐标为，且均为等边三角形．则点的纵坐标为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；等边三角形的性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：过点A1作A1M⊥x轴交直线于点M，过点B1作B1C⊥x轴于点C，如图所示：
∵点的坐标为，
∴A1O=2，
当x=2时，，
∴M（2，），
∴A1M=，
∴，
∴，
∵均为等边三角形，
∴
∴，
∴，
同理可得点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
∴点的纵坐标为，
∴点的纵坐标为，
故答案为：
【分析】过点A1作A1M⊥x轴交直线于点M，过点B1作B1C⊥x轴于点C，进而得到，再根据等边三角形的性质即可得到，进而即可得到，得到点B1的纵坐标，同理即可求出的纵坐标、的纵坐标、的纵坐标、进而即可得到规律，再结合题意即可求解。
三、解答题
19．（2023·菏泽）如图，已知坐标轴上两点，连接，过点B作，交反比例函数在第一象限的图象于点．
（1）求反比例函数和直线的表达式；
（2）将直线向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．
【答案】（1）解：如图，过点C作轴于点D，
则，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点，
将点C代入中，
可得，
∴，
设的表达式为，
将点代入可得，
解得：，
∴的表达式为；
（2）解：直线l的解析式为，
当两函数相交时，可得，
解得，，
代入反比例函数解析式，
得，
∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点C作轴于点D，则，，根据题意进行转化即可得到，再运用相似三角形的判定与性质证明即可得到，再通过点A和点B的坐标即可得到OA和OB的长，进而代入即可求出BD，从而得到OD，进而得到点C，将点C代入反比例函数即可得到k，设的表达式为，将点代入即可求解；
（2）根据题意联立解析式即可求出交点坐标，进而即可求解。
20．（2023·济宁）如图，正比例函数和反比例函数的图像交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线向上平移3个单位后，与轴交于点，与的图像交于点，连接，求的面积．
【答案】（1）解：把代入中，，
解得，
∴，
把代入中，，
解得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：将直线向上平移3个单位后，其函数解析式为，
当时，，
∴点B的坐标为，
设直线的函数解析式为，
将，代入可得，
解得，
∴直线的函数解析式为，
联立方程组，解得，
∴C点坐标为，
过点C作轴，交于点，
在中，当时，，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）先根据正比例函数的性质求出点A，进而将点A代入反比例函数解析式即可求解；
（2）先根据平移即可得到函数解析式，进而得到点B的坐标，再运用待定系数法即可求出直线AB的解析式，再联立解析式即可得到点C的坐标，过点C作轴，交于点，根据一次函数的性质即可求出CN，进而根据三角形的面积即可求解。
21．（2023·常德）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点A和点．
（1）求m的值和反比例函数解析式；
（2）当时，求x的取值范围．
【答案】（1）解：将点代入得：
解得：
将代入得：
∴
（2）解：由得：，解得
所以的坐标分别为
由图形可得：当或时，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求一次函数和反比例函数即可求解；
（2）先求出两个函数的交点坐标，再结合题意观察图像即可求解。
22．（2023·杭州）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．
（1）求的值．
（2）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．
【答案】（1）解：∵点A的横坐标是2，
∴将代入
∴，
∴将代入得，，
∴，
∵点B的纵坐标是，
∴将代入得，，
∴，
∴将代入得，，
∴解得，
∴；
（2）解：如图所示，
由题意可得，，，
∴设CD所在直线的表达式为，
∴，解得，
∴，
∴当时，，
∴直线CD经过原点．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将点A的横坐标代入直线y2=k2（x-2）+5算函数y的值，可得点A的坐标为（2，5），再将点A的坐标代入反比例函数 可求出k1的值，从而求出反比例函数的解析式，进而将点B的纵坐标-4代入反比例函数的解析式算出对应的x的值，从而得到点B的坐标，接着将点B的坐标代入y2=k2（x-2）+5可求出k2的值；
（2）根据点的坐标与图形的性质易得点C，D（2，-4），然后利用待定系数法可求出直线CD的解析式，再根据一次函数图象上的点的坐标特点，判断点（0，0）是否在直线CD上即可得出结论.
23．（2023·巴中）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，的横坐标为，的纵坐标为．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）观察图象，直接写出不等式的解集．
（3）将直线向上平移个单位，交双曲线于、两点，交坐标轴于点、，连接、，若的面积为，求直线的表达式．
【答案】（1）解：正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，
、关于原点对称，
的横坐标为，的纵坐标为，
，，
点在反比例函数的图象上，
，
，
反比例函数的表达式为；
（2）解：不等式的解集为或
（3）解：方法一：连接，作轴于点，
在直线上，
，解得，
直线的表达式为，
，
，
，
，
，
，
，
直线为．
方法二：
连接，作轴于，
在直线上，
，
直线的表达式为，
，
，
，
，
，
，
设直线的表达式为，
代入点的坐标得，
解得，
直线为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）首先根据反比例函数图象的对称性得出A、B的坐标，然后把其一代入中，即可求得 反比例函数的表达式；
（2）观察图像直接写出解集即可；
（3）首先求得直线AB的表达式为：，因为AB∥CD，所以S△OBE=S△OBD，根据两三角形面积相等，可求得OE=10，所以E（0，10），利用待定系数法，即可求得直线CD的表达式。
24．（2023·泰安）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，作轴，垂足为点，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在第二象限内，当时，直接写出的取值范围；
（3）点在轴负半轴上，连接，且，求点坐标．
【答案】（1）解：∵，轴，
∴，点的纵坐标为，
∵点在图象上，
∴当时，，解得：，
∴点坐标为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）
（3）解：如图，过作轴于点，
∵轴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由得：时，，解得：，
∴点，
∴，，
∴，
∴，
∴点．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（2）由（1）知：y1=-2x+2与在第二象限相较于点A（-1，4），∴在第二象限内，当y1＜y2时，-1＜x＜0.
【分析】（1）先根据点A在直线y1=-2x+2上，求得点A的坐标，再根据点A在上，求得k的值，从而得出反比例函数解析式；
（2）根据一次函数与反比例函数在第二象限内的交点坐标，结合函数图象，直接写出x的取值范围即可；
（3）因为点P在X轴上，所以纵坐标为0，要求点P的横坐标，只需求出PO的长度即可。如图，过A作AM⊥x轴于点M， 根据点D是直线y1=-2x+2与x轴的交点，可求得点D的坐标，从而得出OD的长度为1，又OM=OE=1，所以BM=2，根据两点间的距离公式可求得AD的长，然后根据， 可以得出PD的长度。PD-DO是PO的长度，根据点P所在的位置，确定横坐标的正负即可。
25．（2023·成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l.
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m.若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值.
【答案】（1）点A的坐标为，反比例函数的表达式为；
（2）点C的坐标为或；
（3）点P的坐标为；m的值为3.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵直线与y轴交于点A，
∴当x=0时，y=5，
∴点A的坐标为（0，5），
又∵点B（a，4）在直线上，
∴-a+5=4，
解得：a=1，
∴点B的坐标为（1，4），
∴k=1×4=4，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵过点B作AB的垂线l，
∴设直线l的解析式为：y=x+b，
∵点B在直线l上，
∴1+b=4，
∴b=3，
∴直线l的解析式为：y=x+3，
设C（m，m+3），
∵点A的坐标为（0，5），点B的坐标为（1，4），
∴AB=，，
∵的面积为5，
∴，
解得：m=6或m=-4，
∴点C的坐标为或；
（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，
∴点B的对应点也在直线l上，设为E点，
则点A的对应点为D，
由题意可得：，
解得：或，
∴E (-4，-1)，
如图所示：
∵△PAB△PDE，
∴∠PAB=∠PDE，
∴AB//DE，
∴直线AB与直线DE的一次项系数相等，
设直线DE的解析式为y=-x+b2，
∴-1=- (-4) +b2，
∴b2=-5，
∴直线DE的解析式为y=-x-5，
∵点D在直线DE与双曲线的另一个交点，
∴由题意可得：，
解得：或，
∴D（-1，-4），
∴直线AD的解析式为y=9x+5，
由题意可得：，
解得：，
∴，
∴，，
∴.
【分析】（1）先求出当x=0时，y=5，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求出直线l的解析式为：y=x+3，再利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）先求出E (-4， -1)，再结合图象，利用相似三角形的性质计算求解即可。
1 / 1北师大版数学九年级上册同步练习——第六章《反比例函数》综合练习B
一、选择题
1．（2023·株洲）下列哪个点在反比例函数的图像上？（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·泰安）一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·广西）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2023·福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．3
5．（2023·金华）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
6．（2022·枣庄）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3
7．（2023八下·眉山期末）如图，点B在y轴的正半轴上，点C在反比例函数的图象上，菱形的面积为8，则k的值为（ ）
A． B．4 C． D．2
8．（2023八下·嘉兴期末）如图，在第一象限内，点A是一次函数图象上一动点，点B，C的坐标分别是，，若反比例函数和的图象分别经过点A，D，则下列代数式的值为定值的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023八下·余姚期末）已知点，，都在反比例函数的图象上，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023八下·东阳期末）如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为点为轴上的一点，连接，若的面积为，则的值是（ ）
A．3 B．-6 C．6 D．-3
11．（2023·富锦模拟）如图，菱形在第二象限内，，反比例函数的图象经过点，交边于点，若的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2021九上·沙坪坝月考）如图， 的边 在x轴上，边 交y轴于点E， ，反比例函数 过C点，且交线段 于D， ，连接 ，若 ，则k的值为（ ）
A． B． C．4 D．6
二、填空题
13．（2023八下·东阳期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，E为正方形对角线的交点，反比例函数的图象经过点C，E．若点，则k的值是 ．
14．（2023·徐州）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点轴于点．一次函数与交于点，若为的中点，则的值为 ．
15．（2023·齐齐哈尔）如图，点A在反比例函数图象的一支上，点B在反比例函数图象的一支上，点C，D在x轴上，若四边形ABCD是面积为9的正方形，则实数k的值为 .
16．（2022·衢州）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE=CE，CD=2BD，，则k= ．
17．（2023·威海）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接．若，则的值为 ．
18．（2023·广安）在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在直线上，若点的坐标为，且均为等边三角形．则点的纵坐标为 ．
三、解答题
19．（2023·菏泽）如图，已知坐标轴上两点，连接，过点B作，交反比例函数在第一象限的图象于点．
（1）求反比例函数和直线的表达式；
（2）将直线向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．
20．（2023·济宁）如图，正比例函数和反比例函数的图像交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线向上平移3个单位后，与轴交于点，与的图像交于点，连接，求的面积．
21．（2023·常德）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点A和点．
（1）求m的值和反比例函数解析式；
（2）当时，求x的取值范围．
22．（2023·杭州）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．
（1）求的值．
（2）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．
23．（2023·巴中）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，的横坐标为，的纵坐标为．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）观察图象，直接写出不等式的解集．
（3）将直线向上平移个单位，交双曲线于、两点，交坐标轴于点、，连接、，若的面积为，求直线的表达式．
24．（2023·泰安）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，作轴，垂足为点，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在第二象限内，当时，直接写出的取值范围；
（3）点在轴负半轴上，连接，且，求点坐标．
25．（2023·成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l.
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m.若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵k=4，
∴在反比例函数上的点横坐标和纵坐标相乘等于4，
∴1×（-4）=4×（-1）=-4≠4，2×4=8，，
∴点在反比例函数的图像上，
故答案为：D
【分析】根据反比例函数图象上的点的特征结合题意即可求解。
2．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、根据直线的位置可以判断a＞0，b＞0，∴ab＞0，∴双曲线的两个分支应该在第一、三象限，所以A不符合题意；
B、根据直线的位置可以判断a＜0，b＞0，∴ab＜0，∴双曲线的两个分支应该在第二、四象限，所以B不符合题意；
C、根据直线的位置可以判断a＞0，b＜0，∴ab＜0，∴双曲线的两个分支应该在第二、四象限，所以C不符合题意；
D、根据直线的位置可以判断a＜0，b＞0，∴ab＜0，∴双曲线的两个分支应该在第二、四象限，所以D符合题意；
故答案为：D。
【分析】对于每个选项，首先根据直线的位置，判断a、b的正负，从而得出ab的正负，然后判断出双曲线的位置，选择与与图象一致的选项即可。
3．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：设点A，
由题意可知点B，点D，点C，
∴S2=S4=1，S1=k，S3=，
∵，
∴，
解之：k=2.
故答案为：C
【分析】设点A，利用函数解析式，分别表示出点B，D，C的坐标，由此可得到S2=S4=1，S1=k，S3=，再根据已知可得到关于k的方程，解方程求出k的值.
4．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接正方形的对角线，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
∵四边形为正方形，
∴AO=BO.
∵AO=BO，∠ACO=∠BDO=90°，∠CAO=∠BOD，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴S△AOC=S△OBD==，
∴n=-3.
故答案为：A.
【分析】连接正方形的对角线，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，利用AAS证明△AOC≌△OBD，结合反比例函数系数k的几何意义可得S△AOC=S△OBD==，据此可得n的值.
5．【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象经过点A（2，3），B（m，-2）
∴k=2×3=-2m，
∴m=-3，
∴B（-3，-2），
∴ 不等式的解为-3＜x＜0或x＞2.
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积都等于比例系数k可得k=2×3=-2m，求解可得m的值，从图象看，求不等式的解就是求一次函数的图象在反比例函数图象上方部分相应的自变量的取值范围，结合交点坐标即可得出答案.
6．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵点A的坐标为（4，0），
∴OA＝4，
∵AB＝5，
∴OB＝＝3，
在△ABO和△BCE中，，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，
∴点C的坐标为（﹣3，1），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，
∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3，
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理先求出OB=3，再求出△ABO≌△BCE，最后求解即可。
7．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；菱形的性质
【解析】【解答】∵S菱形OABC=8，
∴，
又∵反比例函数图象在第二象限，
∴k＜0，
∴k=-4.
故答案为：A。
【分析】根据菱形的性质可以得出等于菱形面积的一半，再根据图象所在的象限，确定k的正负号即可。
8．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；平行四边形的性质；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵点A在一次函数y=x的图象上，
∴可设A（a，a）.
∵四边形ABCD为平行四边形，B（b，1），C（b+1，2），
∴点B向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位得到点C，
∴D（a+1，a+1）.
∵点A、D分别在y=、y=的图象上，
∴a2=k1，(a+1)2=k2，
∴=a，=a+1，
∴-=1，为定值.
故答案为：D.
【分析】由题意可设A（a，a），根据平行四边形的性质以及点的平移规律可得D（a+1，a+1），由点A、D分别在y=、y=的图象上可得a2=k1，(a+1)2=k2，然后表示出，，据此判断.
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：如图，
，
在图象所在的每一个象限内，随的增大而增大，
，
故答案为：C.
【分析】对于反比例函数，当k>0时，在图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在图象所在的每一个象限内，y随x的增大而增大.
10．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图，作，
点是反比例函数的图象上的一点，
设，
轴，，
，，
，
的面积为，
，
，
故答案为：B.
【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，作出AB边上的高是解题关键.设，利用点A坐标表示出的边AB及AB边上的高线CD，再通过的面积求出k的值.
11．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，过A作AE⊥x轴于点E，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AO∥CB，OA=OC，∠AOC=60°，
∴△AOC为等边三角形，且AE⊥CO，
∴S△AOE=S△AOC=S△AOD=，
∴=.
∵k<0，
∴k=.
故答案为：B.
【分析】连接AC，过A作AE⊥x轴于点E，由菱形的性质可得AO∥CB，OA=OC，∠AOC=60°，退出△AOC为等边三角形，且AE⊥CO，结合反比例函数系数k的几何意义可得S△AOE==S△AOC=S△AOD=，求解即可.
12．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过C点作CN⊥y轴于N点，过C点作CE⊥x轴于E点，过D点作DF⊥x轴于F点，
设CN=2a，则OE=2a
∵CN AE
∴△AOE∽△CNE，
∴
∴AO=a
∵C点在函数 上
∴C（2a， ）
∴CE=NO=
∵CE DF
∴△BDF∽△BCE，
∵
∴
∴DF= ，
∵D点在函数 上
∴D点坐标为（8a， ）
∴EF=8a-2a=6a
∵
∴BF=2a
∴B（10a，0）
∴AB=11a
∵
∴
解得k=4
故答案为：C.
【分析】过C点作CN⊥y轴于N点，过C点作CE⊥x轴于E点，过D点作DF⊥x轴于F点，设CN=2a，则OE=2a，易证△AOE∽△CNE，△BDF∽△BCE，由相似三角形的性质可得AO=a，DF=，将点C、D的坐标代入中可得AO=a，BF=2a，则B（10a，0），表示出AB，然后根据三角形的面积公式进行计算.
13．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥y轴于点F，
∵点A（4，0），
∴OA=4，
∴∠BFC=∠AOB=90°，∠ABO+∠OAB=90°，
∵正方形ABCD，
∴BC=AB，∠CBA=90°，
∴∠CBF+∠ABO=90°，
∴∠CBF=∠ABO，
在△ABO和△BCF中
∴△ABO≌△BCF（AAS）
∴OA=BF=4，CF=OB，
∵点C，E在反比例函数图象上，点E是AC的中点，
设，则点
∴，
解之：，
∴，
∴，
∴点
∴
【分析】过点C作CF⊥y轴于点F，利用点A的坐标可求出OA的长，利用正方形的性质及余角的性质可证得BC=AB，∠CBF=∠ABO，利用AAS证明△ABO≌△BCF，利用全等三角形的性质可证得OA=BF=4，CF=OB；设，利用点A的坐标及中点坐标公式可表示出点E的坐标，将点E代入函数解析式，可求出m的值，即可得到CF，OF的长，由此可得到点C的坐标；然后将点C的坐标代入函数解析式，可求出k的值.
14．【答案】4
【知识点】反比例函数的图象；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：设一次函数图象与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，则M（-1，0），N（0，1），
∴OM=ON=1.
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，PA=PB，
∴四边形AOBP为正方形，
∴PB∥x轴，PB=OB，
∴△DBN∽△MON，
∴=1，
∴BD=BN.
∵D为PB的中点，
∴N为OB的中点，
∴OB=2ON=2，
∴PB=OB=2，
∴P（2，2）.
∵点P在反比例函数y=图象上，
∴k=2×2=4.
故答案为：4.
【分析】设一次函数图象与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，则M（-1，0），N（0，1），OM=ON=1，易得四边形AOBP为正方形，则PB∥x轴，PB=OB，根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得△DBN∽△MON，由相似三角形的性质可得BD=BN，则N为OB的中点，OB=2ON=2，表示出点P的坐标，然后代入y=中就可求出k的值.
15．【答案】-6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设，，
四边形是正方形，
，
，，，，
，
正方形的面积为9，
，
.
故答案为：-6.
【分析】本题考查的是反比例函数比例系数的几何意义，观察图象用含有k的代数式表示正方形的面积求解是解题关键.
16．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点C作CM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，
∵点C在反比例函数图象上，
设点C
∴，
∵CM∥DN∥OE，AE=CE，CD=2BD，
∴，，
∴OA=OM=m，，
∴
解之：x=3m，
∴ON=3m，MN=3m-m=2m，
∴BN=m，
∴AB=m+m+2m+m=5m，
∵
解之：.
故答案为：.
【分析】过点C作CM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，设点C，可得到OM，CM的长；再利用CM∥DN∥OE，AE=CE，CD=2BD，利用平行线分线段成比例定理可表示出OA，DN的长，由此可得到关于x的方程，解方程表示出x，即可表示出ON，MN，BN，AB的长，然后利用△ABC的面积为6，可求出k的值.
17．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：过点A作CD⊥y轴于点D，过点B作CB⊥AD交AD的延长线与点C，如图所示：
∴∠ODC=∠C=90°，
∵点的坐标为，
∴OD=2，DA=m，
∵，
∴∠OAD=∠ABC，
∴△ABC≌△OAD，
∴CA=DO=2，BC=DA=m，
∴B（m+2，2-m），
∵点在反比例函数的图象上，
∴2m=（2-m）（2+m），
解得，
∴k=，
故答案为：
【分析】过点A作CD⊥y轴于点D，过点B作CB⊥AD交AD的延长线与点C，进而得到∠ODC=∠C=90°，根据点A的坐标即可得到OD=2，DA=m，再根据题意得到∠OAD=∠ABC，进而根据三角形全等的判定与性质即可得到CA=DO=2，BC=DA=m，进而得到B（m+2，2-m），再根据反比例函数的性质即可得到2m=（2-m）（2+m），进而解出m即可求解。
18．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；等边三角形的性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：过点A1作A1M⊥x轴交直线于点M，过点B1作B1C⊥x轴于点C，如图所示：
∵点的坐标为，
∴A1O=2，
当x=2时，，
∴M（2，），
∴A1M=，
∴，
∴，
∵均为等边三角形，
∴
∴，
∴，
同理可得点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
∴点的纵坐标为，
∴点的纵坐标为，
故答案为：
【分析】过点A1作A1M⊥x轴交直线于点M，过点B1作B1C⊥x轴于点C，进而得到，再根据等边三角形的性质即可得到，进而即可得到，得到点B1的纵坐标，同理即可求出的纵坐标、的纵坐标、的纵坐标、进而即可得到规律，再结合题意即可求解。
19．【答案】（1）解：如图，过点C作轴于点D，
则，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点，
将点C代入中，
可得，
∴，
设的表达式为，
将点代入可得，
解得：，
∴的表达式为；
（2）解：直线l的解析式为，
当两函数相交时，可得，
解得，，
代入反比例函数解析式，
得，
∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点C作轴于点D，则，，根据题意进行转化即可得到，再运用相似三角形的判定与性质证明即可得到，再通过点A和点B的坐标即可得到OA和OB的长，进而代入即可求出BD，从而得到OD，进而得到点C，将点C代入反比例函数即可得到k，设的表达式为，将点代入即可求解；
（2）根据题意联立解析式即可求出交点坐标，进而即可求解。
20．【答案】（1）解：把代入中，，
解得，
∴，
把代入中，，
解得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：将直线向上平移3个单位后，其函数解析式为，
当时，，
∴点B的坐标为，
设直线的函数解析式为，
将，代入可得，
解得，
∴直线的函数解析式为，
联立方程组，解得，
∴C点坐标为，
过点C作轴，交于点，
在中，当时，，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）先根据正比例函数的性质求出点A，进而将点A代入反比例函数解析式即可求解；
（2）先根据平移即可得到函数解析式，进而得到点B的坐标，再运用待定系数法即可求出直线AB的解析式，再联立解析式即可得到点C的坐标，过点C作轴，交于点，根据一次函数的性质即可求出CN，进而根据三角形的面积即可求解。
21．【答案】（1）解：将点代入得：
解得：
将代入得：
∴
（2）解：由得：，解得
所以的坐标分别为
由图形可得：当或时，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求一次函数和反比例函数即可求解；
（2）先求出两个函数的交点坐标，再结合题意观察图像即可求解。
22．【答案】（1）解：∵点A的横坐标是2，
∴将代入
∴，
∴将代入得，，
∴，
∵点B的纵坐标是，
∴将代入得，，
∴，
∴将代入得，，
∴解得，
∴；
（2）解：如图所示，
由题意可得，，，
∴设CD所在直线的表达式为，
∴，解得，
∴，
∴当时，，
∴直线CD经过原点．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将点A的横坐标代入直线y2=k2（x-2）+5算函数y的值，可得点A的坐标为（2，5），再将点A的坐标代入反比例函数 可求出k1的值，从而求出反比例函数的解析式，进而将点B的纵坐标-4代入反比例函数的解析式算出对应的x的值，从而得到点B的坐标，接着将点B的坐标代入y2=k2（x-2）+5可求出k2的值；
（2）根据点的坐标与图形的性质易得点C，D（2，-4），然后利用待定系数法可求出直线CD的解析式，再根据一次函数图象上的点的坐标特点，判断点（0，0）是否在直线CD上即可得出结论.
23．【答案】（1）解：正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，
、关于原点对称，
的横坐标为，的纵坐标为，
，，
点在反比例函数的图象上，
，
，
反比例函数的表达式为；
（2）解：不等式的解集为或
（3）解：方法一：连接，作轴于点，
在直线上，
，解得，
直线的表达式为，
，
，
，
，
，
，
，
直线为．
方法二：
连接，作轴于，
在直线上，
，
直线的表达式为，
，
，
，
，
，
，
设直线的表达式为，
代入点的坐标得，
解得，
直线为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）首先根据反比例函数图象的对称性得出A、B的坐标，然后把其一代入中，即可求得 反比例函数的表达式；
（2）观察图像直接写出解集即可；
（3）首先求得直线AB的表达式为：，因为AB∥CD，所以S△OBE=S△OBD，根据两三角形面积相等，可求得OE=10，所以E（0，10），利用待定系数法，即可求得直线CD的表达式。
24．【答案】（1）解：∵，轴，
∴，点的纵坐标为，
∵点在图象上，
∴当时，，解得：，
∴点坐标为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）
（3）解：如图，过作轴于点，
∵轴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由得：时，，解得：，
∴点，
∴，，
∴，
∴，
∴点．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（2）由（1）知：y1=-2x+2与在第二象限相较于点A（-1，4），∴在第二象限内，当y1＜y2时，-1＜x＜0.
【分析】（1）先根据点A在直线y1=-2x+2上，求得点A的坐标，再根据点A在上，求得k的值，从而得出反比例函数解析式；
（2）根据一次函数与反比例函数在第二象限内的交点坐标，结合函数图象，直接写出x的取值范围即可；
（3）因为点P在X轴上，所以纵坐标为0，要求点P的横坐标，只需求出PO的长度即可。如图，过A作AM⊥x轴于点M， 根据点D是直线y1=-2x+2与x轴的交点，可求得点D的坐标，从而得出OD的长度为1，又OM=OE=1，所以BM=2，根据两点间的距离公式可求得AD的长，然后根据， 可以得出PD的长度。PD-DO是PO的长度，根据点P所在的位置，确定横坐标的正负即可。
25．【答案】（1）点A的坐标为，反比例函数的表达式为；
（2）点C的坐标为或；
（3）点P的坐标为；m的值为3.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵直线与y轴交于点A，
∴当x=0时，y=5，
∴点A的坐标为（0，5），
又∵点B（a，4）在直线上，
∴-a+5=4，
解得：a=1，
∴点B的坐标为（1，4），
∴k=1×4=4，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵过点B作AB的垂线l，
∴设直线l的解析式为：y=x+b，
∵点B在直线l上，
∴1+b=4，
∴b=3，
∴直线l的解析式为：y=x+3，
设C（m，m+3），
∵点A的坐标为（0，5），点B的坐标为（1，4），
∴AB=，，
∵的面积为5，
∴，
解得：m=6或m=-4，
∴点C的坐标为或；
（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，
∴点B的对应点也在直线l上，设为E点，
则点A的对应点为D，
由题意可得：，
解得：或，
∴E (-4，-1)，
如图所示：
∵△PAB△PDE，
∴∠PAB=∠PDE，
∴AB//DE，
∴直线AB与直线DE的一次项系数相等，
设直线DE的解析式为y=-x+b2，
∴-1=- (-4) +b2，
∴b2=-5，
∴直线DE的解析式为y=-x-5，
∵点D在直线DE与双曲线的另一个交点，
∴由题意可得：，
解得：或，
∴D（-1，-4），
∴直线AD的解析式为y=9x+5，
由题意可得：，
解得：，
∴，
∴，，
∴.
【分析】（1）先求出当x=0时，y=5，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求出直线l的解析式为：y=x+3，再利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）先求出E (-4， -1)，再结合图象，利用相似三角形的性质计算求解即可。
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