华师版数学八年级上册 12.5因式分解（1）提公因式法因式分解 课件(共17张PPT)

(共17张PPT)
12.5 因式分解
第1课时 提公因式法因式分解
学习目标
理解因式分解的概念和意义.
认识因式分解与整式乘法的相互关系.
掌握公因式的概念，会利用提公因式法分解因式.
复习回顾
本章我们学习了整式的乘法，它分为几种形式
计算：
6ab2-3a2b+3ab2；
6a2+13ab+6b2；
a3+4a2b+6ab2+4b3.
单项式与单项式相乘；
单项式与多项式相乘；
多项式与多项式相乘.
3a·(2b2-ab+b2)=
(3a+2b)(3b+2a)=
(a+2b)(a2+2ab+2b2)=
讨论：210能被哪些质数整除？
分析：要解决这个问题，需要把210分解为几个质数
相乘的形式.
解：210=2×3×5×7，所以210能被2、3、5、7整除.
类似地，在式的变形中，有时也需要我们把一个多项式写成几个整式的乘积的形式.
探究新知
试一试： m·(a+b+c)=____________， (a+1)·a=________.
观察上面两个等式，可以得到：
ma+mb+mc=( )( )，
a2+a=( )( ).
a+b+c
a+1
ma+mb+mc
a2+a
m
a
像等式ma+mb+mc=m(a+b+c) ，把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解，也叫做多项式的分解因式．
想一想：因式分解与整式乘法有何关系
ma+mb+mc
m(a+b+c)
因式分解
整式乘法
整式乘法与因式分解是两种互逆的变形，
即：多项式 整式乘积的形式.
因式分解
整式乘法
练一练：判断下列各式是整式乘法还是因式分解
x2-4y2=(x+2y)(x-2y) ___________；
2x(x-3y)=2x2-6xy ___________；
(5a-1)2=25a2-10a+1 ___________；
x2+4x+4=(x+2)2 ___________；
(a-3)(a+3)=a2-9 ___________；
m2-42=(m+4)(m-4) ___________；
2πR+2πr=2π(R+r) ___________.
因式分解
整式乘法
整式乘法
整式乘法
因式分解
因式分解
因式分解
探究发现：下列各多项式的结构有什么共同特点？
ax-ay ma+mb+mc 2πR+2πr
a
m
2π
多项式ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式．
思考讨论：多项式中的公因式是如何确定的？
找出3x2y2–6xy3的公因式：
最大公约数
相同字母
公因式
3
x y
x y2
看系数　
观 察方 向
看字母
看指数
最低指数
所以3x2y2–6xy3= 3xy2(x–2y).
确定公因式的方法：
1.看系数：公因式系数是多项式各项系数的最大公约数；
2.看字母：字母是多项式各项中都含有的相同的字母；
3.看字母的指数：各相同字母的指数取次数最低的.
提公因式法
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取
出来，将多项式分解成公因式与另一个因式的乘积的
形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
用字母表示为：ma+mb+mc＝m(a+b+c)．
典例讲解
例1 把下列多项式分解因式:
(1)-5a2 +25a；
(2)3a2 -9ab.
解： (1) -5a2+25a
=-5a(a - 5)；
(2)3a2 -9ab
=3a(a-3b).
当多项式的第一项系数是负数时，一般地，先提出负号，再进行因式分解．但应注意，这时留在括号内的每一项的符号都要改变.
提公因式后，另一个因式：
①项数应与原多项式的项数一样；
②不再含有公因式．
例4 用提公因式法将下列各式分解因式：
(1) 4x2y3+8x2y2z-12xy2z； (2) -a2b3c+2ab2c3-ab2c；
(3) 5x(x-2y)3-20y(2y-x)3.
(2)-a2b3c+2ab2c3-ab2c
=-(a2b3c-2ab2c3+ab2c)
=-ab2c(ab-2c2+1)；
解： (1) 4x2y3+8x2y2z-12xy2z
=4xy2(xy+2xz-3z)；
(3) 5x(x-2y)3-20y(2y-x)3
=5x(x-2y)3+20y(x-2y)3
=5(x-2y)3(x+4y)．
公因式可以是单项式，也可以是多项式.
随堂练习
1. 2x(-x+y)2-(x-y)3分解因式应提取的公因式是(　　)
A．-x+y B．x-y
C．(x-y)2 D．以上都不对
解析： ∵ 2x(-x+y)2-(x-y)3=2x(x-y)2-(x-y)3，
∴ 2x(-x+y)2-(x-y)3的公因式为(x-y)2 .
C
2. 把下列各式分解因式：
(1) 2a2bc+8a3b； (2) a(a-b)3+2a2(b-a)2-2ab(b-a).
解： (1) 2a2bc+8a3b
=2a2b·c+2a2b·4a
=2a2b(c+4a)；
(2) a(a-b)3+2a2(b-a)2-2ab(b-a)
=a(a-b)3+2a2(a-b)2+2ab(a-b)
=a(a-b)[(a-b)2+2a(a-b)+2b]
=a(a-b)(3a2-4ab+b2+2b).
3. 已知2m-n=3， 4m+3n=1，求5n(2m-n)2-2(n-2m)3的值.
解：5n(2m-n)2-2(n-2m)3
=5n(2m-n)2+2(2m-n)3
=(2m-n)2[5n+2(2m-n)]
=(2m-n)2(4m+3n)，
所以5n(2m-n)2-2(n-2m)3 =32×1=9.
课堂小结
因式分解的概念：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式
的因式分解，也叫做多项式的分解因式．
确定公因式的方法：
一看系数：多项式各项系数的最大公约数；　
二看字母：多项式各项中都含有的相同的字母；　
三看指数：各相同字母的指数取次数最低的.
提公因式法分解因式的步骤：
第一步，找出各项的公因式；
第二步，提出公因式；
第三步，将多项式化成两个因式乘积的形式.
用提公因式法分解因式应注意的问题：
(1)公因式提取要彻底；
(2)首项为负先提负；
(3)提取公因式莫漏1．