北师版数学八年级上册 4.4 一次函数的应用 课件(共34张PPT)

(共34张PPT)
第四章 一次函数
4.4 一次函数的应用
学习目标
1.经历分析实际问题中两个变量之间关系，并解决有关问题的过程，发展应用意识；
2.进一步体会数形结合的思想，发展数形结合解决问题的能力；
3.利用一次函数图象分析、解决简单实际问题，发展几何直观；
4.初步体会函数与方程的关系.
什么是一次函数？
若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数.
知识回顾
上式中k，b对函数图象有什么影响？
探究1：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（m/s）与其下滑时间t（s）的关系如图所示.
O
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
t/s
v（m/s）
(1)写出v与t之间的关系式；
(2)下滑3s时物体的速度是多少？
分析：因为直线过原点，符合正比例函数的图象特征，因此可以设v=kt ，代入图象上一个点的坐标求出k即可.
合作探究
探究1：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（m/s）与其下滑时间t（s）的关系如图所示.
O
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
t/s
v（m/s）
(1)写出v与t之间的关系式；
(2)下滑3s时物体的速度是多少？
合作探究
解：(1)设v=kt，
因为点(2，5)在图象上，
所以5=2k，即k=2.5.
所以v=2.5t.
(2)当t=3时，
v=2.5×3=7.5(m/s).
确定正比例函数表达式需要1个条件
例1 在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.某弹簧不挂物体时长14.5cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm.写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度.
分析：因为这里y是x的一次函数，所以可以设关系式为y=kx+b ，确定出k和b的值即可.
例题讲解
例1 在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.某弹簧不挂物体时长14.5cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm.写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度.
例题讲解
解：设y=kx+b（k≠0），根据题意，得
14.5=b，①
16=3k+b.②
将①代入②，得k=0.5. 所以在弹性限度内，y=0.5x+14.5.
当x=4时，y=0.5×4+14.5=16.5（cm）.
即所挂物体的质量为4kg时，弹簧长度为16.5cm.
确定一次函数的表达式需要2个条件
(1) 设出函数表达式；
(2) 将已知的x，y的对应值代入所设表达式中，得到关于k,b的一元一次方程；
(3) 解方程求未知数；
(4) 写出函数的表达式.
确定一次函数表达式
一
待定系数法确定一次函数表达式
探究2：由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少.蓄水量V（万m3）与干旱持续时间t（天）的关系如图所示，根据图象回答问题：
O
t/天
V/万m3
50
400
40
30
20
10
800
1200
合作探究
(1)水库干旱前的蓄水量是多少？
水库干旱前的蓄水量就是t=0时对应的V值.
约为1200万m3.
探究2：由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少.蓄水量V（万m3）与干旱持续时间t（天）的关系如图所示，根据图象回答问题：
O
t/天
V/万m3
50
400
40
30
20
10
800
1200
合作探究
(2)干旱持续10天，蓄水量是多少？干旱持续23天呢？
干旱持续10天和持续23天的蓄水量分别对应t=10和t=23时的V值.
分别约为1000万m3和750万m3.
探究2：由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少.蓄水量V（万m3）与干旱持续时间t（天）的关系如图所示，根据图象回答问题：
O
t/天
V/万m3
50
400
40
30
20
10
800
1200
合作探究
(3)蓄水量小于400万m3时，将发出严重干旱警报.干旱持续多少天后将发出严重干旱警报？
蓄水量V小于400万m3时，将发出警报.此时所对应的t约为40天.
探究2：由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少.蓄水量V（万m3）与干旱持续时间t（天）的关系如图所示，根据图象回答问题：
O
t/天
V/万m3
50
400
40
30
20
10
800
1200
合作探究
(4)按照这个规律，预计干旱持续多少天水库将干涸？
水库干涸也就是V为0，函数图象与横轴交点的横坐标即为所求.
当V为0时，所对应的t的值约为60.
例2 某种摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量y（L）与摩托车行驶路程x（km）之间的关系如图所示.
根据图象回答问题：
O
100
300
500
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x/km
y/L
例题讲解
(1)油箱最多可储油多少升？
(2) 一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？
解：观察图象，得
(1) 当x=0时，y=10.
因此，油箱最多可储油10L.
(2) 当y=0时，x=500.
因此，一箱汽油可供摩托车行驶500km.
例2 某种摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量y（L）与摩托车行驶路程x（km）之间的关系如图所示.
根据图象回答问题：
O
100
300
500
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x/km
y/L
例题讲解
(3)摩托车每行驶100km消耗多少升汽油？
(3)x从0增加到100时，y从10减少到8，减少了2，因此摩托车每行驶100km消耗2L汽油.
(4) 油箱中的剩余油量小于1L时，摩托车将自动报警，行驶多少千米后，摩托车将自动报警？
(4) 当y=1时，x=450.
因此，行驶450km后，摩托车将自动报警.
450
如图所示的是某一次函数的图象，根据图象填空：
(1)当y=0时，x=______；
(2) 这个函数的表达式是_________.
y=0.5x+1
O
1
2
x
y
-2
-1
-1
1
2
-2
设函数表达式为y=kx+b,
因为直线与y轴交于点(0，1)，所以0+b=1，
即b=1.
因为直线与x轴交于点(-2，0)，所以-2k+1=0，
即k=0.5.所以函数表达式为y=0.5x+1.
交流讨论
数：当函数值y=0时，x的值等于方程0.5x+1=0的解.
形：一次函数y=0.5x+1与x轴的交点的横坐标就是方程0.5x+1=0的解.
一元一次方程0.5x+1=0与一次函数y=0.5x+1有什么联系？
O
1
2
x
y
-2
-1
-1
1
2
一般地，当一次函数y=kx+b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程kx+b=0的解.
从图象上看，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解.
一次函数与一元一次方程的关系
探究3：如图所示，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售
量的关系，根据图象填空：
O
x/t
y/元
5
1000
4
3
2
1
2000
3000
4000
5000
6000
6
l2
l1
合作探究
(1)当销售量为2t时，销售收入=______元，
销售成本=______元.
3000
2000
(2)当销售量为6t时，销售收入=_____元，
销售成本=______元.
6000
5000
(3)当销售量等于______时，销售收入
等于销售成本.
4t
两直线交点的意义
(1) 几何意义：两直线交点是它们的公共点；
(2) 代数意义：两直线交点的坐标同时满足两个表达式，即y1=y2.
探究3：如图所示，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售
量的关系，根据图象填空：
合作探究
(4) 当销售量________时，该公司赢利（收入大于成本）；
当销售量_________时，该公司亏损（收入小于成本）.
大于4t
小于4t
O
x/t
y/元
5
1000
4
3
2
1
2000
3000
4000
5000
6000
6
l2
l1
利用图象比较函数值
(1) 先找交点坐标，交点处y1=y2 ；
(2) 再看交点左右两侧，图象位于上方的直线函数值较大.
探究3：如图所示，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售
量的关系，根据图象填空：
合作探究
(5) l1对应的函数表达式是___________，
l2对应的函数表达式是________________.
y=1000x
O
x/t
y/元
5
1000
4
3
2
1
2000
3000
4000
5000
6000
6
l2
l1
设l1的表达式是y=k1x，
由图知，图象过点（4，4000），
所以4000=4k1，
所以k1=1000.
所以l1的函数表达式是y=1000x.
探究3：如图所示，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售
量的关系，根据图象填空：
合作探究
(5) l1对应的函数表达式是___________，
l2对应的函数表达式是________________.
y=1000x
O
x/t
y/元
5
1000
4
3
2
1
2000
3000
4000
5000
6000
6
l2
l1
设l2的表达式是y=k2x+b，
由图知，图象过点(0，2000),(4，4000)得，
b=2000 ① , 4000=4k2+b ②
将①代入②，得k=500，
所以l2的函数表达式是y=500x+2000.
y=500x+2000
k1的实际意义是每销售1t产品的销售收入，b1的实际意义是未销售时，销售收入为0；
k2的实际意义是每销售1t产品的销售成本，b2的实际意义是未销售时，为销售所花的成本为2000元.
想一想
l1对应的一次函数y=k1x+b1中，k1，b1的实际意义各是什么？
l2对应的一次函数y=k2x+b2中，k2，b2的实际意义各是什么？
O
t/min
s/n mile
8
1
4
10
2
2
3
4
5
6
6
l2
l1
7
8
例题讲解
(1) 哪条线表示 B 到海岸距离与追赶时间之间的关系？
解:(1)当t=0时, B距海岸0n mile, 即s=0，
故l1 表示 B 到海岸的距离与追赶时间
之间的关系.
例3 我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶. 图中 l1，l2分别表示两船相对于海岸的距离s(n mile)与追赶时间t(min)之间
的关系.根据图象回答下列问题：
O
t/min
s/n mile
8
1
4
10
2
2
3
4
5
6
6
l2
l1
7
8
例题讲解
(2) A、B 哪个速度快？
(2) t从0增加到10时，l2的纵坐标增加了2，l1的纵坐标增加了5，
即10 min内，A 行驶了 2 n mile，B 行驶了5 n mile，
所以 B 的速度快.
例3 我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶. 图中 l1，l2分别表示两船相对于海岸的距离s(n mile)与追赶时间t(min)之间
的关系.根据图象回答下列问题：
例题讲解
(3) 15min内 B 能否追上 A？
(3) 延长l1，l2，
可以看出，当t＝15时，l1上对应点在l2上对应点的下方.
这表明，15 min时B尚未追上A.
O
t/min
s/n mile
8
1
4
10
2
2
3
4
5
6
6
l2
l1
7
8
12
14
16
例3 我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶. 图中 l1，l2分别表示两船相对于海岸的距离s(n mile)与追赶时间t(min)之间
的关系.根据图象回答下列问题：
例题讲解
(4)如果一直追下去，那么B能否追上 A？
(4)如图，l1、l2相交于点P.
因此，如果一直追下去，那么 B 一定能追上 A.
O
t/min
s/n mile
8
1
4
10
2
2
3
4
5
6
6
l2
l1
7
8
12
14
16
P
例3 我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶. 图中 l1，l2分别表示两船相对于海岸的距离s(n mile)与追赶时间t(min)之间
的关系.根据图象回答下列问题：
例题讲解
(5)当A逃到离海岸12n mile的公海时，
B将无法对其进行检查.照此速度，B能否在A逃入公海前将其拦截？
(5)从图中可以看出，l1 与 l2 交点P的纵坐标小于12，这说明在 A 逃入公海前，我边防快艇 B能够追上 A.
O
t/min
s/n mile
8
1
4
10
2
2
3
4
5
6
6
l2
l1
7
8
12
14
16
10
12
P
例3 我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶. 图中 l1，l2分别表示两船相对于海岸的距离s(n mile)与追赶时间t(min)之间
的关系.根据图象回答下列问题：
例题讲解
(6) l1与l2对应的两个一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2中，k1，k2的实际意义各是什么？可疑船只A与快艇B的速度各是多少？
(6) k1表示快艇B的速度，k2表示可疑船只A的速度. 可疑船只A的速度是0.2 n mile/min，快艇B的速度是0.5 n mile/min.
O
t/min
s/n mile
8
1
4
10
2
2
3
4
5
6
6
l2
l1
7
8
12
14
16
例3 我边防局接到情报，近海处有一可疑船只正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇追赶. 图中 l1，l2分别表示两船相对于海岸的距离s(n mile)与追赶时间t(min)之间的
关系.根据图象回答下列问题：
1.已知正比例函数的图象经过点（-1，3），
那么这个函数的表达式为________.
y=-3x
2.直线经过A（0，2）和B（3，0）两点，
那么这个一次函数表达式是________.

随堂练习
3.甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如图线段OA和折线BCD分别表示两车离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．则下列说法正确的是（　　）
A.两车同时到达乙地
B.轿车在行驶过程中进行了提速
C.货车出发3小时后，轿车追上货车
D.两车在前80千米的速度相等
B
O
2.5
5
x/小时
y/千米
80
300
1.2
4.5
A
D
C
B
课堂小结
一、待定系数法确定一次函数表达式
1设；2代；3求；4写.
二、利用图象信息解决实际问题
从x轴、y轴的实际意义去理解函数图象上点的坐标的实际意义.
三、一次函数与一元一次方程的关系
一元一次方程kx+b=0的解 直线y=kx+b与x轴交点横坐标.
谢 谢