八一中学2022—2023学年第二学期高二年级期中考试
数学试卷
选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．数1与4的等差中项，等比中项分别是（ ）
A．，±2 B．，2 C．，2 D． ，±2
2．等比数列{an}中，已知：则公比q＝（ ）
A． B．2 C． D．3
3．在数列{an}中，，（n≥2，n∈N*），则（ ）
A． B． C． D．
4．5名同学去听同时进行的3个名师讲座，每个同学可自由选择，且必须选择一个讲座，则不同的选择种数是（ ）
A．53 B．35 C．5×4×3 D．5×4
5．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S2＝4，S6＝7，则S4＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．学校食堂分设有一、二餐厅，学生小吴第一天随机选择了某餐厅就餐，根据统计：第一天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为0.6，第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐厅就餐的概率为0.7，那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为（ ）
A．0.18 B．0.28 C．0.42 D．0.65
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若与是方程x2﹣8x﹣20＝0的两个实根，则＝（ ）
A．46 B．44 C．42 D．40
8．（1+x）3+（1+x）4+ +（1+x）9的展开式中x3的系数是（ ）
A．84 B．120 C．122 D．210
9．6人排成一排，其中甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻的排法共有（ ）
A．36种 B．72种 C．144种 D．288种
10．某地计划在10月18日至11月18日举办“菊花花会”，如图是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择摆放，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（ ）
A．240种 B．300种 C．420种 D．460种
11．数列{an}，{bn}用图象表示如下，记数列{anbn}的前n项和为Sn，则（ ）
A．S1＞S4，S10＜S11 B．S4＞S5，S10＜S13
C．S1＜S4，S10＞S11 D．S4＜S5，S10＞S13
12．某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派6名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（ ）
A．540种 B．180种 C．360种 D．630种
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．若＝，则n的值是 ．
14．10件产品中有7件正品，3件次品，则在第一次抽到次品条件下，第二次抽到次品的概率 ．
15．已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中的常数项为 ．
16．已知函数y＝f（x）满足f（x）+f（1﹣x）＝1，若数列{an}满足，则数列{an}的前16项的和为 ．
三、解答题（共6小题，17题10分，其余每小题12分，共70分）
（本小题满分10分）
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，公差d＝﹣2．
（1）求数列{an}的通项公式和前n项和Sn；
（2）求Sn的最大值及取得最大值时n的值.
18、（本小题满分12分）
已知数列{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且满足．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）令cn＝an+bn，求数列{cn}的前n项和Sn．
19、（本小题满分12分）
已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且， ＝32．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{nan}的前n项和Tn．
20、（本小题满分12分）
已知．
（1）求；
（2）求；
（3）求．
21、（本小题满分12分）
已知数列{an}的前n项相为Sn，且满足3Sn＝4an﹣2（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝an，求数列{}的前n项和Tn．
22、（本小题满分12分）
已知正项数列{an}的前n项和为Sn，在①，且；②3an＝3+2Sn（n∈N*）；③（n，m∈N*），，这三个条件中任选一个，解答下列问题：
（1）证明数列{an}是等比数列，并求其通项公式；
（2）已知 当 ，数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn≥2﹣恒成立，求λ的最小值．
注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分．一．选择题（共12小题）
1．数1与4的等差中项，等比中项分别是（ ）
A．，±2 B．，2 C．，2 D． ，±2
【分析】利用等差中项与等比中项的定义分别进行求解即可．
【解答】解：根据等差中项的定义可知，1与4的等差中项为＝；
根据等比中项的定义可得，1与4的等比中项G满足G2＝1×4＝4，G＝±2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列的性质：等差中项与等比中项的定义的应用，解题的关键是要熟练应用定义，还要注意在等比中项的求解中容易漏掉﹣2．
2．等比数列{an}中，已知：a2＝2，a5＝16．则公比q＝（ ）
A． B．2 C． D．3
【分析】列出关于首项和公比的等式求解即可．
【解答】解：设等比数列的公比为q，
∵a2＝2，a5＝16，
∴，可得，
∴公比q＝2，
故选：B．
【点评】本题考查等比数列的通项公式的应用，属基础题．
3．在数列{an}中，a1＝2，an＝2﹣（n≥2，n∈N*），则a5＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据递推关系依次求出a2，a3，a4，a5即可．
【解答】解：∵a1＝2，，
∴，，，．
故选：A．
【点评】本题考查了根据递推式求值，属基础题．
4．5名同学去听同时进行的3个名师讲座，每个同学可自由选择，且必须选择一个讲座，则不同的选择种数是（ ）
A．53 B．35 C．5×4×3 D．5×4
【分析】根据题意，分析可得每名同学可自由选择其中的一个讲座，即每位同学均有3种讲座可选择，进而根据分步计数原理得到结果．
【解答】解：根据题意，每名同学可自由选择其中的一个讲座，即每位同学均有3种讲座可选择，
则5位同学共有3×3×3×3×3＝35种不同的选法，
故选：B．
【点评】本题考查分步计数原理，解题的关键是看清题目的实质，分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足：必须并且只需连续完成这n个步骤，这件事才算完成．
5．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S2＝4，S6＝7，则S4＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】由已知结合等比数列的求和公式即可求解．
【解答】解：等比数列{an}中，S2＝4，S6＝7，则q≠1，
故，
解得q2＝，＝8，
则S4＝＝8×（1﹣）＝6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题．
6．学校食堂分设有一、二餐厅，学生小吴第一天随机选择了某餐厅就餐，根据统计：第一天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为0.6，第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐厅就餐的概率为0.7，那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为（ ）
A．0.18 B．0.28 C．0.42 D．0.65
【分析】利用全概率公式求解即可．
【解答】解：学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为0.5×0.6+0.5×0.7＝0.65．
故选：D．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题．
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3与a9是方程x2﹣8x﹣20＝0的两个实根，则S11＝（ ）
A．46 B．44 C．42 D．40
【分析】由已知求得a3+a9＝8，再由等差数列的前n项和与性质求解．
【解答】解：由题意，a3+a9＝8，
∵数列{an}为等差数列，∴＝．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的通项公式与前n项和，考查等差数列的性质，是基础题．
8．（1+x）3+（1+x）4+ +（1+x）9的展开式中x3的系数是（ ）
A．84 B．120 C．122 D．210
【分析】由二项展开式的通项即可求出每一个x3的系数，求和，即可求解．
【解答】解：∵（a+b）n的通项为，
∴（1+x）3的通项为，
∴（1+x）3的展开式中x3的系数为，
同理得（1+x）4展开式中x3的系数为，（1+x）9展开式中x3的系数为，
故（1+x）3+（1+x）4+ +（1+x）9展开式中x3的系数为：．
故选：D．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
9．6人排成一排，其中甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻的排法共有（ ）
A．36种 B．72种 C．144种 D．288种
【分析】根据条件利用捆绑法和插空法求解即可．
【解答】解：先把甲乙捆绑共有A种排法，
再排除甲乙丙，剩下的三人共有A＝6种排法，
然后将甲乙与丙插空，共有A种排法，
根据分步计数原理共有2×6×12＝144种排法．
故选：C．
【点评】本题考查了排列组合及简单计数问题，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
10．某地计划在10月18日至11月18日举办“菊花花会”，如图是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择摆放，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（ ）
A．240种 B．300种 C．420种 D．460种
【分析】利用排列组合公式以及分步乘法计数原理即可计算出不同的布置方法数．
【解答】解：先放A，有5种选择，若B、D选同一种花，有4种选择，剩下的C、E均有3种选择，不同的布置方法有5×4×3×3＝180种，
若B、D选则不同种花，有种选择，剩下的C、E均有两种选择，不同的布置方法有种，
所以共有180+240＝420种．
故选：C．
【点评】本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于基础题．
11．数列{an}，{bn}用图象表示如下，记数列{anbn}的前n项和为Sn，则（ ）
A．S1＞S4，S10＜S11 B．S4＞S5，S10＜S13
C．S1＜S4，S10＞S11 D．S4＜S5，S10＞S13
【分析】根据数列{an}，{bn}图象可知，an，bn在n取不同值时的符号，然后利用排除法即可得到正确选项．
【解答】解：由数列{an}，{bn}图象可知，当n≤4时，an＜0，当n≥5时，an＞0；
当n≤10时，bn＜0，当n≥11时，bn＞0，
∴当n≤4时，anbn＞0，∴S1＜S4，排除A选项；
a5b5＜0，∴S4＞S5，排除D选项；
a11b11＞0，∴S10＜S11，排除C选项；
11≤n≤13时，anbn＞0，∴S10＜S13，B选项正确．
故选：B．
【点评】本题考查了数列的函数特性，考查了数形结合思想，属中档题．
12．某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派6名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（ ）
A．540种 B．180种 C．360种 D．630种
【分析】按照不同元素的分组再分配问题分情况求解即可．
【解答】解：首先将6名志愿者分成3组，再分配到3个社区，可分为3种情况：
第一类：6名志愿者分成1：2：3三组，共有（种）选派方案，
第二类：6名志愿者分成1：1：4三组，共有（种）选派方案，
第三类：6名志愿者平均分为3组，再分配到三个社区，共有（种）选派方案，
所以共360+90+90＝540（种）选派方案，
故选：A．
【点评】本题考查了有限制条件的排列和组合问题，属于中档题．
二．填空题（共4小题）
13．若＝，则n的值是 10 ．
【分析】根据组合数的性质：C＝C
【解答】解：∵C＝C，∴3+7＝n，即n＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了组合即组合数公式，属基础题．
14．10件产品中有7件正品，3件次品，则在第一次抽到次品条件下，第二次抽到次品的概率 ．
【分析】根据题意，易得在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品，由概率计算公式，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品；
则第二次抽到次品的概率为；
故答案为．
【点评】本题考查概率的计算，解题时注意题干“在第一次抽到次品条件下”的限制．
15．已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则展开式中的常数项为 405 ．
【分析】由已知结合二项式系数的性质先求出n，然后利用赋值法求出a，再结合通项即可求解．
【解答】解：由题意得，
故n＝10，
令x＝1可得（a﹣1）n＝1024，
所以a＝3，
所以展开式的通项为Tr+1＝（3x2）10﹣r（﹣）r＝（﹣1）r 310﹣rx，
令20﹣＝0，则r＝8，
故展开式的通项为405．
故答案为：405，．
【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
16．已知函数y＝f（x）满足f（x）+f（1﹣x）＝1，若数列{an}满足，则数列{an}的前16项的和为 76 ．
【分析】由f（x）+f（1﹣x）＝1，运用数列的倒序相加求和，求得an，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和．
【解答】解：y＝f（x）满足f（x）+f（1﹣x）＝1，
若数列{an}满足，①
an＝f（1）+f（）+f（）+...+f（）+f（0），②
①+②可得2an＝[f（0）+f（1）]+[f（）+f（）]+...+[f（1）+f（0）]＝1+1+...+1＝n+1，
即an＝，
则数列{an}的前16项的和为×16×（1+）＝76．
故答案为：76．
【点评】本题考查函数的性质和等差数列的求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
三．解答题（共6小题）
17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝﹣2．
（1）求数列{an}的通项公式和前n项和Sn；
（2）求Sn的最大值及取得最大值时n的值.
【分析】（1）由a1＝10，d＝﹣2可得Sn，然后结合二次函数的性质，即可得到本题答案；
（2）分1≤n≤6和n≥7两种情况，分别求出前n项和Tn．
【解答】解：（1）∵若a1＝10，公差d＝﹣2，
（2），且n∈N*，
∴当n＝5或n＝6时Sn取得最大值，最大值为30；
【点评】本题考查等差数列的通项公式与求和公式，分类讨论思想，属中档题．
18．已知数列{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且满足a1＝b1＝1，b2+a2＝5．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）令cn＝an+bn，求数列{cn}的前n项和Sn．
【分析】（1）先设等差数列{an}的公差为d，再根据题干已知条件列出关于公差d的方程，解出d的值，然后根据等差数列和等比数列的通项公式即可计算出数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）先根据第（1）题的结果计算出数列{cn}的通项公式，再运用分组求和法，以及等比数列求和公式与等差数列求和公式即可计算出前n项和Sn．
【解答】解：（1）由题意，设等差数列{an}的公差为d，
则b2+a2＝2+1+d＝5，解得d＝2，
∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*，
bn＝1 2n﹣1＝2n﹣1，n∈N*．
（2）由（1），可得，
则Sn＝c1+c2+ +cn
＝（20+1）+（21+3）+ +[2n﹣1+（2n﹣1）]
＝（20+21+ +2n﹣1）+[1+3+ +（2n﹣1）]
＝
＝n2+2n﹣1．
【点评】本题主要考查数列求通项公式，以及运用分组求和法求前n项和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，等比数列求和公式与等差数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
19．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且＝7，a5＝32．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Tn．
【分析】（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．
（Ⅱ）利用乘公比错位相减法求出数列的和．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且＝7，a5＝32．
设数列的公比为q，
则：＝1+q+q2＝7，
解得：q＝2或﹣3（负值舍去），
由于a5＝32，
解得：a1＝2，
所以：．
（Ⅱ）由（1）知，
∴，①
∴，②
②﹣①得，
解得．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用．
20．已知．
（1）求a3；
（2）求a1+a2+a3+a4+a5；
（3）求a1+a3+a5．
【分析】（1）利用题中的条件知a3就是x3的系数，即可解出；
（2）利用赋值法，即可解出；
（3）利用赋值法，即可解出．
【解答】解：（1）a3就是x3项的系数，所以a3＝C+2C+22C＝49．
（2）令x＝0，得a0＝2+22+23+24+25＝62，
令x＝1，得3+32+33+34+35＝363＝a0+a1+a2+a3+a4+a5，
所以a1+a2+a3+a4+a5＝363﹣62＝301．
（3）令x＝﹣1，得5＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5......①，
令x＝1，得3+32+33+34+35＝363＝a0+a1+a2+a3+a4+a5......②，
由②﹣①可得2（a1+a3+a5）＝358，所以a1+a3+a5＝179．
【点评】本题考查了二项式定理，学生的数学运算能力，属于基础题．
21．已知数列{an}的前n项相为Sn，且满足3Sn＝4an﹣2（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝an，求数列{}的前n项和Tn．
【分析】（Ⅰ）直接利用递推关系式得出数列为等比数列，进一步利用定义求出数列的通项公式．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．
【解答】解：（Ⅰ）数列{an}的前n项相为Sn，且满足3Sn＝4an﹣2，
当n≥2时，
∵3Sn＝4an﹣2 ①
∴3Sn﹣1＝4an﹣1﹣2 ②
①﹣②得：3an＝4（an﹣an﹣1），
∴an＝4an﹣1；
即，
又当n＝1时，3S1＝4an1﹣2，
解得：a1＝2．
∴数列{an}是以2为首项，4为公比的等比数列
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，
∴，
∴．
，
＝，
＝．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
22．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，在①a﹣2a＝0（n∈N*），且a1＝3；②3an＝3+2Sn（n∈N*）；③＝an（n，m∈N*），a1＝3，这三个条件中任选一个，解答下列问题：
（1）证明数列{an}是等比数列，并求其通项公式；
（2）设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn≥2﹣（λ∈Z）恒成立，求λ的最小值．
注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分．
【分析】选①
（1）由已知可得（an+1﹣3an）（an+1+an）＝0，又an＞0，则an+1＝3an，即数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，得证，然后求其通项公式即可；
（2）由（1）可得bn＝＝＝，然后累加求和即可．
选②
（1）由已知可得an＝3an﹣1，即数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，得证，然后求其通项公式即可；
（2）由（1）可得bn＝＝＝，然后累加求和即可．
选③
（1）由已知可得，又a1＝3，即数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，得证，然后求其通项公式即可；
（2）由（1）可得bn＝＝＝，然后累加求和即可．
【解答】选①
（1）证明：已知数列{an}为正项数列，
又a﹣2a＝0，
则（an+1﹣3an）（an+1+an）＝0，
又an＞0，
则an+1＝3an，
又a1＝3，
即数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，
即；
（2）解：由（1）可得bn＝＝＝，
则＝，
又数列{Tn}为递增数列，
则Tn的最小值为，
又Tn≥2﹣（λ∈Z）恒成立，
则，
即，
即λ的最小值为．
选②
（1）证明：已知正项数列{an}的前n项和为Sn，
又3an＝3+2Sn，
则3an﹣1＝3+2Sn﹣1，
则3an﹣3an﹣1＝2an，
则an＝3an﹣1，
又a1＝3，
即数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，
即；
（2）解：由（1）可得bn＝＝＝，
则＝，
又数列{Tn}为递增数列，
则Tn的最小值为，
又Tn≥2﹣（λ∈Z）恒成立，
则，
即，
即λ的最小值为．
选③
（1）证明：已知正项数列{an}满足＝an（n，m∈N*），
则，
即，
又a1＝3，
即数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，
即；
（2）解：由（1）可得bn＝＝＝，
则＝，
又数列{Tn}为递增数列，
则Tn的最小值为，
又Tn≥2﹣（λ∈Z）恒成立，
则，
即，
即λ的最小值为．
【点评】本题考查了等比数列的定义及性质，重点考查了裂项求和法，属中档题．
