3.4.1 二次函数y=ax2+k的图象与性质同步练习（含解析）

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第三章 二次函数
4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第1课时 二次函数y=ax2+k的图象与性质
目标一 二次函数y=ax2+k的图象与性质
认知基础练
练点1 二次函数y=ax +k的图象
1.抛物线 的顶点坐标是( )
2.函数 y= ax-a 和y=ax +2(a为常数，且a≠0)，在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( )
3.抛物线y=ax +k的最高点是A(0,7),则k=___________.
练点2 二次函数y=ax +k的性质
4.下列关于抛物线y= -2x +3的说法正确的是( )
A.抛物线开口向上 B.在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
C.在对称轴的左侧，y随x的增大而增大 D.顶点坐标为(1,3)
5.抛物线y=x +3上有两点A(x ,y ),B(x ,y ),若y ＜y ,则下列结论正确的是( )
A.0≤x ＜x B. x ＜x ≤0 C. x ＜x ≤0或0≤x ＜x D.以上都不对
纠易错 求函数值的取值范围时， 因忽略顶点而出错
6.对于二次函数y=2x -3,当-1≤x≤2时,y的取值范围是( )
思维发散练
发散点1 利用二次函数y=ax +k的图象与性质求表达式
7.求符合下列条件的抛物线的函数表达式：
(1)抛物线y=ax -1过点(1,2);
(2)抛物线y=ax +c与y=x +3的开口大小相同，开口方向相反，且顶点为(0，1).
发散点2 利用二次函数y=ax +k的图象与性质解几何问题
8.【学科内综合】如图，已知正比例函数y=2x的图象与抛物线y=ax +3相交于点 A(1,b).
(1)求a与b的值;
(2)若点 B(m,4)在函数y=2x的图象上,抛物线y=ax +3的顶点是 C,求△ABC 的面积;
(3)若P是x轴上一个动点，求当PA+PC的值最小时点P的坐标.
目标二 二次函数y=ax2+k与y=ax2间的关系
认知基础练
练点1 抛物线y=ax +k与y=ax 间的平移规律
1.将抛物线y=x 向上平移3个单位，所得抛物线的表达式是( )
2.若将抛物线y=7x 经过平移后得到抛物线y=7x -9,那么平移的方法是( )
A.将抛物线y=7x 沿y轴向上平移9个单位
B.将抛物线y=7x 沿y轴向下平移9个单位
C.将抛物线y=7x 沿x轴向左平移9个单位
D.将抛物线y=7x 沿x轴向右平移9个单位
练点2 二次函数y=ax +k与y=ax 间的关系
3.抛物线与的形状完全相同，则其关系式为( )
或 D.不能确定
4.如图，两条抛物线 与分别经过点(-2,0),(2,0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为( )
A.8 B.6 C.10 D.4
纠易错 对平移的规律理解不透彻而出错
5.已知抛物线 把它向上平移，得到的抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形，则原抛物线向上平移了________个单位.
思维发散练
发散点1 利用二次函数y=ax +k与y=ax 间的关系求函数表达式
6.抛物线y=ax +c的顶点坐标是(0，2)，且形状及开口方向与抛物线 相同.
(1)确定a,c的值;
(2)画出抛物线y=ax +c.
发散点2 利用二次函数y=ax +k的图象与性质求最值
7.已知抛物线 具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离相等.如图，点M的坐标为 ，P是抛物线 上一动点.
(1)当△POF 的面积为4时,求点P的坐标;
(2)求△PMF周长的最小值.
参考答案
目标一 二次函数的图象与性质
1. C 【点拨】∵ 抛物线y= ax + k的顶点坐标是(0,k),∴抛物线 的顶点坐标是(0，4),故选C.
2. D 【点拨】∵y=ax +2,∴二次函数y=ax +2的图象的顶点为(0，2)，故A、B不符合题意；当y=ax-a=0时,x=1,∴一次函数y=ax-a的图象过点(1，0)，故C不符合题意，D符合题意.故选D.
3.7 【点拨】抛物线y=ax +k的最高点为(0,k),∴k=7.
4. C 【点拨】∵抛物线y= -2x +3,-2<0,∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=0，顶点坐标为(0，3),当x=0时,函数有最大值3,∴当x<0时,y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小，故选项C说法正确；故选C.
5. D【点拨】∵抛物线y=x +3上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且y1＜y2,∴|x1|＜|x2|,∴0≤x1＜x2或x2＜x1≤0或0＜-x1＜x2或0＜x1＜-x2,故选D.
6. C
点方法 求二次函数值的取值范围时， 要先确定函数在自变量取值范围内的增减性.如果所给范围包含顶点的横坐标， 则在顶点处取得最大(小)值；如果所给范围不包含顶点的横坐标，则利用函数增减性确定最大(小)值：
7.【解】(1)将点(1,2)的坐标代入y=ax -1,得2=a-1,解得 a=3,∴y=3x -1.
(2)∵抛物线y=ax +c与y=x +3的开口大小相同,开口方向相反,∴a= -1.
将点(0，1)的坐标代入y= -x +c,得c=1,∴y= -x +1.
8.【解】(1)把点A(1,b)的坐标代入y=2x,得b=2,∴A(1,2).
把点A(1，2)的坐标代入y=ax +3,得a=-1.
(2)把点B(m,4)的坐标代入y=2x,得 m=2,∴B(2,4).
∵抛物线y= ax +3的顶点C的坐标是(0,3),∴OC=3.
(3)如图，设点C关于x轴的对称点为C'，则 C'的坐标为(0,-3),连接AC'交x轴于点P,此时PA+PC的值最小.
　
设直线AC'的函数表达式是 y= kx+n,把C'(0,-3),A(1,2)的坐标代入上式,
得 解得 .
令y=0,则 点P的坐标是
目标二 二次函数y=ax +k与y=ax 间的关系
1. A 【点拨】抛物线y=x 向上平移3个单位，平移后的表达式为y=x +3.故选A.
2. B 【点拨】抛物线y=ax 沿y轴向上(或向下)平移|k|个单位，可以得到抛物线y=ax2+k,平移的规律是“上加下减”.
3. C【点拨】∵抛物线y=ax -3与 的形状完全相同， 故选C.
4. A 【点拨】阴影部分分割后可以拼凑为一个长为4,宽为2的矩形,其面积为2×4=8,故选A.
5.3 【点拨】由题意易得△ABC是等腰直角三角形，∴OA=OB= OC.
设平移后的抛物线表达式为y=则C(0,k),即OC=k,∴OA=OB=k,
假设A在B左侧,则A(-k,0),B(k,0),将B(k,0)的坐标代入
得 解得k =3,k =0((舍去).
∴原抛物线向上平移了3个单位.
点易错 本题易忽略k=0时，不存在直角三角形ABC 出错.
6.【解】(1)由题意易知 把点(0,2)的坐标代入 得c=2.
(2)如图所示.
7.【解】(1)设点P的坐标为
∵点F的坐标为(0,2),∴OF=2,解得x=±4,
或 ∴点P的坐标为(-4,5)或(4,5).
(2)如图,过点 M作ME⊥x轴于点 E,交抛物线y=于点P,∴PF=PE,即MP+PF的最小值为ME,此时△PMF的周长最小.
∴△PMF周长的最小值为 ME+FM=3+2=5.
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