3.4.4 二次函数y=ax2+bx+c 的图象与性质同步练习（含解析）

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第三章 二次函数
4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第4课时 二次函数y=ax2+bx+c 的图象与性质
目标一 二次函数y=ax2+bx+c 的图象
练点1 二次函数y=ax +bx+c与y=a(x-h) +k间的关系
1.把二次函数y=x +bx+2的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得到的图象的表达式为y=x -4x+7,则b=( )
A.2 B.4 C.6 D.8
2.将抛物线y= -x -2x+3向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过点( )
A.(-2,2) B.(-1,1) C.(0,6) D.(1,-3)
练点2 二次函数y=ax +bx+c的图象
3.已知二次函数y=x +ax+b(a,b为常数).
命题①：该函数的图象经过点(1，0)；
命题②：该函数的图象经过点(3，0)；
命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；
命题④：该函数的图象的对称轴为直线x=1.如果这四个命题中只有一个命题是假命题，
则这个假命题是( )
A.命题① B.命题② C.命题③ D.命题④
4.在同一平面直角坐标系中，二次函数y= ax 与一次函数y=bx+c的图象如图所示，则二次函数y=ax +bx+c的图象可能是( )
纠易错 化二次函数为y=a(x-h) +k的形式时，因漏掉二次项系数而出错
5.将二次函数y= -2x -4x+5化成y=a(x-h) +k的形式是__________.
思维发散练
发散点1 利用抛物线的特征求字母的取值范围
6.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-x +2x+3的图象与y轴交于点 C，过点 C作x轴的平行线，与抛物线交于另一点 D.
(1)求点C和点D的坐标，并绘出二次函数的图象；
(2)当x>2时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值大于二次函数y=-x +2x+3的值，直接写出m的取值范围.
发散点2 利用抛物线上点到对称轴的距离比较函数值的大小
7.在平面直角坐标系xOy中,点(1,m)和点(3,n)在抛物线y=ax +bx(a>0)上.
(1)若m=3,n=15,求该抛物线的对称轴.
(2)已知点(-1,y ),(2,y ),(4,y )在该抛物线上.若mn<0,比较y ,y ,y 的大小,并说明理由.
目标二 二次函数y=ax +bx+c的性质
练点1 二次函数y=ax +bx+c的性质
1.在二次函数y= -x -2x+3的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是( )
2.二次函数y=-x -(k-4)x+6,当x>-2时，y随着x的增大而减小，当x<-2时，y随着x的增大而增大，则k=______________.
3.已知二次函数y=2x -4x-1,在0≤x≤a时,y取得的最大值为15,则a的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
练点2 二次函数y=ax +bx+c的图象与a，b，c符号间的关系
4.如图,二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴相交于A(-1，0)，B两点，对称轴是直线x=1，下列说法正确的是( )
A. B.当x>-1时,y的值随x值的增大而增大
C.点B的坐标为(4,0) D.
5.已知二次函数y=ax +bx+c-2(a≠0)的图象如图所示,顶点为(-1,0),则下列结论:其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
思维发散练
发散点1 利用二次函数图象的平移求函数表达式
6.如图,二次函数(a为常数)的图象的对称轴为直线x=2.
(1)求a的值;
(2)向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式.
发散点2 利用二次函数的最值求字母的值(分类讨论思想)
7.已知二次函数y=-x +6x-5.
(1)求二次函数图象的顶点坐标；
(2)当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少
(3)当t≤x≤t+3时,函数的最大值为m,最小值为n,若m-n=3,求t的值.
参考答案
目标一 二次函数y=ax +bx+c的图象
1. A 【点拨】∵y=x -4x+7=(x-2) +3,∴新抛物线的顶点坐标为(2，3).根据题意得原抛物线的顶点坐标为(-1，1)，∴原抛物线的表达式为y=(x+1) +1=x +2x+2,∴b=2.故选A.
2. B 【点拨】y=-x -2x+3= -(x+1) +4,故将抛物线y=-x -2x+3向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的表达式为 y=-x +2.当x= -2时,y=-(-2) +2=-4+2=
-2,故此抛物线不经过点(-2,2);当x= -1时,y=-(-1) +2= -1+2=1,故此抛物线经过点
(-1,1);当x=0时,y=-0 +2=0+2=2,故此抛物线不经过点(0,6);当x=1时,y=-1 +2= -1+2=1,故此抛物线不经过点(1,-3).故选 B.
3. A 【点拨】由题意知命题①④必有一个是假命题，命题①②必有一个假命题，由此判断命题①是假命题.故选A.
4. D 【点拨】观察函数图象可知:a<0,b>0,c>0,∴二次函数y=ax +bx+c的图象开口向下，对称轴为直线 与y轴的交点在y轴正半轴.故选 D.
5. y= -2(x+1) +7
点易错 将二次函数y=ax +bx+c化为y=a(x-h) +k的形式时，易在配方时忽略二次项系数而出错.
6.【解】(1)∵y= -x +2x+3= -(x-1) +4,∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
当x=0时,y=3,∴C(0,3),∴点C关于对称轴对称的点为(2,3),
∴D(2,3).绘图如图所示.
【点拨】把点 D(2,3)的坐标代入y=mx,求得 当x>2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于二次函数y= -x +2x+3的值
7.【解】(1)由题意知点(1,3),(3,15)在抛物线上.
将点(1,3),(3,15)的坐标分别代入y=ax +bx,得 解得
∴∴该抛物线的对称轴为直线x=-1.
(2)y 0),∴抛物线开口向上且经过原点.
∵mn<0,∴m,n异号.
当b=0时,可得m=a>0,n=9a>0,m,n同号,不满足题意；
当b>0时,可得m=a+b>0,n=9a+3b>0,m,n同号，不满足题意.
当b<0时，易知抛物线的对称轴在y轴右侧，∴m<0,n>0,
∴抛物线的对称轴在直线 与直线 之间，即
∴y 目标二 二次函数y=ax +bx+c的性质
1. A 【点拨】∵y= -x -2x+3,，∴抛物线开口向下，对称轴为直线 时,y随x的增大而增大.故选A.
2.8 【点拨】∵y=-x -(k-4)x+6,∴抛物线开口向下，对称轴为直线 由题意得抛物线的对称轴为直线 解:得k=8.
3. D 【点拨】∵二次函数y=2x -4x-1=2(x-1) -3,∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点为(1，-3)，∴当y= -3时,x=1,当y=15时,,2(x-1) -3=15,解得x =4,x = -2.∵当0≤x≤a时,y的最大值为15,∴a=4,故选D.
4. D 【点拨】选项A，由图可知：抛物线开口向下，a<0，故选项A错误，不符合题意；选项B，∵抛物线的对称轴是直线x=1，开口向下，∴当x>1时，y随x值的增大而减小，当x<1时，y随x值的增大而增大，故选项B错误，不符合题意；选项C，由A(-1,0),抛物线的对称轴是直线x=1可知,点B的坐标为(3，0)，故选项C错误，不符合题意；选项D，抛物线y=ax +bx+c过点(2,4a+2b+c),由B(3，0)可知，抛物线上横坐标为2的点在第一象限，∴4a+2b+c>0,故选项D正确，符合题意；故选D.
5. C 【点拨】∵抛物线开口向下,∴a<0.∵对称轴在y轴左侧，∴b<0.由图象可知，c-2<-2,∴c<0,∴abc<0,故结论①正确;∵二次函数y=ax +bx+c-2的图象与x轴只有一个交点，∴b -4a(c-2)=0,∴b -4ac = -8a>0,故结论②不正确；∵对称轴为直线 -8a,∴4a -4ac=-8a,∴a=c-2.∵c<0,∴a<-2,故结论③正确；∵对称轴是直线x=-1，而且x=0时，y<-2,∴x= -2时,y<-2,∴4a-2b+c-2<-2,∴4a-2b+c<0.故结论④正确.综上,可得正确结论的个数是3个.故选C.
6.【解】(1)y=(x-1)(x-a)=x -(1+a)x+a.
∵图象的对称轴为直线x=2， 解得a=3.
(2)由(1)知a=3，则二次函数的表达式是y=x -4x+3,
∴该二次函数的图象向下平移3个单位后经过原点，
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是y=x -4x.
7.【解】(1)∵y=-x +6x-5= -(x-3) +4,∴二次函数图象的顶点坐标为(3，4).
(2)∵-1<0,∴图象开口向下.
∵顶点坐标为(3,4),∴当x=3时,y取最大值4.
∵当1≤x≤3时,y随x的增大而增大,∴当x=1时,y取最小值0.
∵当3∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0.
(3)①当t<0时,y随x的增大而增大,
∴当x=t+3时,y取最大值m,即m=-(t+3) +6(t+3)-5= -t +4;
当x=t时,y取最小值n,即n= -t +6t-5,∴m-n=-t +4-(-t +6t-5)= -6t+9.
∴-6t+9=3,解得t=1(不合题意,舍去).
②当0≤t<3时,易知m=4.
i.若 则当x=t时，y取最小值n，即n=-t +6t-5,∴m-n=4-(-t +6t-5)=t -6t+9.
∴t -6t+9=3,解得 (不合题意，舍去).
ii.若 则当x=t+3时,y取最小值n,即n= -(t+3) +6(t+3)-5= -t +4,
∴m-n=4-(-t +4)=t .∴t =3,解得 (不合题意，舍去).
③当t≥3时，y随x的增大而减小，∴当x=t时,y取最大值m,即m=-t +6t-5;
当x=t+3时,y取最小值n,即n= -(t+3) +6(t+3)-5= -t +4.
∴m-n=-t +6t-5-(-t +4)=6t-9.∴6t-9=3,解得t=2(不合题意,舍去).
综上所述，t的值为 或
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