人教版数学八年级上册 13.4课题学习最短路径问题 课件(共11张PPT)

(共11张PPT)
13.4 课题学习
最短路径问题
草地
河
B
A
牧马人
营地
问题一：牧马人从A处回到B处休息，怎么走可使路径最短？
两点之间，线段最短
草地
河
B
A
牧马人
营地
l
D
问题二：牧马人从A处到河边 l 处饮马，怎么走可使路径最短？
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
草地
河
A
B
“牧马饮水问题1”：
如图，牧马人从A地出发，先到河边某处饮马，再穿过小河回到B处，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？请画出最短路径.
l
C
C′
由“两点之间，线段最短”，
知AC+BC＜AC′+BC′.
∴最短路径是AB.
归纳：当点A、B位于直线 l 的异侧时，连接AB，与直线 l 的交点，即为直线 l 上到A、B距离之和最短的点 ．
草地
河
B
A
“牧马饮水问题2”：
如图，牧马人从A地出发，先到河边某处饮马，再回到B处，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？请画出最短路径.
C1
C
B1
要找到最短路径，有时需要作某些点关于直线的对称点，从而把线段进行转换.
l
“牧马饮水问题2”：
如图，牧马人从A地出发，先到河边某处饮马，再回到B处，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？请画出最短路径.
归纳：当点A、B位于直线 l 的同侧时，作点B关于直线l的对称点B1，连接AB1，与直线l的交点，即为直线l上到A、B距离之和最短的点.
AC+CB=AC+CB1=AB1,
AC1+C1B=AC1+C1B1＞AB1.
∴最短路径是AC+BC.
草地
河
B
A
C1
C
B1
l
B
A
河
草地
m
Q
P
D
C
l
“牧马饮水问题3”：
如图，牧马人从A地出发，先到草地边某处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径.
解：最短路径是AP+PQ+BQ.
C
最短路径问题
A
B
(1)两点
(3)两点一线（异侧）
(4)两点一线（同侧）
(2)一点一线
A
l
A
B
l
A
l
B
C
C
B′
最短路径问题
(5)一点两线
P1
P
P2
F
E
(6)两点两线
l
Q
P
D
C
B
A
l1
l1
l
随堂训练
如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点.
·
·
C
D
A
B
E
a
作法：作点B关于直线 a 的对称点点C,连接AC交直线a于点D，则点D为建抽水站的位置.
随堂训练
如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点.
证明：在直线 a 上另外任取一点E，连接AE, CE,
BE,BD.∵点B,C关于直线 a 对称,点D,E在直线 a上，∴DB=DC,EB=EC, ∴AD+DB=AD+DC=AC,
AE+EB=AE+EC.在△ACE中，AE+EC＞AC,
即 AE+EC＞AD+DB ,
∴抽水站应建在河边的点D处，
·
·
C
D
A
B
E
a