1.1集合的概念 课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
教学目标
通过实例，了解元素及集合的含义，理解元素与集合的属于关系。
了解集合相等的含义，了解集合中元素的确定性、互异性、无序性。
知道常用数集及其专用记号。
针对具体问题，能在自然语言基础上，用列举法和描述法刻画集合，从中感受集合语言的意义和作用，提升数学抽象素养。
重难点
重点：集合的概念及特殊数集的符号表示。
难点：元素与集合的关系。
新课导入
情景1：集合论诞生于19世纪末，其创始人是康托尔（1845——1918，德国数学家）。集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，它的出现大大扩充了数学的研究领域，可以说，集合论是整个数学大厦的基础，他不仅影响了现代数学，而且也深深的影响了现代哲学和逻辑学。
新课导入
情景2：高一开学第二天，学校通知：上午8点，在学校体育馆举行军训动员大会。
问题：这个通知的对象是全体高一学生还是个别对象？
高一学生全体
新课导入
初中阶段，我们学习过哪些集合？
代数方面：自然数集合、有理数集合、实数集合、方程解的集合、不等式解的集合；
几何方面：点的集合等。
在初中学习中，我们用集合描述过什么？
圆的概念：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合。
讲授新课
探究一 集合的含义
研究下面的例子：
1~10之间所有的偶数；
立德中学今年入学的全体高一学生；
所有的正方形；
到直线l的距离等于定长d的所有点；
方程的所有实数根；
地球上的四大洋。
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思考：
上述每个例子都由若干个对象组成，每组对象的全体都能组成集合吗？我们把研究的对象统称为元素，元素分别是什么？
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归纳新知
集合的含义
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）。
集合与元素的表示
通常用大写字母A，B，C，……表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，……表示集合中的元素。
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探究二 集合中元素的性质
所有的“高个子的男生”能否构成一个集合？由此说明什么？
提示 不能。其中的元素不确定，集合中的元素是确定的。
又由1，3，0，5，这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？
提示 不正确。集合中中有4个不同元素1，3，0，5.集合中的元素是互异的。
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探究二 集合中元素的性质
高一（5）班的全体同学组成一个集合，调座位后这个集合有没有变化？
提示 集合没有变化。集合中的元素是没有顺序的。
通过以上的学习你能给出集合中元素的特性吗？
提示 确定性、互异性、无序性
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探究二 集合中元素的性质
两个集合中，元素完全一样，则称两集合相等。
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练习1.判断下列元素的全体能否组成集合，并说明理由：
大于3小于11的偶数；
我国的小河流。
解1.是由4，6，8，10四个元素组成的集合。
2.由集合元素的确定性知不能组成集合。
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探究三 元素与集合的关系
一直下面的两个实例：
用A表示高一（3）班全体学生组成的集合。
用a表示高一（3）班的一位同学，b表示高一（4）班的一位同学。
思考 a，b与集合A分别有什么关系？
提示 a是集合A中的元素，b不是集合A中的元素。
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元素与集合的属于关系
如果a是集合A中的元素，就是a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA.
常用数集及其记法：非负整数（自然数集）N、正整数集N*或N+、整数集Z、有理数集Q、实数集R.
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练习2.用符号“”或“”填空。
2 N；2. Q；3. 0 ；4. b .
答案 1. 2. 3. 4.
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探究四 集合的表示方法
列举法
思考1：地球上的四大洋组成的集合如何表示？
提示 可以表示为｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝.
思考2：方程的所有根组成的集合，又如何用列举法表示呢？
提示
讲授新课
问题：通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的概念吗？
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法叫做列举法。
注意：1.花括号不能缺失，元素中间用逗号隔开；
2.元素按一定的顺序列举，如：从小到大等。
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思考3：a与｛a｝有什么区别？
提示 a是一个元素，｛a｝是个集合。
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例1. 用列举法表示下列集合：
小于10 的所有自然数组成的集合。
方程的所有实数根组成的集合。
解(1)设小于10的所有自然数组成的集合为 A，那么 A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
(2)设方程 x =x 的所有实数根组成的集合为B，那么 B={0,1}.
注意：①由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合可以有不同的列举方法.例如，例1.1.可以表示为A={9,8,7,6,5,4,3,2,1,0};
②用列举法表示集合时，最好按一定的顺序列举元素.
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描述法
思考1：能否用列举法表示不等式x-3<7的解集 该集合中的元素有什么性质
提示 不能。但是可以看出，这个集合中的元素满足性质：
(1)集合中的元素都小于10；(2)集合中的元素都是实数.
这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示，
写作:{x|x<10，x∈R}.
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思考2：所有奇数的集合怎么表示 偶数的集合怎么表示 有理数集怎么表示呢
提示所有奇数的集合可以表示成{x∈Z|x=2k+1， k∈Z}，或{x∈Z|x=2k-1，k∈Z};所有偶数的集合可以表示成 {x∈Z|x=2k， k∈Z}；Q{x∈R|x=，p，q ∈Z，p0}
讲授新课
问题：通过思考以上问题大家能总结归纳出描述法的概念吗
在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.设 A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征 P(x)的元素 x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替竖线,写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}.
注意：在不引起混淆的情况下，描述法也可以简写成列举法的形式，只是去掉竖线和元素代表符号，例如：所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形}，也可以写成{直角三角形}.
讲授新课
例2. 试分别用列举法和描述法表示下列集合.
(1)方程x -2=0的所有实数根组成的集合A.
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合B.
解(1)设方程 x -2=0 的实数根为x，并且满足条件. x -2=0，x∈A，因此，用描述法表示为 A={x∈R|x -2=0}.
方程x -2=0 有两个实数根为 因此，用列举法表示为A={}.
(2)设大于10小于20的整数为x,它满足条件x∈Z，且10大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此,用列举法表示为 B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.
讲授新课
自然语言、列举法和描述法表示集合时，各自的特点和适用对象.
自然语言描述集合简单易懂、生活化；列举法的特点是将每个元素一一列举出来，非常直观明显地表示元素，当元素有限或者元素有规律性的时候，是常采用的方法；描述法表示的集合中元素具有明显的共同特征，集合中的元素通常是无限的，也是比较常用的集合表示法.
课堂测试
1.下列对象不能构成集合的是( )
①我国近代著名的数学家；②所有的欧盟成员国；③空气中密度大的气体.
A.①② B.②③ C.①②③ D.①③
答案 D
解析研究一组对象能否构成集合的问题，首先要考查集合中元素的确定性.①中的“著名”没有明确的界限；②中的研究对象显然符合确定性；③中“密度大”没有明确的界限.故选 D.
课堂测试
2.下列三个关系式：①R；②Q；③0Z.其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.0
答案 B
解析 ①正确；②因为Q所以②错误；③0∈Z，正确.
课堂测试
3.如果正实数 a，b，c，d为集合A 的四个元素，那么以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是( )
A.矩形 B.平行四边形
C.菱形 D.梯形
答案 D
解析由于集合中的元素具有互异性，故正实数a，b，c， d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等，因此以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是梯形.
课堂测试
4.设集合 A={x|x -3x+a=0}， 若4∈A,则集合A用列举法表示为 .
答案{-1,4}
解析 ∵4∈A,∴16-12+a=0,∴a=-4,
∴A={x|x -3x-4=0}={-1,4}.
课堂测试
5.用适当的方法表示下列集合：
(1)方程组，的解集；
(2)所有的平行四边形；
(3)抛物线 y=x 上的所有点组成的集合.
解(1)解方程组得
故解集用列举法表示为{(4，-2)}.
(2)集合用描述法表示为{x|x是平行四边形}，简写为{平行四边形}.
(3)集合用描述法表示为 {(x,y)|y=x }.
课堂小结
1.集合的含义.
2.集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.
3.元素与集合之间的关系：属于与不属于.
4.常见数集的专用符号:N，N*(N )，Z，Q，R.
5.集合的表示方法：列举法与描述法.