2.2基本不等式 同步练习（含答案）

2.2基本不等式
一、单选题
1．已知正实数，满足，则下列不等式中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若，且，则下列不等式恒成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．设，，则“”是“”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知正实数a，b满足，则的最小值是（　　）
A．1 B． C． D．
5．我国南宋数学家秦九韶，发现了三角形面积公式，即，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积.若某三角形三边a，b，c，满足，，则该三角形面积S的最大值为（　　）
A． B． C． D．
6．若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（　　）
A．6 B． C． D．
7．已知实数满足，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（　　）
A．9 B．25 C．16 D．12
8．某观光种植园开设草莓自摘活动，使用一架两臂不等长的天平称重．一顾客欲购买2的草莓，服务员先将1的砝码放在天平左盘中，在天平右盘中放置草莓A使天平平衡；再将1的砝码放在天平右盘中，在天平左盘中放置草莓B使天平平衡；最后将两次称得的草莓交给顾客．你认为顾客购得的草莓是（　　）
A．等于2 B．小于2 C．大于2 D．不确定
二、多选题
9．已知正实数、满足，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．已知，b为实数，且，则下列命题正确的是（　　）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11． 设，，且，则（　　）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
12．已知正实数，满足，则下列结论中正确的是（　　）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
三、填空题
13． 已知，则的最小值为　 　 ．
14．已知正数x，y满足，则的最大值为　 　．
15．某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图．则至少需要　 　米栅栏．
16．已知对任意，均有不等式成立，其中.若存在使得成立，则的最小值为　 　.
四、解答题
17．已知a，b，c均为正数，且，证明：
（1）若，则；
（2）.
18．已知，，且，证明.
（1）；
（2）
19．设均不为零，且．
（1）证明：；
（2）求的最小值．
20．已知，，且.
（1）证明：；
（2）若，，求的最小值.
参考答案
1．D
2．C
3．A
4．C
5．B
6．C
7．B
8．C
9．A,D
10．A,D
11．A,B
12．B,C
13．3
14．
15．4
16．
17．（1）证明：，，，
，
当且仅当，时取等号，
，即；
（2）证明：∵a，b，c均为正数，且，由柯西不等式得，
，
，
，当且仅当时取等号．
18．（1）证明：，
因为，，则，则，当时等号成立，
所以；
（2）证明：
，
，
，
，
，
而，当时等号成立，
所以
19．（1）证明：依题意，，且均不为零，
则，
所以.
（2）解：因为，
当且仅当，即时取等号，因此，
所以的最小值为3.
20．（1）证明：由已知可得，
当且仅当时，等号成立.
（2）解：因为，，，所以，且，
当时，
，
，
，
，当且仅当，且，即时，等号成立，
此时的最小值为，
当时，
，
，
，
，当且仅当，且，即时，等号成立，
此时的最小值为，
综上所述：此时的最小值为。