4.2.1等差数列的概念 教案

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名称 4.2.1等差数列的概念 教案
格式 docx
文件大小 67.9KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2023-08-10 15:30:19

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文档简介

4.2.1等差数列的概念
一、教材分析
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章第2节第1小节(第一课时),主要学习等差数列的概念和通项公式. 按照新课标要求:通过生活中具体实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义;能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题;体会等差数列与一元一次函数的关系.
教材借助生活中丰富的典型实例,让学生通过观察、分析、推理、讨论、归纳等活动过程,从中了解和体验等差数列的定义与通项公式知识的生成过程. 数列是一种特殊的函数,与函数思想密不可分,而等差数列作为数列部分的主要内容,它起着承前启后的作用,是学生探究特殊数列的开始,为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础,同时培养学生抽象概括、逻辑推理、数学运算的能力. 同学们在学习后续内容时,会感受到无论在知识上,还是在方法上这节的学习都具有积极的意义.
二、学情分析
高二的学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力,已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程,以及对函数和方程思想有所体会,也能够应用数学公式解决简单问题,但是他们的思维仍然需要依赖具体实例来理解并抽象出数学概念. 经过前一节数列的概念学习,学生对数列的知识有了初步的接触和认识,具备了一定的理论基础,但学生基础较弱,逻辑推理、抽象概括和数学运算能力有所欠缺. 因而,课堂上会注意教学的节奏,同时注重从具体的生活实例引导和启发学生,促进学生思维能力的进一步发展.
三、教学目标
1. 通过实例抽象出等差数列的定义,了解等差中项的定义及性质,发展数学抽象的核心素养;
2.了解掌握等差数列通项公式的推导过程,体会等差数列通项公式与一次函数的关系,培养学生逻辑推理、数学运算能力.
四、教学重难点
1.教学重点
等差数列的定义及其通项公式;
2.教学难点
等差数列的通项公式的推导.
五、教学过程
1.复习导入
(1)数列的定义是什么?
一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数叫做数列.
(2)数列的通项公式的定义是什么?
如果数列的第项与它的序号之间对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
(3)数列的递推公式的定义是什么?
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做数列的递推公式.
2.探究新知
探究一 等差数列的概念
问题1观察下面几个问题中的数列,你能发现什么取值规律?
(1)北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成,最中间是圆形的天心石,围绕天心石的是9圈扇环形的石板,从内到外各圈的石板数依次为
9,18,27,36,45,54,63,72,81.①
(2)S,M,L,XL,XXL,XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是
38,40,42,44,46,48.②
(3)测量某地垂直地面方向上海拔500 m以下的大气温度,得到从距离地面20 m起每升高100 m处的大气温度(单位:℃)依次为
25,24,23,22,21.③
对于①,发现,换一种写法是,.如果用表示数列①,那么有, … ,.
这表明,数列①有这样的取值规律:从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数. 数列②③也有这样的取值规律.
等差数列的概念:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示. 例如,数列①的公差.
等差数列的符号语言:
.
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时,A叫做a与b的等差中项. 根据等差数列的定义可以知道,.
探究二 等差数列的通项公式
问题2 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗?
设一个等差数列的首项为,公差为d. 根据等差数列的定义,可得,所以 于是



……
归纳可得.
当时,上式为. 这就是说,上式当时也成立.
因此,首项为,公差为d的等差数列的通项公式为.
教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法,还有其它方法吗?
还可以用累加法,过程如下:
∵a2-a1=d,
a3-a2=d,
a4-a3=d,…
an-an-1=d(n≥2),
将上述(n-1)个式子相加得
an-a1=(n-1)d(n≥2),
∴an=a1+(n-1)d(n≥2),
当n=1时,a1=a1+(1-1)d,符合上式,
∴an=a1+(n-1)d(n∈N*).
探究三 等差数列与一次函数的关系
问题3观察等差数列的通项公式,你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关?
由于,所以当时,等差数列的第项是一次函数当时的函数值,即.
如图,在平面直角坐标系中画出函数的图象,就得到一条斜率为d,截距为的直线. 在这条直线上描出点就得到了等差数列的图象.
事实上,公差的等差数列的图象是点组成的集合,这些点均匀分布在直线上. 反之,任给一次函数(k,b为常数),则,,…,,…构成一个等差数列,其首项为,公差为.
3.例题讲解
例1.已知等差数列的通项公式为求公差和首项;
解:(1)当 的通项公式为,
可得 .
于是=()-()=2.
把代入通项公式,可得
例2.求等差数列8,5,2,…,的第20项,并判断-289是否是数列中的项,若是,第几项?
解:由已知条件,得
把,代入,
得:
令,得
这个数列的第100项.
六、课堂小结
1.等差数列的定义及通项公式;
2.等差中项的概念;
3.数学思想:数形结合、函数与方程.
七、课后作业
完成教材第15页练习题.