5.3.2.1函数的极值 教案

§5.3.2.1函数的极值
一、教材分析
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第五章《一元函数的导数及其应用》，本节课主要学习函数的极值。
学生已经具有导数概念、导数几何意义、导数计算、函数的单调性等相关的数学概念知识，对函数的单调性有一定的认识，对相应导数的内容也具有一定的储备。函数的极值是函数的一个重要性质。在学习运用导数判断函数单调性的基础上，研究和学习函数的极值是导数的一个重要应用，注意培养学生数形结合思想、特殊到一般的研究方法，发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养。
二、教学目标
1.了解函数极值的概念，会从函数图象直观认识函数极值与导数的关系；
2.初步掌握求函数极值的方法；
三、教学重难点
1.重点：求函数极值；
2.难点：函数极值与导数的关系。
四、教学过程
1.复习引入
（1）导数的几何意义是什么
（2）函数的单调性与其导函数正负的关系？
如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？
2.探究新知
问题1 图一是某跳水运动员的重心相对于水平面高度h随时间的变化图像，当时，跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h(t)在点处的导数是多少？
图一
分析得.
追问:点附近的函数图象有什么特点呢？对应导数的符号有什么变化规律？
问题2：对于一般的函数，是否具有同样的性质？如图二，函数在点处的函数值与该点附近的函数值有什么关系？的导数的正负性有什么规律？
图二
函数在点处的函数值比它在点附近其他点的函数值都小。
当时,,函数单调递减；
当时,；
当时,,函数单调递增。
三、讲授新知
1.函数在点处的函数值比它在点附近的其他点处的函数值小,且在点附近的左侧,右侧.我们把函数的极小值点,叫做函数的极小值；
2.函数在点处的函数值比它在点附近的其他点处的函数值大, 且在点附近的左侧右侧.我们把叫做函数的极大值点,叫做函数的极大值；
3.极小值点与极大值点统称为极值点,极小值与极大值统称为极值。
追问：图二中的函数有哪些极值点？
极大值点：
极小值点：
极大值：、
极小值：、、
追问：极大值一定大于极小值吗？
图三
如图三所示：
极大值点：
极小值点：
极大值：、、
极小值：、
因为，所以极大值不一定大于极小值。
四、例题讲解
例1 (多选)若函数f(x)的导函数的部分图象如图四所示，则(　　)
A．x1是f(x)的一个极大值点
(
图四
)B．x2是f(x)的一个极小值点
C．x3是f(x)的一个极大值点
D．x4是f(x)的一个极小值点
答案：AB
例2 求下列函数的极值：f(x)＝x3－3x2－9x＋5。
解：
(1)函数＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，，的变化情况如下表：
因此，x＝－1是函数的极大值点，极大值为f(－1)＝10；x＝3是函数的极小值点，极小值为f(3)＝－22.
求极值的步骤：
1.确定函数的定义域;
2.求导数;
3.求方程的根；
4.方程将函数整个定义域分成若干个小开区间，把,f的变化情况并列成表格；
5.判断得结论：如果在附近的左侧右侧,那么极大值；如果在附近的左侧右侧,那么极小值；如果左右不改变符号，则无极值。
五、巩固练习
求下列函数的极值：
(1)y＝2x＋；(2)y＝x3(x－5)2.
六、课堂小结
一、函数极值的定义
1. 极小值点与极小值；
2. 极大值点与极大值；
3. 极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值。
二、求极值的步骤
1.定义域；2.求导数；3.解方程；4.列表格；5.写结论
三、极值说明
1.函数的极大值不一定大于极小值，且可能不存在极大值（极小值）。
2. 一般地，函数y＝f(x) 在一点处的导数值为0是函数y＝f(x) 在这点取极值的必要条件，而非充分条件。
七、课后作业
完成小师说课时作业十八。