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课题:拼图与勾股定理（一）
教学目标
知识目标：
1.经历综合运用已有知识解决问题的过程；在此过程中，加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。
2.经历不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题的方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值。
能力目标：
1、 通过验证过程中数与形的结合，体会数形结合的思想以及数学知识之间的内在联系。
2、通过丰富的拼图活动，经历观察、比较、拼图、计算、推理、交流等过程，发空间观念和有条理地思考与表达的能力，获得一些研究问题下合作交流的方法和经验。
情感目标：
经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，从中获得成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心。
重点：1．通过综合运用已有知识解决问题的过程，加深对勾股定理、面积等的认识。
2.通过拼图验证勾股定理的过程，使学习获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。
难点：1．利用“五巧板”拼出不同图形进行验证勾股定理。
2.利用数形结合的方法验证勾股定理。
教法：启发——自主探索相结合学法：动手、观察、交流、合作
教具：若干个全等的直角三角形
教学过程：
1、 创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题
1．你都知道关于勾股定理的哪些历史故事？
2．你知道勾股定理的内容吗？说说看。
在上一节中，我们已用拚图的方法验证过勾股定理，我们一同来回忆一下：（同学们回答有这几种可能：[（1） （2）]在同学交流形成共识之后，教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。= 请同学们对上面的式子进行化简，得到：=
我们观察勾股定理的形式：在直角三角形中，如果两直角边是a、b，斜边是c则=。我们当时验证它时，为什么想到用拚图的方法构造以c为边长的正方形呢？
、、能使你想到什么？
在同学的回答后提出：还有其它的拚图方法验证勾股定理吗？
2、 讲授新课：
（一）.用拼图法验证勾股定理
问题1；如果四个直角三角形重新摆放如图所示，你能验证勾股定理吗？
图1的面积为：
图2的面积为：
=
得到：=
问题2：你已知道的关于验证勾股定理的拼图方法有哪些？（教师在此给予学生独立思考和讨论的时间，让学生回想前面拼图。利用四个全等的直角三角形拼出的“弦图”和所示方法，并使之亲自验证勾股定理。教师可利用课件介绍“弦图”的历史，及“弦图”被定为2002年世界数学大会的会标等小知识。）
解：大正方形的面积可表示为：
也可以表示为：
所以=
解之得：=
（二）、动手操作，合作探究
1．教师介绍“五巧板”的制作方法，学生拿出准备好的硬纸板制作“五巧板”。
步骤：做一个Rt△ABC，以斜边AB为边向内做正方形ABDE，并在正方形内画图，使DF⊥BI，CG=BC，HG⊥AC，这样就把正方形ABDE分成五部分①②③④⑤。
沿这些线剪开，就得了一幅五巧板。
2．取两幅五巧板，将其中的一幅拼成一个以C为边长的正方形，将另外一幅五巧板拼成两个边长分别为a、b的正方形，你能拼出来吗？（给学生充分的时间进行拼图、思考、交流经验，对于有困难的学生教师要给予适当引导。）
1． 用上面的两幅五巧板，还可拼出其它图形。你能验证勾股定理吗？（学生亲自实践，加深对五巧板拼图验证勾股定理的理解，在此，对以“a”为边的正方形在直角三角形的内侧不易理解，教师要适当地引导，不要限制学生思维。）
大正方形的面积，由组成。
小正方形的面积，由组成。
小正方形的面积，由组成。
4．利用五巧板还能通过怎样拼图来验证勾股定理？（这个问题要给予学生充足的时间和空间进行讨论和拼图，教师在这要引导适度，不要限制学生思维，同时鼓励学生在拼图过程中进行交流合作。）
（三）、相互交流，整理结论，加深理解
了解学生拼图的情况及利用自己的拼图验证勾股定理的情况。教师在巡视过程中，相机指导，并让学生展示自己的拼图及让学生讲解验证勾股定理的方法，并根据不同学生的不同状况给予适当的引导，引导学生整理结论。
（四）、课堂总结
从这节课中你有哪些收获？
（教师应给予学生充分的时间鼓励学生畅所欲言，只要是学生的感受和想法，教师要多鼓励、多肯定。最后，教师要对学生所说的进行全面的总结。）
五、巩固:教科书第179页，习题第1题。
总统巧证勾股定理
学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种．其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．
总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的．事情的经过是这样的； 在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。
于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
他是这样分析的，如图所示：1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。
参考练习
1.在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和．
证明：过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为
AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，所以△ACE≌△AGB(SAS)．而
所以 SAEML=b2． ①
同理可证 SBLMD=a2． ②
①+②得
SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，
即 c2=a2+b2．
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课题：1.1.2探索勾股定理（2）
教学目标：
1． 经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯．
2． 掌握勾股定理和他的简单应用．
重点难点：
1.重点： 能熟练运用拼图的方法证明勾股定理．
2.难点：用面积证勾股定理．
教具准备：纸片一张，剪刀，直尺，投影仪．
教学过程
一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题
我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟几个实例是否具有普遍的意义，还需加以论证，下面就是今天所要研究的内容，下边请大家画四个与图1全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形，拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，并与同学交流。在同学操作的过程中，教师展示投影1（书中P7 图2）接着提问：大正方形的面积可表示为什么？
（同学们回答有这几种可能：（1） （2）
在同学交流形成共识之后，教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来： =，
请同学们对上面的式子进行化简，得到： ，
即 =
这就可以从理论上说明勾股定理存在．请同学们去用别的拼图方法说明勾股定理．
探索:你还有其他的方法验证勾股定理吗
方法一：大正方形的面积可以表示为；也可以表示为
∵=
∴=
方法二：如下图，你能用面积法来验证勾股定理吗？
点拨：面积法验证勾股定理关键是要找到一些特殊图形(如Rt△，正方形，梯形)的面积之和等于另一些特殊图形的面积，从而达到验证的目的．
解：此图可以这样理解，有三个Rt△其面积分别为ab，ab和c2．还有一个直角梯形，其面积为(a＋b)(a＋b)．
由图形可知： (a＋b)(a＋b)＝ ab＋ab＋c2
整理得(a＋b)2＝2ab＋c2
a2＋b2＋2ab＝2ab＋c2
∴a2＋b2＝c2
由此得到勾股定理．
二、例题讲解
例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞机飞到一个男孩头顶正上方4000多米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米．飞机每时飞行多少千米？
分析：根据题意：可以先画出符合题意的图形。如图3，图中△ABC的米，AB=5000米，欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道飞机在
20秒的时间里的飞行路程，即图中的CB的长，由于直角△ABC的斜边AB=5000米，
AC=4000米，这样的CB就可以通过勾股定理得．这里一定要注意单位的换算．
解：由勾股定理得，即BC=3千米．
飞机20秒飞行3千米，那么它1小时飞行的距离为：
答：飞机每个小时飞行540千米．
三、议一议
展示投影2（书中的图1—9）
观察上图，应用数格子的方法判断图中的三角形的三边长是否满足．
同学在议论交流形成共识之后，老师总结：勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使用勾股定理．
四、课堂小结
1、勾股定理内容及应用．
2、另一种数学证题方法：拼图法.
五、作业
课文 P9§1.2 1 、2．
教学后感
课堂中教师发挥“集思广益”“智力互激”的优势，积极组织学生开展平等、宽松、民主的讨论，尊重学生，关心学生，教学民主，让学生体验到他们才是学习的主人，教师是他们平等的合作者．
作业设计
一、判断题。
1．△ABC的两边AB＝5，AC＝12，则 BC＝13（）
2．△ABC的a＝6，b＝8，则c＝10（）
二、填空题。
1．在△ABC中，∠c＝90°，（1）若c＝10，a：b＝3：4，则a＝ ，b＝ 。
（2）若a＝9，b＝40，则c＝
2．在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，CB＝8，则AB上的高为
3．在△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于 D，（1）若 AC＝61，CD＝11，则AD＝ ；（2）若CB＝113，CD＝15，则BD＝
4．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为
三、选择题。
1．若等腰△ABC的腰长AB＝2，顶角∠BAC＝120°，以 BC为边的正方形面积为（）
A．3 B．12 C． D．
2．已知等腰直角三角形斜边上中线长为5cm，则以直角边为边的正方形面积为（）
A．10cm2 B．15cm2 C．50cm2 D．25cm2
四、解答题。
1．等腰三角形的腰长为25，底为48。求它的面积。
2．操场上旗杆高5米，从顶处拉一根长13米的绳子，使绳子拉直的另一端落在地上，问此绳子下端离旗杆多远？
参考答案
一、判断题
1.×
2.×
二、填空题
1.6；8；41
2.4.8
3.60；112
4.12
三、选择题
1.B
2.C
四、解答题
1.84
2.12m
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课题：1.3 蚂蚁怎样走最近
教学目的：
1、能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题.
2、通过本节学习，使学生真正体会数学来源于生活，又应用于生活，增加如何在日常生活中用数学知识解决问题的经验和感受．
3、如何将数学知识应用于生活实际，如何选择适当的数学模型解决数学问题．
教学重点：
能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题．
教学难点：
能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题．
教学过程：
一 、新课引入：
前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？
欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？
这个问题我们用勾股定理获得了解决，许多同学都能想到．但在日常生活中，针对某个问题应该怎样选择相应的数学知识去解决，不是很明显，就算你知道了用哪个定理去解决，怎样解决还是个问题？今天我们就来研究这个问题．
提出课题：1．3蚂蚁怎样走最近
二、新课讲解：
C
1、提出示问题1：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆行柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？(π的值取3)．
（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（小组讨论）
（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B 点的最短路线是什么 你画对了吗
（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分组讨论，公布结果）
我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开(如下图).
我们不难发现，刚才几位同学的走法：
(1)A→A′→B； (2)A→B′→B；
(3)A→D→B； (4)A—→B.
哪条路线是最短呢？你画对了吗？
第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.
提出示问题2：如图所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要检测正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺．
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得AD的长是30厘米，AB的长是40厘米，BD长是50厘米.AD边垂直于AB边吗？
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
2、随堂练习：
出示投影片
1.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走.1时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进.上午10∶00，甲、乙两人相距多远？2.如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？
1.分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型.
解：(如图)根据题意，可知A是甲、乙的出发点，10∶00时甲到达B点，则AB=2×6=12(千米)；乙到达C点，则AC=1×5=5(千米).
在Rt△ABC中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132，所以BC=13千米.即甲、乙两人相距13千米.
2.分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的A点处，铁棒最短时是垂直于底面时.
解：设伸入油桶中的长度为x米，则应求最长时和最短时的值.
(1)x2=1.52+22，x2=6.25，x=2.5
所以最长是2.5+0.5=3(米).
(2)x=1.5，最短是1.5+0.5=2(米).
答：这根铁棒的长应在2~3米之间(包含2米、3米).
3.试一试(课本P15)
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？
我们可以将这个实际问题转化成数学模型.
解：如图，设水深为x尺，则芦苇长为(x+1)尺，由勾股定理可求得
(x+1)2=x2+52，x2+2x+1=x2+25
解得x=12
则水池的深度为12尺，芦苇长13尺.
三、课堂小结：
1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即c=a+b(c为斜边)．
2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：
a+b= c，
那么这个三角形是直角三角形．
注意：勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理．能熟练运用勾股定理及其逆定理解决实际问题．
四、作业：
P14—P15 习题1.4：1、2、3
教学后感：本节课是在了解勾股定理的由来的具体背景下，通过学生自己的观察、发现、总结、归纳，探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系．
课时作业设计
一、填空题。
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，中线BE＝13，另一条中线AD2＝331，则AB＝
2．在△ABC中，AC＝8cm，∠C＝30°，BC＝6cm，则S△ABC＝
3．等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为
二、选择题。
1．下面给出的四条线段a=8cm,b=15cm,c=12cm,d=9cm,以其中三条线段为边可构成直角三角形的是（ ）
A．8cm,15cm,12cm B．8cm,12cm,9cm C．8cm,15cm,9cm D．15cm,12cm,9cm
2．等腰三角形底边上高是8，周长为32，则这个等腰三角形的面积为（ ）
A．56 B．48 C．40 D．30
三、解答题。
1．在△ABC中，∠C＝90°，D为AC上任一点。试说明 BD2＋AC2＝CD2＋AB2
2．在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点。 试说明 AB2一AD2＝BD·DC
3．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺。试求竹竿高与门高各几何
参考答案
一、填空题
1.20
2.12
3.18
二、选择题
1.D
2.B
三、解答题。
1.理由如下:
2. 证明：作AE⊥BC，垂足为E ，
在Rt中 ，
在Rt中 ，
即
3.解:设门高 尺,则竿高尺.根据勾股定理得:
解之得:
所以门高7.5尺,竹竿高8.5尺.
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课题:拼图与勾股定理（二）
教学目标：
知识目标：
1． 继续经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题的方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值。
2． 介绍意大利著名画家达—芬奇对勾股定理的一种研究成果，开阔学生的视野。
能力目标：
1、 通过介绍“青朱出入图”以丰富有趣的拚图活动，提高学生实际操作能力。
2、经历拼图的过程，发空间观念，获得一些研究问题下合作交流的方法和经验。
情感目标：
经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，从中获得成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心。经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，从中获得成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心。
重点：通过拼图验证勾股定理的过程，使学习获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。
难点：正确的思维方法，知识的联想以及正确的解决问题的能力。
教法：操作实践法
学法：动手、观察、交流、合作
教具：若干个全等的直角三角形
教学过程：
一、引入新课
回顾上节课所学习的勾股定理的验证方法。
利用五巧板，你还能通过怎样的拼图来验证勾股定理？
二、动手操作，合作探究
1.利用五巧板拼“青朱出入图”（教师利用课件介绍“青朱出入图”的历史）。你能利用“青朱出入图”验证勾股定理吗？（给学生提供充分实践、探索和交流的时间，鼓励他们积极思考解决问题的方法，并与他人进行合作与交流。）
用上面的五巧板，还可以拼出“青朱出入图”。刘徽在他的《九章算术》中给出了注解，大意是：三角形ABC为直角三角形，以勾为边的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方；以盈补虚，将朱、青二方并成弦方，依面积关系有 = ，由于朱方、青方各有一部分在弦方内，那一部分就不动了。
2．意大利文艺复兴时代的著名画家达·芬奇对勾股定理也曾进行了研究，他验证勾股定理的方法可以从下面的实验中得到体现：
教师可以利用课件介绍一些国外的勾股定理验证方法，重点介绍意大利文艺复兴时代著名画家达·芬奇对勾股定理的验证方法。
步骤：
（1）在一张长方形的纸板上画两个边长分别为a、b的正方形，并连结BC、FE。
（2）沿ABCDEF剪下，得两个大小相同的纸板Ⅰ、Ⅱ。
（3）将纸板Ⅱ翻转后与Ⅰ拼成其它的图形。
（4）比较两个多边形ABCDEF和的面积，你能验证勾股定理吗？（给学生充足的时间，进行独立思考，鼓励学生交流合作，教师巡视帮助，引导学习困难的学生。最后，验证方法让学生进行讲解、板演、叙述，教师做简单的总结。）
可得=
你还想了解其他的验证方法吗？
三、课堂总结
1．从两节课的课题学习中你有哪些收获？
2．你学到了哪些数学方法和数学思想？
（给出学生两个问题，让学生充分讨论、交流，得出结论，最后教师小结本课题。）
四、巩固练习
教科书第179页，习题第2题。
勾股定理有着悠久的历史，古巴比伦人和中国人看出了这个关系，古希腊毕达哥拉斯学派首先验证了这个关系。同学们，你们对勾股定理感兴趣吗？你想尝试自己验证勾股定理吗？请发挥你的才智，去探索勾股定理、去研究勾股定理吧！
＊送给“外星人”的“弦图”＊
UFO（不明飞行物）是“外星人”的宇宙飞船吗？是否存在地球以外生命呢？
这些谜，科学家正在进行探测。倘若有“外星人”存在，那么，地球上的人类又该如何与他们通话、建立友谊呢？在“嫦娥奔月”的千年神话变成了现实的今天，科学家进行了一次又一次的尝试。
1970年4月，我国发射的第一颗人造地球卫星“东方红1号”，播放着《东方红》乐曲邀游太空，给寂寞的“外星人”送去了人间音乐。
1972年3月和1973年4月，美国相继发射了“先驱者10号”和“先驱者11号”宇宙探测器，这两位“先驱者”各给“外星人”带去了一块金属板。板上画有地球上人的形象：一个男人和一个女人；还画有飞船本身的外形轮廓和飞船的出发点。
1974年11月，德瑞克和美国阿雷西佛天文台的工作人员，为给“外星人”介绍地球，向一星团发射了一组信号，信号中有用黑白格子表示的地球知识和二进制数。
1977年，美国又有两艘宇宙飞船“旅行者”号上了天。这两位星际旅行者给“外星人”带去的“礼物”是：包括我国八达岭长城雄姿在内的115张照片，35种自然音响，60种语言问候语和27支世界名曲。
这一次又一次送去的图形语言、符号语言、文字语言，无疑是在作与“外星人”对话的试探。然而，你是否发现，已给“外星人”送去的图形语言中，还没有数学图形语言。我国数学家华罗庚认为，如果要与“外星人”交流信息，不妨把我
国古代的“青朱出入图”也送去。
什么是“青朱出入图”呢？这还得从勾股定理的证明谈起。
勾股定理的证明，自古以来引起人们的极大兴趣，其证法至今已约有四百种之多，是几何定理中证法最多的一个。若将这些证法搜集在一起，足足可以编成一本厚厚的书哩！
证法种种，风格各异。我国古代数学家证明勾股定理的独特风格，在数学大苑中开出了一朵芳香的鲜花。
看，三国时期数学家赵爽（公元三世纪初）的证法，有多么巧妙！
赵爽证法用了“弦图”。所谓“弦图”，就是以弦为边的正方形。他在《勾股圆方图注》中写道：“案弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”
参考练习
（1）“毕达哥拉斯树”生长一次，图中有几个正方形？生长两次呢？3次呢？生长n次呢？
（2）最外围所有小正方形面积之和与哪个正方形的面积相等。
答：（1）3、7、15、
(2) 最外围所有小正方形面积之和等于最大正方形的面积.
④
①
a
⑤
①
④
①①
④
c
③
②
⑤
③
②
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第一章：勾股定理
课题：1.1.1探索勾股定理（1）
教学目的：
1.教学知识目标：
①体验勾股定理的探索过程，有特殊猜想勾股定理的，再由特例验证勾股定理。
②会用勾股定理解释生活中的简单现象。
2.能力训练目标:
①在学生充分观察、归纳、猜想、探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想。
②在探索勾股定理的过程中，发展学生归纳，概括和有条理地表达活动过程及结论的能力。
3.情感与价值观要求：
①培养学生积极参与、合作交流的意识。
②在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐，锻炼克服困难的勇气。
教学重点：
探索和验证勾股定理
教学难点：
在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理
教学方法：
交流--- 探索---- 猜想
在方格纸上，同学通过计算以直角三角形的三边为边长的三个正方形的面积，合作交流的过程中，比较这三个正方形的面积，由此猜想出直角三角形的三边关系。
教具准备：
课件，直尺或三角板等
教学过程：
一、创设问题情境，引入新课
1.人类一直想要弄清楚其他星球上是否存在“人”，并试图与“他们”取得联系。数学家曾建议用“勾股定理”的图作为与“外星人”联系的信号。
勾股定理有着悠久的历史，古巴比伦和古代中国人看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这个关系，很多具有古文化的民族和国家都说：我们首先认识的数学定理是勾股定理。
2.某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火
二、新课讲解：
（一）活动探索
探索一：
⑴看下面的图，回答下列问题．
探索图一
观察图1—1．正方形A中有_________个小方格，即正方形A的面积是___________个单位面积．
正方形B中有___________个小方格， 即正方形B的面积有___________个单位面积．
正方形C中有___________个小方格， 即C的面积有___________个单位面积．
（你是怎样得到上面的结果的？你还有其他办法吗 与同伴交流交流。）
答：图1—1中，正方形A有9个小方格，面积单位是9，正方形B中有9个小方格，面积单位是9，正方形C中有18个小方格，面积单位是18．
探索二：利用皮克公式
正方形周边上的格点数a=12
正方形内部的格点数b=13
所以，正方形C的面积为:
探索图二
探索图三 探索图四
探索三：分割成若干个直角边为整数的三角形
探索四：把C看成边长为6的正方形面积的一半
⑵用同样的方法你能得到图1—2中正方形A、B、C中各含有多少个小方格？它们的面积是多少？
答：图1—2中，正方形A中有4个小方格，面积单位是4，正方形B中有4个小方格，面积单位是4，正方形C中有8个小方格，面积单位是8．
⑶还有一问题，你看出了你观察的两个图形中，图1—1中A、B、C三者之间面积有什么关系？图1—2中A、B、C三者之间面积有什么关系？
答：图1—1中，正方形A面积＋正方形B面积＝正方形C的面积，图1—2中同上．
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积
（二）做一做
问题一：观察图1—3、图1—4，并填写下表：
A的面积(单位面积) B的面积(单位面积) C的面积(单位面积)
图1—3
图1—4
问题二：三个小正方形A、B、C的面积之间的关系．
问题三：你发现了直角三角形三边之间的长之间有什么关系吗？
问题四：你以5 cm、12 cm为直角边再做一个直角三角形，并测量斜边的长度，问题三中的规律对这个三角形还成立吗？
你解决了这几个问题了吗？我们对一下答案吧，看你是否做对喽！
问题一：图1—3中，正方形A有16个面积单位，正方形B有9个面积单位，正方形C有25个面积单位．
图1—4中，正方形A有4个面积单位，正方形B有9个面积单位，正方形C有13个面积单位．
问题二：C面积＝A面积＋B面积．
问题三：
即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
问题四：还是成立的．
综上所述，验证勾股定理的方法有(1)数格子法 (2)面积和法．
（三）知识小结
勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，
那么a2＋b2＝c2(如图1—5)．
即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
在西方又称毕达哥拉斯定理！
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
结论变形:
今后可以直接应用变形式子进行计算
（四）读一读：p5
（五）解决问题：
某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火
解：根据勾股定理
(3×3) 2+2.52=42.25=6.52
答:消防员可以进入三楼灭火.
（六）例题讲解
［例1］如图，你能计算出下列直角三角形中未知边的长吗？
点拨：应用勾股定理，关键是直角边平方＋直角边平方＝斜边平方，其中有三个量，已知其中两个量就可求第三个量．
解：①由勾股定理得32＋42＝x2
x2＝25，
∴x＝5．
②由勾股定理得32＋x2＝52
∴x2＝52－32
∴x2＝16
∴x＝4
③由勾股定理得42＋x2＝52
x2＝52－42
∴x2＝9
∴x＝3
（七）想一想：
小明妈妈买了部29英寸(74 cm)的电视机，小明量了电视机的荧幕后，发现荧幕只有58 cm长和46 cm宽，他觉得一定是售货员搞错了，你同意他的想法吗？你怎样解释呢？
点拨：此问题关键是“74 cm”电视这个数字是表示什么？实际生活中我们所说的这个电视是“74 cm”是指荧屏的对角线的长度．既不是长也不是宽，同时荧屏被边框遮盖了一部分．所以你实际测量时，就存在一些误差．你知道了吗？
三、课堂小结：
一节课下来：
我最大的收获是______________
我对自己的表现感想如何_____________
我对同伴的感想如何________________
我从同学身上学到了________________
你能用本节课的知识设计一个问题，并设法解决吗
四、作业：
课本P6，习题1.1 2、3、4
五、参考练习
作业设计
一、判断题。
1．若 a、b、c是△ABC的三边，则 a2＋b2＝c2（）
2．若 a、b、c是直角△ABC的三边，则 a2＋b2＝c2（）
3．若正方形的面积为2cm2，则它的对角线长为2cm（）
二、填空题。
1，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12cm，S△ABC＝30cm2，则 AB＝
2．等腰△ABC的腰长AB＝10cm，底BC为16cm，则底边上的高为 ，面积为
3．已知四边形 ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝8，AD＝4，BC＝6，则以DC为边的正方形面积为
4．在△ABC中，∠C＝90°，（l）若 a＝5，b＝12，则 c＝ （2）若c＝41，a＝9，则b＝
5．一个直角三角边的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为
三、选择题。
1．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，CB＝5，M、N在AB上且AM＝AC，BN＝BC则MN的长为（）
A．2 B．26 C．3 D．4
2．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（）
A．42 B．32 C．42 或 32 D．37 或 33
四、解答题。
1．已知：△ABC为直角三角形，且∠B＝90°，D、E分别在BC和AB上，AD2＋CE2＝AC2＋DE2吗？为什么？
2．某车间的人字形屋架为等腰三角形ABC，跨度AB＝24m，上弦AC＝13m。求中柱CD。（D为底AB的中点）
参考答案:
一、判断题
1.×
2.×
3.√
二、填空题
1.13
2.6；48cm2
3.68
4.13；40
5.6、8、10．
三、选择题
1.D
2.C
四、解答题
1.答：AD2＋CE2＝AC2＋DE2成立。
证明：在Rt△ABD中，
AD2= AB2+BD2
在Rt△ACE中
CE2=BC2+BE2
在Rt△ABC中
AC2=AB2+BC2
在Rt△BDE中
DE2=BE2+BC2
所以AD2＋CE2= AB2+BD2+ BC2+BE2
= AC2+BD2+BE2
= AC2＋DE2
2. 因为BC为等腰三角形，CD⊥AB
所以AD=CD=12
在Rt△ADC中，
AC2=CD2+AD2
CD2=169-144
=25
CD=5
a2＋b2＝c2
分析：要解决该问题，就是解决已知直角三角形的两条直角边的长，求斜边的长是否符合要求的问题。也就是研究直角三角形三条边长之间是否存在特殊的关系的问题。为了解决这个问题，我们先来作以下实验操作：
⒈ 勾股定理是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系。
⒉勾股定理： 直角三角形两直角边a、b平方和，等于斜边c平方。
a2＋b2＝c2
⒊勾股定理的主要作用是:
在直角三角形中,已知任意两边求第三边的长。
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课题：1.2 能得到直角三角形吗
教学目的
（一）知识与技能
1.掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用；
2. 熟记一些勾股数；
3.能对直角三角形的判别条件进行一些综合应用。
（二）能力训练
1.用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想。
2.通过对直角三角形判别条件的的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神。
情感态度与价值观
1.通过介绍有关历史资料，激发学生解决问题的愿望。
2.通过对勾股定理逆理的综合应用培养学生学习数学兴趣及克服困难的勇气，敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识．
重点、难点
重点：探索并掌握直角三角形的判别条件。它可用边的关系来判断一个三角形是否为直角三角形。
难点：用直角三角形判别条件判断一个三角形是否为直角三角形及综合应用直角三角形的知识解题。
教学过程
一、创设情境，激发学生兴趣、导入课题
展示一根用 13 个等距的结把它分成等长的12 段的绳子，请三个同学上台，按老师的要求操作。
甲：同时握住绳子的第一个结和第十三个结。
乙：握住第四个结。 丙：握住第八个结。
拉紧绳子，让一个同学用量角器，测出这三角形其中的最大角。
问：发现这个角是多少？（直角。）
展示投影 1。（书P9图1—10）
教师道白：这是古埃及人曾经用过这种方法得到直角，这个三角形三边长分别为多少？( 3、4、5 ) ，这三边满足了哪些条件？ ( ），是不是只有三边长为3、4、 5的三角形才可以成为直角三角形呢？现在请同学们做一做。
二、做一做
下面的三组数分别是一个三角形的三边a、b、c。
5、12、13 7、24、25 8、15、17
1、这三组数都满足吗？
同学们在运算、交流形成共识后，教师要学生完成。
2、分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
同学们在在形成共识后板书：
如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形。
满足的三个正整数，称为勾股数。
大家可以想这样的勾股数是很多的。
今后我们可以利用“三角形三边a、b、c满足时，三角形为直角形”来判断三角形的形状，同时也可以用来判定两条直线是否垂直的方法。
三、讲解例题
例1 一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A 与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD = 4，AB = 3, DC = 12 , BC=13，这个零件符合要求吗？
分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ADB和△DBC 是否为直角三角形，这样勾股定理的逆定理即可派上用场了。
解：在△ABD中，
所以△ABD为直角三角形 ∠A =90°
在△BDC中,
所以△BDC是直角三角形∠CDB =90°
因此这个零件符合要求。
四、随堂练习：
⒈下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由．
⑴9，12，15； ⑵15，36，39；
⑶12，35，36； ⑷12，18，22．
⒉已知 ABC中BC=41, AC=40, AB=9, 则此三角形为_______三角形, ______是最大角.
⒊四边形ABCD中已知AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，且∠ABC=900，求这个四边形的面积．
⒋习题1.3
五、读一读
P11 勾股数组与费马大定理。⒈直角三角形判定定理：如果三角形的三边长a，b，c六、小结：
1、满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形．
2、满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．
六、作业
1、 课本 P12 1 .3 1、2、3。
教后记录：
1．《数学课程标准》提出学生是学习数学的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者，因此本节课以开放式的课堂形式组织教学，让学生进行合作学习，共同操作与探索，共同探究、解决问题．在教学中能注意充分调动学生的学习积极性、主动性，坚持做到以人为本，以学生为先，立足于让学生先看、先想、先说、先练，根据自己的体验，用自己的思维方式，通过实验、思考、合作、交流学好知识．
2．在教学中，教师关注更多的是学生对待学习的态度是否积极，学生想了没有，参与了没有，能否从数学的角度思考问题．
课时作业设计
一、判断题。
1．由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形（）
2．由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数（）
二、填空题。
1．已知三角形的三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个三角形是
2．△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，以BC为边的正方形面积为
3．三条线段m、n、p满足m2一 n2＝ p2，以这三条线段为边组成的三角形为
三、选择题。
1．分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6、8、10；（2）5、12、13；（3）8、15、17；（4）4、5、6其中能构成的直角三角形的有（ ）。
A．4组 B．3组 C．2组 D．l组
2．三角形的三边长分别为 a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
四、解答题。
1．已知 a、b、c是三角形的三边长，a＝2n2＋2n，b＝2n＋1，c＝2n2＋2n＋1（n为大于1的自然数）。试说明△ABC为直角三角形。
2．若三角形ABC的三边a、b、c满足a2＋b2＋c2十338＝10a＋24b＋26c 试判断△ABC的形状。
参考答案：
一、判断题
1.×
2.×
二、填空题
1.直角三角形
2.3
3.直角三角形
三、选择题。
1.B
2.A
四、解答题
1.
∴a＝2n2＋2n，b＝2n＋1，c＝2n2＋2n＋1组成的三角形为直角三角形。
2.
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课题：1.4勾股定理回顾与思考(复习课)
_教学目的：
教学知识点
1、熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，培养探索知识的良好习惯。
2、掌握直角三角形三边、三角之间的关系，熟练地运用直角三角形的勾股定理和其他性质解决实际问题。
3、让学生回顾本章的知识,同时温习这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程,体会勾股定理及其逆定理的广泛应用.
教学重点：
掌握勾股定理及其逆定理
教学难点：
准确应用勾股定理及其逆定理
教学过程：
一、复习：
1、直角三角形三边存在着什么关系？
2、直角三角形的角存在着什么关系？
3、直角三角形还有哪些性质？
4、如何判定一个三角形是直角三角形？
5、你知道勾股定理的历史吗？
二、知识点：
1、勾股定理：
在探索中学习认识勾股定理 ，通过“数格子”和“拼图”等实践活动证明勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a， b，斜边为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
2、勾股定理揭示了直角三角形之间的数量关系，并且是直角三角形的重要性质，应用广泛．在解直角三角形时，通常有以下几种情况：
（1）已知直角三角形的两边，求第三边；
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系；
（3）证明三角形边长的平方关系；
（4）对勾股定理要学会灵活变形．如Rt△ABC中，∠C=90°，已知c，a求b时，应将勾股定理变化为b2=c2－a2等等．
3、勾股定理的逆定理．
如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
4、勾股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形的重要方法，它需要通过代数运算，“算”出具备直角三角形的重要关系，是用代数方法研究几何问题.
勾股定理的逆定理，在作图中有着较广泛的应用，可以用它来确定直角等.
了解“勾股数”的意义：即满足a2＋b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
三、例题：
例1、已知：如图，△ABC中，AD是中线，AE是高，AB=12，AC=8，BC=10．
求：DE的长．
解： 设EC=a， 则 BE=10－a．
Rt△AEC和Rt△ABE中 ，由勾股定理得
AE2=AC2－EC2=AB2－BE2，
∴ AE2=64－a2=122－(10－a)2．
解得 a=1.2．
故 DE=DC－EC=5－1.2=3.8．
例2、已知，如果四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.
解：连结AC，Rt△ABC中，AC2=AB2＋BC2=32＋42=25，
∴ AC=5.
又△ACD中，∵ AC2＋CD2=25＋122=169，
而 AB2=132=169，
∴ AC2＋CD2=AB2，∴ ∠ACD=90°．
故S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD=AB·BC＋AC·CD=×3×4＋×5×12=6＋30=36.
例3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，D在BA上，且DA＝DB，M、N分别在AC和BC上，且∠MDN＝90°
求证：MN2＝ AM2＋NB2
分析：欲证 MN2＝AM2＋BN2
可MN、AM、BN不在同一三角形之中，若能进行等量搬动，使之在同一三角形之中，只需证得这三角形是直角三角形，MN的等线段是这个直角三角形的斜边即可，由于D为AB的中点，∠MDN＝90°
所以我们可以通过创造全等三角形法把有关线段进行等量搬动。
证明：延长 ND到 N′使DN′＝DN
连AN′、MN，由于AD＝DB，∠1＝∠2
所以△AN′D≌△BND
即AN′＝BN，∠B＝∠3，又MD⊥NN′
故MN′＝MN′
因为∠A十∠B＝90°，所以∠3＋∠4＝90°
那么MN′2＝AM2＋AN′2
即 MN2＝AM2＋BN2
四、作业：
P16—18 复习题 1—5
练习：
一、判断题：
1、若a、b、c是ΔABC的三边，则。（ ）
2、若a、b、c是直角ΔABC的三边，则。（ ）
3、若正方形的面积为2，则它的对角线长为2cm。（ ）
4、ΔABC的两边AB=5，AC=12，则BC=13。（ ）
5、RtΔABC的两边a=6，b=8，则c=10。（ ）
6、由于0.3、0.4、0.5不是勾股数，所以以0.3、0.4、0.5为边长的三角形不是直角三角形。（ ）
7、由于以0.5、1.2、1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5、1.2、1.3是勾股数。（ ）
二、填空题：
1、在RtΔABC中，∠C=90°，BC=12，SΔABC=30，则AB=__________。
2、等腰三角形的腰长AB=10cm，底BC为16cm，则底边上的高为___________，面积为________。
3、已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=8，AD=4，BC=6，则以DC为边的正方形面积为_____________。
4、在ΔABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c=_______。（2）若c=41，a=9，则b=_____。
5、一个直角三角形的三边为三个连续整数，则它的三边长分别为___________。
6、在ΔABC中，∠C=90°，AC=6，CB=8，则AB边上的高为_____________。
7、等边ΔABC的高为3cm，则以AB为边的正方形面积为__________。
8、已知三角形的三条边长分别为5、12、13，则这个三角形是__________________。
9、在RtΔABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1，以BC为边的正方形面积为___________。
10、三条线段m、n、p满足：，这个三角形为___________________。
11、等腰三角形ABC的面积为12,底边上的高AD为3cm，则它的周长为__________。
三、选择题：
1、在ΔABC中，∠ACB=90°，AC=12，CB=5，M、N在AB上且AM=AC，BN=BC，则MN的长为（ ）
A、2 B、26 C、3 D、4
2、在ΔABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则ΔABC的周长为（ ）
A、42 B、32 C、42或32 D、37或33
3、等腰直角三角形斜边上的中线为5cm，则以直角边为边的正方形的面积为（ ）
A、10 B、15 C、50 D、25
4、分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6、8、10；（2）5、12、13；（3）8、15、17；（4）4、5、6其中能构成直角三角形的有（ ）
A、4组 B、3组 C、2组 D、1组
四、解答题：
1. 如图所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB2=2FG2．
2. . 如上图,已知直角三角形ABC的两直角边AC,BC的长分别为4cm,3cm,求斜边AB上的高CD的长.
3. 如图,长方体的长BE=15cm,宽AB=10cm,高AD=20cm,点M在CH上,且CM=5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M,需要爬行的最短距离是多少
4.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
5.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要多少米
6.印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：
“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；
出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，
渔人观看忙向前，花离原位二尺远；
能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”
请用学过的数学知识回答这个问题.
7. 如图所示,某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4km，又往北走1.5km，遇到障碍后又往西走2km，再折回向北走到4.5km处往东一拐，仅走0.5km就找到宝藏。问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？
8. 一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
参考答案
一、判断题：
1.答案：×
2.答案：×
3.答案：√
4.答案：×
5.答案：×
6.答案：×
7.答案：×
二、填空题：
1.答案：13
2.答案：6;48
3.答案：68
4.答案：13;40
5.答案：3、4、5
6.答案：4.8
7.答案：12
8.答案：直角三角形
9.答案：3
10.答案：直角三角形
11.答案：18
三、选择题：
1.答案：D
2.答案：C
3.答案：C
4.答案：B
5.答案：
四、解答题：
1. 分析 注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，从而有AF2=2FG2，因而应有AF=AB，这启发我们去证明△ABE≌△AFE．
证：因为AE是∠FAB的平分线，EF⊥AF，又AE是△AFE与△ABE的公共边，所以
Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，
所以 AF=AB． ①
在Rt△AGF中，因为∠FAG=45°，所以
AG=FG，
AF2=AG2+FG2=2FG2． ②
由①，②得
AB2=2FG2．
说明 事实上，在审题中，条件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”应使我们意识到两个直角三角形△AFE与△ABE全等，从而将AB“过渡”到AF，使AF(即AB)与FG处于同一个直角三角形中，可以利用勾股定理进行证明了．
2. 2.4cm
3. 25cm
4. 先由勾股定理求得AB=10cm，设DC=xcm，
则DE=xcm，BD=(8-x)cm，BE=4cm，(8-x)2=x2+42，解得x=3(cm)
5.7
6. 3.75尺
7. 如图，过点B作BC⊥AD于C，则AC=2.5，BC=6，
由勾股定理求得AB=6.5(km)
8. 如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，
则A′B就是最短路线. 在Rt△A′DB中，由勾股定理求得A′B=17km
9.
4.5
2
1.5
4
0.5
B
A
A
B
小河
东
北
牧童
小屋
CX
DX
B
A
A
B
D
P
N
A′
M
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