八年级数学上册试题 15.4角的平分线同步练习 -沪科版（含答案）

15.4角的平分线
第一课时
一、单选题
1．如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于( ).
A．35° B．70°
C．110° D．145°
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝2，AB＝8，则△ABD的面积是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．如图所示，OC，OD分别是∠AOB，∠BOC的平分线，且∠COD=26°，则∠AOB的度数为（　　）
A．96° B．104° C．112° D．114°
4．如图，BO、CO是∠ABC、∠ACB的平分线，∠BOC=120°，则∠A=( )
A．60° B．120° C．110° D．40°
5．如图，在 ABCD中，已知，，AE平分交BC于点E，则CE长是　　
A．8cm B．5cm C．9cm D．4cm
二、填空题
6．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是_____．
7如图，已知直线AB与CD相交于点O，OA平分∠COE，若∠DOE＝70°，则∠BOD＝_____．
8．如图，已知∠AOD=150°，OB、OC、OM、ON 是∠AOD 内的射线，若∠BOC=20°，∠AOB=10°，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOD，当∠BOC 在∠AOD 内绕着点 O以 3°/秒的速度逆时针旋转 t 秒时，当∠AOM：∠DON=3：4 时，则 t=____________．
9．如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，OD平分∠BOE，则∠AOC＝________.
三、解答题
10．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF=90°，
（1）若∠BOE=70°，求∠AOF的度数；
（2）若∠BOD：∠BOE=1：2，求∠AOF的度数．
11．如图，已知点E在AB上，CE平分∠ACD，∠ACE＝∠AEC．求证：AB∥CD．
12．已知：如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC．∠1＝∠3，求证：AB∥DC．
证明：∵∠ABC＝∠ADC ( )
∴( )
∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC ( )
∴ ( )
∴∠______＝∠______ ( )
∵∠1＝∠3( )
∴∠2＝∠______ (等量代换)
∴____∥____ ( )
13．如图1，已知∠MON=140°，∠AOC与∠BOC互余，OC平分∠MOB，
（1）在图1中，若∠AOC=40°，则∠BOC= °，∠NOB= °．
（2）在图1中，设∠AOC=α，∠NOB=β，请探究α与β之间的数量关系（ 必须写出推理的主要过程，但每一步后面不必写出理由）；
（3）在已知条件不变的前提下，当∠AOB绕着点O顺时针转动到如图2的位置，此时α与β之间的数量关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出此时α与β之间的数量关系．
14．已知：O是直线AB上的一点，是直角，OE平分．
（1）如图1．若．求的度数；
（2）在图1中，，直接写出的度数（用含a的代数式表示）；
（3）将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由．
第二课时
一、单选题
1．已知：如图，直线BO⊥AO于点O，OB平分∠COD，∠BOD＝22°．则∠AOC的度数是( )
A．22° B．46° C．68° D．78°
2．如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（ ）
A．24 B．30 C．36 D．42
3．已知∠BOC＝60°，OF平分∠BOC.若AO⊥BO，OE平分∠AOC，则∠EOF的度数是(　　)
A．45° B．15° C．30°或60° D．45°或15°
4．如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　）．
A．4 B．3 C．2 D．1
5．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，其中AB⊥CD，∠1：∠2=3:6，则∠EOD=（ ）
A．120° B．130° C．60° D．150°
二、填空题
6．已知， ，射线OM是平分线，射线ON是 平分线，则________ .
7．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE//BC，分别交AB,AC于点D,E,若AB=4，AC=3，则△ADE的周长是_______________。
8．如图，平分，则______．
9．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：
①EF=BE+CF；
②∠BOC=90°+∠A；
③点O到△ABC各边的距离相等；
④设OD=m，AE+AF=n，则．
其中正确的结论是____．（填序号）
三、解答题
10．探究题：如图①，已知线段AB=14cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点．
（1）若点C恰好是AB中点，则DE=_____cm；
（2）若AC=4cm，求DE的长；
（3）试利用“字母代替数”的方法，设AC="a" cm请说明不论a取何值（a不超过14cm），DE的长不变；
（4）知识迁移：如图②，已知∠AOB=120°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE=60°与射线OC的位置无关．
11．如图，∠BOC=2∠AOC，OD是∠AOB的平分线，且∠COD=18°，求∠AOC的度数.
12．如图，AB与CD相交于O，OE平分∠AOC，OF⊥AB于O，OG⊥OE于O，若∠BOD=40°，求∠AOE和∠FOG的度数．
13．如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，
(1)若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；
(2)若∠AOE＝α，求∠BOD的度数；(用含α的代数式表示)
(3)从(1)(2)的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？
14．如图，∠AOB=120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）．
（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；
（2）当t为何值时，∠COD=90°；
（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．
第一课时答案
一、单选题
C.B.B.A.B．
二、填空题
6．42
7．55°
8．
9．45
三、解答题
10．(1)∵OE平分∠BOC,
∴
∴ 又
∴
(2)∵∠BOD:∠BOE=1:2，OE平分∠BOC，
∴∠BOD:∠BOE:∠EOC=1:2:2，
∴
∴
又∵
∴
11．平分，
，
又，
，
．
12．
证明：∵∠ABC＝∠ADC (已知)，
∴(等式的性质).
∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC (已知)，
∴ (角平分线的定义)，
∴∠1＝∠2(等量代换).
∵∠1＝∠3( 已知)，
∴∠2＝∠3(等量代换)，
∴AB∥DC (内错角相等，两直线平行).
13．
（1）如图1，
∵∠AOC与∠BOC互余，
∴∠AOC+∠BOC=90°，
∵∠AOC=40°，
∴∠BOC=50°，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOC=∠BOC=50°，
∴∠BOM=100°，
∵∠MON=40°，
∴∠BON=∠MON-∠BOM=140°-100°=40°，
（2）β=2α-40°，理由是：
如图1，∵∠AOC=α，
∴∠BOC=90°-α，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOB=2∠BOC=2（90°-α）=180°-2α，
又∵∠MON=∠BOM+∠BON，
∴140°=180°-2α+β，即β=2α-40°；
（3）不成立，此时此时α与β之间的数量关系为：2α+β=40°，
理由是：如图2，
∵∠AOC=α，∠NOB=β，
∴∠BOC=90°-α，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOB=2∠BOC=2（90°-α）=180°-2α，
∵∠BOM=∠MON+∠BON，
∴180°-2α=140°+β，即2α+β=40°，
答：不成立，此时此时α与β之间的数量关系为：2α+β=40.
14．
（1）∵是直角，，
，
，
∵OE平分，
，
．
（2）是直角，，
，
，
∵OE平分，
，
．
（3），
理由是：，OE平分，
，
，
，
，
即．
第二课时答案
一、单选题
C.B.A.B．D
二、填空题
6．60°或20°
7．7
8．145°
9．①②③
三、解答题
10．解：（1）∵AB=12cm，C点为AB的中点，∴AC=BC=6cm．
∵点D、E分别是AC和BC的中点，∴CD=CE=3cm，∴DE=6cm．
（2）∵AB=12cm，AC=4cm，∴BC=8cm．
∵点D、E分别是AC和BC的中点，∴CD=2cm，CE=4cm，∴DE=6cm；
（3）设AC=acm．∵点D、E分别是AC和BC的中点，∴DE=CD+CE=AB=6cm，∴不论AC取何值（不超过12cm），DE的长不变；
（4）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠DOE=∠DOC+∠COE=∠AOB．
∵∠AOB=120°，∴∠DOE=60°，∴∠DOE的度数与射线OC的位置无关．
11．
∵∠BOC=2∠AOC，∠BOA=∠BOC+∠AOC，
∴∠BOA=3∠AOC，
∵OD是∠AOB的平分线，
∴∠BOA=2∠AOD，
∵∠AOD=∠AOC+∠COD，∠COD=18°，
∴2(∠AOC+18°)=3∠AOC，
∴∠AOC=36°.
12．∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC=∠BOD=40°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠AOC=20°，
∵OF⊥AB，OG⊥OE，
∴∠AOF=∠EOG=90°，
即∠AOG与∠FOG互余，∠AOG与∠AOE互余，
∴∠FOG=∠AOE=20°.
13．
（1）∵∠AOE+∠AOF=180°（互为补角），∠AOE=40°，∴∠AOF=140°；
又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC=∠AOF=70°，∴∠EOD=∠FOC=70°（对顶角相等）；
而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=50°，∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=20°；
（2）∵∠AOE+∠AOF=180°（互为补角），∠AOE=α，∴∠AOF=180°﹣α；
又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC=∠AOF=90°﹣α，∴∠EOD=∠FOC=90°﹣α（对顶角相等）；
而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=90°﹣α，∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=α；
（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE=2∠BOD．
14．
解：（1）由题意得，20t=5t+120°，解得t=8，
即当t=8分钟时，射线OC与OD重合；
（2）当OC位于OD的右边时：∠BOD+120°=∠AOC+90°，则可得5t+120°=20t+90°，解得t=2分钟；
当OC位于OD左边时：∠AOC-90°-120°=∠BOD，则可得20t-90°-120°=5t，解得t=14分钟；
故当t=2或14分钟时，∠COD=90°；
（3）存在.
当OB为角平分线时：120°-∠AOC=∠BOD，则可得120°-20t=5t，解得t=4.8分钟；
当OC为角平分线时：∠AOC-120°=∠BOD，则可得20t-120°=×5t，解得t=分钟；
当OD为角平分线时：∠AOC-120°=2∠BOD，则可得20t -120°=2×5t，解得t=12分钟.
故当t=4.8或或12分钟时，射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线.