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22.2.3一元二次方程解法复习（1）
教学目的：使学生进一步巩固掌握解一元二次方程的开平方法、配方法、公式法和因式分解法
教学重点： 一元二次方程的四种常见解法
教学难点：选择适当的方法解一元二次方程
教学过程：
1． 什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？其中的a、b、c分别叫什么？
2． 一元二次方程的解法复习：
1． 开平方法：如果一元二次方程能化成或（≥0），那么可得或；
思考：一元二次方程是什么形式采用开平方法解方程？有解的条件是什么？
练习1：用直接开平方法解方程：
①②③④
2． 配方法：
思考（1）：什么叫配方法解一元二次方程？
把一元二次方程 (a≠0)通过配方成（≥0），那么可降次得；
练习2：用配方法解方程：
①②③
思考（2）：一元二次方程是什么形式采用配方法解方程比较简便？有解的条件是什么？
3．因式分解法：
思考（1）：什么叫因式分解法解一元二次方程？
将一个一元二次方程右边等于0，左边分解因式（写成两个一次因式的乘积的形式），那么每个一次因式分别等于0，从而达到降次的目的，这种解方程的方法叫做因式分解法。
思考（2）：什么样的一元二次方程采用因式分解法解？
练习3：用因式分解法解一元二次方程。
①②③④⑤⑤
3． 公式法：
思考（1）：一元二次方程的求根公式是什么？有什么条件？
一元二次方程 (a≠0) 当≥0时，方程的根为（当△=＜0时， (a≠0)没有实数根）；
思考（2）：什么样的一元二次方程用公式法解？
练习4：用公式法解一元二次方程
①②③
思考：通过上面的复习，请总结上述解法一般适合解什么样的一元二次方程？
讲解：配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式的积，另一边为0，再分别使各一次因式等于0。解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次。
对于一个具体的一元二次方程，选择恰当的解法是关键。开平方法一般适合解无一次项的一元二次方程，配方法一般适合解有一次项一元二次方程，但有时比较麻烦，因式分解法一般适合解能分解降次的方程，公式法适合所有的一元二次方程。
3． 典型例题：
例1．给下列方程选择较简便的方法（学生口答）
⑴ =0 （运用因式分解法）
⑵ 3-2=0 （运用直接开平方法）
⑶ x2-4x=9996 （运用配方法）
⑷ 2x2-x-3=0（运用因式分解法）
⑸ 2x2+7x-7=0（运用公式法）
例2. 选择适当的方法解下列方程：
例3． 解下列方程：
(1)5x(5x-2)=-1；(2)(x-2)2+10(x-2)+16=0．
解：(1)由原方程可得25x2-10x+1=0，a=25，b=-10，c=1，
∴ b2-4ac=(-10)2-4×25×1=0，
另法：由25x2-10x+1=0，得 (5x-1)2=0，
∴ 5x-1=0，
(2)利用十字相乘法分解因式，得[(x-2)+2][(x-2)+8]=0，
即 x·(x+6)=0，
∴ x=0或x+6=0，
即 x1=0，x2=-6．
例4． 用适当的方法解下列方程：
解：(1)由原方程，得
即 x2-4x-12=0，
∴ (x-2)2=16，即 x-2=±4．∴ x=2±4，
即 x1=6，x2=-2．
(2)移项，得
(3)原方程可化为
6x2-x-9=0，a=6，b=-1，c=-9，
∴ b2-4ac=(-1)2-4×6×(-9)=217＞0，
(4)原方程可得
总结：在解一元二次方程时，要注意根据方程的特征，选择适当的方法灵活的解决问题．
四、教学注意问题
1．判断一个方程是否为一元二次方程，应从定义出发抓住三个基本特征：
(1)含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程，其一般形式为
ax2+bx+c=0(a≠0)．
2．解一元二次方程有四种方法，即开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
3．解一元二次方程的关键是选择最佳方法．应告知学生：若方程缺一次项或方程两边都是完全平方式即可用直接开平方法；若能看出方程可分解因式即可用因式分解法；非上述两种方法，公式法较简单，可用公式法；若忘记求根公式，就只有用配方法，但配方法一般不常用．
五．补充作业题
1．选择题
(1)在下列方程中，有实数根的有 [ ]个．
x2-8=0，5y2=1，x2+2x+1=0，4x2+1=0．
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
(2)在下列方程中，可以用直接开平方法来解的有 [ ]个．
2x2-9=0，2x2+x=0，(4x-1)2=27，3x2+8=0．
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
答案：(1)C；(2)B．
2．解下列方程：
(1)3x2+2x-6=0； (2)x2-21x+108=0； (3)(2x+1)2-(3x-2)2=0．
3．用公式法解下列关于x的方程：
(1)ax2+3x-2=ax+x2；(a≠1) (2)abx2-a2x=b2x-ab．(ab≠0)
4．用适当的方法解下列方程：
(1)2(x+5)2=24；(2)(x-2)2=4x；(3)2x(3x-1)=3(x+2)．
5．填空：
① -3x+1=0 ② 3-1=0 ③ -3+t=0
④ -4x=2 ⑤ 2-3x+1=0 ⑥ =8
⑦ 3-y-1=0 ⑧ 2+4x-1=0 ⑨ 2-5x-3=0
适合运用直接开平方法 ；
适合运用因式分解法 ；
适合运用公式法 ；
适合运用配方法 。
6．思考题：要使(a2-a-2)x2+a2x+b=0是关于x的一元二次方程，求a的取值范围．
解：要使(a2-a-2)x2+a2x+b=0是关于x的一元二次方程，必须
a2-a-2≠0，即(a-2)(a+1)≠0，
即 a≠2且a≠-1．
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22.3一元二次方程方程的应用（2）
教学目的：（1）学生在已有的一元二次方程的学习基础上，能够对生活中的实际问题进行用数学建模解决，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型；
（2）通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力；
（3）让学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，培养学生的数学应用能力；
（4）学生感受数学的严谨性，形成实事求是的态度及进行质疑和激发思考的习惯；获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心。
教学重点：利用一元二次方程对增长率问题进行数学建模，从而解决实际问题
教学难点：根据实际问题建立方程模型。
教学过程设计：
1． 引例：
学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率。
分析：设平均每年的增长率为x
去年5万册，那么今年_______________万册，明年____________________万册
根据明年年底增加到7.2万册得方程：
系数化为1得
开平方得
解得，（不符题意，舍去）
思考：（1）按这个增长率，那么后年学校图书馆的图书有____________万册（用含x的式子表示）；
（2）年平均增长率为什么不是或22%呢？
2． 新课：
例1、两年前生产一吨甲种药品的成本是5000元，生产一吨乙种药品的成本是6000元。随着生产技术的进步，现在生产一吨甲种药品的成本是3000元，一吨乙种药品的成本是3600元。哪种药品成本的年平均下降率较大？
解：设甲种药品的年平均下降率为x，则一年后甲种药品的成本是5000(1-x)元，两年后甲种药品的成本为元，所以得方程
解得，（不符题意，舍去）
你能计算出乙种药品的年平均下降率吗？请比较哪种药品成本的年平均下降率较大。
思考：成本下降额较大的药品，它的成本下降率也较大吗？
例2、綦江县政府计划两年内在两年后实现县财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？
分析：（1）翻一番，你是如何理解的？
（翻一番，即为原净收入的2倍，若设原值为1，那么两年后的值就是2）
（2）“平均年增长率”你是如何理解的？
（“平均年增长率”指的是每一年净收入增长的百分数是一个相同的值。即每年按同样的百分数增加，而增长的绝对数是不相同的）
解：设平均年增长率为x。
由题意得 ，
，
因为增长率不能为负数，所以增长率应为
思考；（1）若调整计划，两年后的财政净收入值为原值的1.5倍，那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少？
（2）若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政净收入翻一番？
三．小结：
增长率的含义；翻几翻的含义；平均增长率的含义及与增长的数的不同点。
关于量的变化率问题，不管是增加还是减少，都是变化前的数据为基础，每次按相同的百分数变化，若原始数据为，设平均变化率为，经第一次变化后数据为；经第二次变化后数据为。在依题意列出方程并解得值后，还要依据的条件，做符合题意的解答。
4． 作业：
1． 某钢铁厂去年1月某种钢产量为5000吨，3月上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？
2． 某种药品，原来每盒售价96元，由于两次降价；现在每盒售价54元。平均每次降价百分之几？
3． 某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？
4． 某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到0.1%）
5． 小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税（利息税为利息的20%），共取得5145元.求这种储蓄的年利率.（精确到0.1%）
6.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）
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22.2.1配方法解一元二次方程方程（1）
教学目的：（1）会用直接开平方法解形如（a≠0,a≥0）的方程；
（2）会用配方法解简单的一元二次方程；
（3）使学生了解转化的思想在解方程中的应用；
（4）使学生经历探索解一元二次方程的过程。
教学重点：会用直接开平方法解简单的一元二次方程
教学难点：会用直接开平方法解简单的一元二次方程
教学过程设计：
1． 引入：
一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体盒子的外部表面，你能算出盒子的棱长吗？
分析：设正方体的棱长为dm，则一个正方体的表面积为6x2dm，由题意得：
10×6x2=1500
由此得：x2=25
根据平方根的定义：x=±5 即x1=5，x2= -5
可以验证：5和-5都是方程10×6x2=1500的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为5dm。
总结：（1）上面的方程x2=25有什么特点？
（2）上面解一元二次方程用的是什么方法？开平方以后达到了什么目的？
（3） 什么形式的一元二次方程可以用直接开平方法解？
二．新课：
对照上面方程的解，你认为应该怎样解下面的方程？
（1）
（2）
（3）
解（1）由得
即：，
方程的两根为，
上面方程中由得到，是把一个一元二次方程转化为一元一次方程，达到了降次的目的。
（2）由化简得，即x+1=±3，解得x1=2，x2= -4
（3）由得，，
解得，
小结：如果一元二次方程能化成或（≥0），那么可得或
三．巩固练习：
解方程：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）： （6）。
答案：（1）；（2）；（3），；
（4），；（5），；
（6），。
四．小结：
直接开平方法解一元二次方程的步骤是什么？什么样的一元二次方程可用直接开平方法解？
五．作业：P45习题22。2的1题
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22.3一元二次方程方程的应用（1）
教学目的：
（1）学生在已有的一元二次方程的学习基础上，能够对实际生活中的简单问题会用数学建模来解决，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型；
（2）通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力；
（3）让学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，培养学生的数学应用能力；
（4）学生感受数学的严谨性，形成实事求是的态度及进行质疑和激发思考的习惯；获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心。
教学重点：利用一元二次方程对实际问题进行数学建模，从而解决实际问题
教学难点：根据实际问题建立方程模型。
教学过程设计：
1． 复习：列方程解应用题的一般步骤是什么？
2． 新课：
例1． 某人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一人传染了多少人？
分析：设每轮传染中平均一人传染了x人
开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，则第一轮后共有__________人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，则第二轮传染了__________个人，两轮共有__________________________人患了流感。
答案：1+x，x(1+x)，1+x+x(1+x)
根据“两轮传染后共有121人患了流感”得方程：
1+x+x(1+x)=121
整理得：
解得：，（不符题意，舍去）
答：每轮传染中平均一人传染了10人。
拓展：第三轮传染后有多少人患了流感？
总结：通过对这个问题的研究，你对反复传播问题有什么新的认识？
例2． 两个连续奇数的积是323，求这两个数。
分析：（1）两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2（2）设元（几种设法） ．设较小的奇数为x，则另一奇数为x+2， 设较小的奇数为x-1，则另一奇数为x+1； 设较小的奇数为2x-1，则另一个奇数2x+1。
解法（1）设较小奇数为x，另一个为x+2。
据题意，得x（x+2）=323
整理后，得x2+2x-323=0
解这个方程，得x1=17，x2=-19
由x=17得x+2=19，由x=-19得x+2=-17
答：这两个奇数是17，19或者-19，-17
解法（2）设较小的奇数为x-1，则较大的奇数为x+1
据题意，得（x-1）（x+1）=323
整理后，得x2=324
解这个方程，得x1=18，x2=-18
当x=18时，18-1=17，18+1=19
当x=-18时，-18-1=-19，-18+1=-17
答：两个奇数分别为17，19；或者-19，-17
解法（3）设较小的奇数为2x-1，则另一个奇数为2x+1
据题意，得（2x-1）（2x+1）=323
答：两个奇数分别为17，19；-19，-17
引导学生观察、比较、分析解决下面三个问题：
（1）三种不同的设元，列出三种不同的方程，得出不同的x值，影响最后的结果吗？
（2）解题中的x出现了负值，为什么不舍去？
例3．有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数。
分析：数与数字的关系是：
两位数=十位数字×10+个位数字
三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字
解：设个位数字为x，则十位数字为x-2，这个两位数是10（x-2）+x
据题意，得10（x-2）+x=3x（x-2）
整理，得3x2-17x+20=0
当x=4时，x-2=2，10（x-2）+x=24
答：这个两位数是24。
3． 小结：
列方程解应用题的关键是什么？需要检验吗？怎么检验？
4． 作业：
1． 两个相邻偶数的积是168，，求这两个数
2． 已知两个数的和是12，积为23，求这两个数
3． 有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数。
4． 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
5． 参加一次足球联赛的每两个队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？
6． 一次地区足球联赛，赛制是单循环赛（每两个队之间都要比赛一场），共要比赛36场，共有多少个队参加比赛？
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22.2.1配方法解一元二次方程方程（2）
教学目的：（1）会用配方法解一元二次方程；
（2）使学生了解转化的思想在解方程中的应用；
（3）使学生经历探索解一元二次方程的过程。
教学重点：会用配方法解一元二次方程
教学难点：会用配方法解一元二次方程
教学过程设计：
1． 引入：
引例：要使一块矩形场地的长比宽多6㎝，并且面积是16㎡，场地的长和宽应各是多少？
分析：设场地的宽为x㎝，则长为（x+6）㎝，根据矩形面积等于16㎡，列方程：
x（x+6）=16
即：
提问：怎样解方程呢？
2． 新课：
思考：解方程的关键是什么？如何转化为或的形式
观察：方程直接降次有困难，先把左边配成完全平方式，剩下的常数移到右边
解：
移项
左边写成平方形式
降次
解一元一次方程
可以验证：2和-8都是方程的根，但场地的宽不能为负值，所以场地的宽为m，长为2+6=8m。
思考：（1）上面的解方程时，为什么在方程的两边都加上9？加其他数行吗？
（2）上面解一元二次方程用的是什么方法？该方法的目的是什么？
（通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法，目的是为了降次，把一元二次方程转化成两个一元一次方程）
（3） 用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
巩固练习：
填空：
（1）
（2）
（3）
（4）
深入探索：怎样解下面的一元二次方程？
（1）
（2）
（3）
（4）
解（1）移项得：
配方得：
解得：
，
（2）移项得：
二次项系数化为1得：
配方得：
解得：
，
（3）移项得：
二次项系数化为1得：
配方得：
因为任何实数的平方都是非负数，所以满足方程的x不存在，即原方程无实数根。
（4）移项得：
配方得：
，
小结：把一元二次方程通过配方成或（≥0），那么可降次得或
巩固练习：用配方法解方程2x2+5x+1=0
解：移项，得：2x2+5x=-1
系数化成1，得：x2+
配方，得：
（
开平方，得：x+
∴
三．课堂练习：
1.解方程：
（1）； （2）； （3）；
（4）；（5）；（6）。
2.用配方法解方程x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0).
答案：
1．（1），； （2）。；
（3）。；（4），；
（5）无解； （6），
2．，
四．小结：
什么叫配方法？
配方法的步骤有那些？
配方法的思想是什么？
五．作业：
P45习题2，3题
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22.2.3二元二次方程方程组的解法
教学目的：
（1）使学生了解二元二次方程、二元二次方程组的概念；
（2）使学生熟练掌握用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组；
（3）让学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流，进一步体会降次、消元的思想；
教学重点：用代入法解二元二次方程组
教学难点：二元一次方程代入二元二次方程的技巧。
教学过程：
一．复习：
1．二元一次方程组有哪些解法？
2．解一元二次方程的基本思想是什么？
二．新课：
1．（1）方程x2+2xy+y2+x+y+6=0叫______元________次方程。
（2）怎样定义二元二次方程？
（3）我们看下面的两个方程组：
第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的；第二个方程组是由两个二元二次方程组成的．像这样的方程组叫做二元二次方程组。
2．二元二次方程组的解法：
例1．
分析：观察思考，尝试，用什么方法解？
用代入法来解。
解：由②得 y=2x－1．③
把③代入①，整理，得15x2－23x+8=0
把x1=1代入③，得y1=1
思考：
(2)为什么将x1，x2代入③；
(3)作此类题要按格式写规范
小结：（1）一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法来解
（2）由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般有两组解。
练习：解方程组
例2．
分析：（1）这个方程组是由什么样的方程构成的？
（2）观察思考，考虑“二元”用代入法消元能否解？考虑“二次”用降次法能否进行？
（3）哪个方程可以分解降次？
（4）方程②降次分解为2个二元一次方程组，与方程①组成了什么样的方程组？
解：将②分解为(x－2y)(x－3y)=0使得 x－2y=0或x－3y=0
用代入法可得原方程组的解
思考：（1）一些特殊的由两个二元二次方程组成的方程组采用什么方法解？基本思想是什么？
（2）由两个二元二次方程组成的方程组一般有几组解？
练习：
解：由①分解因式，得(x－y)(x－2y)=0
即 x－y=0，或x－2y=0
解之，得
例3．
解：由①，得(x+y)2=9
∴ x+y=3，或x+y=－3
由②，得(x－y－1)(x－y－2)=0
∴ x－y－1=0或x－y－2=0
因此，原方程组可化为四个方程组
解上述方程组，得原方程组的解为
注意：讲此例时，一要讲好将两个二元二次方程同时分解“降次”的特点；二是要讲好分组结合的方法，即x+y=3与后一个方程化得的两个方程分别结合；x+y=－3与后一个方程分解得出的两个方程分别结合．这样转化为四个熟知的二元一次方程组，使问题得到顺利解决。
例4．
解法1：由①，得：x=7－y．③
把③代入②，整理，得y2－7y+12=0
解得 y1=3，y2=4
把y1=3代入③，得x1=4；把y2=4代入③，得x2=3
解法2：观察方程组，其特征不难使人联想到一元二次方程根与系数的关系，即视x，y是方程at2+bt+c=0的两根，从而通过解方程即可求出x，y了。
视方程组的x,y是一元二次方程z2-7z+12=0的两个根,解这个方程,得z1=3，或z2=4
练习：
三．小结：
1．什么样的方程组叫二元二次方程组？有哪几种情况？
2．解二元二次方程组的基本思想有哪些？对于不同的二元二次方程组一般采取什么方法解？
四．作业：
1．把下列二元二次方程化为两个二元一次方程：
(1)x2－3xy+2y2=0 (x－y=0，x－2y=0)
(2)2x2－5xy－3y2=0 (2x+y=0，x－3y=0)
(3)x2－6xy+9y2=16 (x－3y=4，x－3y=－4)
(4)x2-4xy+4y2-2x+4y-3=0 (x－2y=3，x－2y=－1
2．解方程组
3．
4，
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22.2.3黄金分割数
教学目的：（1）了解黄金分割数的概念；
（2）理解黄金分割数的由来；
（3）进一步理解数学来源于实际，服务于生活的道理；
（4）进一步体会数学的美．
教学重点：黄金分割数。
教学难点：黄金分割数的实际运用
教学过程：
1． 引入：
如图，要设计一个1m高的雷锋雕像，使雕像的
上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，
等于下肢与全部高度的比，雕像的下部应设计
多高？
分析：如图，上部的高度AB、下部的高度BC应
有如下的关系：
即
设雕像下部高xm，于是得方程：
整理得：
解方程得：
根据问题的实际意义，取，这个值就是雕像的下部与全部高度的比。
人们把这个数叫黄金分割数，表示按这样比例的雕像最美观。
二．新课：
黄金分割数是人们在实际生活中总结出来的经验，是数学美的体现。
例1．什么样的矩形看起来最美观？
分析：就是把一条线段分成两部分，较短段（矩形的宽）
与较长段（矩形的长）之比是黄金分割数的矩形最美观。
例2．五角星是常见的图案，如图，在五角星中存在黄金分割数
例3．如何作一条线段的黄金分割点.
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.
（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.
（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
若点C为线段AB的黄金分割点，则点C分线段AB所成的线AC、BC间须满足.下面请大家进行验证.自己有困难时可以互相交流.为了计算方便，可设AB=1.
证明：∵AB=1,AC=x,BD=AB=
∴AD=x+
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
（x+）2=12+（）2
∴x2+x+=1+
∴x2=1－x ∴x2=1·（1－x）
∴AC2=AB·BC即：
即点C是线段AB的一个黄金分割点，
在x2=1－x中
整理，得x2+x－1=0
∴x=
∵AC为线段长，只能取正
∴AC=≈0.618 ∴≈0.618
∴黄金比约为0.618.
例4．在一棵树的生长过程中，树枝的数目存在怎样的黄金分割数？
解：是黄金分割数
例5．著名科学家华罗庚运用优选法，其中的0.618法（黄金分割数）对中国的农业作出了重要贡献
黄金分割数在实际生活中的运用：
冠以"黄金"二字，足见人们对它的珍视。中世纪数学家开普勒(Kepler)将黄金分割律和勾股定理并称为“几何学中的两大宝藏”。19世纪威尼斯数学家帕乔里将黄金分割律誉为“神赐的比例”． 有人曾断言：“宇宙万物，凡符合黄金分割律的总是最美的。”
1． 世界的著名的名画（如达芬奇的蒙娜丽莎）和和雕像（如维纳斯雕像）都符合黄金分割比；
2． 摄影：在照片中要表现的主要部分应安排在什么位置才好看呢？摄影中最常用的办法是黄金分割法，即在整个画面的0.618位置确定照片的趣味中心（如135相机的底片幅面24mmX36mm就是由黄金比得来的）
3． 建筑：科学家和艺术家普遍认为，黄金律是建筑艺术必须遵循的规律。在建筑造型上，人们在高塔的黄金分割点处建楼阁或设计平台，便能使平直单调的塔身变得丰富多彩；而在摩天大楼的黄金分割处布置腰线或装饰物，则可使整个楼群显得雄伟雅致。古代雅典的巴特农神殿，当今世界最高建筑之一的加拿大多伦多电视塔，举世闻名的法国巴黎埃菲尔铁塔，都是根据黄金分割的原则来建造的。
4． 乐器：古希腊数学家，哲学家毕达哥拉斯(PInthagoras)有一天路过一铁匠铺，被清脆悦耳的打铁声吸引住了，驻足细听，凭直觉认定这声音有“秘密”！他走进铺里，仔细测量了铁砧和铁锤的大小，发现它们之间的比例近乎于1：0.618．这一发现至今是各种乐器制造的科学依据。
5． 在日常生活中，最和谐悦目的矩形，如电视屏幕、写字台面、书籍、衣服、门窗等，其短边与长边之比为０．６１８，你会因此比例协调而赏心悦目。甚至连火柴盒、国旗的长宽比例设计，都恪守０．６１８比值。在音乐会上，报幕员在舞台上的最佳位置，是舞台宽度的０．６１８之处。
6． 意大利数学家菲波那锲调查了大量人体数值后得知，人体肚肌以下长度与身高之比接近0.618，就是最美的；人的膝盖是肚肌到脚跟的黄金分割点；在人体结构的其他部位，0.618也常常出现，如臀宽与躯干长度之比、上肢与下肢长度之比、从下巴到眼睛的距离与整个头部长度之比、从头顶到鼻尖与从头顶到下巴的长度之比等等都约等于0.618；
7． “两面针”牙膏采用“优选法”科学生产，大幅度降低了铝材消耗，每年节约铝材几吨；新西兰运用“优选法”培育出了世界上最好哦的肉牛和奶牛；喉结为头顶至脐分割点、眉间点为发缘点至颏下的分割点；6个“黄金指数”，如鼻唇指数是指鼻翼宽度与口裂长之比、唇目指数是指口裂长度与两眼外眦间距之比、唇高指数是指面部中线上下唇红高度之比等；
8． 有些植物茎上，两张相邻叶柄的夹角是1370，恰好把圆周分成1：0.618，据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果是最好的；
9． 人在环境温度为22-24摄氏度时感到最舒服，这正是因为人的正常体温37摄氏度与0.618的乘积恰好是22.8摄氏度。在这一温度附近，人体的新陈代谢和各项生理功能都处于最佳状态；
10. 我们看的书、报、杂志，其纸张的裁切宽与长之比接近黄金分割率。这样的长方形让人看起来舒服顺眼，被称为“黄金长方形”。原纸为黄金长方形的，对折后仍接近黄金长方形。所以按正规裁法得到的纸张，不管其大小，如8开、16开、32开等，都仍然是近似的黄金长方形；
11．文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。但这些金字塔底面的边长与高这比都接近于0.618。在许多绘画和摄影作品中，中心人物或景物所处的位置一般也恰好是黄金分割点而不是在构图的正中。就连普通树叶的宽与长之比，蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也接近0.618；
12．在军事上，当发射子弹的步枪刚刚制造出来的时候，它的枪把和枪身的长度比例很不科学合理，很不方便于抓握和瞄准。到了1918年，一个名叫阿尔文·约克的美远征军下士，对这种步枪进行了改造，改进后的步枪使用起来非常得心应手，而它的枪身和枪把的比例恰恰符合0.618的比例；
13．历史上很早发生的一些战争中，就无不遵循着0.618的规律。而把黄金分割律在战争中体现得最为出色的军事行动，还应首推成吉思汗所指挥的一系列战事。蒙古骑兵的战斗队形与西方传统的方阵大不相同，在它的5排制阵形中，人盔马甲的重骑兵和快捷灵动轻骑兵的比例为2:3，这又是一个黄金分割！你不能不佩服那位马背军事家的天才妙悟，被这样的天才统帅统领的大军，不纵横四海、所向披靡，那才怪呢
作业：根据科学分析，舞台上的节目主持人应站在舞台前沿的黄金分割点（即该点将舞台前沿这一线段分为两条线段，使较短线段与较长线段之比等于较长线段与全线段之比），视觉和音响效果最好.已知学校礼堂舞台宽20米，求举行文娱会演时主持人应站在何处
C
B
A
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22.2.3一元二次方程根的判别式(2)
教学目的：（1）使学生既会由根的判别式的值断定方程的根的情况；又会由已知根的情况，找出系数中某些字母的取值范围；
（2）使学生会运用根的判别式，作出推理证明；
（3）培养学生计算能力与严密的推理能力。
教学重点：运用根的判别式求系数中字母的值或证明某个结论。
教学难点：解较为复杂的方程、不等式或证明题
教学过程：
1． 复习：
通过填下面的表格，复习根的判别式性质：
二，新课：
例1 讨论下面的关于x的方程的根的情况：
(m－1)x2＋2mx＋(m－2)＝0
分析：因为二次项系数是m－1，有可能为零，所以要分类讨论。
解：若m≠1时，原方程是一元二次方程。
△ ＝(2m)2－4(m－1)(m－2)＝4(3m－2)
例2 已知两个关于x的方程：
mx2－2(m＋2)x＋(m＋5)＝0， ①
(m－5)x2－2(m＋2)x＋m＝0． ②
求：使方程①没有实数根且方程②有两个不相等的实数根的m的取值范围。
分析：这两个方程的二次项系数都是含有字母的，那么是不是都要对二次项系数分类讨论呢？
请仔细审题，如果方程①中m＝0，则方程①为－4x＋5＝0，是有实数根的，所以必是m≠0．所以方程①是一元二次方程。
应有 △＝[－2(m＋2)] 2－4m(m＋5)＝－4(m－4)＜0，③
又条件之二是“方程②有两个不相等的实数根”，所以②必是二次方程，应有：
△ ＝[－2(m＋2)]2－4(m－5)m＝4(9m＋4)＞0，④
并且还须加上一个条件m－5≠0．⑤
解：由分析，应列出条件组：
答：m＞4且m≠5．(注意提醒学生要写出m≠5)
例3 .a，b，c是三角形的三条边，求证：关于x的方程b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0没有实数根。
分析：此题需证出△＜0．已知条件中a，b，c是三角形的三边，所以有a＞0，b＞0，c＞0．还应注意有一个隐含关系“任意两边之和大于第三边”，“任意两边之差小于第三边”。
证明：因为△＝(b2＋c2－a2)2－4b2c2
＝[(b2＋c2－a2)＋2bc][(b2＋c2－a2)－2bc]
＝[(b＋c)2－a2][(b－c)2－a2]
＝(b＋c＋a)(b＋c－a)(b－c＋a)(b－c－a)
(要判断这个乘积是不是负的，应审查每个因式的正、负)
因为b＋c＞a，即b＋c－a＞0。
同理b－c＋a＞0，又c＋a＞b，即b－c－a＜0
又a＋b＋c＞0，所以△＝(b＋c＋a)(b＋c－a)(b－c＋a)(b－c－a)＜0
所以，原方程没有实数根
3． 课堂练习：
1． 已知m，n是实数，且方程x2+mx-n＝0没有实数根，求证：m+n＜1。
2． 已知m，n是实数，且m2＋n＜0，求证：方程x2＋mx－n＝0没有实数根。
4． 小结：
1． 只有当方程是一元二次方程时，才有根的判别式b2－4ac．所以使用根的判别式时应注意二次项系数不为零这个条件；
2． 应分清题目的条件和结论，解题时所用算理是复习提问所填表格中的哪一个；
3． 综合题要求推理严密(例3)，且要求解方程、解不等式、解不等式组能力较强．这是同学们应该不断努力提高的。
5． 作业：
1． 对于k＜9的一切实数，关于x的方程(k－5)x2－2(k－3)x＋k＝0[ ]
(A) 没有实数根 (B)有两个相等的实数根
(B) 有两个不相等的实数根 (D)不能肯定实数根的个
2． 已知a，b，c是△ABC的三条边长，且方程(c－b)x2＋2(b－a)x＋(a－b)＝0有两个相等的实数根，那么这个三角形是 [ ]
(A) 等边三角形 (B)等腰三角形
(B) 不等边三角形 (D) 等边三角形或等腰三角形
3． 不解方程，判断下面方程的根的情况：
x2－(a＋b)x＋(ab－c2)＝0(a，b，c是实数)
4． 已知方程3x2＋2(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ac＝0有两个相等的实数根，其中a，b，c是一个三角形的三条边，求证：这个三角形是等边三角形。
5． m为何值时，关于x的方程(m2－1)x2＋2(m＋1)x＋1＝0有实数根。
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22.1一元二次方程（1）
教学目的：（1）理解一元二次方程的概及项、各项系数的含义；
（2）知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式，并能正确指出二次项、一次项、常数项，二次项系数、一次项系数；
（3）通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点：（1）一元二次方程的有关概念；
（2）会把一元二次方程化成一般形式。
教学难点：一元二次方程的含义
教学过程设计：
1、 引入新课
引例1：剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm、这块铁片应该怎样剪
分析：1.要解决这个问题，就要求出铁片的长和宽。
2.这个问题用什么数学方法解决 (间接计算即列方程解应用题)。
3．让学生自己列出方程 x（x十5）＝150
4．化简得：x2+5x-150=0
5．你能解这个方程吗？
引例2：如图，有一块矩形铁皮，长100㎝，宽50㎝，在它的四个角各切去一个正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖的方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2,那么切去的正方形的边长应该是多少？
分析：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为(100-2x)cm，宽为(50-2x)cm,根据方盒的底面积为3600cm2得：
(100-2x)(50-2x)=3600
整理得:4x2-300x+1400=0
化简得：x2-75x+350=0
你能解这个方程吗？
引例3：要组织一次邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地时间和条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？
分析：全部比赛共4×7=28场
设应邀请x个队参加比赛，每个队要与其他（x-1）个队各赛一场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛属于同一场比赛，所以全部比赛共场。
列方程得：=28
整理得：x2-x-56=0
2、 新课：
1． 观察上面三个方程：
（1） x2+5x-150=0
（2） x2-75x+350=0
（3） x2-x-56=0
它的等式两边都是整式，方程中只含一个未知数，未知数的最高次数是2。
一元二次方程：方程中只含一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程，叫做一元二次方程。
诊断练习：下列方程哪些是一元二次方程？
(1)3x十2＝5x—3： (2)x2＝4(3)(x十3)(3x·4)＝(x十2)2； (4)(x—1)(x—2)＝x2十8
(5)3y2-5y=7（6）（7）5y2=y
总结：判断一个方程是否是一元二次方程不能只看表面、而是能化简必须先化简、然后再查看这个方程未知数的最高次数是否是2。
2． 一般地说，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：
一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
提问：1）一元二次方程为什么要a≠0？
2）讲解方程中ax2、bx、c各项的名称及a、b的系数名称。
3）强调：一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在、而且左边通常按x的降幂排列：特别注意的是“＝”的右边必须整理成0。
诊断练习：
1． 说出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项：
（1） x2十3x十2＝O （2）x2—3x十4＝0； (3)3x2-5＝0
（4）4x2十3x—2＝0； (5)3x2—5＝0； (6)6x2—x=0
2．把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数、常数项：
(1) 6x2＝3-7x； (3)3x（x-1）＝5（x十2）；(5)（3x十2）2＝4（x-3）2
三．课堂小节：
(1) 本节课主要介绍了一类很重要的方程—一一元二次方程（如果方程未知数的最高次数为2，这样的整式方程叫做一元一二次方程）；
(2) 要知道一元二次方程的一般形式ax2十bx十c＝0(a≠0)并且注意一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中二次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在。特别注意的是“＝”的右边必须整理成0；
(3) 要很熟练地说出随便一个一元二次方程中的二次项、一次项、常数项：二次项系数、一次项系数。
四．课外作业：
1. 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
2．下列方程是否是一元二次方程？说明理由。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
3．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项。
(1)5x2=1-4x (2)4x2=81 (3)4x(x+2)=25 (4)(3x-2)(x+1)=8x-3
4．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式。
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25m2，求正方形的边长x；
（2）一个矩形的长比宽多2㎝，面积是100cm2，求矩形的长x；
（3）把1米长的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的平方，求较短一段的长x；
（4）一个直角三角形的斜边长为10㎝，两条直角边相差2，求较长的直角边长；
（5）学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率x；
5. 已知关于x的一元二次方程（m－2）x2＋3x＋m2－4=0有一个解是0，求m的值。
答案：
1．；m=3，
2．（1）是分式方程；（2）是二元二次方程；（3）是一元三次方程（4）是
（5）不是，因为a=0时不是（6）不是，化为一般形式后再看。
3．（1）
（2）
（3）
（4）
4．（1），；
（2），；
（3），；
（4），；
（5）5(1+x）2=7.2，。
5．因为x=0是方程的解，代入方程得，即
又因为原方程是一元二次方程，则（m-2）≠0，即m≠2。
所以，。
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22.2.2用公式法解一元二次方程
教学目的：（1）使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程；
（2）使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力；
（3）在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点；
教学重点：正确运用公式法解一元二次方程。
教学难点：求根公式的推导过程；准确运用公式解方程。
教学过程：
1、 引入新课：
用配方法解下列方程：2x2-6x-1=0
移项得： ，
二次项系数化为1得：
配方得：
总结：配方法解一元二次方程的一般步骤
问题：用配方法解一元二次方程，计算比较繁琐，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？
2、 新课：
引导学生讨论：用配方法求一元二次方程 (a≠0)的解
解：移项得：
二次项系数化为1得：
配方得：
即：
因为a≠0，所以＞0，当≥0时，≥0（用△表示）
所以
，
由此可知，一元二次方程 (a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定。因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式，当≥0时，将a，b，c代入就得到方程的根，这个式子叫一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫公式法。显然一元二次方程最多有两个根。
例。解方程：
（1） （2）
（3） （4）
（5）解关于x的方程x2-m(3x-2m+n)-n2=0
解：（1）a=2，b=-1，c=-1
＞0
， （△=＞0，方程有两个不相等的实数根）
所以：当＞0，方程有两个不相等的实数根
（2）将方程化为一般形式
a=1，b=3，c=1.5
＞0
，
（3）a=1，，
=0
（△==0，方程有两个相等的实数根）
所以：当=0，方程有两个相等的实数根
（4）a=4，b=-3，c=2
＜0
因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根。
所以：当△=＜0时，方程有两个相等的实数根）
（5）解关于x的方程x2-m(3x-2m+n)-n2=0．
解：展开，整理得
x2-3mx+(2m2-mn-n2)=0，
∵a=1，b=-3m，c=2m2-mn-n2，
b2-4ac=(-3m)2-4×1×(2m2-mn-n2)=m2+4mn+4n2=(m+2n)2≥0，
∴x1=2m+n，x2=m-n．
三．课堂练习：用公式法解下列方程
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）
（7）； （8）。
答案：
（1），； （2），；
（3），；（4），；
（5），； （6），；
（7）＜0，无解； （8）。
四．总结：
1．熟记求根公式并理解含义，会熟练正确的运用公式法解一元二次方程；
2．一元二次方程的根的情况由的符号决定。
（1）当△=＞0时，一元二次方程方程 (a≠0)有两个不相等的实数根：，
（2）当△==0时，一元二次方程方程 (a≠0)有两个相等的实数根：
（3）当△=＜0时，一元二次方程方程 (a≠0)没有实数根。
五．作业：P45页习题4
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22.2.3一元二次方程解法复习（2）
教学目的：（1）巩固、掌握解一元二次方程的四种解法；
（2）培养计算能力和计算技巧，渗透换元思想；
（3）培养观察能力，根据题目结构，选择恰当的解法；
教学重点：四种方法的综合运用，选择恰当的解法。
教学难点：选择恰当的解法．要有一定的计算能力和技巧．
教学过程：
1． 一元二次方程的解法复习：
1． 开平方法：如果一元二次方程能化成或（≥0），那么可得或；
2．配方法：把一元二次方程 (a≠0)通过配方成（≥0），那么可降次得；
3．公式法：一元二次方程 (a≠0) 当≥0时，方程的根为（当△=＜0时， (a≠0)没有实数根）；
4．因式分解法：将一个一元二次方程右边等于0，左边分解因式（写成两个一次因式的乘积的形式），那么每个一次因式分别等于0，从而达到降次的目的，这种解方程的方法叫做因式分解法。
讲解：对于一个具体的一元二次方程，选择恰当的解法是关键。
2． 典型例题：
分析：(启发学生一起想)先化为一般形式.
(二次根式运算的结果，应化为最简二次根式)
例2 解方程：(3x+2)2-8(3x+2)+15=0.
分析：(启发学生一起想)不宜把(3x+2)2和8(3x+2)展开整理为一元二次方程的一般形式.观察题目的结构可见，把3x+2换元为t，则原方程就是t的一元二次方程.
例3． 解方程：144x2=61-208x.
解：原方程化为144x2+208x-61=0，
则a=144，b=208，c=-61．b2-4ac=2082-4×144(-61)=2082+4×144×61．
(此题数据太大，不宜大乘大除，应注意计算技巧．分解因数，化为连乘积)
b2-4ac=(16×13)2+22×42×9×61=82(4×169+9×61)=82×1225=(8×35)2＞0，原方程有实根．
例4． 解方程：2(x+2)2+3(x+1)(x-2)-2(x-2)2=0
分析：如果把各项展开，整理为一元二次方程的一般形式，过程太繁，观察题目结构，可换元．
解：设x+1=m，x-2=n，
原方程变形为2m2+3mn-2n2=0，
左边因式分解为(2m-n)(m+2n)=0，2m-n=0或m+2n=0，
即2(x+1)-(x-2)=0或(x+1)+2(x-2)=0
所以x1=-4，x2=1．
另解：也可直接写为[2(x+1)-(x-2)][(x+1)+2(x-2)]=0，2x+2-x+2=0或x+1+2x-4=0，
故 x1=-4，x2=1．
例5 .解方程：(x+2)(x+3)(x-4)(x-5)=44．
分析：从例4的解题过程，我们再一次体会到，解方程的基本思想之一是“降次”．例如把一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程．
本题是一元四次方程，我们试试能不能用因式分解法把方程(注意，必须等号一边为0)，(x+2)(x+3)(x-4)(x-5)-44=0的左边分解因式．
解：(x+2)(x+3)(x-4)(x-5)-44=0，[(x+2)(x-4)][(x+3)(x-5)]-44=0，
(x2-2x-8)(x2-2x-15)-44=0，
令y=x2-2x-8，
原方程变为y(y-7)-44=0，
即y2-7y-44=0，(y-11)(y+4)=0，y-11=0或y+4=0,
即x2-2x-8-11=0或x2-2x-8+4=0．
三.课堂练习
四．小结：1．换元、降次是解方程的重要思路．
2．计算过程应尽可能简捷、合理，尽可能避免大乘大除．
五.作业：1．用适当方法解方程：
(1)x2+2=3x； (2)x2=3x+2；(3)(x-1)(x+2)=70； (4)(3-x)2=9-x2；
(5)(y+3)2-2=0； (6)(3x-2)2=2(3-x)；
(9)(x+7)(x-7)=2x-50； (10)(3x-1)(x+3)=1；
2．解关于x的方程：(1)abx2+(a2+b2)x+ab=0； (2)ax2-(bc+ca+ab)x+b2c+bc2=0
作业的答案或提示
1．(1)x2-3x+2=0，x1=1，x2=2；
(3)x2+x-72=0，(x+9)(x-8)=0，x1=-9，x2=8；
(4)x2-3x=0，x1=0，x2=3；
(8)x1=-2，x2=2；
(9)x1=x2=1；
(13)x1=-8，x2=0；
当a=0，b≠0或a≠0，b=0时，x=0；
当a=b=0时，方程的解不定；
当a=0，bc≠0时，x=b+c，当a=b=0或a=c=0时，方程的解不定．
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22.3一元二次方程方程的应用（3）
教学目的：
（1）能够对生活中的实际问题进行用数学建模解决，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型；
（2）通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力；
（3）让学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，培养学生的数学应用能力；
（4）学生感受数学的严谨性，形成实事求是的态度及进行质疑和激发思考的习惯；获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心。
教学重点：利用一元二次方程对面积问题进行数学建模，从而解决实际问题
教学难点：根据实际问题建立方程模型。
教学过程：
例1．小明把一张长为20cm，宽为10cm的长方形硬纸板的四周剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方形盒子。如果折合后的长方体的底面面积为96cm2，那么剪去的正方形边长为多少？
分析：设剪去的正方形边长为xcm，如图，则长方体的底面边长为(10-2x)
，，（不符题意，舍去）为什么？
例2．如图，一个院子长10m，宽8m，，要在它的里沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的32.5%，试求这花圃的宽度。
分析：设花圃的宽度为xm，
则剩下院子的长为（10-x）m，宽为（8-2x）m，
于是
整理得
解得，（不符题意，舍去）为什么？
所以花圃的宽度为1m。
例3．如图要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）
分析：设封面的长宽之比为9：7，由题意中央矩形的长宽吧之比也应
是9：7，由此判断上下边衬与左右边衬之比也是9：7（为什么？）
设上、下边衬的宽均为9xcm，左、右边衬的宽均为7xcm，
则中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm。
要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央
矩形的面积是封面面积的四分之三，于是得：
整理得：
解方程得：
（不符题意，舍去）为什么？
则上、下边衬的宽均为9x=cm
左、右边衬的宽均为7x=cm
思考：还有更简单的解法吗？
设中央矩形的长为9xcm，则中央矩形的宽为7xcm
由题意得 解得
所以中央矩形的长为，中央矩形的宽为
则上、下边衬的宽均为cm，
左、右边衬的宽均为cm。
练习：
1。要为一幅长8cm，宽6cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少？（精确到0.1cm）
分析：设镜框的四条边宽度均为xcm，
则镜框所占面积为
于是得
整理得
解得
，（不符题意，舍去）为什么？
2．一个养鸡场的一边靠墙，墙长18m ，另外三边用长为35m的篱笆围成一个矩形，要使围成的矩形面积等于150 m2，问篱笆围成的矩形的长宽分别是多？
设鸡场的两对边之一长为x米，另一边长为（35-2x）米
据题意得x（35-2x）=150
35-2x1=15，35-2x2=20（超过18，舍去）
答：鸡场的宽为10米，长为15米。
3．如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长。
分析：设截去正方形的边长x厘米，底面（图中虚线线部分）长等于 厘米，宽等于 厘米，底面= 。
请同学们自己列出方程并解这个方程，讨论它的解是否符合题意。
由学生回答解题过程，教师板书：
解 设截去正方形的边长为x厘米，根据题意，得
(60－2x) (40－2x) ＝800
解方程得
，，
经检验，不符合题意，应舍去，符合题意的解是
答：截去正方形的边长为10厘米。
作业：
1．一块四周宽度相同的花边的地毯如图所示，它的长为8m，宽为5m。如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽。
2．如图要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，其中
有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，
如果要使彩条所占的面积是图案面积的四分之一，
应如何设计彩条的宽度？
3．学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸.经试验，彩纸面积为相片面积的时较美观，求镶上彩纸条的宽.（精确到0.1厘米）
4．如图，某建筑物地基是一个边长为30米的正六边形.要环绕地基开辟绿化带，使绿化带的面积和地基面积相等.请你给出设计方案.（画图并标注尺寸）
（第7题）
5. 学校中心大草坪上准备建两个相等的圆形花坛，要使花坛的面积是余下草坪面积的一半.已知草坪是长和宽分别为80米和60米的矩形，求花坛的半径。
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22.2.3一元二次方程根与系数的关系（1）
教学目的：（1）掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用；
（2）培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；
（3）渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；
（4）培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．
教学重点：根与系数的关系及其推导。
教学难点：正确理解根与系数的关系
教学过程：
1． 复习：
1． 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式应如何表述？
2． 上述方程两根之和等于什么？两根之积呢？
2． 引入：
观察下表：
可以发现，一元二次方程两根之和等于一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
这一规律对于任意一元二次方程是否成立呢，我们本课来加以讨论。
3． 新课：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为
由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：(又称“韦达定理”)
如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么
我们再来看二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0的根与系数的关系
如果方程x2＋px＋q＝0的两根是x1，x2，
那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q
可知p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2
∴ 方程x2＋px＋q＝0
即 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0
这就是说，以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是
x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0
练习1. 不解方程求下列方程两根之和与两根之积：
（1）x2-3x+1=0（2）3x2-2x=2（3）2x2+3x=0（4）3x2=1
练习2. 口答：利用根与系数的关系，判断下列各方程后面的两个数是不是它的两个根.
（1） x2-6x-7=0（-1，7） （2）3x2+5x-2=0（5/3，-2/3）
（3）2x2-3x+1=0（3，1） （4）x2-4x+1=0（-2+，-2-
例1 已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根是2，求它的另一根及k的值
例2、不解方程，求方程2x2+3x－1=0的两个根的（1）平方和；（2）倒数和.
解：设方程的两个根是x1 ，x2，那么
x1+x2 =－ ， x1.x2 =－.
（1）x12+x22 =（x1+x2）2 － 2x1.x2=（－）2－2（－）=
（2）+= =3
总结：渗透整体思想，把所求代数式的值转化为求两根和与两根积的问题
例3、已知一元二次方程8x2－(2m+1)x+m－7=0，根据下列条件，分别求出m的值：
(1)两根互为倒数； (2)两根互为相反数；
(3)有一根为零； (4)有一根为1；
解：由根与系数的关系得，
（1）两根互为倒数即，解得；
（2）两根互为相反数即，解得；
（3）有一根为零即，解得；
（4）有一根为1，代入得，，联解得，
另解：将x=1代入原方程解得
四、小结：
1．本节课主要学习了一元二次方程根与系数关系定理，应在应用过程中熟记定理．
2．要掌握定理的两个应用：一是不解方程直接求方程的两根之和与两根之积；二是已知方程一根求另一根及系数中字母的值
五．作业：
1、已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，它的另一个根是 ，m的值是 .
2、设x1·x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）（x1+1）（x2+1）； （2）.
3．求当m为何值时，一元二次方程
（m=-1时△<0，舍去.m的值为3）
4．方程3 x2 + ( m – 2 ) x + m – 4 = 0 的两根互为相反数，求m的值
5．在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么
6.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之比为2∶1，求证：2b2=9ac。
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22.2.3一元二次方程根与系数的关系（2）
教学目的：（1）复习巩固一元二次方程根与系数关系的定理；
（2）学习定理的又一应用，即“已知方程，求方程两根的代数式的值”；
（3）通过应用定理，培养学生分析问题和综合运用所学知识解决问题的能力
教学重点：已知方程求关于根的代数式的值。
教学难点：用两根之和与两根之积表示含有两根的各种代数式
教学过程：
1． 复习：
1． 一元二次方程根与系数关系的定理是什么？
2． 下列各方程两根之和与两根之积各是什么？
(1) x2－3x－18＝0；(2)x2＋5x＋4＝5；(3)3x2＋7x＋2＝0；(4)2x2＋3x＝0。
2． 新课：
思考下列两个问题：
1． 方程5x2＋kx－6＝0两根互为相反数，k为何值？
解：依题意，得x1+x2=0，∴k＝－5(x1＋x2)＝0
2． 方程2x2＋7x＋k＝0的两根中有一个根为0，k为何值？
解：依题意，设x1＝0
我们可以从这两题中看出，根与系数之间的运算是十分巧妙的．本课我们将深入探讨这一问题
例1.利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0两根的(1)平方和；(2)倒数和
以便将根与系数的关系代入。
例2．已知方程x2＋kx＋21＝0的两个根的平方和是58，求k的值
解：由题意得，运用根与系数的关系得：
，
即
在讲本题时，要突出讲使用韦达定理，寻求x2＋px＋q＝0中的p，q的值
例4． 已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数
这是一道“根与系数的关系定理”的应用题，要注意讲此类题的解题步骤：
(1) 运用定理构造方程；(2)解方程求两根；(3)得出所欲求的两个数。
例5. 已知方程2x2＋4x－3＝0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的一个根是已知方程两根之和的倒数，另一个根是已知方程两根差的平方。
分析：应先求出已知方程的两根之和的倒数及已知方程两根差的平方，然后再用已知两根写出方程的方法，写出所求方程。
练习：
1．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根，一个负根，且正根的绝对值小于负根的绝对值，那么 [ ]．
(A)a，b同号，且a，c同号；(B)a，b同号，且a，c异号
(C)a，b异号，且a，c同号；(D)a，b异号，且a，c异号
2．已知a，b，c，d都不是零，且a，b是方程x2＋cx＋d＝0的解，c，d是方程x2＋ax＋b＝0的解，则a＋b＋c＋d的值为________
3．方程2x2－ax＋2b＝0中，两根的和为4，两根之积为－3，那么a，b的值是 [ ]．
(A)a＝8，b＝－6 (B)a＝4，b＝－3
(C)a＝3，b＝8 (D)a＝8，b＝-6
4.设方程 的两根为，，且，则的值是（ ）
(A)2或－4 (B)－2或4
5．已知方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，且这两根的平方之和比两根之积大21．求m的值．
6．m为何值时，方程2x2＋3x－m＝0
(1)有一个根为零；(2)两个实根互为倒数；(3)有两个负实数根．
三．小结：
一元二次方程根与系数关系有很广泛的用途．目前，可解决以下几类问题
1．已知二次方程的一个根，可求另一个根．
2．已知两根，可写出这个二次方程．
3．求已知二次方程的根的对称式．
4．与根的判别式结合起来，可不解方程判断两根的性质和正负号．
5．在运用韦达定理时，应先化为简化二次方程，并牢记两根之和是一次项系数的相反数而不是一次项系数本身
四．作业：
1、 写出下列一元二次方程的两实数根的和与两实数根的积；
（1）x2－3x+1=0. x1+x2= ；x1x2= ；（2）3x2－2x－2=0 x1+x2= ；x1x2= ；
（3）2x2－9x+5=0. x1+x2= ；x1x2= ；（4）4x2－7x+1=0 x1+x2= ；x1x2= ；
（5）2x2－4x=0. x1+x2= ；x1x2= ；（6）4x2－5=0 x1+x2= ；x1x2= .
2、 已知方程5x2+kx－6=0的一个根是2，求另一根及k值.
3、 设方程4x -7x-3=0的根为x1，x2，不解方程求下列各式的值：
（1）（x1-3）（x2-3）；（2）x12+ x22；（3）.
4、 设x1、x2是方程2x2－6x+3=0的两个根，，利用根与系数的关系，求下列各式的值.（1）x12x2+x1x22；（2）（x1+）（x2+）；（3）；（4）+；（5）
5、 已知x1、x2是方程3x2+px+q=0的两个根，分别根据下列条件求出p、q的值：
（1）x1=1，x2=2；（2）x1=3，x2=－6；
（3）x1=，x2=－；（4）x1=－2+，x2=－2－.
6、已知方程的两根互为相反数，求m的值（m=1,-1舍去）.
（1、已知方程2x2+ax－2a+1=0的两个实根的平方和为，求a的值；
2、设x1、x2是方程x2－2（k-1）x+k2=0的两个实根，且x12+x22=4，求k值.
3、已知方程x2+（2k+1）x+k2－2=0的两个实根的平方和为等于11，求k的值.
4、设α、β是方程x2+2x－9=0的两个实数根，求和α2β+αβ2的值.已知关于x的5、方程x2-2(m-2)x+m2=0问：是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
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22.1一元二次方程（2）
教学目的：（1）理解一元二次方程的解的含义；
（2）探索一元二次方程的解，理解一元二次方程的解的个数有两个。
教学重点：理解一元二次方程的解
教学难点：一元二次方程的解
教学过程：
1． 复习：
列出下列方程并化成一般形式
（1）剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm、这块铁片应该怎样剪？
（2）如图，有一块矩形铁皮，长100㎝，宽50㎝，
在它的四个角各切去一个正方形，然后将四周突出
部分折起，就能制作一个无盖的方盒，如果要制作
的无盖方盒的底面积为3600cm2,那么切去的正方形
的边长应该是多少？
（3）要组织一次邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地时间和条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？
（4）学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率x；
二．新课：
1．探索一元二次方程的解：
对于问题3的方程为：=28，
化为一般形式为：x2-x-56=0
我们可以取一些特殊的x，代入方程。如果等式成立，那么就是原方程的解：
填表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
x2-x-56 -56 -54 -50 -44 -36 -26 -14 0 16 34 …
可以发现，当x=8时，方程的左边=0，右边=0，所以x=8是方程x2-x-56=0的解，
一元二次方程的解也叫方程的根。
是否只有x=8是方程代入方程的解呢？
将x=-7代入方程代入方程：
方程左边=(-7)2-(-7)-56=0，右边=0，所以x=-7也是方程x2-x-56=0的解
还有办法求出方程x2-x-56=0的解吗？
所以方程x2-x-56=0的解有两个：x1=8，x2=-7
但是排球队的个数是正整数，所以x2=-7应舍去，所以实际问题的解是x=8
所以实际问题中，由方程得出的解还要考虑是否是实际问题的解。
2．求出另外三个问题中的解：
（1）剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm、这块铁片应该怎样剪？
分析：设长方形的宽为xcm，则长为（x+5）cm，根据题意得方程
x（x+5）=150
整理得x2+5x-150=0
可以取特殊值代入，也可以用因式分解法求解
由于长方形的宽不可能为负数，所以x=10
此时x+5=15
（2）如图，有一块矩形铁皮，长100㎝，宽50㎝，在它的四个角各切去一个正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖的方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2,那么切去的正方形的边长应该是多少？
分析：设切去的正方形的边长为xcm，那么制作的无盖方盒的底面的长为（100-2x）cm，
宽为（50-2）cm，根据底面积为3600cm2得
（100-2x）（50-2x）=3600
整理得x2-75x+350=0
可以取特殊值代入，也可以用因式分解法求解
解得
当x=70时不符题意，舍去。
所以x=5
（4）学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率；
分析：设这两年的年平均增长率x，根据题意得方程
5(1+x）2=7.2
可以取特殊值代入，也可以用直接开平方法求解
解得
显然不符题意，舍去。
3．求出下列方程的解：
（1）x2-36=0（2）4x2-9=0
答案：（1）
（2）
三．总结：
什么叫一元二次方程的解？一元二次方程的解一般有几个？
答：一元二次方程的解是指满足方程的未知数的值，一元二次方程的解（根）一般有两个。
四．练习：
1．下列哪些数是方程的解？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4
2．试写出的根，你能写出几个？
3．已知x=0是关于的一元二次方程（k -1）x2+3kx+4 -4︱k ︳=0的解，求k.
4．根据下列问题列出方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
（1）一个矩形的的长比宽多1㎝，对角线长5㎝，矩形的长和宽各是多少？
（2）有一根1m长的铁丝，怎样用它围成一个面积为0.06㎡的矩形？
（3）参加一次聚会的每两人都握一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？
5．你能想出下列方程的根吗？如果能，写出方程的根，并说出你是怎样想出来？
（1） （2） （3） （4）
6．如果2是方程，那么常数c等于多少？你能求出这个方程的其他根吗？
答案：
1．-2，3；
2．0，1；
3．k=-1；
4．（1）3cm，4cm；
（2）0.2，0.3；
（3）5人；
5．（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）。
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22.2.3可化为一元二次方程的分式方程
教学目的：（1）使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，会用去分母或换元法求方程的解；
（2）使学生了解解分式方程产生增根的原因，掌握验根的方法；
（3）结合教学对学生进行化归转化思想的培养；
教学重点：将分式方程转化为一元二次方程。
教学难点：熟练解可化为一元二次方程的分式方程．
教学过程：
一、复习
1．我们学过分式方程，同学们还记得怎样解分式方程吗？
2．请同学们解下列方程：
方程两边同乘以(x+2)，约去分母得2-(2-x)=3(x+2)．
解这个方程得x=-3．
检验：把x=-3代入(x+2)，它不等于零．
∴ 原方程的根是x=-3．
方程两边同时乘以x(x-1)，约去分母得3(x-1)+6x=x+5．
解这个方程得x=1．
检验：把x=1代入x(x-1)，它等于零．
所以x=1是原方程的增根，故原方程无解．
3．请同学们结合上面两个题，回答下列问题：
(1)什么是分式方程？解分式方程的一般方法与步骤是什么？
(2)在解分式方程过程中，容易犯的错误是什么？应当怎样避免？
(3)解分式方程为什么必须验根，应当怎样验根？
教师指出：
分母里含有未知数的方程叫做分式方程．解分式方程的一般思路是化分式方程为整式方程，解分式方程的一般步骤是：
(1)把方程中各分式的分母因式分解，确定各分式的最简公分母．
(2)用最简公分母去乘方程两边，约去分母，使分式方程化为整式方程．
(3)解这个整式方程，得到此整式方程的根．
(4)检验．
解分式方程容易犯的错误有：
(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．
(2)约去分母后，分子是多项式时，要注意添括号．
根据方程同解原理：方程两边都乘以不等于零的同一个数，所得方程与原方程同解．而我们在解分式方程时，方程两边同时乘以最简公分母，它是一个整式，当此整式为零时，就破坏了方程的同解原理，因此最后整式方程的根就不一定是原方程的根，所以解分式方程必须验根．验根的一般方法是：把最后整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根为原方程的增根，必须舍去，否则是原方程的根．
二、新课
我们一起再解一个分式方程．
解：原方程就是：
方程两边同时乘以(x+2)(x-2)，约去分母，得：(x-2)+4x-2(x+2)=(x+2)(x-2)．
整理后得x2-3x+2=0．解这个方程得x1=1，x2=2．
检验：把x=1代入(x+2)(x-2)≠0所以x=1是原方程的根；把x=2代入(x+2)(x-2)=0，所以x=2是增根．
∴原方程的根是x=1．
请同学比较例题与引课中两题，在求解过程中，有什么不同之处．
这个方程左边两个分式中与互为倒数，根据这个特点可以用换元法来解．
方程两边都乘以y，约去分母得2y2-7y+6=0，
x2-2x-1=0．
去分母并整理得：2x2-3x-1=0，
所以它们都是原方程的根．
∴原方程的根是：
三、练习
1．解下列方程：
四、小结
1．分式方程的定义．
2．分式方程的一般解法及解方程步骤．
3．用换元法解分式方程时，方程具备的特点，验根的方法．
五、作业
1．解下列方程：
2．用换元法解下列方程：
3*．解下列关于x的方程：
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22.3一元二次方程的应用（4）
教学目的：（1）能够对生活中的实际问题进行用数学建模解决，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型；
（2）通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力；；
（3）让学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，培养学生的数学应用能力
（4）学生感受数学的严谨性，形成实事求是的态度及进行质疑和激发思考的习惯；获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心
教学重点：利用分式方程对实际问题进行数学建模，从而解决实际问题。
教学难点：根据实际问题建立方程模型．
教学过程：
1． 复习：
1．什么叫分式方程？解分式方程的一般方法是什么？在不同的解法过程中应分别注意什么
二、新课：
今天我们学习利用分式方程解应用题
例1。一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m 后停车。（1）从刹车到停车用了多少时间？（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？（3）刹车后汽车滑行15m时用了多少时间？（精确到0.1s）
分析：（1）已知刹车后汽车滑行了25m。如果知道滑行的平均速度。则根据路程、速度、时间三者的关系，可求出滑行时间。为使问题简单化。
不妨假设汽车从20m/s到0m/s是随时间均匀变化。这段时间内的平均车速等于最大速度与最小速度的平均值，即（m/s）
于是从刹车到停车的时间为：行驶路程÷行驶速度=25÷10=2.5（s）
（2）从刹车到停车平均每秒车速减少值为（初速度-末速度）÷车速变化时间
即（m/s）
（3）设刹车后汽车行驶到15m用了xs，由（2）可知，这时车速为（20-8x）m/s，这段路程内的平均车速为（m/s），由速度×时间=路程得：
解方程得
（不符题意，舍去），
思考：汽车刹车后行驶到20m时约用了多少时间？（精确到0.1s）。
例2．甲乙二人同时从张庄出发，步行15千米来到李庄．甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时，二人每小时各走几千米？
分析：此题中，甲乙二人的速度差为每小1千米，乙与甲走15千米的时间差为0.5小时，甲、乙二人行走路程均为15千米．如果我们利用速度差设未知数，那么就要根据时间差列方程．即，设乙每小时走x千米，则甲每小时走(x+1)千米，乙走15
解：设乙每小时走x千米，那么甲每小时走(x+1)千米根据题意，得
方程两边都乘以2x(x+1)，约去分母整理得x2+x-30=
解这个方程得x1=5，x2=-6
经检验：x1=5，x2=-6都是原方程的根．但速度为负数不合题意，所以只取x=5，这时x+1=6
答：甲每小时走6千米，乙每小时走5千米
如果我们利用时间差设未知数，应如何列方程？请你试一试．
例3．某农场开挖一条长960m的渠道，开工后每天比原计划多挖20m，结果提前4天完成任务，原计划每天挖多少？
分析：此题中，工作量为960m，实际工作效率与计划工作效率的差为每天20m，计划工作时间与实际工作时间的差为4天，如果设原计划每天挖xm，则实际每天挖
解：设原计划每天挖x米，那么开工后每天挖(x+20)米，根据题意得：
方程的两边都乘以x(x+20)，约去分母整理得：x2+20x-4800=0
解这个方程，得x1=60，x2=-80
经检验，x1=60，x2=-80都是原方程的根．但负数不合题意，所以只取x=60
答：原计划每天挖60m
如果设原计划用x天，此题应如何解答？
例4．一个水池有甲乙两个进水管，单独开放甲管注满水池比单独开放乙管少用10小时，如果两管同时开放，12小时可把水池注满，若单独开放一个水管，各需多少小时才能把水池注满？
分析：此题中，工作量为注满一个水池，即“1”，甲乙管单独开放，注满水池所需时间差为10小时，如果设单独开放乙管注满水池需x小时，那么单独开放甲
解：设单独开放乙管注满水池需x小时，那么单独开放甲管注满水池需(x-10)小时，根据题意得
方程两边都乘以x(x-10)，约去分母并整理得x2-34x+120=0
解这个方程得x1=30，x2=4
经检验：x1=30，x2=4都是原方程的根
当x=30时，x-10=20；当x=4时，x-10=-6。
因为注水时间不能为负数，所以只取x=30
答：单独开放一个水管注满水池，甲管需要20小时，乙管需要30小时．
说明：此例若按习惯将较小量设为未知数，即，设甲管单独开放x小时注满水池，解得方程两根分别为20和-6，检验与前两个例题雷同．教材如此安排，就是为了使学生掌握方程两根均为正值时，如何根据题意取舍。
三、练习
1．从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站开出，1小时后，快车在慢车前12千米；快车到达乙站此慢车早25分，快车和慢车每小时各走几千米？
2．某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存煤比原计划多用20天，贮存的煤原计划用多少天？每天烧少吨？
3．甲、乙两队学生绿化校园．如果两队合作，6天可以完成．如果单独工作，甲队比乙队少用5天，两队单独工作各需多少天完成？
四、小结
1．列方程解应用题的一般步骤．
2．列分式方程解应用题验根的两个目的。
五、作业
1．甲、乙两组工人合做某项工作，10天以后，因甲组另有任务，乙组再单独做2天才完成，如果单独完成这项工作，甲组比乙组可以快4天，求各组单独完成这项工作所需要的天数
2．一小艇顺流下行24千米来到目的地，然后逆流回航到出发地，航行时间共计3小时20分，已知水流速度是3千米/时，小艇在静水中的速度是多少？小艇顺流下行和逆流回航的时间各是多少？
3．一汽船在顺流中航行46千米和在逆流中航行34千米共用去的时间，恰好等于它在静水中航行80千米用去的时间，已知水流速度是2千米/时，求汽船在静水中的速度．
4．一个水池有甲乙两个进水管，甲管注满水池比乙管快15小时，如果单开放
注满水池各需多少时间？
5．某人骑自行车从甲地到乙地，回来时因车坏了，只能步行，步行7千米后乘上长途汽车，行21千米后回到甲地，这样回来的时间和去的时间一样多．已知汽车每小时比步行多走32千米，骑自行车每小时比步行多走8千米，求这人步行速度．
6．某工程甲单独完成比乙单独完成少用3天，现在甲乙两队合作两天后，由乙队单独来做，完成时一共所用的天数正好与甲单独完成全部工作所用的天数相等，求甲乙单独完成这件工作所用的天数。
7．甲乙两人合作某项工程，4天后乙另有任务，剩下的工作由甲又用了2天完成，若单独做这项工程甲比乙快3天，求两人单独完成这项工程各需多少天？
8．有160个机器零件，平均分配给甲，乙两个车间加工．乙车间因另有紧急任务，所以在甲车间已加工3时后，才开始加工，因此比甲车间迟20分完成任务．已知甲，乙两车间的劳动生产率的比是1∶3，问甲，乙两车间每时各能加工多少个零件。
9．一小艇顺流下行24千米到目的地，然后逆流回航到出发地，航行时间共3时20分．已知水流速度是3千米/时，小艇在静水中的速度是多少？小艇顺流下行和逆流回航的时间各是多少？
10．一个小球以5m/s的速度向前滚动，并且均匀减速，滚动10m 后小球停下来。
（1）小球滚动了多少时间？（2）平均每秒小球的运动速度减少多少？（3）小球滚动到5m时约用了多少时间（精确到0.1s）？
11．一个跳水运动员从距水面10m高的跳台向上跳起0.8m，最后以14m/s的向下运动速度入水。
（1）运动员从起跳后的最高点到入水用了多少时间？
（2）平均每秒运动员下落速度的变化量是多少？（精确到0.1m/s）
（3）运动员从起跳后的最高点到离水面5m时用了多少时间？（精确到0.1m/s）
12．竖直上抛物体的高度h和时间t 符合关系式h＝v0t－gt2，其中重力加速g以10米/秒2计算. 上抛物体以初速度v0＝20米/秒上升，问经过多少时间爆竹离地15米？
13．为加快西部大开发，某自治区决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程。如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成，现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成。问原来规定修好这条公路需多长时间？
14．某工程，甲工程队单独做40天完成，若乙工程队单独做30天后，甲、乙两工程队再合作20天完成。（1）（4分）求乙工程队单独做需要多少天完成？（2）（3分）将工程分两部分，甲做其中一部分用了x天，乙做另一部分用了y天，其中x、y均为正整数，且x<15，y<70，求x、y
15．学校在假期内对教室内的黑板进行整修，需在规定日期内完成．如果由甲工程小组做，恰好按期完成；如果由乙工程小组做，则要超过规定日期3天．结果两队合作了2天，余下部分由乙组独做，正好在规定日期内完成，问规定日期是几天？
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22.2.3一元二次方程根的判别式(1)
教学目的：（1）使学生理解一元二次方程的根的判别式，知道所判别的对象是什么；
（2）使学生会运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况。
教学重点：一元二次方程的根的判别式的运用。
教学难点：对一元二次方程的根的判别式的结论的理解
教学过程：
1． 复习：
1． 请同学们回想一下，我们用求根公式法解一元二次方程时，在把系数代入求根公式前，必须写出哪两步？为什么要先写这两步？
例.用求根公式法解方程2x2＋10x－7＝0 (教师把这个过程写在黑板上)
解：因为a＝2，b＝10，c＝－7， ①
b2－4ac＝102－4×2×(－7)＝156＞0， ②
2． 为什么在把系数代入求根公式前，要先写①式、②式这两步？
答：因为方程的根是由各项系数确定的，所以必须先确认一下a，b，c的取值，这是要先写①式的原因；
因为一元二次方程不一定有(实数)解，所以有必要先了解一下代数式b2－4ac的值，如果b2－4ac的值是负的，则方程无(实数)解，也就没有必要继续往下计算了，这是要先写②式的原因。
二．新课：
1． 先讨论上述三个小题中b2－4ac的情况与其根的联系．再做如下推导：
对任意一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，可将其变形为
∵a≠0，∴4a2＞0
由此可知b2－4ac的值的“三岐性”，即正、零、负直接影响着方程的根的情况
(1) 当b2－4ac＞0时，方程右边是一个正数
(2) 当b2－4ac＝0时，方程右边是0
（3）当b2－4ac＜0时，方程右边是一个负数，而方程左边不可能是一个负数，因此方程没有实根。
2． 从上面的解释可见，在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，代数式b2-4ac起着重要的作用，我们把它叫做根的判别式，通常用记号△表示，即：
3． 教师紧接着提问学生：根的判别式是判别根的什么？
注意：根据课本的“反过来也成立”，我们还得到三个定理，那就是：
显然，定理1与定理4，互为逆定理．定理2与定理5，互为逆定理．定理3与定理6，互为逆定理。
定理1，2，3的作用是用已知方程的系数，来判断根的情况。
定理4，5，6的作用是已知方程根的情况，来确定系数之间的关系，进而求出系数中某些字母的值。
4.运用根的判别式解题举例。
例1 不解方程，判别下列方程根的情况。
(1)2x2＋3x－4＝0； (2)16y2＋9＝24y；(3)5(x2＋1)－7x＝0。
解：(1)因为△＝32－4×2(－4)＝9＋32＞0；所以原方程有两个不相等的实数根．
(注意：①老师的板书及要求学生作业的写法都按照课本的格式．②只要知道△＞0，△＝0，△＜0就可以了，所以课本没有算出9＋32＝41)
(2)原方程变形为16y2－24y＋9＝0，因为△＝(－24)2－4×16×9＝576－576＝0，所以原方程有两个相等实数根。
(3)原方程变形为5x2－7x＋5＝0，因为△＝(－7)2－4×5×5＝49－100＜0，所以原方程没有实数根。
例2 已知方程2x2＋(k－9)x＋(k2＋3k＋4)＝0有两个相等的实数根，求k值，并求出方程的根。
解：因为方程有两个相等实数根，所以△＝0，
即(k－9)2－8(k2＋3k＋4)＝0，
k2－18k＋81－8k2－24k－32＝0，
化简，得k2＋6k－7＝0，(k＋7)(k－1)＝0．
所以k1＝－7，k＝1
当k＝－7时，原方程为2x2－16x＋32＝0，得x1＝x2＝4；
当k＝1时，原方程为2x2－8x＋8＝0，得x3＝x4＝2。
问：本题的算理是什么？答：是定理5
例3．已知关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0
想一想，当k取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程没有实数根。
解：△=[-(4k+1)]2-4×2×(2k2-1) =16k2+8k+1-16k2+8==8k+9
例4 若关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋(a2＋4a－5)＝0有实数根，试求正整数a的值。
分析：要注意两个条件：①有实数根，②a是正整数。
鸡：由方程有实根得△≥0，得≥0，不等式两
边同除以正数4，不等号的方向不变，
得a2＋2a＋1－a2－4a＋5≥0，
－2a＋6≥0
所以a≤3。
因为a是正整数，所以a＝1，2，3．(注意：本题的算理是根据定理4，5，而不是定理1，2)
三. 课堂练习：
1．关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等实数根，则k的取值范围是______________.
(答案或提示：1．k＞－1且k≠0； 2．无实数根)
四.小结：
1． 根的判别式是用来判断一元二次方程的根的情况：方程有没有实数根；如果有实根，是两个相等实根，还是不相等实根。
2． 运用根的判别式解题时，必须先把方程化为一元二次方程的一般形式，并认准a，b，c的值。
3． 要注意课本的“反过来也成立”．在解题时，应明确何时用定理1，2，3，何时用定理4，5，6。
五.作业：
1． 下列方程中，有两个相等实数根的方程是 [ ]
(A)7x2－x－1＝0 (B)9x2＝4(3x－1)
2． 若方程(k2－1)x2－6(3k－1)x＋72＝0有两个不同的正整数根，则整数k的值是 [ ]
3． 若a，b，c互不相等，则方程(a2＋b＋c2)x2＋2(a＋b＋c)x＋3＝0[ ]
(A)有两个相等的实数根 (B)有两个不相等的实数根
(C)没有实数根 (D)根的情况不确定
4. 不解方程，判别下列方程的根的情况:
(1)2x2＋4x＋35＝0； (2)4m(m－1)＋1＝0;
5. 已知关于x的方程x2＋(2m＋1)x＋(m－2)2＝0．m取什么值时,
(1)方程有两个不相等的实数根
(2)方程有两个相等的实数根
(3)方程没有实数根
6. k取什么值时，方程4x2－(k＋2)x＋k－1＝0有两个相等的实数根？并求出这时方程的根.
7. 求证：关于x的方程x2＋(2k＋1)x＋k－1＝0有两个不相等的实数根.
8．求证关于x的方程(k2+1)x2-2kx+(k2+4)=0没有实数根
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22.2.3因式分解法解一元二次方程
教学目的：（1）理解因式分解法解一元二次方程；
（2）灵活应用因式分解法解一元二次方程；
（3）进一步体会降次法解方程的思想；
教学重点：正确运用因式分解法解一元二次方程。
教学难点：正确运用因式分解法解一元二次方程
教学过程：
1、 复习：1。什么叫因式分解？因式分解有哪些方法？
答：把一个多项式写成乘积的形式叫因式分解。
方法有：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法。
2．分解因式：
（1）； （2）；（3）；
（4）； （5）； （6）。
二．引入新课：
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度（单位：米）为，你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01s）？
分析：设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0，即：=0。
除配方法或公式法外，能否找到更简单的方法解这个方程？
上面方程的右边是0，的左边可以因式分解
变形得
于是得x=0或10-4.9x=0
，
所以，表示物体约在2.04秒时落回地面，而表示物体被上抛离开地面的时刻，此时高度为0m。
思考：解上面方程是怎样把二次方程降次为一次方程的？
三．新课：
因式分解法：将一个一元二次方程右边等于0，左边分解因式（写成两个一次因式的乘积的形式），那么每个一次因式分别等于0，从而达到降次的目的，这种解方程的方法叫做因式分解法。
如上面例题中=0变为，再得到x=0或10-4.9x=0，从而达到解方程的方法叫做因式分解法。
例.解下列方程：
（1）； （2）3y2—18=0；
（3）； （4）(2x＋3)2－25＝0；
（5）； （6）x2-3x-10=0。
解：（1）因式分解得(x-2)(x+1)=0 ,即x-2=0或x+1=0，，。
（2）原方程分解因式得3
所以，
（3）移项、合并同类项得：，因式分解得
所以2x-1=0或2x+1=0，解得，。
（4）因式分解得=0, 即2x+3-5=0或2x+3+5=0
解得，
（5）化简得，分解因式得，
即或，解得，。
（6）因式分解得，于是或；
解得，。
小结：因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？
将一个一元二次方程右边等于0，左边分解因式（写成两个一次因式的乘积的形式），那么每个一次因式分别等于0，从而达到降次的目的，这种解方程的方法叫做因式分解法。
四、课堂练习：
1．解下列方程：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）；（6）；
（7）；（8）。
2．若=0求ab
3．拓展提高：解关于x的方程（a-b）x2+（c-b）x+（c-a）=0（a≠b）
课堂练习答案：
1．（1），；（2），；
（3）；（4）；
（5），；（6），；
（7），；（8），。
2．原方程即，把看成未知数，分解得：
，即或
解得：或
本题体现整体思想，即把看成一个整体就解。
3.分解因式得，即或
因为a≠b，解得，
选择恰当的解法可使问题变得简单。
五．在教学中要向学生指出：
1．运用因式分解法解一元二次方程时，首先应将右边的各项移到方程左边，使方程右边为0；然后，再将方程左边的式子分解因式．
2．因式分解时应灵活应用提取公因式法、逆用乘法公式法、十字相乘法等．
3．一般只在方程移项后，左边式子易于分解时，才使用这种解法．
六．作业：P46习题5、8
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