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数学中考专题复习
第23章 圆 圆中的计算问题
教学目的：
1、理解圆周长与弧长有密切的联系。理解弧长计算公式，会计算圆的周长与弧长。能运用周长与弧长的知识解决一些实际问题，提高分析问题与解决问题的能力。
2、会计算圆的面积、扇形的面积及简单组合图形的面积。学会分解与组合图形，
3、了解圆锥的形成和圆锥的概念。了解圆锥的侧面展开图是扇形，会计算圆锥的侧面积和表面积。
4、会把实际问题抽象成数学问题。学会分解与组合图形，培养空间想象力，掌握转化的数学思想方法。养成先分析后解题的习惯，既会合理思考，又会综合写出推理计算过程。
【知识重点与学习难点】
重点：1、理解弧长公式和应用弧长公式.要理解圆心角是1°的弧长等于圆周长的,这是建立弧长公式的关键，对于公式中的180、n表示的是倍、分关系，没有单位，还要掌握公式的逆用，培养逆向思维能力。
2、会计算扇形的面积。对于扇形面积的计算公式，要理解它的二种形式以及它的不同用法，并会逆用公式。要理解圆心角是1°的扇形面积等于圆面积的,圆心角是n°的扇形面积等于圆面积的.公式中的n与弧长公式中的n一样，理解为1°的倍数,不带单位。
3、圆锥的侧面展开图、圆锥的侧面积计算，
难点 1、对于弧形部分，要分清各弧的圆心，半径，避免拿起题来就盲目地进行计算。
2、圆锥的侧面展开图——扇形的圆心角的计算。通过实例观察圆锥的侧面展开图是扇形，有关圆锥高、母线以及底面半径的计算，关键是搞清高、母线以及底面半径和轴剖面图形之间的关系。会将侧面积的问题转化为平面的扇形来解决。
【方法指导与教材延伸】
1、在学习弧长公式时，要理解：360°的圆心角所对的弧长是圆周长C＝2πR,1°的圆心角的弧长就是圆周长的即，故圆心角为n°的弧长等于，即。强调这里的n表示1°的圆心角的倍数，是不带单位的。
2、在学习扇形面积公式时要理解：圆心角是360°的扇形面积就是圆面积S=πR， 圆心角是1°的扇形面积等于圆面积的 ，即，故圆心角为n°的扇形面积为。
3、对于扇形面积公式的记忆，我们可考虑将它与三角形的面积公式类比，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看作底，R看作高就行了。
以上各情况，只要根据题意即可判明属何种情况，不必作为公式记住。
4、在计算组合图形的面积时，要注意应用割、补的方法将复杂图形转化为三角形、正方形、圆、扇形等面积的和或差，还需经常作等积变形。
5、圆锥的轴截面是等腰三角形，它的腰长等于圆锥的母线长，底边是圆锥底面直径，底边上的高，就是圆锥的高，它的顶角，反映了圆锥母线对于底面的倾斜程度，称为锥角，因此，圆柱、圆锥的轴截面是解题的突破口。
6、圆锥是空间图形，由于在此之前均是研究平面图形，学生的空间想象能力较弱，而这部分内容在高中立几中还需学，故应利用模型理解各部分概念。
【例题选讲】
例1 如图，两根圆柱形钢件的横截面，它们的半径分别是3dm和1dm，现用一根绳子将它们捆紧，问至少需要多长的绳子？（不计接头捆扎部分）。（精确到0.1dm）
分析：如图，这根绳子需从点A逆时针绕过⊙O1，再过⊙O2回到点A，所以绳子的长为AB+BmC+CD+AD，其中AB=CD，是两圆的公切线。
解：作过切点的半径O2A、O1B、O1C、O2D，过点O2作O2E⊥O1B于E
∵O1O2=3+1=4(dm) O1E=3-1=2(dm)
∴
∵AB是⊙O1、⊙O2的外公切线
∴O1B⊥AB，O2A⊥AB
又∵O2E⊥BO1
∴O2EBA是矩形
∴AB=O2E=
∵
∴∠BO1O2=60°
∴BmC
AD
∴绳子总长为AB+O2E+BmC+AD
例2 如图，⊙O的弧AB长4πcm，圆心角∠AOB=60°，⊙P分别与AB、半径OA、半径OB相切于点E、C、D，求⊙P的周长；
分析：求⊙P的周长，只要求出它的半径r，由于⊙P分别与AB、OA、OB相切，则延长OP交AB于E，作过切点的半径PC、PD可得：r=EP=OE-OP，其中OE的长可通过AB长为4πcm求出，OP可放在Rt△PCO中求出。
解：∵⊙P与AB切于点E，即⊙P内切⊙O于E，则O、P、E三点共线，连结OP
交AB于E，设⊙O半径为R，⊙P半径为r，连结PC、PD，则PC⊥OA，PD
⊥OB
∴点P在∠AOB的平分线上
∴
∵PC⊥OA
∴在Rt△PCO中，OP=2PC=2r
又∵OP=OE-PE=R-r
∴2r=R-r ∴
∵AB=
∴
∴R=12(cm)
∴
∴⊙P的周长C=2πr=8π(cm)
例3 如图，若四边形ABCD内接于⊙O，且BCD:BAD=5:4，则BAD所对的圆心角为多少度？
分析：要计算BAD所对的圆心角的度数，即求∠BOD的度数，即求BAD的度数。
解：∵ABCD内接于⊙O
∴BCD+BAD=圆周长
设BCD=(5x)O，则BAD=(4x)O
∴9x=360
∴x=40°
∴BAD160°
∴∠BOD=160°
例4 如图，半圆的半径为2cm，点C、D三等分半圆，求阴影部分面积
分析：阴影部分面积可看成弓形CD的面积与△CDB的面积之和，而C、D三等分半圆，故∠COA=∠COB=∠DOB=60°，且△COD是等边三角形，所以∠DCO=∠COA=60°，所以CD//AD，则△CDB的面积等于△COD的面积，所以阴影部分的面积为扇形COD的面积。
解：连结CD
∵C、D三等分半圆
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°
∵OC=OD
∴△OCD为等边三角形
∴∠DCO=60°
∴∠COA=∠OCD
∴CD//AD
∴S△COD=S△CBD
∴S阴=S扇OCD=
例5 如图，扇形AOB的圆心角为90°，半径为R，C为AB中点，D为OA中点，求阴影部分的面积。
分析：阴影部分面积可看成扇形OAC的面积与△COD的面积之差。
解：连结OC，过C作CH⊥OA于H
∵C是AB中点
∴AC=BC
∴∠COA=∠AOB=45°
∴S扇形OAC=
又∵CH⊥OA
∴在Rt△CHO中，∠COH=45°
∴CH=
∵D为OA中点， ∴OD=
∴
例6 求下列各图中阴影部分的面积
(1)OA=OB=R，∠AOB=90°，O’为OB中点
(2)OA=OB=R，∠AOB=90°，C为AB中点
(3)AD为正三角形ABC 的高，AD=4，AD是⊙O的直径
解：(1)S阴=S扇AOB-S半圆O’
(2)S阴=S半圆C-S弓形AB
=S半圆C-（S扇形OAB-S△OAB）
(3)连结OE、OF，过E作EH⊥AD于H
∵AD是正确的ABC的高
∴∠OAE=30° ∵OA=OE
∴∠AOE=180°-2×30°=120°
∵EH⊥AD，∠AOE=120°
∴∠OEH=120°-90°=30°
∴EH=
∴S弓形AE=S扇形OAE-S△AOE
∴S阴=S⊙O-2S 弓形AE
例7 圆锥形的烟囱帽的底面直径是60cm，母线长为40cm
(1)求这个烟囱帽的下料面积（指侧面面积）以及侧面展开图的圆心角的度数
(2)画出它的展开图
解：(1) ∵圆锥底面周长为
∴侧面面积S侧=
设展形图扇形的圆心角为n°，则
∴n=270
答：这个烟囱帽的下料面积为1200πcm2，侧面展形图的圆心角为270°
(2)由(1)得n=270，选取比例尺1:20，画扇形如下图所示，其中AmB270°，SA=40cm
例8 如图，一个圆锥的高为，侧面展形图是一个圆心角为60°的扇形，求圆锥的表面积。
分析：若设圆锥底面半径为r，母线长为，则S表=πr2+πr，因此，要求出圆锥表面积关键是求r、，通过这个方程组即可解r、
解：设圆锥底面半径为r，母线长为，则在Rt△AOC中，2-r2=h2=35
对于侧面展开圆有
∴解之得
r=1
=6
∴S表=S侧+S底
=πr+πr2
=6π+π
=7π
巩固练习
一、填空：
1、若圆的半径为10cm，所对的圆心角为22°30′的弧长为_____________cm
2、半径为10cm的圆上，一条含30°弧的弧长为________，由该弧及半径所围成的扇形面积为____________
3、圆内接正方形的边所切下的一个弓形面积等于2(π-2)cm2，则正方形的边长为______
4、当扇形的圆心角=________时，这个扇形的面积等于它所在圆面积的15%。
5、若扇形OAmB的圆心角为240°，面积为12π，则弓形AmB的面积为________
6、若圆的面积扩大4倍，则圆心角的α的弧长扩大___________倍
7、如图，OA⊥OB，AC//OB，OA=2，弧AB是以O为圆心，OA为半径的弧，BC是以A为圆心，AB为半径的弧，则阴影部分的周长为_________
8、3cm长的一条弦所对的圆周角是135°，则圆的半径长为______________
二、选择题：
9、在圆的内接四边形ABCD中，AB:BC:CD:DA=4:3:5:6，则下列结论正确的是（ ）
A、∠A最大 B、∠B最大 C、∠C最大 D、∠D最大
10、如图，设大的半圆的弧长为1，n个小的半圆圆心在大半圆的直径上，且相互外切，其直径之和等于大半圆的直径，若n个小半圆的总弧长为2，则1与2之间的关系是（ ）
A、1=n·2 B、1=π·2 C、1=2 D、1=
11、周长相等的正三角形、正方形、正六边形它们外接圆的周长分别为C3、C4、C6，则有（ ）
A、C3>C4>C6 B、C6>C4>C3 C、C3>C6>C4 D、C4>C6>C3
12、如图，两个同心圆半径之比为1:2，小圆的切线被大圆所截的部分的长为12，则两圆所围成的环形面积是（ ）
A、9π B、18π C、24π D、36π
13、若扇形的周长是30cm，面积是56cm2，则它的半径是（ ）
A、7cm B、8cm C、7cm或8cm D、15cm
14、若Rt△的一条直角边等于它的外接圆半径的倍，则此三角形面积与其外接圆面积比为（ ）
A、π: B、2:π C、:π D、1:π
15、⊙O1的直径为d，⊙O2的直径比⊙O1的直径多3d，则这两个圆的面积差是（ ）
A、 B、 C、 D、
16、面积等于两个半径分别为r1、r2的圆的面积之和的大圆的半径为（ ）
A、r1+r2 B、r12+r22 C、 D、
三、解答题：
17、如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于C，E在CD上，⊙E与AB切于C，与⊙O切于F，若AB=6，CD=，
求：(1)OC的长 (2)⊙E的半径的长 (3)阴影部分的面积
18、如图，AOB是直角扇形，⊙I内切于扇形AOB中，M为⊙I与OB的切点，
求∠AMB的度数。
19、已知：△ABC中，∠C=Rt∠，AC=40cm，BC=30cm，以直线AB为轴旋转一周得到一几何体，
求这个几何体的表面体。
参考答案
一、1、（注意：要将22°30′化为22.5°） 2、 3、4cm
4、54°（即圆心角是360×15%） 5、 6、2
7、 8、
二、9、B 10、C 11、A 12、D （用：）
13、C 14、D 15、D 16、D
三、17、（连结OF，则OF必过点E ，由CD2=AC·BC，可求出，则；在Rt△ECO中，设CE=r，OE=OF-r=3-r，OC=，用勾股定理可得r=1；S阴=S扇AOF-S扇CEF-S△CEO=）
18、设⊙O，⊙I半径分别为R、r，则在Rt△OMI中(R-r)2=2r2，则tg∠OAM=
查表得：∠OAM=22.5° ∴∠AMB=112.5°
19、1680πcm2 （提示：旋转结果得一以为底面半径，分别以32cm、18cm为高的两个锥体的叠加）
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数学中考专题复习
综合测试卷 （圆）
班级 姓名 学号
教学目的：通过一定的练习，提高学生的应变能力和分析问题，解决问题的能力，学会用所学的知识解决实际问题.
重难点：圆的综合应用问题.
一．填空题：
1．ΔOAB中，若OA=OB=2，⊙O半径为1，当∠AOB 时，直线AB与⊙O相切；当∠AOB 时，直线与⊙O相交；当∠AOB 时，直线与⊙O相离。
2．如图①，∠APB=500，PA、PB、DE都为⊙O的切线，则∠DOE为 。
3．如图②，AB是⊙O的直径，直线EF切⊙O于点B，点C、D是⊙O上的点，弦切角∠CBE=500，，则∠BCD= 。
4．如图③，在RtΔABC中，∠C=900，AC=4，BC=3，以BC上一点O为圆心作⊙O与AC、AB都相切。又⊙O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为 。
5． 腰长为10㎝，底边长为6㎝的等腰三角形的内切圆在两腰上的切点间的距离为 。
6．已知三边长为3、4、6的ΔABC的内切圆半径为r，则ΔABC的面积= 。
7． 在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若PA=3，PB=4，CD=9，则以PC、PD的长为根的方程是 。
8．如图⑤，在以O为圆心的两个圆中，A为大圆上的任意一点，过A作小圆的割线AXY，若AX·AY=3，则此圆环的面积为 。
9．已知，已知，AB是⊙O的弦，P是AB上的一点，AB=10㎝，PA=4㎝，OP=5㎝，则⊙O的半径= 。
10．如图④，在梯形ABCD中，AB∥CD，半圆O与AD、BC、DC都相切，且圆心O在AB上，⊙O的半径为3，∠A=300，∠B=450，则AB= 。
二．选择题
11．已知RtΔABC中，∠C=90，BC=a、AC=b，以斜边AB上一点O为圆心，作⊙O使⊙O与直角边AC、BC都相切，则⊙O的半径r
A. B. C. D.
12.等腰直角三角形内切圆半径与外接圆半径的比是（ ）
A B C D
13．如图，已知⊿ABC的内切圆O与各边相切于D、E、F，那么点O是 ⊿DEF的（ ）
A．三条中线的交点 B.三条高的交点
C.三条角平分线的交点 D.三边垂直平分线的交点
14．如图，AB切⊙O于B，割线ACD经过圆心O,若∠BCD=70°则∠A的度数为（ ）
A.20° B.50° C.40° D.80°
15．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=3，BC=2，半圆O与AD、DC、BC都相切，且圆O在AB上，AB的长( )
A.6 B.5 C.4 D.3
16．如图，点I是ΔABC的内心，AI的延长线交BC于点D，交ΔABC的外接圆于E，若IE=4，AE=8，那么DE的长。
A．5 B.4 C.3 D.2
17.已知，AB是⊙O的弦，P是AB上的一点，AB=10㎝，PA=4㎝，OP=5㎝，则⊙O的半径( )。
A.8 B.7 C.6 D.5
18.如图，PT切⊙O于点T，PAB、PCD是割线，弦AB=35㎝，弦CD=50㎝，AC：DB=1：2，求PT的长。
A.60 B.55 C.50 D.45
三．解答题：
1． 如图，AB为⊙O直径，BF⊥AB于B点，割线FEC交AB于D点，AD=2，CD=3，ED=4．求EF的长．
2、如图，A为⊙O外一点，过A作两条直线分别与⊙O交于B、C和D、E点．若BE为⊙O直径，AB=12，DE=30，AD=BC．求∠A的度数和BE的长．
3、如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于D点，交AC于E点，AD=3，
S△ADE=S四边形BCED，CE＝。求：(1)∠A；(2)∠B的正弦值．
4、如图，已知⊙O内接△ABC，D为中点，AD交BC于E点，过B作⊙O的切线交CD延长线于F点，AE=3，DE=1，BF=。求CF的长．
四、证明题：
1．如图，已知⊙O的内接ΔABC，D在BC上，过D点作AC的平行线交AB于E点，交过A的直线于F点，且BE·AE=DE·EF。求证：AF是⊙O的切线。
2．如图，AB为⊙O直径，自圆上一点P作AB的垂线PH，垂足为H，自点A向过P点的切线作垂线，垂足K。求证：AH＝AK。
3、如图，由正方形ABCD的顶点A引一直线分别交BD、CD及BC的延长线于E、F、G，
求证：CE是△CGF的外接圆⊙O的切线。
4、如图，⊙O1与⊙O2外切于T，AB为公切线，BT的延长线交⊙O1于点C，CD切⊙O2于点D。
求证：① AC为⊙O1的直径；② AC＝CD。
参考答案
一、填空
1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10.
二、选择
1. C 2. C 3. D 4.B 5. B 6. D 7. B 8. A
三、计算
1. 20 2. 3. 4. 5
四、证明 （略）
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23.1 .1圆的基本元素
一、教学目标：
1、本节课使学生理解弦、弧、弓形、同心圆、等圆、等孤的概念．
2、初步会运用本节的概念判断真假命题．
3、逐步培养学生亲自动手实践，总结出新概念的能力．
二、重点：
理解圆的有关概念．
三、难点：
对“等圆”、“等弧”的定义中的“互相重合”这一特征的理解
四、教具准备：
教参、练习册、课外资料
五、教学过程：
一、新课引入：
同学们，上节课我们学习了圆的定义、点和圆的位置关系．教师提问学生回答上节课的知识点，学生之间互相补充、评价．
接着启发学生在练习本上画一个圆，要求学生在圆上任取两点A、B．请同学们一边画图，一边观察，一边思考教师提出的问题．这两点A、B之间的部分是什么？连结两点得到线段AB又是什么？AB把圆分成两部分得到图形又叫做什么？在学生想说又叫不准的情况下，教师出示板书．本节专门研究圆的有关概念．
二、新课讲解：
学生画图后观察出圆的一些概念，由学生回答出概念的名称和内容．如果学生回答的很准确，教师不必重复．在学生回答中，教师板书出重点概念．
1．弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．教师提问一名中下生，“一个圆有多少条弦？”找一名中等生回答“在这些弦中，最长的弦是什么？怎么定义这个最长的弦？”
2．直径：经过圆心的弦是直径．
直径与半径之间关系找一名中下学生回答．
3．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧．简称弧．教师讲清弧的符号“ ”的表示．以A、B为端点的弧，记作 ，读作“圆弧AB”或“孤AB”．
这时教师引导学生观察圆中的圆弧有几种情况？通过学生观察、比较、归纳出三种圆弧，师生一起总结出这三种弧的定义．半圆弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆弧．
优弧：大于半圆的弧叫优弧．
优弧CBA，记作“ ”是优弧．
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．
这时幻灯打出一组练习题：
练习1 判断下列语句是否正确？为什么？
1．半圆是弧．
2．弧是半圆．
3．两个劣弧之和等于半圆．
4．两个劣弧之和等于圆周长．
这样做的目的使学生对圆弧的定义加以理解．
弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．了解到弓形定义，为了使学生更好地了解圆中一条弦能得到两个弓形，引导学生观察得到，这样对今后学习弦所对的圆周角的问题起奠基作用．
接下来讲同心圆、等圆、等弧的三个概念时，从字意义让学生探索出概念的内含外延．培养学生通过理解字意感受到图形与概念的有机结合，是学习好几何的基本保障．
例如同心圆：即圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆．
等圆的讲解以投影演示，让学生观察、比较得出等圆是互相重合两个圆．由等圆可以证明半径相等，直径相等．反过来半径相等，直径相等两个圆是等圆．同时告诉学生同圆或等圆的半径相等．
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
等弧是本节的难点，教师从引导学生能“理解互相重合”入手，联系到如果互相重合．说明同圆的半径相等，进一步证明满足同圆或等圆的前提条件．这样分析的好处是让学生真正认识到等圆、等弧都是从“互相重合”得到的，进一步理解“等弧”的条件已经具备同圆或等圆，这样又消除对等弧不理解的心理障碍，从而顺理成章的让学生从认识→到理解→最后到准确应用．
接下来给学生一组练习题巩固已学过的知识．学生回答，学生之间参与评价．
练习2 判断题：
1．直径是弦；
2．弦是直径；
3．半圆是弧，但弧不一定是半圆；
4．半径相等的两个半圆是等弧；
5．长度相等的两条弧是等弧；
例2 如图在圆O中，AB、CD为直径．求证：AD∥BC．
由学生分析，学生写出证明过程，学生纠正存在问题．
巩固练习：
教材P．66中2、3题(学生自己完成)．
三、课堂小结：
本节小结引导学生自己做出总结：
①弦与直径，
②弧与半圆，
③同心圆、等圆指两个图形，
④等圆，等弧是互相重合得到，等弧的条件作用．
3．新定义符号“ ”的表示方法．
六、板书设计：见教学过程
七、布置作业：
五、作业
1、如图，AB是⊙O的直径，C点在⊙O上，那么，哪一段弧是优弧，哪一段弧是劣弧？
2、经过A、B两点的圆的几个？它们的圆心都在哪里？
3、长方形的四个顶点在以 为圆心，以 为半径的圆上。
4、如图，已知AB是⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，，求OD的长。
5、已知：如图，OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点，试说明AD=BC。
八、教学小结：
参考答案
1． 略 2。无数个；在线段AB 的中垂线上，3，对角线的交点；对角线长的一半，4. 3cm 5. 略
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23.2 .3切线
一、教学目标：
1、使学生理解切线长定义．
2、使学生掌握切线长定理，并能初步运用．
二、重点：
切线长定理，它在以后的证明中经常使用．
三、难点：
切线长定理的归纳．学生在观察后可以叙述内容，但语言可能是不规范的．
四、教具准备：
教参、练习册、课外资料
五、教学过程：
一、新课引入：
我们已经学习了圆的切线的性质，今天我们继续来学习圆的切线的其它性质．
经过平面上的已知点作已知圆的切线，会有怎样的情形呢？请同学们打开练习本画一画．
学生动手画，教师巡视．当学生把可能的位置情况画完后，教师指导全班同学交流并得到结论：1．经过圆内已知点不能作圆的切线；2．经过圆上已知点可作圆的唯一一条切线；3．经过圆外一已知点可作圆的两条切线．
二、新课讲解：
观察从圆外一点所引圆的切线上，有一条线段，线段的端点一边是已知点，一边是切点．务必使学生清楚，我们是把这样的一条线段的长度定义为切线长．提醒学生注意，直线是没有长度的事实．然后让学生观察从圆外一点引圆的两条切线会产生什么样的结论？开始不要害怕学生的语言不简炼，教师最终指导学生把握“从”、“引”、“它们”、“连线平分”、“夹角”，完成切线长定理．
1．在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
2．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
练习一，已知：⊙O的半径为3厘米，点P和圆心O的距离为6厘米，经过点P和⊙O的两条切线，求这两条切线的夹角及切线长．
提示，如图7-66，连结OE，由切线的性质定理得Rt△POE，已知OE=3，OP=6，勾股定理求出PE后，再求∠1，然后2倍的∠1．
练习二，如图7-67，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于D、E，交AB于e．
(1)写出图中所有的垂直关系．
(2)写出图中所有的全等三角形．
例1 P．119例1已知：如图7-68，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径．
求证：AC∥OP．
分析：欲证AC∥OP．题中已知BC为⊙O的直径，可想到CA⊥AB，若能证出OP⊥AB，问题便得到解决．可指导学生考虑切线长定理，证三角形PAB为等腰三角形，再根据“三线合一”的性质，证得OP⊥AB，证法参考教材P．119例1．
在证明AC∥OP时，除了上面的方法，还可以从角的相等关系来证．
例2 P．119，圆外切四边形的两组对边的和相等．
已知：如图7-69，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于L、M、N，P．
求证：AB+CD=AD+BC．
分析：这是本书中唯一在今后可做为定理使用的例题．首先教师指导学生根据文字命题正确地使用已知，求证的形式把命题具体化．然后指导学生完成证明，证明过程参照教材．
练习三，P．120中3．已知：如图7-70，在△ABC中，BC=14cm，AC=9cm，AB=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD、CE的长．
分析：这是一道利用几何图形的性质，采用代数的解题方法的一道计算题．教学中教师要注意引导学生通过解三元一次方程组来得到切线长．
解：∵AB、AC分别切⊙O于F、E，
∴AF=AE．
同理：BF=BD，CD=CE．
设AF=x，BD=y，CE=z．
答：切线长AF=4厘米，BD=9厘米，CE=5厘米．
三、课堂小结：
让学生阅读教材P．118至P．120，并总结归纳出本课的主要内容．
1．切线长定义．
2．切线长定理及其应用．
提醒学生注意由切线长可得到一个等腰三角形．这一点和圆心的连线不但平分两切线的夹角，还垂直平分两切点间的线段．
六、板书设计：见教学过程
七、布置作业：
八、教学小结：
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数学中考专题复习
第23章 圆 §23.1圆的认识 (一)
教学目的：
1、 理解圆及弦、弧、优弧、劣弧、圆心角、圆周角的概念，了解弧、弦、圆心角、圆周角的关系。
2、 探索并了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。
【知识重点与学习难点】
1、圆的概念与日常中“圆”的概念的区别，几何中的圆是一条封闭的曲线，而日常生活中的“圆”是一个圆盘。圆概是轴对称图形又是中心对称图形。
2、理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧、弓形、圆周角等与圆有关的概念。半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于900（直角）。900的圆周角所对的弦是圆的直径。在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等等与圆有关的性质。
3、重点要放在图形的识别上，如从图形中能正确地识别出哪些图形是圆的弦、哪些图形是圆的弧。
4、难点：圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。
【方法指导与教材延伸】
1、确定一个圆需要有两点，一是圆心确定位置，二是半径确定大小，若只固定圆心，半径不确定，那么将会得到一系列的同心圆；若只固定半径大小，圆心不确定，那么将会得到一系列的等圆，因而只有将圆心的位置和半径的大小都确定之后，圆才能被确定下来。
2、等弧是指两条能够完全重合的弧，而不是指长度相等的两条弧，所以，等弧必须出现在同圆或等圆中，如果两个圆既不是同一个圆也不是半径相等的等圆，那么分别属于这两个圆的两条弧就一定不可能是等弧。
【例题选讲】
例1、填空题：如图，⊙O中，AB、CD是两条直径，弦CE∥AB，的度数是40°，
则∠BOD＝ ；
分析：由CE∥AB可得=，又的度数是40°计算得的度数是1100，
即∠BOD=∠AOC=1100。
例2、选择题：
1.在⊙O与⊙O’中，若∠AOB＝∠A’O’B’，则有( )
(A) ＝； (B) ＞；
(C) ＜； (D) 与的大小无法比较；
分析：由于不知是同圆或是同心圆，所以无法比较，即选D。
2.下列命题中，假命题是( )
(A)长度相等的弧是等弧； (B)等弧必须是同圆或等圆中的弧，否则不能互相重合；
(C)度数相等的弧不一定是等弧； (D)等弧的度数相等；
分析：（A）答案中由于不知是同圆或是同心圆，所以是假命题。即选A。
3.在同圆或等圆中，如果圆心角∠BOA=2∠COD
则下列式子中能成立的是( )
(A)AB＝2CD； (B)AB＜2CD (C) ＜； (D) ＞2；
分析：这题很容易选A答案，这是误解，应正确画出示意图，由三角形二边之和大于第三边的性质来判断，应选正确的答案B。
例3、已知：⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，
求证：∠BAC= ∠BOC.
分析：本题有三种情况：
（1） 圆心O在∠BAC的一边上
（2） 圆心O在∠BAC的内部
（3） 圆心O在∠BAC的外部
● 如果圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和的性质和等腰三角形的性质即可证明。
● 如果圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将这个角转化为上述情况的两个角的和或差即可。
证明:
(1) 圆心O在∠BAC的一条边上
OA=OC==>∠C=∠BAC
==＞∠BAC=∠BOC.
∠BOC=∠BAC+∠C
(2)(3)略
小结：我们知道有一些命题的证明是要分情况来逐一进行讨论的，大家应该明确，要不要分情况证明，主要看各种情况的证明方法是否相同，如果相同，则不需要分情况证明，如果不同，则必须分情况证明，即不能重复，也不能遗漏
例4：OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，
求证：∠ACB=2∠BAC.
分析: ∠AOB和∠ACB都对着弧AB, ∠BOC和∠BAC都对着弧BC,
因此,根据圆周角的性质可得出它们之间的关系
证明： ∠ACB=∠AOB
∠BAC=∠BOC ==＞∠ACB=2∠BAC
∠AOB=2∠BOC
例5、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆交BC于D，交AC于E，
已知为40°，求∠A与的度数；
分析：等腰三角形的三线合一和直径所对的圆周角是直角的性质结合起来，可考虑添加辅助线AD。
证明：连结AD
直径AB=＞∠ADB=900=＞AD⊥BC
==＞∠A=2∠DAC
AB=AC
==＞∠A=800
∠DAC=的度数
==＞∠DAC=40°
的度数是40°
AD⊥BC
==＞∠BAD=∠DAC
AB=AC ==＞∠BAD=40°
∠DAC=40° ==＞ 的度数是400
的度数=∠DAB
的度数是40°
直径AB==＞的度数是1800
=--
==＞的度数是1000
例6、已知：如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CE交⊙O于点D，且CD=OA。
求证：
分析：因为∠AOE是△COE的一个外角，且与∠C不相邻，所以
∠AOE=∠C+∠E，现在要证明即为∠AOE=3∠C，
所以只要证得∠E=2∠C即可，又由于OE为半径，而连结OD后OD
也是半径，故OE=OD，所以∠ODE=∠E，从而可证。
证明：连结OD。
∵CD=OA=OD
∴∠C=∠COD
又∵OD=OE
∴∠E=∠ODE
∴∠AOE=∠C+∠E=∠C+∠ODE=∠C+∠COD+∠C=3∠C，
∴
说明：由于在一个圆中的半径总是相等的，可以利用相等的半径来得到相等的角，从而得出某些角的关系。
巩固练习
一、填空题：
1. 在圆中80°的弧所对的圆心角的度数是 ；
2. 顶点在 上的角叫圆心角，圆心到弦的距离叫 ；
3. 在⊙O中，的度数为60°，的长是圆周长的 ；
4. 40°的圆心角所对的弧是圆周的 ；
5. 一条弦长恰好为半径长，则弦所对的弧是半圆的 ；
6. 如图，AB、CD是⊙O的直径，OE⊥AB，OF⊥CD，则＝ ，
＝ ，＝ ，＝ ；
7. ⊙O中的一段弧的度数为100°，则∠AOB＝ ；
8．圆内接五边形各边相等，各边所对的优弧的度数为 ；
9．一条弦等于其圆的半径，则弦所对的优弧的度数为 ；
10．一条弦把圆分成1∶3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为 ；
11．已知A、B、C为⊙O上三点，若、、度数之比为1∶2∶3，
则∠AOB＝ ，∠BOC＝ ，∠COA＝ ；
12． 如图，CD是半圆的直径，O是圆心，E是半圆上一点且∠EOD＝45°，
A是DC延长线上一点，AE交半圆于B，如果AB＝OC，则∠EAD＝ ；
二、选择题：
13.在同圆或等圆中，如果＝ ，则AB与CD的关系是( )
(A)AB＞2CD； (B)AB＝2CD； (C)AB＜2CD； (D)AB＝CD；
14.如图，在⊙O中A、B、C分别为圆周上的三点，∠ABC的外角的度数为n，
那么∠AOC的度数为( )
(A)2n° ；(B) n°；(C) 180°－n°；(D) 90°－n°
15. 下列每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是（ ）．
（A） （B） （C） （D）
16.如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠BAC＝20°，＝，
则∠DAC的度数是( )
(A)30° ； (B) 35°； (C) 45°； (D) 70°；
17．中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分．然后连结五等分点而得（如图）．五角星的每一个角的度（ ）
（A）30°（B）35°（C）36°（D）37°
三、证明题：
18.已知：如图，AB＝CD，求证：AD＝BC；
19．如图，四边形ABCD内接于半圆O，AB是直径．
（1）请你添加一个条件，使图中的四边形ABCD成等腰梯形，这个条件是 （只需填一个条件）。
（2）如果CD＝AB，请你设计一种方案，使等腰梯形ABCD分成面积相等的三部分，并给予证明．
20．如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高。
（1） 求证：AC×BC=BE×CD。
（2） 已知：CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长。
参考答案：
一、1．80°，
2．顶点在圆上的角、弦心距，
3．，
4．，
5．
6．、、、，
7．100°，
8．288°，
9．300°，
10．90°，
11．60°120°180°，
12．15°，
二、13．C，
14．A，
15．A，
16．B，
17．C，
三、18．∵=，∴-=-，∴=，
19.
20．（1）证明：连结EC。
∵BE为直径，∴∠BCE=900，∴∠ADC=∠ECB，
又∵∠A=∠E，∴△ADC∽△ECB，
∴，∴AC×BC=BE×CD，
（2）解：在Rt△ACD和△BCD中，∵CD=6，AD=3，BD=8，
∴，，
由（1）知AC×BC=BE×CD，即×10=BE×6，
∴BE=，
∴⊙0的直径为。
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数学中考专题复习
第23章 圆 §23.2与圆有关的位置关系 (一)
教学目的：
1、掌握点与圆、直线与圆的位置关系。
2、掌握直线和圆的三种位置以及位置关系的判定和性质。
3、通过点与圆、直线与圆以及圆与圆位置关系的学习，培养综合运用圆有关方面知识的能力．
4、培养用运动变化的观点，去观察图形，研究问题的能力。
5、渗透类比、分类、化归、数形结合的思想，指导相应的学习方法，不仅学会数学，而且会学数学。
【知识重点与学习难点】
1、重点：掌握直线和圆的三种位置关系的性质与判定
2、难点：如何引导学生发现隐含在图形中的两个数量d和r，并加以比较直线和圆的三种位置关系。
【方法指导与教材延伸】
1、点与圆的位置关系：
每一个圆都把平面上的点分成三类，即（1）点在圆内；（2）点在圆上；（3）点在圆外。
点和圆的位置关系是由这个点到圆的距离与半径的数量大小关系决定的，
设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则:
点在圆内d
点在圆上d=r
点在圆外d>r
注：（1）"=>"是由已知点与圆的位置关系确定d与r的大小关系；
"<="是由已知d与r的数量关系判断点与圆的位置关系。
（2）符号“”读作“等价于”
“AB”具有两方面的含义：一方面表示A=>B,由条件A推出结论B的因果关系；另一方面表示B=>A，由条件B推出结论A的因果关系。
2、直线和圆相交、相切、相离的概念：
当直线由远而近对圆(或圆由远而近对直线)作相对运动时，会得到直线与圆的三种不同位置关系：
①直线和圆没有公共点，叫做直线和圆相离；
②直线和圆有唯一公共点，叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。
③直线和圆有两个公共点，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线。
①相离 ②相切 ③相交
说明：直线和圆相切是指直线和圆有一个并且只有一个公共点。与“有一 个公共点”的含义是不同的。要避免出现“直线和圆有一个公共点时叫做直线和圆相切”的错误。
3．直线和圆的位置关系的性质和判定：
根据直线和圆相交、相切、相离的定义结合图形(2)容易看出如果⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，那么会有下面的结论：
①直线l和⊙O相交d＜r；
②直线l的⊙O相切d＝r；
③直线l和⊙O相离d＞r。
(1)直线l和⊙O相交 (2)直线l的⊙O相切 (3)直线l和⊙O相离
上面三个命题的左边反映的是两个图形的位置关系，右边反映的是圆心到直线l的距离与圆的半径这两个数量的大小关系。因而它们既可作为直线与圆的各种位置关系的判定，又可以作为圆与直线位置关系的性质，换句话说直线和圆的位置关系可以用它们的交点的个数来区分。也可以用圆心到直线的距离与半径的大小来区分。它们是一致的。从下表中可清楚了解这种相互依从关系：
直线和圆的位置 相交 相切 相离
公共点个数 2 1 0
圆心到直线距离d与半径r的关系 d＜r d＝r d＞r
公共点名称 交点 切点 无
直线名称 割线 切线 无
图形
说明： 根据直线与圆相交的定义，用直尺(或三角形板)在纸上移动，靠眼睛观察。当它与圆只有一个公共点时，画出直线，即为已知圆的切线。
【例题选讲】
例1、求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上。
已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O。
求证：菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个圆上。
证明： ∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，垂足为O，且AB＝BC＝CD＝DA
M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点
∴OM＝ON＝OP＝OQ＝AB
∴根据圆的定义可知：M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上。
例2、若Rt△ABC的三个顶点A、B、C在⊙O上，
求证：Rt△ABC斜边AB的中点是⊙O的圆心。
证明：∵△ABC是直角三角形，AB是斜边
∴取AB中点M，则MC＝MA＝MB
又∵OA＝OB＝OC ∴ O是AB中点
故M与O重合，即AB的中点是⊙O的圆心。
例3、如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AC＝x，⊙O的半径为1，
问：当x在什么范围内取值时，AC与⊙O相离、相切、相交。
分析：由于直线与圆的位置关系取决于圆心到直线的距离d与圆的半径r间的数量关系，所以作OD⊥AC于D，分别由AC与⊙O相离、相切、相交可得知相应的OD与⊙O半径r间的关系式，从而求出x的范围。
解：作OD⊥AC于D，
在Rt△ABC，∠C＝90°∠B＝60°，∴∠A＝30°∴OD＝AO＝x
(1)当x＞1，即x＞2时，AC与⊙O相离；
(2)当x＝1，即x＝2时，AC与⊙O相切；
(3)0≤x＜1，即0≤x＜2时，AC与⊙O相交。
例4、如图，⊙O直径AB的两端点到直线MN的距离分别为m、n，AB＝6，当m、n分别为下列长度时，MN与⊙O有怎样的位置关系？①m＝1，n＝4；②m＝1.5，n＝4.5；③m＝ 4－，n＝4＋
分析：由于⊙O的半径已经知道，因此只需求出O到MN的距离，作OH⊥MN于H，可得OH＝(m＋n)，然后比较OH与半径的大小，便得到直线与圆的位置关系。
① ② ③
解：过点O作OH⊥MN于H，则AC∥OH∥BD
又∵OA＝OB ∴HC＝HD ∴OH＝ (AC＋BD)＝(m＋n)
①OH＝(1＋4)＝2.5 ∵OH＜AB，∴MN与⊙O相交；
②OH＝(1.5＋4.5)＝3 ∵OH＝AB，∴MN与⊙O相切；
③OH＝ (4＋＋4－) ∵OH＞AB，∴MN与⊙O相离。
说明：应用直线和圆的位置关系的判定公式，判定直线和圆的位置关系时，一定要找准半径的长和圆心到直线的距离，然后比较两者的大小，按公式判断位置关系。
例5、已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以腰DC的中点E为圆心的圆与AB相切，梯形的上底AD与下底BC的方程x2－10x＋16＝0的两根，求圆的半径r。
分析：对于“直线与圆相切d＝r”这句话应从两个方面理解：
从左往右看是相切的性质，从右往左看是相切的判断，所以要求圆E的半径，主要是要求E到AB的距离。
解：如图，过E作EF⊥AB于F。
∵E是CD的中点，且EF⊥AB，DA⊥AB，BC⊥AB，
∴EF是梯形ABCD的中位线。
∵AD、BC是方程x2－10x＋16＝0的两根。
∴AD＋BC＝10 ∴EF＝(AD＋BC)＝5
∵⊙O与AB相切，∴r＝EF＝5
例6、如图，一个圆球放置在V型架中。图9-2是它的平面示意图，CA、CB都是⊙O的切线，切点分别是A、B，如果⊙O的半径为cm，且AB＝6cm，求∠ACB。
解：如图，连结OC交AB于点D，
∵CA、CB分别是⊙O的切线，
∴CA＝CB，OC平分∠ACB，∴OC⊥AB
∵AB＝6，∴BD＝3。在Rt△OBD中，∵OB＝
∴sin∠BOD＝，∴∠BOD＝60°
∵B是切点，∴OB⊥BC，∴∠OCB＝30°，
∴∠ACB＝60°。
例7、如图，直角梯形ABCD，AD∥BC，∠ADC＝135°，DC＝8，以D为圆心，以8个单位长为半径作⊙D，试判定⊙D与BC有向几个交点？
分析：⊙D与BC交点的个数，决定于点D到BC的距离，作DE⊥BC于E，计算DE的长度，即可作出判断。
解：作DE⊥BC于E ∵AD∥BC
∴∠ADC＋∠C＝180°
又∠ADC＝135°，∴∠C＝45°
∴△DEC为等腰直角三角形
∵CD＝8
∴DE＝8，即点D到BC的距离是8个单位，
因此⊙D与BC只有一个交点。
巩固练习
1、在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，以A为圆心作圆，如果B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则圆A的半径r的取值范围是？
2、试述点和圆的位置关系？
3、直线和圆的公共点的数目不能超过 ，这是因为 。
4、Rt△ABC的斜边AB＝6厘米，直角边AC＝3厘米，以C为圆心，2厘米为半径的圆和AB的位置关系是 ，4厘米为半径的圆和AB的位置关系是 ，若和AB相切，那么半径长为 。
5、过圆上一点可以和圆的 条切线；过圆外一点可以作圆的 条切线，过 点，不存在圆的切线。
6、⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB长为3 ，以3为半径的同心圆与AB的位置关系是：
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
7、等边△ABC的面积为3cm2，以A为圆心的圆与BC所在的直线l：
(1)没有公共点；(2)有唯一的公共点；(3)有两个公共点。
求这三种情况下点A到直线l的距离d的范围。
(1) (2) (3)
8、已知Rt△ABC的斜边AB＝8cm，AC＝4cm，以点C为圆心、半径分别为2cm和4cm画两个圆，这两个圆与AB有怎样的位置关系？半径为多长时，AB与⊙C相切？
9、在射线OA上取一点A，使OA＝4cm，以A为圆心，作一直径为4cm的圆，问：过O的射线OB与OA的锐角α取怎样的值时，OA与OB(1)相离；(2)相切；(3)相交。
10．已知菱形ABCD中，∠A＝60°，对角线AC、BD相交于O，边长AB＝16，以O为圆心，半径为多长时所作的圆才能与菱形四条边都相切？
参考答案
1． 解：∵ABCD是矩形，AB＝8，AD＝6，则AC＝10
∴B、C、D三点中至少有一点在OA内，至少有一点在OA外，则6＜r＜10
2．答：圆内的点与圆心的距离小于半径的点；
圆上的点与圆心的距离等于半径的点；
圆外的点与圆心的距离大于半径的点。
3．答：不能超过2个，这是因为同一直线上三点的圆不存在。
4．解：∵在Rt△ABC中，斜边AB＝6厘米，直角边AC＝3厘米，
∴BC＝3厘米
作CD⊥AB于D，则CD·6＝3×3 ∴CD＝厘米。
故以C为圆心，2厘米为半径的圆和AB的位置关系是相离，
4厘米为半径的圆和AB的位置关系是相交，若和AB相切，则半径长为厘米。
5．1，2，圆内。
6．解：由依题知O到AB的距离＝＝
∵5＜＜
∴以3为半径的同心圆与AB的位置关系是相离，选A。
7．解：过A作AD⊥BC，垂足为D，得BD＝BC，
在Rt△ABD中
由勾股定理得；＝BC
由三角形面积公式得，BC·AD＝BC·BC＝3
∴BC＝2
∴AD＝BC＝3
(1)当⊙A与直线l没有公共点时，d＞AD，即d＞3cm（图(1)）
(2)当⊙A与直线l有唯一公共点时，d＝AD，即d＝3cm（图(2)）
(3)当⊙A与直线l有两个公共点时，d＜AD，即d＜3cm（图(3)）
8．解：∵在Rt△ABC的斜边AB＝8cm，AC＝4
∴BC＝4，作CD⊥AB于D
由CD·AB＝AC·BC得
∴以2cm为半径，C为圆心画圆与AB相离。
以4cm为半径，C为圆心画圆与AB相交。
以2cm为半径，C为圆心画圆与AB相切。
9．解：如图，作AC⊥OB于C，则
AC＝OAsinα＝4sinα
(1)当AC＞2即4sinα＞2
sinα＞时，⊙A与⊙B相离，此时α＞30°
(2)当AC＝2，即sinα＝，α＝30°时，⊙A与⊙B相切。
(3)当AC＜2，即sinα＜，α＜30°时，⊙A与⊙B相交
10．解：作OE⊥AB于E，
∵AB＝16，∠OAB＝30°
∴OB＝AB＝8，AO＝×AB＝8
∵OE·AB＝AO·OB
∴OE＝＝＝4
答：半径为4时，以O为圆心所作的圆才能与菱形四边都相切。
C
D
O
B
A
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23.3 .1弧长和扇形的面积
一、教学目标：
1、复习圆周长公式；
2、理解弧长公式．
3、通过弧长公式的推导，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力；
4、通过“弯道”问题的解决，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．
二、重点：
弧长公式
三、难点：
正确理解弧长公式．
四、教具准备：
教参、练习册、课外资料
五、教学过程：
一、新课引入：
前一阶段我们学习了圆的有关概念，知道圆上两点之间的部分叫做弧．弧的度数前面已经学过了，弧应当有长度，弧的长度应如何求呢？小学我们学了圆周长公式，怎样通过圆周长求出弧长，这正是我们这节课所要研究的内容．
二、新课讲解：
由于生产、生活实际中常遇到有关弧的长度计算，学过圆的有关性质和小学学过圆周长的基础，研究弧长公式已呈水到渠成之势，所以本节课以推导弧长公式为重点并应用弧长公式解决某些简单的实际问题，在计算过程中常出现由于对“n”理解上的错误而影响计算结果的正确
清楚n°圆心角所对弧长是1°弧长的n倍．
(复习提问)：1．已知⊙O半径为R，⊙O的周长C是多大？(安排中下生回答：C=2πR)，2．已知⊙O的周长是C，⊙O的半径R等
幻灯给出例1，已知：如图7-155，圆环的外圆周长C1=250cm，内圆周长C2=150cm，求圆环的宽度d(精确到1mm)．
圆环的宽度与同心圆半径有什么关系？(安排中学生回答，d=R1-R2)请同学们完成此题，(安排一名学生上黑板做，其余同学在下面做)(d≈15.9cm)
我们知道，把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角，因为同圆中相等的圆心角所对弧相等，所以整个圆也被等分成360份，每一份这样的弧就是1°的弧，大家知道圆的周长是2πR，想想看1°的弧长应是多少？怎样求？(安排中等生回答：1°的弧长=
(安排中下生回答)哪位同学回答，n°的圆心角所对的弧长l，应怎么求？
(幻灯供题，学生计算，然后回答)
1．边长6cm的正三角形，它的内切圆周长是___；它的外接圆的周
2．边长4cm的正方形，它的内切圆周长是___；它的外接圆的周长
3．周长6πcm的⊙O，其内接正六边形的边长是___；(3cm)
4．已知⊙O的周长6πcm，则它的外切正方形的周长是___；(24cm)
的半径是___(2cm)
7．如果⊙O的半径3cm，其中一弧长2πcm，则这弧所对圆心角度数是___(120°)
以上各题解决起来不太困难，所以应重点照顾中下学生．
幻灯供题：已知圆的半径R=46.0cm，求18°31′的圆心角所对的弧长l(保留三个有效数字)．
(安排一中下生上黑板做此题，其余同学在下面完成．)
供了分析素材．假如上黑板作题的学生先把18°31′化为18.52°后计
的问题让学生们充分展开讨论．在讨论过后首先让先把18°31′化为18.52°后再代入公式计算的学生谈谈，他是怎么想的，最后由上等生或
示1°的n倍，由于2°是1°的2倍，3°是1°的3倍，n°是1
倍数n与圆心角的度数n°相对应．而这道题的圆心角是18°31′，所以需将31′换算成度才能得到公式中所需的n．
(安排学生正确完成此题，答案，l≈14.9cm)
请同学们再计算一题，已知圆的半径R=10cm，求18°42′的圆心角所对的弧长l．
幻灯给出例2，弯制管道时，先按中心线计算展直长度，再下料，试计算图所示管道的展直长度l(单位：mm，精确到1mm)
哪位同学到前面指出图7-155中所示的管道指的哪部分？(安排举手的同学)
哪位同学告诉同学们这管道的展直长度l由图中哪几部分组成？(安排中下生回答)
图中的弧所对圆心角等于多少度，它的半经是多少？(安排中下生回答)
请大家动笔先计算图中的弧长，(l=500π≈1570mm)
请同学们计算管道的展直长度．(l=2930mm)
幻灯供题：有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆心角是81°，求这段弧的半径R(精确到0.1m)
哪位同学到前面指出图7-157中的弯道？(安排中下生上前)
道长12m指的是哪条弧的长12m？(安排中下生上前)
请同学们计算出R的值，(约8.5m)
三、课堂小结：
本堂课复习了小学就学会的圆周长公式，在此基础上又学习了弧长公式、哪位同学能回答圆周长公式．弧长公式？(安排中下生回答：C=2
六、板书设计：见教学过程
七、布置作业：
八、教学小结：
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数学中考专题复习
第23章 圆 §23.2与圆有关的位置关系 (二)
教学目的：
1、了解圆和圆的五种位置关系的定义；并掌握每种位置关系中圆心距d和两圆半径R和r的数量关系,会用d与R、r之间的数量关系，判断两圆的位置关系；
2、掌握相切两圆和相交两圆的性质．通过综合运用圆与圆的位置关系的有关性质解题，进一步提高对前段所学与圆有关知识的应用能力、加深对圆的有关重要性质的理解。
3、逐步培养学生观察、比较、分析、概括问题的能力及推理论证的能力；
4、结合相交两圆连心线性质教学向学生渗透几何图形的对称美；
5、渗透数形结合的数学思想，进一步培养学生良好的学习习惯和不断创新的精神．
6、掌握相交两圆的性质定理；并掌握相交两圆问题中常添的辅助线的作法；掌握在解题时适当添置辅助线(连心线、公共弦、连结两交点与圆的线段等)的基本技能。
7、通过例题的分析，培养学生分析问题、解决问题的能力；
【知识重点与学习难点】
重点：1。两圆的位置关系和两圆相交、相切的性质．它们是本节的主要内容，是圆的重要概念性知识，也是今后研究圆与圆问题的基础知识．
2。相交两圆的性质及应用．
难点 1。两圆位置关系的判定与相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦的性质的运用．由于两圆位置关系有5种类型，特别是相离有外离和内含，相切有外切和内切，学生容易遗漏；而在相交圆的性质应用中，学生容易把“相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线．”看成是真命题．
2。应用轴对称来证明相交两圆连心线的性质和准确添加辅助线．
【方法指导与教材延伸】
1、知识结构
(1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离．(图(1))
(2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．(图(2))
(3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交．(图(3))
(4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切．这个唯一的公共点叫做切点．(图(4))
(5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5))．两圆同心是两圆内含的一个特例． (图(6))
2、归纳：
(1)两圆外离与内含时，两圆都无公共点．
(2)两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一
(3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离(外离和内含)；相交；相切(外切和内切)．
并进一步考虑：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交．除以上关系外，还有其它关系吗 可能不可能有三个公共点
结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系．
3、分析、研究
1、相切两圆的性质．
让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质：
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上．
这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明
2、两圆位置关系的数量特征．
设两圆半径分别为R和r．圆心距为d，则两圆的五种位置关系，r和d之间有何数量关系．
两圆外切 d＝R+r；
两圆内切 d＝R-r (R＞r);
两圆外离 d＞R+r；
两圆内含 d＜R-r(R＞r);
两圆相交 R-r＜d＜R+r．
说明：注重“数形结合” 的思想．
（1） 图形的对称美
相切两圆是以连心线为对称轴的对称图形．相交两圆具有什么性质呢
（二）观察、猜想、证明
1、观察：同样相交两圆，也构成对称图形，它是以连心线为对称轴的轴对称图形．
2、猜想：“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”．
3、证明：
已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B．
求证：Q1O2是AB的垂直平分线．
分析：要证明O1O2是AB的垂直平分线，只要证明O1O2上的点和线段AB两个端点的距离相等，于是想到连结O1A、O2A、O1B、O2B．
证明：连结O1A、O1B、 O2A、O2B，∵O1A=O1B，
∴O1点在AB的垂直平分线上．
又∵O2A＝O2B，∴点O2在AB的垂直平分线上．
因此O1O2是AB的垂直平分线．
也可考虑利用圆的轴对称性加以证明：
∵⊙Ol和⊙O2，是轴对称图形，∴直线O1O2是⊙Ol和⊙O2的对称轴．
∴⊙Ol和⊙O2的公共点A关于直线O1O2的对称点即在⊙Ol上又在⊙O2上．
∴A点关于直线O1O2的对称点只能是B点，
∴连心线O1O2是AB的垂直平分线．
定理：相交两圆的连心线垂直平分公共弦．
注意：相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦，而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线．
【例题选讲】
例1、 已知：⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、5，且两两相切，
求AB、BC、CA的长
解：分类讨论：
（1）当⊙A与⊙B外切时，分4种情况：
①如图1，AB=5，BC=8，CA=7；
②如图2，AB=5，BC=2，CA=3；
③如图3，AB=5，BC=8，CA=3；
④如图4，AB=5，BC=2，CA=7；
（2）当⊙A与⊙B内切时，分2种情况：
①如图5，AB=1，BC=2，CA=3；
②如图6，AB=1，BC=8，CA=7．
说明：此题需要两次分类，但关键是以什么为标准进行分类，才能不重不漏．
例2、已知两个等圆⊙Ol和⊙O2相交于A，B两点，⊙Ol经O2。求∠OlAB的度数．
分析：由所学定理可知，O1O2是AB的垂直平分线，又⊙O1与⊙O2是两个等圆，因此连结O1O2和AO2，AO1，△O1AO2构成等边三角形，同时可以推证⊙O l和⊙O2构成的图形不仅是以O1O2为对称轴的轴对称图形，同时还是以AB为对称轴的轴对称图形．从而可由∠OlAO2＝60°，推得∠OlAB＝30°．
解：⊙O1经过O2，⊙O1与⊙O2是两个等圆
∴OlA= O1O2= AO2
∴∠O1A O2=60°，
又AB⊥O1O2
∴∠OlAB =30°．
例3、已知R1、R2为两圆半径，圆心距d＝5，且R1，R2，R1－R2是方程x3－6x2＋11x－6＝0的三个根，试判断以R1，R2为半径的两圆的位置关系。
分析：通过解方程，把R1，R2，R1－R2都求出来以后，根据两圆位置关系的判定方法，即可作出结论。
解：将方程x3－6x2＋11x－6＝0变形得：
(x－1)(x－2)(x－3)＝0
解得：x1＝1，x2＝2，x3＝3
∵R1，R2，R1－R2是方程的根
∴(1)当R1＝3，R2＝2，R1－R2＝1时，两圆外切。
(2)当R1＝3，R2＝1，R1－R2＝2时，两圆外离。
故由(1)(2)可得：两圆的位置关系是外切或外离。
例4、已知：如图，⊙O1和⊙O2外切于P，直线APC交⊙O1于点A，交⊙O2于C，AB切⊙O2于B，设⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2。求证：
分析：因为AB为⊙O2的切线，故AB2＝AP·AC，欲证，只须证，连结O1O2，可知点P在O1O2上，通过 △O1AP∽△O2CP即可获证。
证明：连结AO1，O2C，O1O2
∵⊙O1与⊙O2外切于点P，∴P点在连心线O1O2上。
∵O1A＝O1P ，O2C＝O2P
∴∠O1AP＝∠O1PA，∠O2CP＝∠O2PC
又∠O1PA＝∠O2PC
∴∠O1AP＝∠O2CP
∴△O1AP∽△O2CP
∴＝＝
∵AB切⊙O2于B点，∴AB2＝AP·AC
∴＝＝＝1＋＝1＋
∴
例5、如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，PT切⊙O1于A，交⊙O1于P，PB的延长线交⊙O1于C，CA的延长线交⊙O2于D，E是⊙O1上一点，且AE＝AC，EB的延长线交⊙O2于F，连结AF、DF、FD。
求证：(1) △PAD为等腰三角形；(2) DF∥PA；(3) AF2＝PB·EF
分析：(1) 要证△PAD为等腰三角形，可连结AB，利用公共弦将两圆中的角有机地联系起来，不难得到∠DAP＝∠TAC＝∠ABC＝∠PDA
(2) 要证DF∥PA，可设法证明∠FDP＝∠DPA，易知∠EDP＝∠EBP＝∠EBC＝∠EAC，连结EC，证明△ADP∽△EAC即可。
(3) 由切割线定理可得PA2＝PB·PC，可设法证明AF＝AP，EF＝PC，即可获证。
证明：连结AB、EC
(1) ∵AT切⊙O1于A，
∴∠TAC＝∠ABC(弦切角定理)
又∠ABC＝∠PDA(圆内接四边形的性质定理)
∴∠TAC＝∠PDA
∵∠TAC＝∠PAD(对顶角)
∴∠PDA＝∠PAD
∴PD＝PA
∴△PDA为等腰三角形。
(2) ∵AE＝AC
∴△AEC为等腰三角形
又△PDA为等腰三角形，且∠AEC＝∠ABC，∠ABC＝∠PDA
∴∠AEC＝∠PDA
∴△AEC∽△PDA(相似三角形判定定理1)
∴∠EAC＝∠DPA
又∠EAC＝∠EBC＝∠FBP＝∠FDP ∠EFP＝∠DPA DF∥PA
(3) ∵AE＝AC ∠AEF＝∠ACP ∠APC＝∠AFE
∴△APC∽△AFE
∴AF＝AP，EF＝PC 又PA2＝PB·PC(切割线定理)
∴AF2＝PB·EF
例6、如图⊙O1和⊙O2相交于A、B，过A作直线交⊙O1于C，交⊙O2于D，M是CD中点，直线BM交⊙O1于E，交⊙O2于F。求证：ME＝MF。
分析：要证ME＝MF，结合已知MC＝MD，若连结CE、DF，只需证△CME∽△DMF，连结公共弦AB，以两圆的公共圆周角∠ABE为“桥梁”，可证得∠C＝∠D。
证法一：连结CE、DF、AB，
∵∠C＝∠ABE，∠D＝∠ABE，
∴∠C＝∠D
又∵CM＝DM，∠CMF＝∠DMF
∴△CME∽△DMF
∴ME＝MF
分析二：考虑到ME是⊙O1中相交两弦CA、EB被交点分成的一段，MF是M向⊙O2所引割线，因此可用圆幂定理来证明。
证法二：在⊙O1中，
∵弦CA、EB相交于点M
∴EM·MB＝CM·MA
在⊙O2中，∵MAD、MFB是⊙O2的两割线
∴MF·MB＝MA·MD
∵MC＝MD
∴ME·MB＝MF·MB
∴ME＝MF
例7、已知两圆半径之比是5:3，如果两圆内切时，圆心距等于6，问当两圆的圆心距分别是24、5、20、0时，相应两圆的位置关系如何
解：设大圆半径R=5x
∵两圆半径之比为5: 3，∴小圆半径r=3x，
∵两圆内切时圆心距等于6，∴5x-3x=6，∴x=3，
∴大圆半径R=15，小圆半径r=9，
当两圆圆心距dl=24时，有dl=R+r，∴此时两圆外切；
当两圆圆心距d2=5时，有d2 当两圆圆心距d3=20时, 有R-r 当两圆圆心距d4=0时，两圆圆心重合，两圆为同心圆．
说明：注重两圆位置的数量认识与形象思维的联想能力和数形结合能力．
例8、（武汉市，2002）已知：如图，⊙O和⊙O1内切于A，直线OO1交⊙O于另一点B，交⊙O1于另一点F，过B点作⊙O1的切线，切点为D，交⊙O于C点，DE⊥AB垂足为E．求证：
(1)CD＝DE；
(2)若将两圆内切改为外切，其他条件不变，(1)中的结论是否成立 请证明你的结论．
证明：（1）连结DF、AD，
∵AF为⊙O1的直径，∴FD⊥AD，又DE⊥AB，
∴∠DFE=∠EDA，
∵BC为⊙O1的切线，∴∠CDA=∠DFE，
∴∠CDA=∠EDA，
连结AC，∵AB为⊙O的直径，
∴AC⊥BC，又AD公共，
∴Rt△EDA≌Rt△CDA，
∴CD＝DE．
（2）当两圆外切时，其他条件不变，(1)中的结论仍成立．证法同（1）．
说明：①此题应用“如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上”、双垂直、弦切角、全等三角形等知识；②第（2）问是开放性问题．
例9、已知两相交圆的半径分别为8cm和5cm，公共弦长为6cm，求这两圆的圆心距．
解：分两种情况：
（1）如图1，设⊙O1的半径为r1=8cm，⊙O2的半径为r2=5cm．
圆心Ol，02在公共弦的异侧．
∵O1 O2垂直平分AB，∴AD=AB=3cm．
连O1A、 O2A，则,
．
（cm）．
（2） 如图2，圆心Ol，02在公共弦AB的同侧，同理可求
02D=4cm，01D=（cm）． （cm）．
说明：本题要求我们自己作图计算，究竟两圆的圆心在公共弦的同侧，还是异例题设中没有交待，需要我们自己去研究．因此，凡做到没有图形的几何题时，要特别当心，有可能有几种位置形状的图形．
【巩固练习】
（一）填空
1．已知⊙O1与⊙O2交于A，B两点，连结O1O2交⊙O1于C．若∠ACB=120°，AC=6cm，则AB的长是________．
2．已知⊙O1与⊙O2交于A，B两点，若⊙O1的半径为5，AB=6，O1O2=7，则∠BO2A=______度．
3．若三个圆两两外切，圆心距分别是6，8，10，则这三个圆的半径分别是______．
4．设⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，且O1在⊙O2上，O2在⊙O1上，则∠AO1B=______度．
5．已知两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm．则大圆的半径是________cm．
6．如果两个圆的一个公共点关于连心线有对称点（对称点不是公共点本身），那么这两圆的位置关系是______．
7．如果两个圆有一个公共点在连心线上，则这两个圆的位置关系是______．
8．已知⊙O1与⊙O2是等圆，相交于A，B两点．若∠AO1B=60°，O1A=1cm，则O1O2的长是______．
9．若两个圆有且只有一个公共点，则这个公共点一定在______直线上．
10．已知两圆相交于A、B两点，连心线交AB于E，若AE=cm，则AB=______cm．
11．相切两圆的______，经过切点．
12．相交两圆的连心线______两圆的公共弦．
（二）计算
13．已知⊙M与⊙N相切时，NM＝12cm，如果⊙N的半径为5cm，求⊙M的半径．
14．已知：如图，⊙O与⊙O；交于A，B两点，⊙O的弦AC切⊙O1于A，过C作直线顺次交两圆于M，N，D．若AD=6cm，DN=3cm，AM=AN，求CN的长．
15．已知：如图，⊙O与⊙A交于B，C两点，A在⊙O上，AD是⊙O直径，AD交BC于M，AE是⊙O的弦，AE交BC于N．若AM=4cm，AN=6cm，AE=24cm，求⊙O的半径．
16．已知：如图，⊙O与⊙O1内切于A，⊙O的弦AB交⊙O1于C，P是⊙O上一点．若∠AO1C=110°，求∠P的度数．
17．已知：如图，⊙O1与⊙O2交于A，B两点，AC是⊙O1的弦，CE切⊙O2于E，交⊙O1于D、
若∠CAE=55°，求∠DBE的度数．
18．已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于A，⊙O1的弦BC延长切⊙O2于D，延长BA交⊙O2于E．
若∠ADE=60°，∠E=55°，求∠CAD的度数．
19．已知：如图，⊙O与⊙O'内切于A点，O在⊙O'上，B是OA上一点，BD⊥OA交⊙O于D，交⊙O'于C．若AC=5cm，求AD的长．
20．已知：如图，⊙O1与⊙O2交于A，B两点，O1A切⊙O2于A．若O1A=2cm，⊙O2半径为1cm，求AB的长．
(三)解答题
21、已知，如图，A是⊙O l、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点。过点A的直线MN垂直于PA，交⊙O l、⊙O2于M、N。求证：AM=AN．
22、已知：如图，⊙Ol与⊙O2相交于A、B两点，C为⊙Ol上一点，AC交⊙O2于D，过B作直线EF交⊙Ol、⊙O2于E、F．
23、（宁波市，2002）如图，⊙O’经过⊙O的圆心，E、F是两圆的交点，直线OO’交⊙O于点Q、D，交⊙O’于点P，交EF于点C且EF= ，sin∠P= ．
(1)求证：PE是⊙O的切线；
(2)求⊙O和⊙O’的半径的长；
(3)点A在劣弧 上运动(与点Q、F不重合)，连结PA交 于点B，3、连结BC并延长交⊙O 于点G，设CG=x，PA=y．求y关于x的函数关系式．
24、如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP=8厘米
求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少
(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少
25、已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝8，以AC为直径作⊙O，以B为圆心，4为半径作．
求证：⊙O与⊙B相外切．
【探究活动】
问题1：已知AB是⊙O的直径，点O1、O2、…、On在线段AB上，分别以O1、O2、…、On为圆心作圆，使⊙O1与⊙O内切，⊙O2与⊙O1外切，⊙O3与⊙O2外切，…，⊙On与⊙On-1外切且与⊙O内切．设⊙O的周长等于C，⊙O1、⊙O2、…、⊙On的周长分别为C1、C2、…、Cn．
(1)当n=2时，判断Cl+C2与C的大小关系；
(2)当n=3时，判断Cl+C2+ C3与C的大小关系；
(3)当n取大于3的任一自然数时，Cl十C2十…十Cn与C的大小关系怎样 证明你的结论．
问题2：有八个同等大小的圆形，其中七个有阴影的圆形都固定不动，第八个圆形，紧贴另外七个无滑动地滚动，当它绕完这些固定不动的圆形一周，本身将旋转了多少转？
【参考答案】
（一）填空
1．6cm 2。90 3。2，4，6
4．120 5．9 6．相交
7．相切 8。cm 9。经过两圆圆心的
10．1 11．连心线 12．垂直平分
（二）计算
13．7cm或17cm．
14．9cm．
提示：∠D=∠MAC，∠AND=∠AMC，所以∠DAN=∠C，从而△DAN∽△DCA，由此得AD2=CD·DN，从而求出CD=12．所以CN=CD－DN=12－3=9（cm）．
15．18 cm．
提示：由于△AMN∽△AED，所以AM·AD=AN·AE，从而求出，所以⊙O的半径为18（cm）
16．55°．
提示：连接OB，OA．由⊙O与⊙O1内切于A点，所以OA过点O1．因为OA=OB，O1C=O1A，所以∠ABO=∠BAO=∠ACO1，所以OB//O1C，由此得∠AOB=∠AO1C=110°．所以∠P=55°．
17．125°．
提示：连接AB，则∠BDE=∠CAB，∠BED=∠BAE，
18．65°．
提示：过A作公切线AF，与BD交于F，则∠CAD=∠CAF+∠FAD=∠B+∠E=∠EDG（∠BDE的邻补角）=65°．
19．cm。
提示：延长AO交⊙O于E，连接ED，OC。先证明
AC2=AB·AO．同理AD2=AB·AE=AB·2AO，所以AD2=2AC2．
又AC=5，所以AD=（cm）
20．cm。
提示：连接O2A，O1O2，交AB于C，则AC=CB，
显然O1A⊥O2A，从而求出O1O2=。又 所以，因此就有AB=2AC=（cm）
21．证明：过点Ol、O2分别作OlC⊥MN、O2D⊥MN，垂足为C、D，
则OlC∥PA∥O2D，
且AC= AM，AD= AN．
∵OlP= O2P ，
∴AD=AM，∴AM=AN．
22、求证：EC∥DF
证明：连结AB
∵在⊙O2中∠F=∠CAB，
在⊙Ol中∠CAB=∠E，
∴∠F=∠E，∴EC∥DF．
23、证明：（1）连结OE，∵OP是⊙O’的直径，
∴∠OEP=90°，∴PE是⊙O的切线．
（2）设⊙O、⊙O’的半径分别r、r’．
∵⊙O与⊙O’ 交于E、F，
∴EF⊥OO’，．
∴在Rt△EOC、Rt△POE中，∠OEC=∠OPE．
∴sin∠OEC= sin∠OPE= ，
∴sin∠OEC= ，即，
，得r=4．
在Rt△POE中，sin∠OPE= ，∴r’=8．
（3）按题意画图，连结OA，∵∠OEP=90°，CE⊥OP，
∴PE2=PC·PO．又∵PE是⊙O的切线，∴PE2=PB·PA，∴PC·PO=PB·PA，
即，又∵∠CPO=∠APO，∴△CPB∽△APO，∴，
∴BC=60/PA．由相交弦定理得BC·CG=EC·CF，∴BC=15/CG，
∴PA=4CG，即y=4x（＜x＜5）．
24、解：（1）设⊙P与⊙O外切与点A，则PA=PO-OA
∴PA=3cm．
（2）设⊙P与⊙O内切与点B，则PB=PO+OB
∴PB=1 3cm．
25、证明：连结BO，∵AC为⊙O的直径，AC＝12，
∴⊙O的半径，且O是AC的中点
∴，∵∠C=90°且BC=8，
∴，
∵⊙O的半径，⊙B的半径，
∴BO=，∴⊙O与⊙B相外切．
【探究活动提示】
1、 提示：假设⊙O、⊙O1、⊙O2、…、⊙On的半径分别为r、rl、r2、…、rn，通过周长计算，比较可得
（1）Cl+C2=C；（2）Cl+C2+ C3=C；（3）Cl十C2十…十Cn=C．
2、提示：1、实验：用硬币作初步实验；结果硬币一共转了4转．
2、分析：当你把动圆无滑动地沿着圆周长的直线上滚动时，这个动圆是转转，但是，这个动圆是沿着弧线滚动，那么方才的说法就不正确了．在我们这个题目中，那动圆绕着相当于它的圆周长的的弧线旋转的时候，一共走过的不是转；而是转，因此，它绕过六个这样的弧形的时，就转了6×=4转。
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23.2 .2直线与圆的位置关系
一、教学目标：
1、使学生理解直线和圆的位置关系．
2、初步掌握直线和圆的位置关系的数量关系定理及其运用．
3、通过对直线和圆的三种位置关系的直观演示，培养学生能从直观演示中归纳出几何性质的能力；2．在7．1节我们曾学习了“点和圆”的位置关系：
二、重点：
使学生正确理解直线和圆的位置关系，特别是直线和圆相切的关系，是以后学习中经常用到的一种关系．
三、难点：
直线和圆的位置关系与圆心到直线的距离和圆的半径大小关系的对应，它既可做为各种位置关系的判定，又可作为性质，学生不太容易理解．
四、教具准备：
教参、练习册、课外资料
五、教学过程：
一、新课引入：
我们已经学习过用点到圆心的距离和圆半径的大小关系来判断点和圆的位置关系，现在我们用同样的数学思想方法来研究直线和圆的位置关系，请同学们回忆：1．点和圆有哪几种位置关系？2．怎样判定点和圆的位置关系？
我们已经了解了平面上点和圆共有三种位置关系①点在圆外，②点在圆上，③点在圆内．如果我们设⊙O的半径为r，则有下面点与圆位置的数量关系．
二、新课讲解：
实际上，太阳从地平线上缓缓升起时，太阳与地平线的位置关系；铁轨上飞奔的列车，它的轮子与铁轨之间的位置关系；都给了我们直线和圆的位置关系的印象，那么平面上给定一个圆和一条运动着的直线或给定一条定直线和一个运动着的圆，它们之间虽然有着若干种不同的位置关系，如果从数学角度看，它的若干种位置关系能分为几大类？请同学们打开练习本，画一画互相研究一下．
学生动手画，教师巡视，当所有学生都把三种位置关系画出来时，教师可以用计算机或幻灯机给同学们作演示，演示的过程一定要用两种方法．一是给定直线圆在动；另一方面是给定圆，直线在动，这样学生才能从运动的观点去研究问题．
最终教师指导学生从直线和圆的公共点的个数来完成直线和圆的位置关系的定义．
1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．直线叫做圆的割线．
2、直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．直线叫圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
3．直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
在直线和圆的位置关系中，直线和圆相切是非常重要的位置关系，在今后的学习中有重要意义，务使每位同学都要清楚．除从直线和圆的公共点的个数来判断直线是否与圆相切外，是否还有其它的判定方法呢？可提示学生，从点和圆的位置关系去考察，特别要从点到圆心的距离与圆半径的关系去考察，若该直线l到圆心O的距离为d，⊙O半径为r，指导学生观察已经确定的直线和圆的三种位置关系，很容易得到所需的结果：
但是反过来，若先给定了直线到圆心的距离与圆的半径的数量关系，判断直线和圆的位置关系时，学生可能有一定的困难．这时可引导学生点到直线的距离，有助于学生对困难的解决．从而完成符号的左边“ ”．向学生介绍符号“ ”的意义及读法．
练习一，已知圆的直径为12cm，如果直线和圆心的距离为（1）5.5cm；（2）6cm；（3）8cm；那么直线和圆有几个公共点？为什么？
此题是直接运用性质进行判断．
答案：（1）两个公共点，（2）一个公共点，（3）没有公共点．
练习二，已知⊙O的半径为4cm，直线l上的点A满足OA=4cm，能否判断直线l和⊙O相切？为什么？
此题再一次强调定理中是圆心到直线的距离，这是学生容易出现问题的地方．
答案：不能确定．结合具体图形指导学生发现．当OA不是圆心到直线的距离时，直线l和⊙O相交；当OA是圆心到直线的距离时，直线l是⊙O的切线．
例题（P．104）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？
（1）r=2cm，（2）r=2.4cm，（3）r=3cm
指导学生在对题目进行分析时指出，题中所给的Rt△在已知条件下各元素已为定值，以直角顶点C为圆心的圆，随半径的不断变化，将与斜边AB所在的直线产生各种不同的位置关系，帮助学生分析好，d是点C到AB所在直线的距离，也就是直角三角形斜边上的高CD，在求直角三角形斜边上的高CD时用到三角形面积公式．这个方法在今后的证明时常常用到．要求学生学会这种思考问题的方法．
例题解法参考教材P．104页．
三、课堂小结：
为了培养学生阅读教材的习惯，请学生看教材P．103-104，从中总结出本课学习的主要内容有：
1．从图形公共点看，直线和圆有两个公共点，直线和圆相交，直线是圆的割线；直线和圆有唯一公共点，直线和圆相切，直线是圆的切线；直线和圆没有公共点，直线和圆相离．
2．直线和圆的位置关系的数量关系：即直线l和⊙O相交 d＜r；直线l和⊙O相切 d=r；直线l和⊙O相离 d＞r．
3．目前判断一条直线是圆的切线的方法有二：其一是直线和圆有唯一公共点，特别要强调“唯一”一词的意义；其二是圆心到直线的距离等于圆的半径．
六、板书设计：见教学过程
七、布置作业：
八、教学小结：
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23.2.1点与圆的位置关系
教学目标：
使学生能够用数量关系来判断点与圆的位置关系,掌握不在一条直线上的三点确定一个圆,能画出三角形的外接圆,求出特殊三角形的外接圆的半径,渗透方程思想。
重点难点：
1、重点：用数量关系判断点和圆的位置关系,用尺规作三角形的外接圆,求直角三角形、等边三角形和等腰三角形的半径。
2、难点：运用方程思想求等腰三角形的外接圆半径。
教学过程：
一、用数量关系来判断点和圆的位置关系
同学们看过奥运会的射击比赛吗？射击的靶子是由许多圆组成的，射击的成绩是由击中靶子不同位置所决定的；右图是一位运动员射击10发子弹在靶上留下的痕迹。
你知道这个运动员的成绩吗？请同学们算一算。（击中最里面的圆的成绩为10环，依次为9、8、…、1环）
这一现象体现了平面上的点与圆的位置关系，如何判断点与圆的位置关系呢？我们知道圆上的所有点到圆心的距离都等于半径，若点在圆上，那么这个点到圆心的距离等于半径，若点在圆外，那么这个点到圆心的距离大于半径，若点在圆内，那么这个点到圆心的距离小于半径。
如图23.2.1，设⊙O的半径为r，A点在圆内，B点在圆上，C点在圆外，那OA＜r， OB＝r， OC＞r．反过来也成立，即
若点A在⊙O内
若点A在⊙O上
若点A在⊙O外
思考与练习
1、⊙O的半径，圆心O到直线的AB距离。在直线AB上有P、Q、R三点，且有，，。P、Q、R三点对于⊙O的位置各是怎么样的？
2、中，，，，，对C点为圆心，为半径的圆与点A、B、D的位置关系是怎样的？
二、不在一条直线上的三点确定一个圆
问题与思考：平面上有一点A，经过A点的圆有几个？圆心在哪里？平面上有两点A、B，经过A、B点的圆有几个？圆心在哪里？平面上有三点A、B、C，经过A、B、C三点的圆有几个？圆心在哪里？。
从以上的图形可以看到，经过平面上一点的圆有无数个，这些圆的圆心分布在整个平面；经过平面上两点的圆也有无数个，这些圆的圆心是在线段AB的垂直平分线上。经过A、B、C三点能否画圆呢？同学们想一想，画圆的要素是什么？（圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小），所以关键的问题是定其加以和半径。
如图23.2.4，如果A、B、C三点不在一条直线上，那么经过A、B两点所画的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上，而经过B、C两点所画的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上，此时，这两条垂直平分线一定相交，设交点为O，则OA＝OB＝OC，于是以O为圆心，OA为半径画圆，便可画出经过A、B、C三点的圆．
思考：如果A、B、C三点在一条直线上，能画出经过三点的圆吗？为什么？
即有
不在同一条直线上的三个点确定一个圆
也就是说，经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆（circumcircle）．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心（circumcenter）．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。
思考：随意画出四点，其中任何三点都不在同一条直线上，是否一定可以画一个圆经过这四点？请举例说明。
三、例题讲解
例1、如图，已知中，，若，
，求的外接圆半径。
解：略
例2、如图，已知等边三角形ABC中，边长为，求它的外接圆半径。
解：略
例3、如图，等腰中，，，求外接圆的半径。
解：过A点作，垂足为D，设O是的外接圆圆心，连结OB，则OA、OB是的外接圆半径，设
因为AB=AC
所以D是BC的中点，
由勾股定理得
则
在中，
所以
解得：
答：的外接圆半径为。
练习1：按图7-4填空：
（1）△ABC是⊙O的________三角形；
（2）⊙O△ABC的________圆．
这组题的目的就是理解“内接”，“外接”的含意，
练习2：判断题：
（1）经过三点一定可以作圆；（ ）
（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（ ）
（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（ ）
（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点；（ ）
（5）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．（ ）
这组练习题主要巩固对本节课的定理和有关概念的理解，加深学生对概念辨析的准确性．
练习3：
经过4个（或4个以上的）点是不是一定能作圆？
练习4：
选择题：钝角三角形的外心在三角形 [ ]
A．内部 B．一边上 C．外部 D．可能在内部也可能在外部
练习3、4两道小题，引导学生动手画一画，和对定理的理解是否深刻，训练学生思维的广阔性和准确性有关．
四、小结
本节课我们学习了用数量关系判断点和圆的位置关系和不在同一直线上的三点确定一个圆，求解了特殊三角形直角三角形、等边三角形、等腰三角形的外接圆半径，在求解等腰三角形外接圆半径时，运用了方程的思想，希望同学们能够掌握这种方法，领会其思想。
五、作业
Ｐ62 习题1、2、3、4
参考答案
练习1
1．内接， 2。 外接
练习2
1．错， 2。对 ， 3。 对， 4。 错， 5对。
练习3
不一定
练习4
选C
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数学中考专题复习
第23章 圆 §23.1圆的认识 (二) （补充“垂径定理”）
教学目的：
1、 探索并了解圆周角的对称性，掌握垂径定理，并学会运用垂径定理，解决有关的证明，计算。
2、 掌握过圆心作一条与弦垂直的线段的辅助线的作法。
【知识重点与学习难点】
4、难点： 利用圆的轴对称图形来发现“垂径定理”
3．通过探究、发现定理，培养观察，分析、逻辑思维能力和归纳能力，提高的阅读质疑能力，通过选择最优方法、培养思维的灵活性。如通过垂径定理的证明，渗透几何变换思想。
【试一试】
1、垂径定理的发现：
如图可以知道，圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴。如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为E，再将纸片沿着直径CD对折，
①观察右图在⊙O中任意一条弦AB将圆周分为哪几部分？
②观察右图垂直于弦AB的直径CD和弦AB将圆周分为哪几部分？这几部分间存在什么关系？EA与EB存在什么关系？比较AE与EB、与，你能发现什么结论？
③总结出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧。
2、分析定理的题设和结论。
题设 结论
注意：题设中的两个条件缺一不可。
垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个性质：(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧(如图所示)．
推论1：
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧，
推论1的实质是：一条直线(如图)
(1)若满足：i)经过圆心，ii)平分弦，则可推出:iii)垂直于弦，iv)平分弦所对的劣弧，v)平分弦所对的优弧．
(2)若满足：i)垂直于弦，ii)平分弦。则可推出：iii)经过圆心，iv)平分弦所对的劣弧，v)平分弦所对的优弧．
(3)若满足；i)经过圆心，ii)平分弦所对的一条弧，则可推出：iii)垂直于弦，iv)平分弦，v)平分弦所对的另一条弧．
推论2： 圆的两条平行弦所夹的弧相等．
如图中，若AB∥CD，则AC＝BD
注意：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径作为辅助线。
【例题选讲】
例1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，过A，B向CD引垂线，垂足分别为E，F，求证：CE=DF。
证明：过O作OM⊥CD于M，
∴CM=DM，
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴AE//OM//FB，
又∵O是AB中点，
∴M是EF中点（平行线等分线段定理），
∴EM=MF，
∴CE=DF。
说明：此例是垂径定理及平行线等分线段定理相结合构成的命题。由于C、D两点是轴对称点，欲证CE=DF，那么E，F也必是轴对称点，由于E，F是垂足，那么E，F也应关于某条垂线成轴对称点，这样，这两个知识的结合部分仍是含有共同的对称轴。
例2．已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，⊙O的半径等于6cm，O点到BC的距离为2cm，求AB的长。
分析：因为不知道△ABC是锐角三角形，还是钝角三角形（由已知分析，△ABC不会是直角三角形，因为若是直角三角形，则BC为斜边，圆心O在BC上，这与O点到BC的距离为2cm矛盾），因此圆心有可能在三角形内部，也可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论：
（1） 假若△ABC是锐角三角形，如图，由AB=AC， 可知， ，
∴点A是弧BC中点， 连结AO并延长交BC于D，
由垂径推论 可得AD⊥BC，且BD=CD，
这样OD=2cm， 再连结OB，
在Rt△OBD中OB=6cm， 可求出BD的长，
则AD长可求出，
则在Rt△ABD中可求出AB的长。
（2） 若△ABC是钝角三角形，如图， 连结AO交BC于D，
先证OD⊥BC， OD平分BC，再连结OB，
由OB=6cm， OD=2cm，求出BD长，然后求出AD的长，
从而在Rt△ADB中求出AB的长。
略解：（1）连结AO并延长交BC于D，连结OB，
∵AB=AC，
∴ ，∴AD⊥BC且BD=CD，
∴OD=2，BO=6，
在Rt△OBD中，由勾股定理得：BD===4，
在Rt△ADB中，AD=OA+OD=8，
由勾股定理可得：AB===4 (cm)
（2）同（1）添加辅助线求出BD=4，
在Rt△ADB中，AD=AO-OD=6-2=4，
由勾股定理可得：AB= (cm)，
∴AB=4cm或4cm。
说明：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。
例3．已知如图：直线AB与⊙O交于C，D，且OA=OB。 求证：AC=BD。
证明：作OE⊥AB于点E，
∴CE=ED，
∵OA=OB，
∴AE=BE，
∴AC=BD。
请想一下，若将此例的图形做如下变化，将如何证明。
变化一，已知：如图，OA=OB， 求证：AC=BD。
变化二：已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，
求证：AC=BD。
说明：这三道题的共同特点是均需要过点O作弦心距，利用垂径定理进行证明，
所变化的是A，B两点位置。
例4．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=600，求CD的长。
解：作OF⊥CD于F，连结OD，
∵AE=1，EB=5，
∴AB=6，∴OA==3，
∴OE=OA-AE=3-1=2，
在Rt△OEF中，
∵∠DEB=600，
∴∠EOF=300，∴EF=OE=1，
∴OF=，
在Rt△OFD中，OF=，OD=OA=3，
∴DF= (cm)，
∵OF⊥CD，∴DF=CF，
∴CD=2DF=2 (cm)
说明：因为垂径定理涉及垂直关系，所以就可出现与半径相关的直角三角形，求弦长，弦心距，半径问题，常常可以利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形，用其性质来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连结半径作为辅助线，然后用垂径定理来解题。
例5、如图大⊙O的半径为6cm，弦AB=6cm，OC⊥AB于C，以O为圆心OC的长为半径作圆，交OA、OB于点D、E。
(1)求小⊙O的半径OC的长
(2)求证：AB∥DE
分析：求OC的长的问题实际上是一个解直角三角形的问题，
而求证AB∥DE则可以利用三线八角来完成。
（1） 解：∵OA=OB=AB=6cm
∴△AOB为等边三角形
∴底边AB上的高OC也是底边上的中线
∴OC=
（2） 证明：∵△AOB是等边三角形
∴∠A=∠AOB=600
在△ODE中，OD=OE，∠DOE=600
∴△ODE为等边三角形
∴∠ODE=600
∴∠ODE=∠A
∴DE∥AB
说明：这里用到了等腰三角形“三线合一”的性质，若要证明“OC垂直平分DE”，如何表达较为简便？
【同步练习】
一、判断正误：
1．直径是圆的对称轴。 （ ）
2．三点确定一个圆 （ ）
3．平分弦的直径垂直弦 （ ）
4．在同圆中，等弦对等弧 （ ）
5．圆心角相等，它们所对的弧相等 （ ）
6．在同圆中，等弧对等弦 （ ）
7．线段AB是⊙O的直径，点C在直线AB上，如果AC 8．正方形ABCD，根据经过不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，它可以确定四个圆。 （ ）
9．在⊙O中， ，那么它们所对弦的关系是AB=2CD。 （ ）
10．⊙O的半径为5cm，点P到圆的最小距离与最大距离之比为2：3，则OP长为1cm。 （ ）
二、填空题：
1. 在半径为R的圆中，垂直平分半径的弦长等于 ；
1. 已知⊙O的半径为5cm，的度数为120°，则弦AB的长是 ；
1. 已知⊙O的半径为R，弦AB的长也为R，则∠AOB＝ ，弦心距是 ；
1. 已知：⊙O的半径为2cm，弦AB所对的劣弧为圆的，则弦AB的长为 cm，AB的弦心距为 cm；
5．已知：⊙O中，弦AB垂直直径CD于点P，半径＝4cm，OP＝2cm，
则∠AOB＝ ，∠ADC＝ ，的度数为 ，△ADC的周长为 cm；
6。⊙O的弦AB是半径OC的垂直平分线，则的度数为 ；
7．在⊙O中，弦CD与直径AB相交于E，且∠AEC＝30°，AE＝1cm，BE＝5cm，
那么弦CD的弦心距OF＝ cm，弦CD的长为 cm；
三、选择题：
1、 下列四个命题中：
①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弦相等，它们的弦心距也相等；
④在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等；其中，正确的命题是( )
(A) ①③；(B) ②④；(C) ①④；(D) ②③；
2、若两条弧的度数相等，则( )
(A)两条弧所对的弦相等；(B)两弧所对的弦心距相等；(C)两弧的长度相等；(D)两弧所对的圆心角相等；
3、半径为4cm，120°的圆心角所对的弦长为( )
(A)5cm；(B)cm；(C)6cm；(D)cm；
4、在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的，有以下结论：
⑴为60°；⑵∠AOB＝60°； ⑶＝∠AOB＝60°；⑷△AOB是等边三角形； ⑸弦AB的长等于这个圆的半径。其中正确的结论是( )
(A) ⑴⑵⑶⑷⑸；(B) ⑴⑵⑷⑸；(C) ⑴⑵；(D) ⑵⑷⑸；
5、在⊙O中，圆心角∠AOB＝90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为( )
(A)；(B) ；(C)24；(D)16；
6、在同圆或等圆中，若的长度等于的长度，则下列说法正确的个数是( )
⑴的度数等于的度数；⑵所对的圆心角等于所对的圆心角；⑶和是等弧；⑷所对的弦的弦心距等于所对的弦的弦心距；
(A)1个；(B)2个；(C)3个；(D)4个；
7、在⊙O中，两弦AB＜CD，OM、ON分别为这两条弦的弦心距，则OM、ON的关系是( )
(A)OM＞ON；(B) OM＝ON；(C) OM＜ON；(D)无法确定；
8、下列语句中，正确的有( )
⑴相等的圆心角所对的弧相等；⑵平分弦的直径垂直于弦；⑶长度相等的两条弧是等弧；
⑷经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；
(A)1个；(B)2个；(C)3个；(D)4个；
四、解答题：
1、 某种仪器上的一块圆形玻璃被打碎了，它的残片如图所示。你能帮助配一块大小完全相同的玻璃吗？
如能，请说出方法并画出它的大小。
2、如图，在⊙O中，弦AB//EF，连结OE，OF交AB于C，D，
求证：AC=DB。
3、如图，AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，连结OE，OF，
求证：∠OEF=∠OFE
4、在△ABC中，∠C=900，AC=15，BC=8，分别以A、B为圆心，AC、BC的长为半径画圆，分别交AB于P、Q。求PQ的长。
5、已知AB是⊙O的直径，P是OA上任意一点，C是⊙O上任意一点。
求证：PA
6、已知如图，BC为半圆O的直径，AD⊥BC，垂足为D，过点B作弦BF交AD于点E，交半圆O于点F，弦AC与BF交于点H，且AE=BE。
求证：（1）
（3） AHBC=2ABBE
参考答案
一、1．×（直径所在直线是圆的对称轴）
2．×（经过不在同一直线上的三个点确定一个圆）
3．×（平分弦（不是直径）的直径垂直弦）
4．（在同圆中，等弦所对的优（劣）弧等，因为一条弦对两条弧）
5．× 6、√ 7、× 8、× 9、× 10、×（OP的长是1cm或25cm）
二、1、R 2、5 3、600， 4、2，1
5、1200，600，600， 6、1200 7、1，4
三、1、C 2、D 3、B 4、D 5、B 6、D 7、A
四、解答题：
1、提示：在残片的圆弧上任取三点A、B、C，连结AB、AC并作AB、AC的中垂直线，得交点即圆心，再画圆。
2、证明：作ON⊥EF交AB于M，
∵AB//EF，
∴OM⊥AB，
∵OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE，
∵∠OCD=∠OEF，∠ODC=∠OFE，
∴∠OCD=∠ODC，
∴OC=OD，
∴CM=DM，
∵AM=BM，
∴AC=BD
3．证明：作OM⊥CD于M，
∵AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，
∴AE//OM//BF，
∵OA=OB，∴EM=FM，
∴OE=OF，∴∠OEF=∠OFE
4、提示：PQ=AP+BQ-AB=15+8-17=6
5、提示：当C与A、B不重合时，连结CO，PA=AO-PO=CO-PO6、证明（1）∵BC是半圆O的直径
∴∠BAC=90°.
即∠BAD+∠DAC=90°
∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°.
∴∠BAD=∠C.
又∵AE=BE，∴∠ABE=∠BAD.
∴∠C=∠ABE. ∴AE=AF.
（2）连结AF，在△AFH和△BCH中，
∵∠AFB=∠BCA，∠AHF=∠BHC，
∴△AFH∽△BCH.
∴ …………①
∵AB=AF，∴AB=AF …………②
∵∠ABH=∠C，∠ABH+∠AHB=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴∠AHB=∠DAH.
∴AE=EH=BE. ∴BH=2BE. …………③
将②、③代入①，有
∴AH·BC=2AB·BE
（
（
（
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23.1 .2圆周角
一、教学目标
1、通过本节的教学使学生理解圆周角的概念，掌握圆周角定理．
2、准确地运用圆周角定理进行简单的证明计算．
3、通过圆周角定理的证明使学生了解分情况证明数学命题的思想方法，从而提高学生分析问题、解决问题的能力．
4、继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力．
二、重点：
圆周角的概念和圆周角定理．
三、难点：
认识圆周角定理需要分三种情况逐一证明的必要性．
四、教具准备：
教参、练习册、课外资料
五、教学过程：
一、新课引入：
同学们，上节课我们已经学习了圆心角的定义、圆心角的度数和它所对的弧的度数的相等关系．学生在复习圆心角的定义基础上，老师通过直观演示将圆心角的顶点发生变化．满足顶点在圆上，而角的两边都与圆相交，得到与圆有关的又一种角．学生通过观察，对比着圆心角的定义，概括出圆周角的定义．教师板书：“7．5圆周角（一）．”通过圆心角到圆周角的运动变化，帮助学生完成从感性认识到理性认识的过渡．一方面激发学生学习几何的兴趣，同时让学生感受到图形在学生眼中动起来．
二、新课讲解：
为了进一步使学生真正理解圆周角的概念，教师利用电脑进一步演示得到三种不同状态的圆周角．
教师提问，学生回答，教师板书．
你能仿照圆心角的定义给圆周角下一个定义吗？
圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
这时教师向全体学生提出这样两个问题：
①顶点在圆上的角是圆周角？
②圆和角的两边都相交的角是圆周角？
教师不做任何解释，指导学生画图并回答出答案对与否．选择出有代表性的答案用幻灯放出来，师生共同批改．这样做的好处是学生自己根据题意画出图形，加深了对概念的理解，师生共同批改，使学生抓住概念的本质特征，这时由学生归纳出圆周角的两个特征．
接下来给学生一组辨析题：
练习1：判别图7-29中各圆形中的角是不是圆周角，并说明理由．
通过这组练习题，学生就能很快的深入理解圆周角的概念，准确的记忆圆周角的定义．
这时教师启发学生观察电脑演示的圆周角的三个图，说明圆心和圆周角的位置关系的三种情况．
在圆周角定理的证明时，不是教师直接告诉学生的定理内容，而是让学生把自己课前准备好的圆拿出来，在圆上画一个圆周角，然后再画同弧所对的圆心角，由同桌两人用量角器量出这两个角的度数，请三名同学把量得数据告诉同学们，亲自试验发现它们之间的关系．这时由学生总结出本节课的定理，然后教师把定理内容写在黑板上．
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
这时教师提问一名中下生：“一条弧所对的圆周角有多少个？圆心角呢？”
教师概括：虽然一条弧所对的圆周角有无数个，但它们与圆心的位置关系，归纳起来却只有三种情况．下面我们就来证明这个定理的成立．
已知：⊙O中， 所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC．
分析：（1）如果圆心O在∠BAC的一边AB上，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明．
如果圆心O不在∠BAC的一边AB上，我们如何证明这个结论成立呢？
教师进一步分析：“能否把（2）、（3）转化为（1）圆心在角的一边上的特殊情况，那么只要作出直径AD，将∠BAC转化为上述情况的两角之和或差即可，从而使问题得以解决．
这样分析的目的，在几何定理的证明中，分情况逐一证明肯定命题的正确性，这还是第一次接触．因而教师分析就应从教会学生解决问题的方法上入手，教会学生由圆心O的特殊位置的证明为基础，进而推到一般情况．同时要向学生渗透证明过程体现了由已知到未知、由特殊到一般的思维规律．
本题的后两种情况，师生共同分析，证明过程由学生回答，教师板书：
证明：分三种情况讨论．
（1）图中，圆心O在∠BAC的一边上．
（2）图中，圆心O在∠BAC的内部，作直径AD．利用（1）的结果，有
（3）图中，圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（1）的结果，有
接下来为了巩固所学的圆周角定理，幻灯片上出示例1．
例1 如图7-30，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：∠ACB=2∠BAC．
例1由教师引导学生结合图形分析证明思路，证明过程请一名中等生上黑板完成，其它同学把证明写在练习本上．
这样处理例1的目的，是让学生通过自己的思维活动得到解题思路的探索过程，由学生自己完成证明，使学生切实从应用上加深对圆周角的理解．
为了坚持面向全体学生，遵循因材施教的原则，使不同层次的学生学有所得，教师有目的设计两组习题．
第一组练习题是直接巩固定理，难度较小，可提问较差的学生．
求圆中的角x的度数？
第二组练习题是间接巩固定理，需要以圆心角的度数为过渡，可提问中等偏上的学生．
如图7-32，已知△ABC内接于⊙O， ， 的度数分别为80°和110°，则△ABC的三个内角度数分别是多少度？
六、板书设计：见教学过程
七、布置作业：
八、教学小结：这节课主要学习了两个知识点：
1．圆周角定义．
2．圆周角定理及其定理应用．
方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想．
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23.2 .4圆与圆的位置关系
一、教学目标：
1．本节课使学生掌握圆和圆的几种位置关系的概念及相切两圆连心线的性质．
2．使学生能够根据两圆不同的位置关系，写出两个圆半径的和或差与圆心距之间的关系式；反过来，由两圆半径的和或差与圆心距的大小关系，判定两圆的位置关系．
3、结合本节课的教学内容培养学生亲自动手实验，学会观察图形，主动获得知识的能力．
4、．继续培养学生运用旧知识探求新知识的能力．
二、重点：
圆和圆的五种位置关系的概念及相切两圆的连心线的性质．
三、难点：
理解相切两圆连心线性质的证明．
四、教具准备：
教参、练习册、课外资料
五、教学过程：
一、新课引入：
同学们，前面我们学习了点和圆及直线和圆的位置关系，在原有知识的基础上本节课我们学习两圆的位置关系的有关知识，那么圆和圆有几种位置关系呢？教师板书课题：“7．13圆和圆的位置关系(一)”．根据学生已有的知识水平及本节课的特点，从引导学生回顾点和圆三种位置关系到直线和圆的三种位置关系出发，激发学生通过类比探求圆和圆的位置关系有几种情况，这样可一下子抓住学生的注意力．
为了使学生真正体会到数学理论来源于实践，反过来又作用于实践的这一理论．在学生复习了点和圆及直线和圆的位置关系的基础上，教师引导学生把课前准备好的两个不等圆的纸版拿出来，同桌两人动手实验，发现圆和圆的位置关系有五种情况的过程，由学生上黑板公布自已发现的五种情况，教师适当补充．这样做的目的．是鼓励学生亲自动手来参与探索新知识过程．可充分调动学生的学习积极性．
让学生把自己得到的结论告诉同学们，对此问题不是所有同学都能理解，这时教师可以进一步引导，把得到的位置关系从投影上打出来．
这样做的好处是体现学生动手动脑的全过程，特别是通过自己实验总结出来的知识，更突出它的实际性．不是学生被动地接受知识，而是学生积极主动获得知识，更能培养学生发散思维的能力．
二、新课讲解：
学生得到的圆和圆的位置关系有五种情况，也就等于学生自己的科研成果公布于众．
请两名同学上黑板讲解得到五种位置关系的方法．全班同学参与评议，同时观察图形具有的特点．
找一名同学以两圆公共点的个数为依据，摆放出两圆各种不同的位置：
找一名同学利用运动变化的观点来得到两圆的位置．设⊙O1为动圆，⊙O2为定圆，当⊙O1向⊙O2运动时，两圆的位置关系的变化如下：
由学生实验得到结论，教师引导学生回答，教师概括总结：
圆和圆的位置关系五种情况及各自的概念．
(1)两圆外离：略
(2)两圆外切
(3)两圆相交
(4)两圆内切
(5)两圆内含
教师一边讲解每一种情况的定义，同时要求学生理解重点词语“内”、“外”、“内部”、“外部”．这五种情况也可以归纳为三类：
(2)相交
接着教师引导学生思考这样问题：
除根据公共点的个数可以判定两个圆的位置关系外，还有没有其它方法呢？由于圆和圆的位置关系是学生自己得到的，前两名同学发言的激发下，不少同学都想拿出自己的作品，这时教师让学生议论五分钟，然后由学生总结出又一种方法判定两圆的位置关系．教师板书：
设两圆半径分别为R和r，圆心矩为d，那么
(1)两圆外离 d＞R+r
(2)两圆外切 d=R+r
(3)两圆相交 R-r＜d＜R=r(R≥r)
(4)两圆内切 d=R-r(R＞r)
(5)两圆内含 d＜R-r(R＞r)
同心圆 d=0
接下来为了巩固所讲的知识点，投影放出一组练习题：
⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，设
(1)O1O2=8厘米； (2)O1O2=7厘米；
(3)O1O5=5厘米； (4)O1O2=1厘米；
(5)O1O2=0.5厘米； (6)O1和O2重合．
请回答⊙O1与⊙O2的位置关系怎样？
这组练习题，学生思考回答，学生参与评价，老师不代替学生，知识点消化靠学生自己思维解决．如果有困难的话由其它同学帮忙解决．
接下来教师结合图7-96讲解“把经过两圆心的直线叫做连心线”．那么两圆外切、内切的切点与连心线有怎样的关系呢？
本题由教师分析证明思路，在学生表示认可的情况下，由学生总结出相切
两圆的性质：
如果两圆相切，那么切点一定在连心线上．
教师这样做的目的是培养学生亲自动手操作实验，发现规律，总结出结论．一方面培养学生自己探求新知识的探索精神，另一方面给学生一种自信，让他们感觉自己能行．
接着幻灯打出例1 如图⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm．
求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？
(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？
学生回答，教师板书：
解：(1)设⊙O与⊙P外切于点A．
∴ PA=OP-OA=8-5，
∴ PA=3cm．
(2)设⊙O与⊙p内切于点B．
∴ PB=OP+OB=8+5，
∴ PB=13cm．
练习题由学生自己完成，教师不讲，学生之间互相评价．
三、课堂小结：
课后小结由学生进行，教师概括：
(一)本节所学的知识点：
1．圆和圆的位置关系的概念．
3．相切两圆连心线的性质．
(二)本节课所学的方法：
1．会利用公共点的个数和定义判定两圆的位置关系．
2．会用两圆半径和圆心距的关系判定两圆的位置关系．
3．学会两圆相切连心线必过这两圆的切点．
六、板书设计：见教学过程
七、布置作业：
八、教学小结：
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