人教版2023年九年级上册第21章 一元二次方程 单元检测（含解析）

人教版2023年九年级上册第21章《一元二次方程》单元检测卷
一、选择题（共36分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为3，则一次项系数与常数项分别是（ ）
A．2、 B．2、1 C．、1 D．、
3．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
4．用求根公式解一元二次方程时a，b，c的值是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（　　）
A．4 B．3 C． D．3或
6．关于x的一元二次方程有实数根，则k可能是（　　）
A． B． C．1 D．
7．已知a是方程的根，则代数式的值为（　　）
A．4044 B． C．2024 D．
8．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数有多少人（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
9．若，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．3
10．如图，长方形铁皮的长为，宽为，现在它的四个角上剪去边长为的正方形，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则x的值为（　　）
A．2 B．7 C．2或7 D．3或6
11．根据下列表格中的对应值，判断方程 ，，，为常数的一个解的范围是( )
A． B． C． D．
12．定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为（　　）
A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2
二、填空题（共24分）
13．关于x的方程是一元二次方程，则 ．
14．方程的根为 ．
15．已知等腰三角形的底边长为3，腰长是方程的一个根，则这个三角形的周长为 .
16．2023年，临邑县某单位为响应国家“厉行节约，反对浪费”的号召，减少了对办公经费的投入，在两个月内将开支从每月元降到元，若平均每月降低开支的百分率为，则可根据题意列出方程为 ．
17．若关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为 ．
18．一次单循环比赛，一共进行了场，那么共 有个队参加了这次的比赛．
19．已知关于x的一元二次方程，若方程的两根分别是，，且满足，则 ．
20．对于一元二次方程（），下列说法：
①若，则它有一根为－1；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的 ．
三、解答题（共60分）
21．（本题6分）解下列方程：
(1)；
(2)．
22．（本题15分）按要求解方程
(1)（直接开平方法）； (2)（配方法）；
(3)（公式法） (4)（因式分解法）
(5)（换元法）
23．（本题7分）请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得；化简，得；故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”；
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
(2)已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
24．（本题7分）如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长36米．

(1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为180平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？
(2)围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？
25．（本题8分）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若，求的值；
(3)若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是直角三角形时，求的值．
26．（本题7分）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜欢．某商店销售亚运会吉祥物，在销售过程中发现，当每件获利125元时，每天可出售50件，为了扩大销售量增加利润，该商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件吉祥物降价5元，平均可多售出1件．
(1)若每件吉祥物降价20元，商家平均每天能盈利多少元？
(2)每件吉祥物降价多少元时，能尽量让利于顾客并且让商家平均每天盈利5980元？
27．（本题10分）如图，在中，，，．现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段向点方向运动．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为，

求：
(1)当为多少秒时，、两点之间的距离是？
(2)用含的代数式表示的面积；
(3)当为多少秒时，？
参考答案
1．D
【分析】根据一元二次方程方程的定义即可解答．
【详解】解：A、，不是整式方程，不是一元二次方程，故A不符合题意．
B、，该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故B不符合题意．
C、，该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故C不符合题意．
D、，该方程符合一元二次方程的定义，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程．
2．C
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出一次项系数和常数项即可．
【详解】解：，
∴，
∴一次项和常数项分别为、1；
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式．掌握一元二次方程的一般形式是 ，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项是解题关键．
3．C
【分析】方程两边加上一次项系数一半的平方即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
4．C
【分析】先移项化为一般式，即可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式：，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
5．D
【分析】把代入方程，可得：，然后解方程即可．
【详解】解：把代入方程得：，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程的解法，熟练掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．
6．A
【分析】先根据根的判别式的意义，然后分别把、、1、代入进行计算，如果满足就符合题意．
【详解】解：根据题意得△，
即，
只有满足，而、1、都不满足．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
7．A
【分析】根据a是方程的根，得到，整体思想代入求值即可．
【详解】解：∵a是方程的根，
∴，
即，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，以及整体思想，是解题的关键．
8．C
【分析】设参加会议有x人，再根据等量关系“每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手”列方程求解即可．
【详解】解：设参加会议有x人，依题意得：
，
整理得：，
解得（舍去）
所以参加这次会议的有12人．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意、准确找到等量关系列出方程是解答本题的关键．
9．D
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【详解】解：，是一元二次方程的两个根，
，
故选D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程（）的两根时， ， ．
10．A
【分析】根据各边之间的关系，可得出做成无盖的长方体盒子的底面是长为，宽为的长方形，结合长方体盒子的底面积为，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：∵长方形铁皮的长为，宽为，且在它的四个角上剪去边长为的正方形，
∴做成无盖的长方体盒子的底面是长为长为，宽为的长方形．
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
∴x的值为2．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．C
【分析】根据函数的图象与轴的交点就是方程的根，再根据函数的增减性即可判断方程一个解的范围．
【详解】解：函数的图象与轴的交点就是方程的根，
函数的图象与轴的交点的纵坐标为0；
由表中数据可知：在与之间，
∴对应的的值在与之间，
即．
故选：C．
【点睛】此题主要考查方程的近似解，解题的关键是熟知方程近似解的判定方法．
12．D
【分析】根据非负数的性质，得出，再根据新定义运算法则，得出，然后分四种情况：当时，当时，当时和当时，根据新定义运算法则，结合直接开平方法解一元二次方程，计算即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
①当时，则，
∴，即，
解得：；
②当时，则，
∴，即，
解得：或（舍）；
③当时，则，
∴，即，
解得或（舍）；
④当时，，方程没有实数解；
综上所述：方程的解为或或，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，理解新定义运算法则，并利用分类讨论思想解答是解本题的关键．
13．
【分析】根据一元二次方程的定义解题即可．
【详解】解：由题意得，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
14．，
【分析】用因式分解法求解即可．
【详解】解：
或
∴，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法求解一元二次方程是解题的关键．
15．7或11/11或7
【分析】首先解方程求出等腰三角形的腰，然后求解即可．
【详解】解：，
∴，
∴或，
∴解得，，
当时，即等腰三角形的腰为2，
∴，符合题意，
当时，即等腰三角形的腰为4，
∴，符合题意，
∴这个三角形的周长或．
故答案为：7或11．
【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，等腰三角形的定义，解一元二次方程的应用，关键是求出等腰三角形的边长．
16．
【分析】设平均每月降低开支的百分率为，根据题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】解：设平均每月降低开支的百分率为，则可根据题意列出方程为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
17．
【分析】把化为再结合题意得到解出即可．
【详解】解：，
．
令，则
∵方程（）有一个根为，
有一根为，
，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的含义，掌握利用整体未知数求解方程的根是解此题的关键．
18．
【分析】设有个队参加比赛，则每个队可跟剩下的个队进行比赛，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：设有个队参加比赛，则每个队可跟剩下的个队进行比赛，
∵比赛为单循环赛，共进行了场，
∴可列方程：，
解得：，（舍去）．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
19．1
【分析】先用含k的式子表示和的值，再根据，求出k的值．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程，若方程的两根分别是，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知若，，是一元二次方程的两根时，，是解答此题的关键．
20．①②④
【分析】利用因式分解法解方程可对①进行判断；根据根的判别式的意义，由方程有两个不相等的实根得到，则可判断，于是可对②进行判断；由c是方程的一个根得到，只有当时，，则可对③进行判断；利用计算根的判别式得到，则根据根的判别式的意义可对④进行判断．
【详解】解：若时，则，
∴原方程为，
∴，
解得，故①正确；
若方程有两个不相等的实根，则，
∴方程的根的判别式，
∴方程必有两个不相等的实根，故②正确；
∵c是方程的一个根，
∴，
当时，，故③错误；
若，
则 ，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
21．(1)，；
(2)，．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1），
，
，即，
或，
，；
（2），
，
，
或，
，．
【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
22．(1)，
(2)，
(3)，
(4)或
(5)，
【分析】（1）先移项，变成，然后直接开平方；
（2）把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解；
（3）找出方程中二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，由根的判别式大于0，得到方程有解，将，及的值代入求根公式即可求出原方程的解；
（4）将方程整理为，然后通过提取公因式进行因式分解，再求解即可；
（5）先令，则原方程变形为，运用因式分解法解得，，再把和3分别代入得到关于的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
∴，；
（2），
，
，
，
，
∴，；
（3），
，，，
，
∴，
∴，；
（4），
，
，
，
，
∴或，
∴或；
（5），
令，则原方程变形为，
即：，
解得：，，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
∴原方程的解为：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法、公式法、因式分解法、配方法、换元法是解题的关键．
23．(1)
(2)
【分析】（1）设所求方程的根为，则，将代入已知方程，化简即可得到答案；
（2）设所求方程的根为，则，将其代入已知方程，然后化为一般形式即可得到答案．
【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，
，
把代入已知方程，
得，
化简得，，
这个一元二次方程为：；
（2）解：设所求方程的根为，则，
，
把代入已知方程，
得，
去分母得，，
若，则，于是方程有一根为0，不符合题意，
，
所求方程为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法．
24．(1)宽是10米，长为18米
(2)不能达到，见解析
【分析】（1）先设养鸡场的宽为x米，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符合题意；
（2）设养鸡场的宽为x米，根据题意得：，整理得：，根据方程的判别式的符号判断方程解的情况，即可作答．
【详解】（1）设养鸡场的宽为x米，根据题意得：
，
解得：，
当时，，
当时，，（不符合题意，舍去），
则养鸡场的宽是10米，长为18米．
（2）设养鸡场的宽为x米，根据题意得：
，
整理得：，
即，
因为方程没有实数根，
所以围成养鸡场的面积不能达到200．
答：围成养鸡场的面积不能达到200．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键，注意宽的取值范围．
25．(1)证明见解析
(2)或
(3)或
【分析】（1）根据一元二次方程判别式与根的关系求证即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根的情况与系数的关系代值求解即可得到答案；
（3）解关于的一元二次方程，再由直角三角形中勾股定理分类讨论求解即可得到答案．
【详解】（1）证明：关于的一元二次方程为，
，
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；
（2）解：关于的一元二次方程为，
，，
，即，则，解得或；
（3）解：解：关于的一元二次方程为，
，解得：，
当是直角三角形时，分两种情况讨论如下：
当为直角边时，，解得：；
当为斜边时，，解得：（根据边长为正判断不合题意，舍去），
或．
【点睛】本题考查一元二次方程综合，涉及一元二次方程根的情况与判别式关系、根与系数关系、一元二次方程根与直角三角形结合等，熟练掌握一元二次方程相关定义与性质是解决问题的关键．
26．(1)商家平均每天盈利5670元；
(2)每件吉祥物降价10元．
【分析】（1）利用商家每天销售获得的利润=每天的利润每天的销售量，即可求出结论；
（2）设每件吉祥物降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售为件，利用商家每天销售获得的利润=每件的利润每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：（元），
答：商家平均每天盈利5670元；
（2）解：设每件吉祥物降价元，
依题意得，
解得（舍去），，
答：每件吉祥物降价10元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用（销售与盈亏），解决此题的关键是读懂题意并列出正确的式子．
27．(1)秒或秒
(2)
(3)秒或秒
【分析】（1）设运动的时间为，则，，根据，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，求解即可；
（2）设运动的时间为，则，，利用三角形的面积计算公式，即可得出与的关系式；
（3）利用三角形的面积计算公式，结合，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值．
【详解】（1）解：设运动的时间为，则，，
∵在中，，，
∴，
即，
解得：，，
答：当为秒或秒时，、两点之间的距离是；
（2）设运动的时间为，则，，
∴，
∴的面积；
（3）在中，，，，
∴，
设当运动时间为秒时，，
∴，
解得：解得：，，
答：当为秒或秒时，．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用、列代数式、代数式求值以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用勾股定理，求出的长；（2）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．