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第21章 一元二次方程（单元测试）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x20 B．x＝x2
C．（x﹣1）2＝（x+3）（x﹣2）+1 D．ax2+bx+c＝0
【答案】B
【解析】A．该方程是分式方程，
故不符合题意；
B．x＝x2是一元二次方程，
故符合题意；
C．该方程化简后得3x＝6，是一元一次方程，
故不符合题意；
D．该方程中当a≠0时才是一元二次方程，
故不符合题意．
故选B．
2．一元二次方程x2﹣9＝0的解是（ ）
A．x＝3 B．x1＝x2＝3
C．， D．x1＝3，x2＝﹣3
【答案】D
【解析】x2﹣9＝0，
则x2＝9，
∴x＝±3，
∴x1＝3，x2＝﹣3，
故选D．
3．将方程2x2﹣12x+1＝0配方成（x﹣m）2＝n的形式，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝17 B．
C．（x﹣3）2＝17 D．
【答案】D
【解析】2x2﹣12x+1＝0，
x2﹣6x，
x2﹣6x+99，
（x﹣3）2．
故选D．
4．设x1为一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0较大的实数根，则（ ）
A．3＜x1＜4 B．2＜x1＜3 C．1＜x1＜2 D．0＜x1＜1
【答案】C
【解析】∵2x2﹣2x＝1，
x2﹣x，
∴（x）2，
∴x±，
∴x1，x2，
∴1＜x1＜2．
故选C．
5．方程2x2﹣3x+1＝0根的符号是（ ）
A．两根一正一负 B．两根都是负数
C．两根都是正数 D．无法确定
【答案】C
【解析】∵2x2﹣3x+1＝0，
∴（2x﹣1）（x﹣1）＝0，
解得：x1，x2＝1，
∴方程2x2﹣3x+1＝0的两根都是正数．
故选C．
6．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0的两根，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．x1+x2＞0 B．x1 x2＜0
C．x1≠x2 D．方程必有一正根
【答案】B
【解析】A、根据根与系数的关系可得出x1+x2＝2＞0，结论A正确，不符合题意；
B、根据根与系数的关系可得出x1 x2＝﹣m2≤0，结论B不一定正确，符合题意；
C、根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＞0，由此即可得出x1≠x2，结论C正确，不符合题意；
D、由x1 x2＝﹣m2≤0，结合判别式可得出方程必有一正根，结论D正确，不符合题意．
故选B．
7．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A．6.2（1+x）2＝8.9
B．8.9（1+x）2＝6.2
C．6.2（1+x2）＝8.9
D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9
【答案】A
【解析】依题意得6.2（1+x）2＝8.9，
故选A．
8．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2023﹣a﹣b的值为（ ）
A．﹣2022 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】D
【解析】由题意知，a+b+1＝0，
∴a+b＝﹣1，
∴2023﹣a﹣b
＝2023﹣（a+b）
＝2024．
故选D．
9．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别是m﹣1和2m+3，则的值为（ ）
A．16 B． C．25 D．或25
【答案】B
【解析】∵一元二次方程ax2＝b的两个根分别是m+1与2m﹣13，
且，
∴m﹣1+2m+3＝0，
解得：，
即方程的根是：，，
∴，
故选B．
10．不论x、y是什么数，代数式x2+y2+2x﹣2y+7的值（ ）
A．总大于7 B．总不小于7 C．可能为负数 D．总不小于5
【答案】D
【解析】原式＝（x2+2x+1）+（y2﹣2y+1）+5
＝（x+1）2+（y﹣1）2+5
≥5，
即原代数式的值不小于5，
故选D．
二、填空题：共8小题，每小题3分，共24分.
11．用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ．
【答案】3x2+7x+1＝0
【解析】根据与，
可得a＝3，b＝7，c＝1，
从而得到一元二次方程为3x2+7x+1＝0．
故答案为：3x2+7x+1＝0．
12．方程x（x+4）＝0的解是 ．
【答案】x1＝0，x2＝﹣4
【解析】∵x（x+4）＝0，
∴x+4＝0或x＝0，
即x1＝0，x2＝﹣4，
故答案为：x1＝0，x2＝﹣4；
13．已知a，b是一元二次方程x2+5x﹣3＝0的两个根，则的值为 ．
【答案】
【解析】∵a，b是一元二次方程x2+5x﹣3＝0的两个根，
∴a+b＝﹣5，ab＝﹣3，
∴
．
故答案为：．
14．某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为 ．
【答案】20%
【解析】设平均每月的增长率为x，
由题意得25（1+x）2＝36，
解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）
所以平均每月的增长率为20%．
故答案为：20%．
15．若a是一元二次方程 x2+2x﹣3＝0 的一个根，则﹣2a2﹣4a的值是 ．
【答案】﹣6
【解析】∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，
∴a2+2a﹣3＝0，
∴a2+2a＝3，
∴﹣2a2﹣4a＝﹣2（a2+2a）＝﹣2×3＝﹣6，
故答案为：﹣6．
16．若一元二次方程a（x﹣m）2＝n 的两个根分别是﹣4与1，则方程a（x﹣m+2）2＝n的两个根分别是 ．
【答案】x1＝﹣1，x2＝﹣6
【解析】设b＝x+2，
则方程a（x﹣m+2）2＝n变形为方程a（b﹣m）2＝n，
∵一元二次方程a（x﹣m）2＝n 的两个根分别是﹣4与1，
∴方程a（b﹣m）2＝n的两根为：b1＝1，b2＝﹣4，
∴x1+2＝1，x2+2＝﹣4，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣6，
故答案为：x1＝﹣1，x2＝﹣6．
17．已知等腰三角形两边a，b，满足a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，则这个等腰三角形的周长为 ．
【答案】12
【解析】a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，
∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣10b+25）＝0，
∴（a﹣2）2+（b﹣5）2＝0，
∵a﹣2≥0，b﹣5≥0，
∴a﹣2＝0，b﹣5＝0，
解得，a＝2，b＝5，
∵2、2、5不能组成三角形，
∴这个等腰三角形的三边长分别为5、5、2，
∴这个等腰三角形的周长为：5+5+2＝12．
故答案为：12．
18．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是 ．
【答案】k≥﹣1且k≠0
【解析】∵关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个实数根，
∴Δ＝22+4k≥0，且k≠0，
解得：k≥﹣1且k≠0．
故答案为：k≥﹣1且k≠0．
三、解答题：本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19．选用适当的方法，解下列方程：
（1）2x2+5x+2＝0；
（2）（2x+3）2＝4（2x+3）；
（3）x2﹣2x．
（4）x2+5x+6＝0．
【解析】（1）2x2+5x+2＝0，
a＝2，b＝5，c＝2，
b2﹣4ac＝52﹣4×2×2＝9＞0，
x，
x1，x2＝﹣2；
（2）（2x+3）2＝4（2x+3），
（2x+3）2﹣4（2x+3）＝0，
（2x+3）（2x+3﹣4）＝0，
2x+3＝0或2x+3﹣4＝0，
解得x1，x2；
（3）x2﹣2x，
2x2﹣4x﹣1＝0，
a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，
b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0，
x，
x1，x2；
（4）x2+5x+6＝0，
（x+3）（x+2）＝0，
x+3＝0或x+2＝0，
x1＝﹣3，x2＝﹣2．
20．已知x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2+x+c2﹣8c﹣2＝0的一个根．
（1）求c．
（2）求此方程的另一个根．
【解析】（1）∵x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2+x+c2﹣8c﹣2＝0的一个根，
∴4﹣2+c2﹣8c﹣2＝0，
∴c2﹣8c＝0，
即c（c﹣8）＝0，
解得c1＝0，c2＝8．
故c的值是0或8；
（2）当c＝0时，
x2+x﹣2＝0，即（x﹣1）（x+2）＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣2．
当c＝8时，
x2+x﹣2＝0，即（x﹣1）（x+2）＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣2．
故另一根为x＝1．
21．如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？
【解析】设路宽应为x米
根据等量关系列方程得：（50﹣2x）（38﹣2x）＝1260，
解得：x＝4或40，
40不合题意，舍去，
所以x＝4，
答：道路的宽应为4米．
22．已知关于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0．
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？
【解析】（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0是一元一次方程，
∴m2﹣1＝0，
解得m＝±1；
（2）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0是一元二次方程，
∴m2﹣1≠0，
解得m≠±1．
23．在实数范围内定义新运算“△”，其规则为：a△b＝a2﹣ab，根据这个规则，解决下列问题：
（1）求（x+2）△5＝0中x的值；
（2）证明：（x+m）△5＝0中，无论m为何值，x总有两个不同的值．
【解析】（1）由题意可得：（x+2）△5＝（x+2）2﹣5（x+2）＝0，
整理得：x2﹣x﹣6＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝3．
故x的值为﹣2或3；
（2）证明：由题意可得：（x+m）△5＝（x+m）2﹣5（x+m）＝0，
整理得：x2+（2m﹣5）x+m2﹣5m＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（2m﹣5）2﹣4（m2﹣5m）＝25＞0．
∴无论m为何值，方程x2+（2m﹣5）x+m2﹣5m＝0总有两个不相等的实数根，即无论m为何值，x总有两个不同的值．
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
【解析】（1）证明：∵Δ＝（k+1）2﹣4（2k﹣2）
＝k2+2k+1﹣8k+8
＝k2﹣6k+9
＝（k﹣3）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）原方程分解因式得：（x﹣2）[x﹣（k﹣1）]＝0，
∴x1＝2，x2＝k﹣1，
当等腰三角形的腰是2时，2+2＜5，不合题意，
∴等腰三角形的腰是5，
∴k﹣1＝5，
∴k＝6．
25．阅读理解：
在教材中，我们有学习到（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，又因为任何实数的平方都是非负数，所以（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab．例如，比较整式x2+4和4x的大小关系，因为x2+4﹣4x＝（x﹣2）2≥0，所以x2+4≥4x．请类比以上的解题过程，解决下列问题：
【初步尝试】比较大小：x2+1 ≥ 2x；9 ≥ 6x﹣x2．
【知识应用】比较整式5x2+2xy+10y2和（2x﹣y）2的大小关系，并请说明理由．
【拓展提升】比较整式2a2﹣4ab+4b2和2a﹣1的大小关系，并请说明理由．
【解析】【初步尝试】∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0，
∴x2+1≥2x，
∵9﹣（﹣x2+6x）
＝x2﹣6x+9
＝（x﹣3）2≥0，
∴9≥6x﹣x2，
故答案为：≥，≥；
【知识应用】5x2+2xy+10y2≥（2x﹣y）2；理由如下：
∵5x2+2xy+10y2﹣（2x﹣y）2
＝5x2+2xy+10y2﹣4x2+4xy﹣y2
＝x2+6xy+9y2
＝（x+3y）2≥0，
∴5x2+2xy+10y2≥（2x﹣y）2；
【拓展提升】2a2﹣4ab+4b2≥2a﹣1理由如下：
∵2a2﹣4ab+4b2﹣（2a﹣1）
＝a2﹣4ab+4b2+a2﹣2a+1
＝（a﹣2b）2+（a﹣1）2≥0，
∴2a2﹣4ab+4b2≥2a﹣1．
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第21章 一元二次方程（单元测试）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x20 B．x＝x2
C．（x﹣1）2＝（x+3）（x﹣2）+1 D．ax2+bx+c＝0
2．一元二次方程x2﹣9＝0的解是（ ）
A．x＝3 B．x1＝x2＝3
C．， D．x1＝3，x2＝﹣3
3．将方程2x2﹣12x+1＝0配方成（x﹣m）2＝n的形式，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝17 B．
C．（x﹣3）2＝17 D．
4．设x1为一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0较大的实数根，则（ ）
A．3＜x1＜4 B．2＜x1＜3 C．1＜x1＜2 D．0＜x1＜1
5．方程2x2﹣3x+1＝0根的符号是（ ）
A．两根一正一负 B．两根都是负数
C．两根都是正数 D．无法确定
6．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0的两根，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．x1+x2＞0 B．x1 x2＜0
C．x1≠x2 D．方程必有一正根
7．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A．6.2（1+x）2＝8.9
B．8.9（1+x）2＝6.2
C．6.2（1+x2）＝8.9
D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9
8．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2023﹣a﹣b的值为（ ）
A．﹣2022 B．2022 C．2023 D．2024
9．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别是m﹣1和2m+3，则的值为（ ）
A．16 B． C．25 D．或25
10．不论x、y是什么数，代数式x2+y2+2x﹣2y+7的值（ ）
A．总大于7 B．总不小于7 C．可能为负数 D．总不小于5
二、填空题：共8小题，每小题3分，共24分.
11．用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ．
12．方程x（x+4）＝0的解是 ．
13．已知a，b是一元二次方程x2+5x﹣3＝0的两个根，则的值为 ．
14．某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为 ．
15．若a是一元二次方程 x2+2x﹣3＝0 的一个根，则﹣2a2﹣4a的值是 ．
16．若一元二次方程a（x﹣m）2＝n 的两个根分别是﹣4与1，则方程a（x﹣m+2）2＝n的两个根分别是 ．
17．已知等腰三角形两边a，b，满足a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，则这个等腰三角形的周长为 ．
18．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19．选用适当的方法，解下列方程：
（1）2x2+5x+2＝0；
（2）（2x+3）2＝4（2x+3）；
（3）x2﹣2x．
（4）x2+5x+6＝0．
20．已知x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2+x+c2﹣8c﹣2＝0的一个根．
（1）求c．
（2）求此方程的另一个根．
21．如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？
22．已知关于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0．
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？
23．在实数范围内定义新运算“△”，其规则为：a△b＝a2﹣ab，根据这个规则，解决下列问题：
（1）求（x+2）△5＝0中x的值；
（2）证明：（x+m）△5＝0中，无论m为何值，x总有两个不同的值．
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
25．阅读理解：
在教材中，我们有学习到（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，又因为任何实数的平方都是非负数，所以（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab．例如，比较整式x2+4和4x的大小关系，因为x2+4﹣4x＝（x﹣2）2≥0，所以x2+4≥4x．请类比以上的解题过程，解决下列问题：
【初步尝试】比较大小：x2+1 ≥ 2x；9 ≥ 6x﹣x2．
【知识应用】比较整式5x2+2xy+10y2和（2x﹣y）2的大小关系，并请说明理由．
【拓展提升】比较整式2a2﹣4ab+4b2和2a﹣1的大小关系，并请说明理由．
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