数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积 课件（共25张ppt）

(共25张PPT)
1.1.2 空间向量的数量积
1.两个向量的夹角
B
A
O
B
B
有共同起点
①定义：∠AOB
②表示：<,>
③范围：[0，π]
2.数量积的定义
3.数量积的几何意义
θ
在方向上的投影
||与在方向上的
投影的积
4.数量积的运算律
(1)(λ)·＝____________；
(2)·＝____________；
(3)·(＋)=_____________.
λ(·)
·
·＋·
5.一个非常重要的性质
||2=2=·
求模即为求数量积
掌握空间向量的夹角的概念，培养数学抽象的核心素养．
掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，提升数学抽象的核心素养．
了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养．
能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算的核心素养.
学习目标
问题1:类比平面向量的数量积，你能得出空间向量的数量积相关知识？
平面向量的数量积
O
A
B
2.零向量与任意向量的数量积为0：
1.向量的数量积运算结果是一个数； “·”不可省略
3.求模：
4.空间向量的数量积的运算律：
(数量积不可约分)
(数量积不满足结合律)
如:
(数量积不可作商)
问题1:类比平面向量的数量积，你能得出空间向量的数量积相关知识？
追问1：什么是平面向量的夹角？你能类比平面向量给出空间向量夹角的概念吗？
由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义．
O
B
A
O
B
A
空间向量的夹角
特别地，零向量与任意向量的数量积为0．
空间向量的数量积
（1）0·a = （选择0还是0）.
（2）对于两个非零向量a，b，a⊥b a·b ＝_______.
（3）a·a＝_____或|a|＝_______.
（4）若a，b同向，则 a·b＝_______；若反向，则a·b＝_______.
（5）|a·b| ____ |a|·|b|
（6）若θ为a，b的夹角，则cos θ＝_______.
由平面向量性质类比空间向量的数量积的性质：
证明垂直关系
求空间向量的长度
求向量夹角的余弦值
【例1】如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：
【解】
问题2:在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影向量
b
a
A
B
A1
D
C
B1
b
a
.
O
N
M
M1
＝|a|cos〈a,b〉
作法1
作法2
追问1：在空间，向量a向向量b的投影有什么意义？
A
B
(1)
(2)
(3)
问3：类比平面向量数量积的运算律，空间向量数量积满足哪些运算律？
数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b), λ∈R
交换律 a·b＝b·a
分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c
平面向量数量积的运算律：
空间向量？
同样满足上述运算律！
A
O
B
C
分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c的证明
a
b
c
C’
A
O
B
C
a
b
c
C’
B’
分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c的证明
O
A
B
O
A
B
1.找角：两向量同起点
2.范围：
O
A
B
O
A
B
空间向量的数量积
由a·b = a·c， a·b－a·c ＝0，有a·(b－c)＝0.
或 a⊥(b－c).
从而有b－c ＝0即b＝c
O
A
B
C
不一定！
不能！
a·b＝k ＝a·c
向量没有除法运算!
不一定！两个向量的数量积为一个实数，(a·b)c和a(b·c)分别表示与向量c和向量a共线的向量，它们不一定相等.
②求线段长度：即求向量的模(目标向量用已知模和夹角的向量表示)
D'
C'
B'
D
A
B
C
A'
例题变式
【练习1】如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求
【解】
（1）能否利用空间向量的数量积证明空间中两条直线垂直？
（2）能否利用空间向量的数量积求出空间中异面直线所成角？
（3）能否利用空间向量的数量积解决更多的立体几何中的问题？

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2.
3.已知向量 ，满足||
1
课前热身
3.已知向量 ，满足||
m
n
g
l
回顾本节课的学习过程，你学到了什么？
1 数量积运算解决立体几何问题
(1) 求空间中两点间的距离或线段长度：求对应的向量的模
(2) 求空间中两条异面直线所成的角：求对应的两个向量的夹角
(3) 证明线线垂直问题：对应的两向量的数量积为零
2 类比平面向量的研究方法
类比
猜想
证明或转化
推广