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浙江省宁波市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（A）
一、单选题
1．（2023高二下·宁波期末）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高二下·宁波期末）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022·烟台模拟）已知点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为，则该抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高二下·宁波期末）已知平面向量，，当和垂直时，（ ）
A． B．22 C． D．25
5．（2023高二下·宁波期末）已知函数，若函数有9个零点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·湖北模拟）椭圆：有一特殊性质，从一个焦点射出的光线到达椭圆上的一点反射后，经过另一个焦点.已知椭圆的焦距为2，且，当时，椭圆的中心到与椭圆切于点的切线的距离为：（ ）
A．1 B． C． D．或
7．（2023高二下·宁波期末）已知函数，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023高二下·宁波期末）如图，直角梯形，，，，是边中点，沿翻折成四棱锥，则点到平面距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023高二下·宁波期末）根据某地3月5日到3月15日的每天最高气温与最低气温数据（单位：）绘制如下折线图，那么下列叙述正确的是（ ）
A．5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关
B．9号的最高气温与最低气温的差值最大
C．最高气温的众数为
D．5号到15号的最低气温的极差比最高气温的极差大
10．（2021高三上·沈阳月考）已知 ，且 则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023高二下·宁波期末）电子通讯和互联网中，信号的传输 处理和傅里叶变换有关.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和或余弦函数）的线性组合.例如函数的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，则（ ）
A．为周期函数，且最小正周期为
B．为奇函数
C．的图象关于直线对称
D．的导函数的最大值为7
12．（2023高二下·宁波期末）已知函数，若时，有，是圆周率，为自然对数的底数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象与轴有两个交点
B．
C．若，则
D．若，，，，，，则最大
三、填空题
13．（2022高三上·闵行模拟）已知集合，若，则 .
14．（2023高二下·宁波期末）圆心在原点且与直线相切的圆的方程为 .
15．（2023高二下·宁波期末）已知数列的各项均为正数，记为的前项和，若，，则使不等式成立的的最小值是 .
16．（2023高二下·宁波期末）如图，在四面体中，，，两两垂直，，以为球心，为半径作球，则该球的球面与四面体各面交线的长度和为 ．
四、解答题
17．（2023高二下·宁波期末）在图1中，四边形为梯形，，，，，过点A作，交于．现沿将折起，使得，得到如图2所示的四棱锥，在图2中解答下列两问：
（1）求四棱锥的体积；
（2）若F在侧棱上，，求证：二面角为直二面角．
18．（2023高二下·宁波期末）在平面四边形中，，，，.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，求的面积的取值范围.
19．（2023高二下·宁波期末）在中，角，，所对的边分别为，，若且．
（1）求的值；
（2）若且的面积为，求的周长．
20．（2023高二下·宁波期末）如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且、、、四点共面．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
21．（2023高二下·宁波期末）已知，．若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
22．（2021高三上·月考）已知函数 ．
（1）若函数 在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）如果函数 恰有两个不同的极值点 ，证明： ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】指数函数的概念与表示
【解析】【解答】因为，即，所以函数的值域是.
答案是：B.
【分析】利用指数函数的性质即可得解。
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】因为，
又因为-1所以"x<2"是“”的必要不充分条件.
故选：B.
【分析】解一元二次不等式，再证明充分性、必要性即可得解.
3．【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质；三角形中的几何计算
【解析】【解答】抛物线
的焦点
，
由
，可得
，不妨令
，
则 ，解之得 ，
则抛物线方程为
，其准线方程为
。
故答案为：B
【分析】利用抛物线的标准方程求出焦点F的坐标，再利用点P在抛物线上且横坐标为8结合代入法得出点P的纵坐标，进而得出点P的坐标，再结合三角形的面积公式和已知条件得出p的值，从而求出抛物线的标准方程，再结合抛物线的 标准方程确定准线的位置，进而得出抛物线的准线方程。
4．【答案】D
【知识点】平面向量的坐标运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】∵，
∴，
又∵，
∴，即，解得m=-15，
∴，
∴
∴，
故选：D
【分析】利用向量垂直求参数m，再利用数量积的坐标运算求值即可。
5．【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；一次函数的性质与图象；二次函数的图象
【解析】【解答】因为函数有9个零点，
所以函数的图像和函数的图像有9个交点，
因为函数，
所以：当-3≤x＜-1时，-5≤x-2＜-3，
当-1≤x＜1时，-5≤x-2-2＜-3，
函数的图像恒过定点（-1，0），
在平面直角坐标系中画出函数和函数的图像，
当x=3时，f(x)=1，当x=5时，f(x)=1，
由图像可得：若函数和函数的图像有9个交点，
则，即，
所以
故选：A
【分析】函数有9个零点，转化为函数和函数的图像有9个交点，结合函数图象求出k的取值范围。
6．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设过点的切线为，分别做于点，
做交轴于点，所得是的中位线，
设，入射角和反射角相等，则，
则
，
因为，当为上顶点时，为，
因为，，所以，
即，，
，
故答案为：C.
【分析】根据题意由直线与椭圆的位置关系，利用入射角和反射角的定义以及性质结合斜率的公式，整理化简计算出角的大小，再把结果代入到两角和的余弦公式计算出结果即可。
7．【答案】C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；一次函数的性质与图象；对数函数图象与性质的综合应用；分段函数的应用
【解析】【解答】由已知得：当时， ，
当时，
在同一坐标系中做出函数f(x)和的图像：
由图像可得不等式的解集为，
故选C
【分析】根据已知的解析式在同一坐标系中分别画出函数f(x)和的图像，根据图像求出不等式的解集。
8．【答案】B
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；平面的法向量；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】根据题意建立空间直角坐标系，如图：
可得：C(0，0，0)、B(1，0，0)、A(1，1，0)、E(0，1，0)
设点D的坐标为（0，b，c），由题意可得：0＜b＜2，0＜c≤1，
所以
设平面的法向量为，可得：
即
令z=1，则x=c，
所以平面的一个法向量为
点C到平面的距离d=
又因为0＜c≤1，
所以，当c=1时，等号成立，
所以距离d的最大值是，
故选：B.
【分析】根据已知条件，建立空间直角坐标系，设出点的坐标（0，b，c），求出平面的法向量，利用空间向量中点到面的距离公式，得到距离d关于参数c的函数，求函数的最大值（即距离的最大值）。
9．【答案】A,C
【知识点】众数、中位数、平均数；两个变量的线性相关
【解析】【解答】A、由折线图可知，5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关，故A正确。
B、由折线图可知，6号的最高气温与最低气温的差值最大，故B错误。
C、由折线图可知，最高气温的众数为27℃，故C正确。
D、由折线图可知，5号到15的最低气温的极差大约为15-4=11，最高气温的极差大约为27-15=12，故D错误。
答案是：AC
【分析】本题的四个选项，利用线性相关关系、众数、极差的概念，直接求解。
10．【答案】B,C
【知识点】基本不等式；不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A， (当且仅当 时取等号)，A不符合题意；
对于B， (当且仅当 时取等号)，B符合题意；
对于C， ，则 ，C符合题意；
对于D， ，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】 由已知结合基本不等式及相关结论、不等式的性质分别检验各选项，即可判断得答案.
11．【答案】B,C,D
【知识点】简单复合函数求导法则；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的周期性
【解析】【解答】A、∵，
∴π不是f(x)的周期，A错误.
B、∵f(x)的定义域为R，，
∴f(x)为奇函数，故B正确.
C、∵且f(x)为奇函数，
∴，
∴f(x)的图像关于直线对称，故C正确.
D、∵，
∴当x=2kπ（k∈Z）时，，
∴的最大值为7，故D正确.
答案是：BCD
【分析】A、由函数的周期性判断；
B、由函数的奇偶性判断；
C、由函数的对称性判断；
D、先求，计算最大值即可.
12．【答案】C,D
【知识点】指数函数单调性的应用；幂函数的单调性、奇偶性及其应用；简单复合函数求导法则；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】f(x)的定义域是，，
令得：x=e，
∴当0＜x＜e时，，单调递增，当x＞e时，，单调递减，
且时，，当时，，，，
∴作出函数的大致图像：
A、因为且x＞e时，，所以只有一个零点，故A错误.
B、若时， ，即有且仅有两个根，即函数与直线有且只有两个交点，由函数的图像可得：，故B错误.
C、由，，结合的图像可得：，，
∵在上单调递减，∴，
又∵，∴
又∵在上单调递增，∴，
综上，，故C正确.
D、∵e＜3＜π，
由指数函数的单调性可知：，
由幂函数的单调性可知：
∴可得：，
由e＜3＜π以及的单调性可得：，即，
由可得：，即，∴
同理可得：
综上可得：6个数中，最大值是，最小值是，故D正确.
答案是：CD
【分析】求出函数的导数，进而求出函数的单调区间，结合单调性，零点，极值，图像的变化趋势，画出函数的简图，根据简图判断A，B，C选项，结合指数函数以及幂函数的性质判断D选项。
13．【答案】{3，4，5}
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】因为，所以，即，则，于是。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合交集的运算法则，从而求出m的值，再利用并集的运算法则，从而得出集合A和集合B的并集。
14．【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题意得：点（0，0）到直线x+y-4=0的距离等于半径，
即，
所以圆的方程为
【分析】利用圆心到直线的距离等于半径，即可求出半径，进而得到圆的方程。
15．【答案】11
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】由可得：
，即，
又因为数列的各项均为正数，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
由，即，且，
所以n的最小值是11.
故填：11.
【分析】由可得：数列是等比数列，利用等比数列的求和公式求出，最后解不等式。
16．【答案】
【知识点】球内接多面体
【解析】【解答】由已知可得：，即△ABC是边长为2的等边三角形，
所以△ABC的高为，，
设点D到平面ABC的距离为d，
又因为，且，
即，解得：，
又因为，
所以以D为球心，以1为半径的球与平面ABC相交，交线是一个圆，且圆的半径为，
与平面ABD，平面ACD，平面BCD的交线为 个半径为1的圆的弧线，
所以交线的长度和为：
故答案是：
【分析】先求出点D到平面ABC的距离，判断球体与各个面的相交情况，再计算求解。
17．【答案】（1）解：在图1中，∵，∴，
又，∴，
又，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴平行四边形为菱形．
在图2中，连接，则，
又平面，
，∴平面，
∵平面，∴
∵，平面，
∴平面
（2）解：在图2中，以为原点，以所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系，则，，，，
设面的一个法向量为，
由
令，则，取
设面的一个法向量为，
由
令，则，取
所以，∴，从而二面角为直二面角
【知识点】组合几何体的面积、体积问题；直线与平面垂直的判定；空间向量的线性运算的坐标表示；平面的法向量；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】（1）运用立体几何知识，通过证明线面垂直得出四棱锥的高，再利用体积公式求解。
（2）建立空间直角坐标系，运用空间向量的坐标运算，求平面CEF和平面DEF的法向量，证明两个法向量互相垂直即可。
18．【答案】（1）解：在中，
由正弦定理可得，
所以，
又，
所以.
（2）解：解法一：由（1）可知，
，
因为为锐角，
所以，
所以
，
在中，由正弦定理得，
所以
，
，
因为，
且为锐角三角形，
所以，
所以，
所以
，
所以，
所以，
即，
所以的面积的取值范围为.
解法二：由（1）可知，
，
因为为锐角，所以，，
如图，作于，作于，交于，
所以，
，
所以，
又，
所以.
由图可知，
仅当在线段上（不含端点）时，为锐角三角形，
所以，即.
所以面积的取值范围为.
【知识点】解三角形；正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【分析】（1）利用正弦定理和同角三角函数的平方关系求解。
（2）解法一：△ABD中，∠ABD，线段BD的长度已经确定，利用正弦定理表示出AB，得到的表达式，利用△ABD为锐角三角形，得到的取值范围。
解法二：△ABD为锐角三角形，，先求出当时的，进而得到的取值范围。
19．【答案】（1）解：因为，
所以由正弦定理得，
所以，即．
因为且，
所以
所以
（2）解：因为3，
所以，即，
所以
又，
所以，则．
由余弦定理，得，
即．
所以的周长为．
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理及其公式变形求解。
（2）利用向量的线性运算，确定点D的位置，求得，利用（1）的结论和面积公式求出a，得到c的值，利用余弦定理求出b，进而得解。
20．【答案】（1）解：如图，连接，
因为几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，
所以，，，
因为，，
所以四边形为平行四边形，，，
因为平面，平面，
所以，
因为，所以平面，
因为因为平面，所以平面平面．
（2）解：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则、、、、，
，，，，
设平面的一个法向量为，
则，整理得，
令，则，
设平面的一个法向量为，
则，整理得，
令，则，
，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面的法向量；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用面面垂直的判断定理证明。
（2）利用空间向量坐标运算，平面与平面所成角的余弦值的计算公式求解。
21．【答案】解：由题可得，．
∵是的充分不必要条件，
∴是的真子集，
故有或，
解得，
因此，所求实数的取值范围为．
【知识点】集合关系中的参数取值问题；充分条件
【解析】【分析】充分不必要条件转化为两个集合之间的关系求解。
22．【答案】（1）解： 是 上是增函数，
，
，
设 则 ，
令 解得 ， 解得 ，
故 在 单调递减，在 单调递增，
，
（2）解：依题意可得： ，
， 是极值点，
∴ ，两式相减可得： ，
所证不等式等价于： ，不妨设 ，
两边同除以 可得： ，令 ，
所证不等式只需证明： ，
设 ，
，
由（1）可知：当 时， 恒成立，
成立，即 ，
可得： ，
在 单调递减， ，
原不等式成立即
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（1）利用函数 是 上是增函数，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数a的取值范围。
（2） 依题意可得： ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，再利用 是极值点，所以 ，两式相减可得： ，所证不等式等价于： ，不妨设 ，两边同除以 可得 ，令 ， ，所证不等式只需证明 ，设 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合当 时， 恒成立，从而利用不等式恒成立问题求解方法，从而证出不等式 成立。
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浙江省宁波市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（A）
一、单选题
1．（2023高二下·宁波期末）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的概念与表示
【解析】【解答】因为，即，所以函数的值域是.
答案是：B.
【分析】利用指数函数的性质即可得解。
2．（2023高二下·宁波期末）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】因为，
又因为-1所以"x<2"是“”的必要不充分条件.
故选：B.
【分析】解一元二次不等式，再证明充分性、必要性即可得解.
3．（2022·烟台模拟）已知点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为，则该抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质；三角形中的几何计算
【解析】【解答】抛物线
的焦点
，
由
，可得
，不妨令
，
则 ，解之得 ，
则抛物线方程为
，其准线方程为
。
故答案为：B
【分析】利用抛物线的标准方程求出焦点F的坐标，再利用点P在抛物线上且横坐标为8结合代入法得出点P的纵坐标，进而得出点P的坐标，再结合三角形的面积公式和已知条件得出p的值，从而求出抛物线的标准方程，再结合抛物线的 标准方程确定准线的位置，进而得出抛物线的准线方程。
4．（2023高二下·宁波期末）已知平面向量，，当和垂直时，（ ）
A． B．22 C． D．25
【答案】D
【知识点】平面向量的坐标运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】∵，
∴，
又∵，
∴，即，解得m=-15，
∴，
∴
∴，
故选：D
【分析】利用向量垂直求参数m，再利用数量积的坐标运算求值即可。
5．（2023高二下·宁波期末）已知函数，若函数有9个零点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；一次函数的性质与图象；二次函数的图象
【解析】【解答】因为函数有9个零点，
所以函数的图像和函数的图像有9个交点，
因为函数，
所以：当-3≤x＜-1时，-5≤x-2＜-3，
当-1≤x＜1时，-5≤x-2-2＜-3，
函数的图像恒过定点（-1，0），
在平面直角坐标系中画出函数和函数的图像，
当x=3时，f(x)=1，当x=5时，f(x)=1，
由图像可得：若函数和函数的图像有9个交点，
则，即，
所以
故选：A
【分析】函数有9个零点，转化为函数和函数的图像有9个交点，结合函数图象求出k的取值范围。
6．（2022·湖北模拟）椭圆：有一特殊性质，从一个焦点射出的光线到达椭圆上的一点反射后，经过另一个焦点.已知椭圆的焦距为2，且，当时，椭圆的中心到与椭圆切于点的切线的距离为：（ ）
A．1 B． C． D．或
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设过点的切线为，分别做于点，
做交轴于点，所得是的中位线，
设，入射角和反射角相等，则，
则
，
因为，当为上顶点时，为，
因为，，所以，
即，，
，
故答案为：C.
【分析】根据题意由直线与椭圆的位置关系，利用入射角和反射角的定义以及性质结合斜率的公式，整理化简计算出角的大小，再把结果代入到两角和的余弦公式计算出结果即可。
7．（2023高二下·宁波期末）已知函数，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；一次函数的性质与图象；对数函数图象与性质的综合应用；分段函数的应用
【解析】【解答】由已知得：当时， ，
当时，
在同一坐标系中做出函数f(x)和的图像：
由图像可得不等式的解集为，
故选C
【分析】根据已知的解析式在同一坐标系中分别画出函数f(x)和的图像，根据图像求出不等式的解集。
8．（2023高二下·宁波期末）如图，直角梯形，，，，是边中点，沿翻折成四棱锥，则点到平面距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；平面的法向量；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】根据题意建立空间直角坐标系，如图：
可得：C(0，0，0)、B(1，0，0)、A(1，1，0)、E(0，1，0)
设点D的坐标为（0，b，c），由题意可得：0＜b＜2，0＜c≤1，
所以
设平面的法向量为，可得：
即
令z=1，则x=c，
所以平面的一个法向量为
点C到平面的距离d=
又因为0＜c≤1，
所以，当c=1时，等号成立，
所以距离d的最大值是，
故选：B.
【分析】根据已知条件，建立空间直角坐标系，设出点的坐标（0，b，c），求出平面的法向量，利用空间向量中点到面的距离公式，得到距离d关于参数c的函数，求函数的最大值（即距离的最大值）。
二、多选题
9．（2023高二下·宁波期末）根据某地3月5日到3月15日的每天最高气温与最低气温数据（单位：）绘制如下折线图，那么下列叙述正确的是（ ）
A．5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关
B．9号的最高气温与最低气温的差值最大
C．最高气温的众数为
D．5号到15号的最低气温的极差比最高气温的极差大
【答案】A,C
【知识点】众数、中位数、平均数；两个变量的线性相关
【解析】【解答】A、由折线图可知，5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关，故A正确。
B、由折线图可知，6号的最高气温与最低气温的差值最大，故B错误。
C、由折线图可知，最高气温的众数为27℃，故C正确。
D、由折线图可知，5号到15的最低气温的极差大约为15-4=11，最高气温的极差大约为27-15=12，故D错误。
答案是：AC
【分析】本题的四个选项，利用线性相关关系、众数、极差的概念，直接求解。
10．（2021高三上·沈阳月考）已知 ，且 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】基本不等式；不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A， (当且仅当 时取等号)，A不符合题意；
对于B， (当且仅当 时取等号)，B符合题意；
对于C， ，则 ，C符合题意；
对于D， ，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】 由已知结合基本不等式及相关结论、不等式的性质分别检验各选项，即可判断得答案.
11．（2023高二下·宁波期末）电子通讯和互联网中，信号的传输 处理和傅里叶变换有关.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和或余弦函数）的线性组合.例如函数的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，则（ ）
A．为周期函数，且最小正周期为
B．为奇函数
C．的图象关于直线对称
D．的导函数的最大值为7
【答案】B,C,D
【知识点】简单复合函数求导法则；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的周期性
【解析】【解答】A、∵，
∴π不是f(x)的周期，A错误.
B、∵f(x)的定义域为R，，
∴f(x)为奇函数，故B正确.
C、∵且f(x)为奇函数，
∴，
∴f(x)的图像关于直线对称，故C正确.
D、∵，
∴当x=2kπ（k∈Z）时，，
∴的最大值为7，故D正确.
答案是：BCD
【分析】A、由函数的周期性判断；
B、由函数的奇偶性判断；
C、由函数的对称性判断；
D、先求，计算最大值即可.
12．（2023高二下·宁波期末）已知函数，若时，有，是圆周率，为自然对数的底数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象与轴有两个交点
B．
C．若，则
D．若，，，，，，则最大
【答案】C,D
【知识点】指数函数单调性的应用；幂函数的单调性、奇偶性及其应用；简单复合函数求导法则；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】f(x)的定义域是，，
令得：x=e，
∴当0＜x＜e时，，单调递增，当x＞e时，，单调递减，
且时，，当时，，，，
∴作出函数的大致图像：
A、因为且x＞e时，，所以只有一个零点，故A错误.
B、若时， ，即有且仅有两个根，即函数与直线有且只有两个交点，由函数的图像可得：，故B错误.
C、由，，结合的图像可得：，，
∵在上单调递减，∴，
又∵，∴
又∵在上单调递增，∴，
综上，，故C正确.
D、∵e＜3＜π，
由指数函数的单调性可知：，
由幂函数的单调性可知：
∴可得：，
由e＜3＜π以及的单调性可得：，即，
由可得：，即，∴
同理可得：
综上可得：6个数中，最大值是，最小值是，故D正确.
答案是：CD
【分析】求出函数的导数，进而求出函数的单调区间，结合单调性，零点，极值，图像的变化趋势，画出函数的简图，根据简图判断A，B，C选项，结合指数函数以及幂函数的性质判断D选项。
三、填空题
13．（2022高三上·闵行模拟）已知集合，若，则 .
【答案】{3，4，5}
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】因为，所以，即，则，于是。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合交集的运算法则，从而求出m的值，再利用并集的运算法则，从而得出集合A和集合B的并集。
14．（2023高二下·宁波期末）圆心在原点且与直线相切的圆的方程为 .
【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题意得：点（0，0）到直线x+y-4=0的距离等于半径，
即，
所以圆的方程为
【分析】利用圆心到直线的距离等于半径，即可求出半径，进而得到圆的方程。
15．（2023高二下·宁波期末）已知数列的各项均为正数，记为的前项和，若，，则使不等式成立的的最小值是 .
【答案】11
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】由可得：
，即，
又因为数列的各项均为正数，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
由，即，且，
所以n的最小值是11.
故填：11.
【分析】由可得：数列是等比数列，利用等比数列的求和公式求出，最后解不等式。
16．（2023高二下·宁波期末）如图，在四面体中，，，两两垂直，，以为球心，为半径作球，则该球的球面与四面体各面交线的长度和为 ．
【答案】
【知识点】球内接多面体
【解析】【解答】由已知可得：，即△ABC是边长为2的等边三角形，
所以△ABC的高为，，
设点D到平面ABC的距离为d，
又因为，且，
即，解得：，
又因为，
所以以D为球心，以1为半径的球与平面ABC相交，交线是一个圆，且圆的半径为，
与平面ABD，平面ACD，平面BCD的交线为 个半径为1的圆的弧线，
所以交线的长度和为：
故答案是：
【分析】先求出点D到平面ABC的距离，判断球体与各个面的相交情况，再计算求解。
四、解答题
17．（2023高二下·宁波期末）在图1中，四边形为梯形，，，，，过点A作，交于．现沿将折起，使得，得到如图2所示的四棱锥，在图2中解答下列两问：
（1）求四棱锥的体积；
（2）若F在侧棱上，，求证：二面角为直二面角．
【答案】（1）解：在图1中，∵，∴，
又，∴，
又，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴平行四边形为菱形．
在图2中，连接，则，
又平面，
，∴平面，
∵平面，∴
∵，平面，
∴平面
（2）解：在图2中，以为原点，以所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系，则，，，，
设面的一个法向量为，
由
令，则，取
设面的一个法向量为，
由
令，则，取
所以，∴，从而二面角为直二面角
【知识点】组合几何体的面积、体积问题；直线与平面垂直的判定；空间向量的线性运算的坐标表示；平面的法向量；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】（1）运用立体几何知识，通过证明线面垂直得出四棱锥的高，再利用体积公式求解。
（2）建立空间直角坐标系，运用空间向量的坐标运算，求平面CEF和平面DEF的法向量，证明两个法向量互相垂直即可。
18．（2023高二下·宁波期末）在平面四边形中，，，，.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，求的面积的取值范围.
【答案】（1）解：在中，
由正弦定理可得，
所以，
又，
所以.
（2）解：解法一：由（1）可知，
，
因为为锐角，
所以，
所以
，
在中，由正弦定理得，
所以
，
，
因为，
且为锐角三角形，
所以，
所以，
所以
，
所以，
所以，
即，
所以的面积的取值范围为.
解法二：由（1）可知，
，
因为为锐角，所以，，
如图，作于，作于，交于，
所以，
，
所以，
又，
所以.
由图可知，
仅当在线段上（不含端点）时，为锐角三角形，
所以，即.
所以面积的取值范围为.
【知识点】解三角形；正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【分析】（1）利用正弦定理和同角三角函数的平方关系求解。
（2）解法一：△ABD中，∠ABD，线段BD的长度已经确定，利用正弦定理表示出AB，得到的表达式，利用△ABD为锐角三角形，得到的取值范围。
解法二：△ABD为锐角三角形，，先求出当时的，进而得到的取值范围。
19．（2023高二下·宁波期末）在中，角，，所对的边分别为，，若且．
（1）求的值；
（2）若且的面积为，求的周长．
【答案】（1）解：因为，
所以由正弦定理得，
所以，即．
因为且，
所以
所以
（2）解：因为3，
所以，即，
所以
又，
所以，则．
由余弦定理，得，
即．
所以的周长为．
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理及其公式变形求解。
（2）利用向量的线性运算，确定点D的位置，求得，利用（1）的结论和面积公式求出a，得到c的值，利用余弦定理求出b，进而得解。
20．（2023高二下·宁波期末）如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且、、、四点共面．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）解：如图，连接，
因为几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，
所以，，，
因为，，
所以四边形为平行四边形，，，
因为平面，平面，
所以，
因为，所以平面，
因为因为平面，所以平面平面．
（2）解：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则、、、、，
，，，，
设平面的一个法向量为，
则，整理得，
令，则，
设平面的一个法向量为，
则，整理得，
令，则，
，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面的法向量；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用面面垂直的判断定理证明。
（2）利用空间向量坐标运算，平面与平面所成角的余弦值的计算公式求解。
21．（2023高二下·宁波期末）已知，．若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】解：由题可得，．
∵是的充分不必要条件，
∴是的真子集，
故有或，
解得，
因此，所求实数的取值范围为．
【知识点】集合关系中的参数取值问题；充分条件
【解析】【分析】充分不必要条件转化为两个集合之间的关系求解。
22．（2021高三上·月考）已知函数 ．
（1）若函数 在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）如果函数 恰有两个不同的极值点 ，证明： ．
【答案】（1）解： 是 上是增函数，
，
，
设 则 ，
令 解得 ， 解得 ，
故 在 单调递减，在 单调递增，
，
（2）解：依题意可得： ，
， 是极值点，
∴ ，两式相减可得： ，
所证不等式等价于： ，不妨设 ，
两边同除以 可得： ，令 ，
所证不等式只需证明： ，
设 ，
，
由（1）可知：当 时， 恒成立，
成立，即 ，
可得： ，
在 单调递减， ，
原不等式成立即
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（1）利用函数 是 上是增函数，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数a的取值范围。
（2） 依题意可得： ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，再利用 是极值点，所以 ，两式相减可得： ，所证不等式等价于： ，不妨设 ，两边同除以 可得 ，令 ， ，所证不等式只需证明 ，设 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合当 时， 恒成立，从而利用不等式恒成立问题求解方法，从而证出不等式 成立。
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