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21.2.2公式法解一元二次方程
人教版九年级上册
教材分析
公式法是在前面学的配方法的基础上学习的，对于任意的一元二次方程，只要将方程化为一般形式，代入一元二次方程的求根公式即可求解，它是所有一元二次方程的通用解法，它为进一步学习一元二次方程的简单应用起到铺垫作用。
教学目标
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.
2.会用公式法解一元二次方程.
3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.
4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
新知导入
（1）用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
（2）你能用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)吗？
我们继续学习另一种解一元二次方程的方法——公式法.
新知讲解
【问题】用配方法解一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0)？
二次项系数化为1，得
整理后，得
解：移项，得
配方，得
因为a≠0，所以4a2>0，式子b2－4ac的值需分情况讨论：
ax2+bx= c
x2+x=
x2+x+= +
(x+)2=
新知讲解
因为a≠0，所以4a2＞0. 式子ax2+bx+c=0的根有以下三种情况：
①当b2－4ac>0时，，方程有两个不等的实数根
即
新知讲解
②若b2－4ac=0
方程有两个相等的实数根
则 =0
直接开平方，得
x1=x2=﹣
x+=0
③若b2－4ac＜0，
则 ＜ 0
而x取任何实数都不能使 ，因此方程无实数根.
新知讲解
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac.
当Δ＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根；
当Δ＝0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
Δ＞0 方程有两个不等的实数根；
Δ＝0 方程有两个相等的实数根；
Δ＜0 方程无实数根.
新知讲解
一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
当b2－4ac ≥0时，它的根是：
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
x（ b2-4ac ≥0 ）
典例精析
解:(1)a=1,b=-4,c=-7
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0
方程有两个不等的实数根
=
即x1=,x2=
(2) a=2,b=- ,c=1
Δ=b2-4ac=(- )2-4×2×1=0
方程有两个相等的实数根
=
即x1=x2=
例2 用公式法解一元二次方程：
1）x2 -4x-7=0 2）2x2-2x+1=0
注意：a，b，c的符号
典例精析
3)5x2-3x=x+1 4)x2+17=8x
(3)移项得， 5x2-4x-1=0
a=5,b=- ,c=-1
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0
方程有两个不相等的实数根
=
即x1=,x2=-
(4)移项得， x2-8x+17=0
a=1,b=- ,c=17
Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4<0
方程无实数根
归纳总结
思考：运用公式法解一元二次方程时，有哪些注意事项？
步骤：先将方程化为一般形式，确定a,b,c的值；
计算判别式Δ=b2-4ac的值，判断方程是否有解；
若Δ≥0，利用求根公式计算方程的根，
若Δ<0，方程无实数根.
易错点：计算Δ的值时，注意a，b，c符号的问题.
典例精析
例3 求本章引言中的问题，雕像下部高度x(m)满足方程x2 +2x-4=0
解：用公式法解方程得
即
如果结果保留小数点后两位，那么x1≈1.24，x2≈－3.24（舍）
所以雕像下部高度应设计为约1.24m
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
B
A
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________．
4．对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 。
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
（1）解：T==；
（2）解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
则T=．
5. 已知T=
(1)化简T；
(2)若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值．
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.已知关于x的一元二次方程kx2+(k+3)x+3(k≠0)．求证：方程一定有两个实数根．
证明：方程kx2+(k+3)x+3(k≠0)，
其中a=k，b=k+3，c=3，
∴Δ=b2-4ac=(k+3)2-4×3k=k2-6k+9=(k-3)2，
∴方程有两个相等的实数根或者不相等的两个实数根，
即方程一定有两个实数根．
课堂练习
【综合拓展类作业】
7．已知关于x的一元二次方程x2－3x＋a－1＝0有实数根．
(1)求a的取值范围；
(2)当a为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．
课堂练习
课堂总结
公式法
用求根公式解一元二次方程的方法
一元二次方程根的判别式Δ= b2－4ac
求根公式
(b2－4ac≥0)
当b2－4ac>0时，方程有两个不等的实数根；
当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当b2－4ac<0时，方程无实数根.
板书设计
1.根的判别式Δ
2.一元二次方程的求根公式：
21.2.2公式法解一元二次方程
3.公式法解一元二次方程的步骤
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.方程x－5＝4x2化为一般形式ax2＋bx＋c＝0后，a，b，c的值分别为( )
A．4，1，5 B．1，4，5
C．4，1，－5 D．4，－1，5
D
2.以x＝为根的一元二次方程可能是( )
A．x2＋bx＋c＝0 B．x2＋bx－c＝0
C．x2－bx＋c＝0 D．x2－bx－c＝0
D
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3．关于x 的方程(a＋1)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足的条件是_________．
4．定义：如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则mn＝____.
a≥－5
－2
作业布置
【综合拓展类作业】
5.已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＝0.
(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
证明：Δ＝(k＋2)2－8k＝k2＋4k＋4－8k
＝k2－4k＋4＝(k－2)2≥0，
故方程总有实数根．
作业布置
【综合拓展类作业】
5.已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＝0.
(2)若等腰△ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方
程的两个根，求△ABC的周长．
解：解方程x2－(k＋2)x＋2k＝0，得x1＝k，x2=2.
∵△ABC为等腰三角形，
∴当a＝k＝1时，另一边长为2，此时不能构成三角形；
当a＝1，k＝2时，△ABC的周长为5.
谢谢
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分课时教学设计
第二课时《公式法解一元二次方程》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 公式法是在前面学的配方法的基础上学习的，对于任意的一元二次方程，只要将方程化为一般形式，代入一元二次方程的求根公式即可求解，它是所有一元二次方程的通用解法，它为进一步学习一元二次方程的简单应用起到铺垫作用。
学习者分析 学生已学习了一元一次方程 二元一次方程组等内容；已经经历将一些实际问题抽象成数与代数问题的过程及一元二次方程的建模过程；学习了用配方法解一元二次方程，掌握了数与代数的基本知识和基本技能和一定的运算技能。这些为本节进一步用配方法解一元二次方程提供了基础 学生在七年级和八年级中有过推理探索的经历，经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力，这些也构成了本课任务完成的活动经验基础。
教学目标 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程. 2.会用公式法解一元二次方程. 3.理解并会计算一元二次方程根的判别式. 4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
教学重点 掌握一元二次方程的求根公式，并能用它熟练地解一元二次方程。
教学难点 一元二次方程求根公式的推导过程。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 【提问】简述通过配方法解一元二次方程的步骤。 （2）你能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗？学生活动1： 学生思考，独立完成， 活动意图说明： 先回顾配方法解一元二次方程的步骤，为本节课的学习利用配方法推导一元二次方程求根公式做好 铺垫。环节二：新知探究教师活动2： 【问题】用配方法解一元二次方程： ax2+bx+c=0(a≠0)？ 根据化简后的结果，教师需提醒学生：因为a≠0，所以4a2>0，式子b2－4ac的值需分情况讨论： (x+)2= ① 1）若b2－4ac＞0，则 >0 将①直接开平方，得x+=± 方程有两个不相等的实数根 2）若b2－4ac=0，则 =0 将①直接开平方，得x+=0 方程有两个相等的实数根 x1=x2=﹣ 3）若b2－4ac＜0， 则 ＜ 0 而x取任何实数都不能使 ，因此方程无实数根。 由此可知，一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式。 通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=b2－4ac. [总结]由前面的推导过程，可知： 1）若△＞0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根。 2）若△= 0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根。 3）若△＜0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实根。学生活动2： 学生思考，独立完成 解：移项，得ax2+bx= c 二次项系数化为1，得x2+x= 配方，得x2+x+= + 整理后，得(x+)2= 活动意图说明：通过教师板演配方法解一元二次方程: ax2+bx+c=0的过程，学生再次巩固配方法 求解一元二次方程的方法，引导学生回顾已有的知识，主动参与到本节课的学习中来。再通过分情况 讨论，让学生理解如何通过根的判别式判别根的情况的方法。通过总结环节，引起学生的探究欲望 和学习兴趣，激发学生的学习热情。环节三：新知探究 教师活动3： 经过前面的推导过程，归纳与小结一元二次方程求根公式与公式法的概念： 当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根为形式，这个式子叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0的求根公式。 解一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以省略配方过程而直接求一元二次方程根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。学生活动3： 先由学生回答，老师帮助引导与完善 活动意图说明：学生通过观察配方法解一元二次方程: ax2+bx+c=0的过程，让学生理解一元二次 方程求根公式是如何推导而得出的，从而理解利用公式法求解一元二次方程的方法。环节四：典例精析教师活动4： 例1 1）x2 -4x-7=0 2）2x2-2x+1=0 3)5x2-3x=x+1 4)x2+17=8x学生活动4： 学生板演，然后师生共同纠错 活动意图说明：让学生加深对公式法求解一元二次方程方法的掌握。环节五：归纳总结 教师活动5： 【提问】简述通过公式法解一元二次方程的步骤。 1）将原方程化为一般形式，确定a、b、c的值 【小技巧】若系数是分数通常将其化为整数，方便计算。 2）求出b2-4ac的值，根据b2-4ac值的情况确定一元二次方程是否有解。 3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式。 【易错点】a、b、c的值代入求根公式时易遗漏前面的符号。 4）最后求出原方程的解。学生活动5： 先由学生回答，最后给出归纳的知识 活动意图说明：教师引导学生归纳公式法解一元二次方程的步骤及注意事项。使学生巩固对课堂 知识的理解和掌握，同时需重点强调：a、b、c的值代入求根公式时易遗漏前面的符号。环节六：典例精析教师活动6： 例3 求本章引言中的问题，雕像下部高度x(m)满足方程x2 +2x-4=0 学生活动6： 学生思考，积极回答，以小组为单位，通过探讨解方程 解：用公式法解方程得 即 如果结果保留小数点后两位，那么x1≈ 1.24，x2≈ －3.24（舍） 所以雕像下部高度应设计为约1.24m 活动意图说明：将学生放置在实际问题的背景下，激发学生的主动性和求知欲。让学生感受到 问题的存在。引导学生初步思考、回顾已有的知识，主动参与到本节课的学习中来。
板书设计 1.根的判别式Δ 2.一元二次方程的求根公式： 3.公式法解一元二次方程的步骤
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．用公式法解一元二次方程2x2＝3x＋1时，化方程为一般式当中的a，b，c依次为( ) A．2，－3，1 B．2，－3，－1 C．－2，－3，－1 D．－2，3，1 2．用公式法解方程3x2＋5x＋1＝0，正确的是( ) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 3．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________． 4．对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 。 选做题： 5. 已知T= (1)化简T； (2)若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值． 6.已知关于x的一元二次方程kx2+(k+3)x+3(k≠0)．求证：方程一定有两个实数根． 【综合拓展类作业】 7．已知关于x的一元二次方程x2－3x＋a－1＝0有实数根． (1)求a的取值范围； (2)当a为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.方程x－5＝4x2化为一般形式ax2＋bx＋c＝0后，a，b， c的值分别为( ) A．4，1，5 B．1，4，5 C．4，1，－5 D．4，－1，5 2.以x＝为根的一元二次方程可能是( ) A．x2＋bx＋c＝0 B．x2＋bx－c＝0 C．x2－bx＋c＝0 D．x2－bx－c＝0 选做题： 3．关于x 的方程(a＋1)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足的条件是_________． 4．定义：如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则mn＝____. 【综合拓展类作业】 5.已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＝0. (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； (2)若等腰△ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方 程的两个根，求△ABC的周长．
教学反思 1．充分利用了教材，在练习题与例题的编排上有所调整，通过质疑—猜想—类比—探索—归纳—总结出公式法，再让学生用公式法解方程，适时地参透了转化的数学思想。配合教学过程中的“温故” 环节，让学生再次明确a、b、c如何正确取值，减少了代入公式的错误环节。 2．在授课过程中，教师给学生留下了很大的思维空间，通过自己的亲自操作，运用探索发现法，让学生积极参与自主探究，合作交流，把主体地位返还给学生。无论是公式的推导，还是公式的应用，都是在教师的引导下，学生自己完成的，教师这样做，重视了知识的形成过程，在应用中又开拓了学生的视野，使学生的发散思维与应用技巧得到了锻炼。 3．除了重视巩固新知识，习题的编排上还是贴近中考，即注重了双基训练，又注重了能力的培养。 4.在后续检测中，出现了一个问题，有个别学生认为当Δ=0时，方程无实根。这还是在处理根的判别式的时候，落实不到位，练习有点少的缘故。
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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第二十一章
课标要求 “数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论具有一般性.数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力推理能力和模型观念，发展几何直观和运算能力。本章的具体要求：能根据二元一次方程组的特征，选择代入消元法或加减消元法解二元一次方程组；理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等；会将一元二次方程根的情况与一元二次方程根的判别式相联系；了解一元二次的根与系数的关系；知道利用一元二次方程的根与系数的关系可以解决一些简单的问题；能根据具体问题的实际意义，检验方程解得合理性，建立模型观念。
内容分析 “一元二次方程”主题单元结构包括一元二次方程的概念、解法和一元二次方程的应用。第一节研究一元二次方程的概念及一般形式；第二节研究用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；第三节研究一元二次方程的应用。一元二次方程是在学习了一元一次方程、二元一次方程组等的基础上进一步学习，是对以前实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，它也是一种数学建模的方法，同时又是以后学习一元二次不等式、二次函数等知识的基础，是学好高中数学的基础。此外，学习一元二次方程对其他学科有重要意义，因此，它在初中数学中占有重要的地位。结合学生的实际水平，采用探索学习方式，以类比发现法为主，讨论法、练习法为辅的教学方法，教学中力求体现“问题情境一数学模型一求解一解释应用”的模式，借助多媒体辅助教学指导学生通过观察直观形象的演示,从具体的问题情境中抽象出数学问题，经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性的解决问题，有效的发挥学生的思维能力。
学情分析 九年级的学生，在讲本节课之前，已经系统的学习了一元一次方程及相关概念，学习了整式、分式和二次根式，从知识结构上看他们已经具备了继续探一元二次方程的基础。这个阶段的学生自主探究和合作交流的能力很强，并且他们比较、分析、抽象和概括的能力也有一定的提高。但是通过近一阶段的教学，也发现很多问题：解一元一次方程、整式乘法、移项、去分母、去括号、分解因式、合并同类项、乘法公式的应用都还存在一问题，在本章知识的教学中，要加强学生计算能力的培养，巩固以前所学的知识。
单元目标 （一）教学目标1、联系一元一次方程、方程组和函数的基本知识，继续探索实际问题中的数量关系及其变化规律，经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型。2、了解一元二次方程及其相关概念，理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法。3、理解配方法的意义，用直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程(数字系数)，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想。4、掌握根的判别式的有关应用，理解一元二次方程两根与系数的关系。5、能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题，解决问题的意识和能力。6、经历在具体情境中估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力。（二）教学重点、难点教学重点：一元二次方程的四种解法:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及一元二次方程的实际应用。教学难点：列一元二次方程解决实际问题和转化思想的灵活运用。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数21.1 一元二次方程121.2 解一元二次方程421.3实际问题与一元二次方程1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务21.1一元二次方程通过一元一次方程的概念，探索归纳一元二次方程的概念，提高学生类比、归纳、总结的能力; .掌握一元二次方程的一般形式，正确识别一般形式中的二次项及其系数、一次项及其系数、常数项。学生能够根据概念判断出一元二次方程；正确指出一般形式中的二次项及其系数、一次项及其系数、常数项任务1.出示问题：一元一次方程的概念，一元一次方程的形式任务2.出示四个问题来探究一元二次方程任务3.步步追问，得出一元二次方程的概念任务4.出示例题任务5.归纳总结21.2.1配方法1.通过平方根的意义，解形如x2=p(p≥0)的方程，再通过数学转化的思想，解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程；2.掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤；通过配方法将一元二次方程变形，让学生进一步体会转化的思想，增强他们的数学应用意识和能力，激发学生学习的兴趣。会利用直接开平方法解一元二次方程；掌握利用配方法解一元二次方程的步骤，正确解出一元二次方程；掌握转化思想在解题中的应用。任务1：由实际问题得出直接开平方法解一元二次方程；任务2：探究配方法解一元二次方程的步骤；任务3：通过例题进一步理解掌握因式分解法；21.2.2公式法1.会用公式法解一元二次方程；2.理解用根的判别式判别根的情况；3.通过推导求根公式的过程，加强推理能力的训练，进一步发展逻辑思维能力， 体验类比、转化、降次的数学思想。会利用公式法解一元二次方程；掌握用判别式判断根的情况；会推导求根公式。任务1：由配方法推导出根的判别式；任务2：得出一元二次方程的求根公式任务3：通过例题掌握用公式法解一元二次方程。21.2.3因式分解法1.利用因式分解法解一元二次方程；2.能根据一元二次方程的特征，灵活选择一元二次方程的解法；3.通过学生讨论解一元二次方程的方法，理 解对于某些特殊的一元二次方程，利用因式分解法解起来较为简单，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度。让学生再次体会“降次”的思想，从而培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。理解因式分解法解一元二次方程的原理，体会“降次”方法的优势；能判断什么情况用因式分解法解一元二次方程简便；会利用因式分解法准确求一元二次方程的解。任务1：探究解方程的方法任务2：思考一元二次方程是如何降次的，得出因式分解法任务3：通过例题掌握用因式分解法解一元二次方程。21.2.4一元二次方程根与系数的关系1.掌握一元二次方程根与系数的关系；2.利用一元二次方程根与系数的关系进行简单计算；3.通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，掌握由特殊一般-特殊的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神。学生掌握一元二次方程根与系数的关系；会利用一元二次方程根与系数的关系解方程。任务1：思考从因式分解法还原到一般式得出根与系数的关系任务2：用求根公式验证根与系数的关系任务3：通过例题会用根与系数的关系求两根的和与积。21.3实际问题与一元二次方程能够利用一元二次方程解决有关实际问题；能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题，解决问题的意识和能力学生能找出题目的等量关系列出方程，并能注意解的合理性，进行取舍。任务1.传播问题任务2.平均增长率问题任务3.几何面积问题
《第二十一章 一元二次方程》单元教学设计
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