空间中的开放探索性问题探究[下学期]

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空间中的开放探索性问题探究
山东省嘉祥县第四中学 曾庆坤
例题几何的开放探索性问题，常常借助空间概念转化为平面几何有关问题的探究；
或借助空间概念转化为目标函数用不等式探究；或运动变化观念化归特殊的位置确定
解决，其关键是合理利用空间概念进行适当转化.
1 利用线面垂直的判定定理进行转化。
例1 如图 四棱锥 P-ABCD底面为正方形，，AB=2，PC与平面ABCD成450角，设M是PC上的动点，试问当M在何处时，才能使，证明你的结论.
解析：本题的思维突破点是：如何探究线面垂直？
利用定理转化为线线垂直，再转化为平面内两相交直线垂直，用平几知识解决.
由题设线面角的概念知，连接AC，，易求，PA=AC=.由三垂线定理知
，，如何寻求AM和面BDP内的另一条直线垂直？
注意立体几何的特点“空间问题平面化”和特殊性，取正方形的中心0，连接PO，
则PO和AM为面PAC内的两相交直线，为此，问题转化为M在何处时，平面内的直线PO
和AM垂直.将等腰直角三角形PAC移出，如左图，PA=AC，0为AC的中点，
作CH平行PA与AM延长线交于H点，由平面内的直线PO和AM垂直和平几易知，
，而三角形PAM和三角形CHM相似，
则，故M为PC的三分之二的等份点时.
2 利用三垂线定理进行转化。
例2 如图，已知矩形ABCD中，AB=1，BC=a,,问BC边上是否存在点Q，使得，并说明理由.
解析：连接AQ，由三垂线定理，问题化为平面内AQ和DQ的垂直问题.利用三角函数和不等式探求存在的条件.若AQ和DQ的垂直，设BQ=x,则QC=a-x,由三角知，，当且仅当，于是，时，存在两点Q使得；时，存在一点Q使得；时，不存在一点Q使得.
点评：本题化归为平几中的两直线垂直的探讨，其实质是以矩形一边a为直径的圆与对边交点是否存在的问题，注意a的变化，导致矩形的变化，主要是研究圆心到直线BC的距离1与半径的关系.
3 利用空间角的概念进行转化。
例3如图，直三棱柱AC1中，AA1=AB=AC，，M是CC1的中点，N是BC的中点.
⑴ 当P点在线段A1B1上运动时，判断异面直线PN和AM所成的角的大小是否变化，
试证明你的结论；⑵ 当P在线段A1B1上运动时，求直线PN和平面ABC所成角的最大值.
解析： ⑴ 三垂线定理的实质是将异面直线垂直的问题转换为相交垂直，为此，将PN向面ACC1A1上射影，注意到题设的特殊性，P在面ACC1A1上的射影为A1，而N在面ACC1A1上的射影恰为AC的中点Q，于是，问题化为正方形ACC1A1中，M，Q分别为AC，CC1的中点，A1Q和AM垂直的问题，但在平几中显然成立，故PN和AM所成的角的大小不变化，始终为900；
⑵ 三垂线法可做线面角，运动变化认识知，P和B1或A1重合时，线面角最大，易求最大值为.
点评：异面直线、线面角的大小的探索性问题，用运动变换的观念和空间概念，将问题化归为平几知识解决，突显“空间问题平面化”的特点.
例4三棱锥 P-ABC中，PA垂直于直角三角形ABC所在平面，,AP=AB=a,于E，于F，设，为面积的函数，求取最大值时，二面角A-PB-C的大小.
解析：由题设知E为直角三角形斜边PB的中点，,于E，于F，则PB，于是，为所求的平面角。由PA垂直于直角三角形ABC所在平面, ，用面面垂直的判定和性质定理知，， 而,再由面面垂直性质定理得，，EF=，直角三角形AEF的面积
当且仅当取等号，此时，为所求二面角的平面角的大小.
点评：本题系教材习题变通题，关键是目标函数用不等式确定最值，利用取等号的条件及平面角的概念求解，其中空间概念、定理起着决定性的作用。
4 利用折叠问题中的“不变量”探究解决。
例5已知二面角P—L-Q的大小为1200，在P内ABL于B，在Q内，CDL于D，AB=2，CD=3，BD=1，M为L上的动点，求AM+CM的最小值.
分析：本题实质为平面图形的折叠问题， 运用变化的观点认识点M，将二面角“铺平”化为平面展开图中两点的直线段的长，注意到折叠前后同一平面中的不变量，只需用二面角的平面角的定义构造棱的直截面RBNA，与二面角的大小无关，
简解：如图，平移CD至BN，设BR为铺平后的AB，则AM+CM的最小值，就是二面角铺平后的CR的长，此时有直角三角形CRQ， .
例6将正方形折成正四棱柱的侧面，正方形的对角线AC被折成折线AEFGC，则为定值，试求这个定值.
分析：定值的探究，把握折叠前后的不变量，利用空间概念添加辅助线，回归平几，借助三角知识探求定值.
简解：如图，设正方形边长为4， AC=，E、F、G为对角线AC的四等份点，折叠前后不变量EF=FG=，空间图形中如何算GE？仍然把握不变量“同一平面上”的特征，注意G、E的特殊位置且在对角面上，于是，过E在对角面上做EH⊥侧棱HD于H，HE和HG为不变量，借助平面图形可求得，EH=2， ，则EG=，而EG是可变量，在对角面上由直角三角形确定，由沟股定理可得，在等腰三角形FEG中，由余弦定理可得，，故为定值且为.
5 利用空间概念和定理添加辅助平面进行转化。
例7在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面SCD内及其边界上运动，并且保持，指出P点的轨迹（即说明动点在满足给定的条件下运动时所成的图形），并求动点P在运动中以P为顶点的三棱锥P-CDE的最大体积是正四棱锥S-ABCD的几分之几？
解析：由正四棱锥的特征，O为底面正方形的中心，由三垂线定理知，，则，于是，问题化为经过E、P的平面与三个相交的平面都相交且于AC垂直的辅助平面如何做的问题？注意E为中点，过E做EM和DB平行与AC交于F点，易知F、M分别为OC和CD的中点，于是，P、M、F、E确定平面与面SCD相交于N，且N为SC的中点，连接MN，易证，则MN为三角形SCD的中位线，即为动点P的轨迹.于是P在N处时，以P为顶点的三棱锥P-CDE的体积最大，此时，高的比值为，面积的比值为，故三棱锥P-CDE的最大体积是正四棱锥S-ABCD的体积的.
例8如图，斜三棱柱AC1中，，且若二面角A-B1B-C=300，在平面AA1B1B内找一点P，使三棱锥P-BB1C是正三棱锥.
分析：由二面角的平面角的定义添加棱的垂面，依正三棱锥的定义，取特殊点将问题化为平几解决.
简解：由题设的对称性，连B1C，取M为BB1的中点，连接CM，AM，由和AC垂直CB知，面CMA为BB1的垂面，，易知三角形BB1C为正三角形,且CM为正三角形BB1上的中线,而棱BB1的直截面CMA和侧面ABB1A1的交线为AM,于是,根据正三棱锥的定义,取O为正三角形BB1C的中心，在直接面ACM内做OP平行于AC，由于AC垂直于面CBB1，所以OP垂直于面BCB1，由正三棱锥的定义， P点为所找的点，使三棱锥P-BB1C是正三棱锥.
例9在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，，
F是PB上的任一点，G点在侧面PAD内及其边界上运动，并且保持，
指出G点的轨迹（即说明动点在满足给定的条件下运动时所成的图形），证明你的结论.
分析： 利用BC和AD平行的关系，由面面垂直的概念，只需构造边AD的直接面，
直接面内找满足题设的动点的轨迹，体现“空间问题平面化”求解的特点.
简解：由面面垂直的性质定理和题设，F在面ABCD内的射影恰在正方形ABCD的
对角线DB上，无妨设为E，连接FE，则EF垂直于面ABCD，过E作EG垂直AD于G，
连接GF，则AD垂直面GEF，由于BC和AD平行，则BC垂直平面GEF，即，
于是 ，随着F在PB上运动而变化，G的轨迹为线段AD.
A
M
O
D
P
C
B
P
A
C
O
M
H
P
A
B
C
D
Q
A
B
C
M
P
B1
C1
A1
N
Q
P
A
B
C
E
F
L
P
Q
A
B
C
D
R
N
M
A
E
F
G
C
A
E
F
G
C
H
H
S
A
B
C
D
M
E
N
P
O
A
B
C
A1
B1
C1
M
P
0
G
P
A
B
C
D
E
F
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