5.4函数的奇偶性 第1课时 函数奇偶性的概念 讲义（含答案）

编号：029 课题: §5.4.1 函数的奇偶性——第1课时 函数奇偶性的概念
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.结合具体函数，了解奇偶性概念和几何意义；
2.会根据函数奇偶性的概念判断函数的奇偶性；
3.解决一些奇偶函数的图象问题；
4.会利用函数奇偶性求值.
本节重点难点
重点：奇偶函数的图象问题；
难点：利用函数奇偶性求值．
学科素养目标
函数是“通过建立数学模型来刻画与研究世界”的典范，也是学习数学和研究数学的范例．学习“函数概念与基本初等函数I”（下面简称“函数” ）这一章，从观念上认识“函数” ，它是“语言、工具、应用”．它挑起了“万水千山”（整个高中数学），贯通了数学世界，迎接着广泛的实际问题．认识函数，就是认识它是解决许多实际问题的基本模型；认识函数，在于研究它的性质；认识函数，应明了它的根本价值在于应用，并揭示了它的“生长性”即如许许多多对数据都统一于一个函数式．
通过本章的学习，逐步培养学生的数学思维，养成准确、清晰、有条理地表述问题以及问题的解决过程的习惯，形成、提高数学表达和交流的能力，逐步地发展独立获取数学知识的能力，发展数学应用意识和创新意识，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度，进一步拓宽学生的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神．
教学过程
基础知识积累
1. 函数的奇偶性
(1)奇偶性:
奇偶性 偶函数 奇函数
条件 设函数y=f(x)的定义域为A,如果对于任意的x∈A,都有-x∈A
前提 f(-x)=_________ f(-x)= ________
结论 函数y=f(x)是偶函数 函数y=f(x)是奇函数
图象 特点 关于________对称 关于________对称
(2)本质:奇偶性是函数对称性的表示方法.
(3)应用:奇偶性是函数的“整体”性质,只有对其定义域内的每一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),才能说f(x)是奇(偶)函数.
【思考1】
具有奇偶性的函数,其定义域有何特点
【思考2】
请举例说明常见函数的奇偶性.
【课前小题演练】
题1．函数f(x)＝的图象关于(　　)
A．x轴对称 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线y＝x对称
题2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
题3．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于(　　)
A．－26 B．－18 C．－10 D．10
题4．若f(x)＝(ax＋1)(x－a)为偶函数，且函数y＝f(x)在x∈(0，＋∞)上是增函数，则实数a的值为(　　)
A．±1 B．－1 C．1 D．0
题5．函数f(x)＝|x＋1|－|x－1|为(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数也是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
题6．已知函数y＝f－x是偶函数，且f＝1，则f＝(　　)
A．－1 B．1 C．－3 D．3
题7（多选题）．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：① x∈R，f(－x)＝f(x)；② x1，x2∈(0，＋∞)，当x1≠x2时都有>0；③f(－1)＝0.下列选项成立的是(　　)
A．f(3)>f(－4)
B．若f(m－1)C．若>0，则x∈(－∞，－1)∪(0，1)
D． x∈R， M∈R，使得f(x)≤M
题8（多选题）．下列说法正确的是(　　)
A．f(x)＝|x＋1|＋|x－1|是奇函数
B．g(x)＝既不是奇函数也不是偶函数
C．F(x)＝f(x)f(－x)(x∈R)是偶函数
D．h(x)＝＋既是奇函数，又是偶函数
题9．已知a>－2且函数y＝3x＋b，x∈是奇函数，则a＋b＝________．
【解析】因为函数y＝3x＋b，x∈是奇函数，则关于原点对称，可得a＝2，且有－3x＋b＝－，可得b＝0，因此，a＋b＝2.
答案：2
题10．若函数f(x)是奇函数，则f(1＋)＋f＝________．
题11．设函数f(x)＝x2－4|x|＋3(x∈[－4，4]).
(1)求证：f(x)是偶函数；
(2)画出函数y＝|f(x)|的图象，指出函数f(x)的单调区间；(不需要证明)
(3)求函数|f(x)|的值域．
【课堂题组训练】
题12．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋x，则f(1)＋g(1)＝(　　)
A．1 B．3 C．－3 D．－1
题13．已知函数f(x)的图象关于原点对称，对于任意的x1，x2∈R，>0.若f(2m－6)＋f(n)＝0(m＞0，n＞0)，则mn的最大值为(　　)
A． B．9 C．5 D．6
题14（多选题）．对于函数f(x)＝(x∈R)，下列判断正确的是(　　)
A．f(－x)＋f(x)＝0
B．当m∈(0，1)时，方程f(x)＝m总有实数解
C．函数f(x)的值域为[－1，1]
D．函数f(x)的单调区间为(－∞，0)
题15．若函数f(x)＝(x＋a)为R上的奇函数，则a＝________．
题16．已知函数f为奇函数，当x∈时，
f＝x2＋mx，则x∈时，f＝________，若f＝－3，则m的值为________．
题17．已知函数f(x)＝x＋(a∈R，x≠0).
(1)讨论f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
题18．已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求p，q的值；
(2)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性．
【综合突破拔高】
题19．函数f(x)＝＋的奇偶性是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
题20．函数f(x)＝的奇偶性是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
题21．下列说法中正确的是(　　)
A．函数f(x)＝·与g(x)＝相等
B．反比例函数y＝在其定义域内是减函数
C．若函数f(x)的最大值为3，最小值为1，则f(x)的值域是[1，3]
D．若函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，则函数f是奇函数
题22．已知f(x)＝x3＋2x，则f(a)＋f(－a)的值是(　　)
A．0 B．－1 C．1 D．2
题23．函数f(x)＝x2－的图象大致为(　　)
题24（多选题）．下列函数中是偶函数的有(　　)
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝|x|＋1
C．f(x)＝ D．f(x)＝x＋
题25（多选题）．下列函数中，既是奇函数又是减函数的为(　　)
A．y＝－x B．y＝－x2 C．y＝ D．y＝－x|x|
题26(多选题)．已知定义在R上的函数h(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：① x∈R，h(－x)＝h(x)；② x1，x2∈(0，＋∞)，当x1≠x2时，都有>0；③h(－3)＝0.
则下列选项成立的是 (　 　)
A．h(5)>h(－6) B．若>0，则x∈(－∞，－2)∪∪(4，＋∞)
C．若h(2a－1)题27．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋＋5，满足f(－3)＝2，则f(3)的值为________．
题28．设函数f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上满足f(－x)＋f(x)＝0，在(0，＋∞)上对任意实数x1≠x2都有(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0成立，又f(－3)＝0，则(x－1)f(x)<0的解是________．
题29．设f(x)为定义在上的偶函数，且f(x)在上为增函数，则f，f，f的大小顺序是________．
题30．已知f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，
(1)求f(－1)；(2)求f(x)的解析式．
题31．设函数f(x)＝为奇函数，求实数a的值．
编号：029 课题: §5.4.1 函数的奇偶性——第1课时 函数奇偶性的概念
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.结合具体函数，了解奇偶性概念和几何意义；
2.会根据函数奇偶性的概念判断函数的奇偶性；
3.解决一些奇偶函数的图象问题；
4.会利用函数奇偶性求值.
本节重点难点
重点：奇偶函数的图象问题；
难点：利用函数奇偶性求值．
学科素养目标
函数是“通过建立数学模型来刻画与研究世界”的典范，也是学习数学和研究数学的范例．学习“函数概念与基本初等函数I”（下面简称“函数” ）这一章，从观念上认识“函数” ，它是“语言、工具、应用”．它挑起了“万水千山”（整个高中数学），贯通了数学世界，迎接着广泛的实际问题．认识函数，就是认识它是解决许多实际问题的基本模型；认识函数，在于研究它的性质；认识函数，应明了它的根本价值在于应用，并揭示了它的“生长性”即如许许多多对数据都统一于一个函数式．
通过本章的学习，逐步培养学生的数学思维，养成准确、清晰、有条理地表述问题以及问题的解决过程的习惯，形成、提高数学表达和交流的能力，逐步地发展独立获取数学知识的能力，发展数学应用意识和创新意识，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度，进一步拓宽学生的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神．
教学过程
基础知识积累
1. 函数的奇偶性
(1)奇偶性:
奇偶性 偶函数 奇函数
条件 设函数y=f(x)的定义域为A,如果对于任意的x∈A,都有-x∈A
前提 f(-x)=___ f(x)__ f(-x)= ___-f(x)___
结论 函数y=f(x)是偶函数 函数y=f(x)是奇函数
图象 特点 关于__ y轴__对称 关于__原点___对称
(2)本质:奇偶性是函数对称性的表示方法.
(3)应用:奇偶性是函数的“整体”性质,只有对其定义域内的每一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),才能说f(x)是奇(偶)函数.
【思考1】
具有奇偶性的函数,其定义域有何特点
提示:定义域关于原点对称.
【思考2】
请举例说明常见函数的奇偶性.
1.（为常数）.当时，函数既是奇函数，又是偶函数.
2.正比例函数与反比例函数都是奇函数.
3.函数与均为偶函数.
4.分段函数是奇函数.
【课前小题演练】
题1．函数f(x)＝的图象关于(　　)
A．x轴对称 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线y＝x对称
【解析】选B.易证明此函数为奇函数，故图象关于原点对称．
题2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
【解析】选A.因为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，所以由f(－x)＝f(x)，得b＝0.
所以g(x)＝ax3＋cx.所以g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．
题3．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于(　　)
A．－26 B．－18 C．－10 D．10
【解析】选A.令g(x)＝x5＋ax3＋bx，
函数f(x)的定义域为R.
因为对于任意x∈R，都有－x∈R，且g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．
又因为f(x)＝g(x)－8，所以f(－2)＝g(－2)－8＝10 g(－2)＝18.所以g(2)＝－18.
所以f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.
题4．若f(x)＝(ax＋1)(x－a)为偶函数，且函数y＝f(x)在x∈(0，＋∞)上是增函数，则实数a的值为(　　)
A．±1 B．－1 C．1 D．0
【解析】选C.因为f(x)＝(ax＋1)(x－a)＝ax2＋(1－a2)x－a为偶函数，所以1－a2＝0.所以a＝±1.当a＝1时，f(x)＝x2－1，在(0，＋∞)上是增函数，满足条件；当a＝－1时，f(x)＝－x2＋1，在(0，＋∞)上单调递减，不满足条件．
题5．函数f(x)＝|x＋1|－|x－1|为(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数也是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
【解析】选A.f(x)的定义域为R，
对于任意x∈R，f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．又f(－1)＝－2，f(1)＝2，
f(－1)≠f(1)，所以f(x)不是偶函数．
题6．已知函数y＝f－x是偶函数，且f＝1，则f＝(　　)
A．－1 B．1 C．－3 D．3
【解析】选C.由于函数y＝f－x是偶函数，则
f＋2＝f－2，故f＝f－4＝－3.
题7（多选题）．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：① x∈R，f(－x)＝f(x)；② x1，x2∈(0，＋∞)，当x1≠x2时都有>0；③f(－1)＝0.下列选项成立的是(　　)
A．f(3)>f(－4)
B．若f(m－1)C．若>0，则x∈(－∞，－1)∪(0，1)
D． x∈R， M∈R，使得f(x)≤M
【解析】选ACD.由①②知：f(x)在R上为偶函数；在(0，＋∞)上单调递减，即在(－∞，0)上单调递增；x∈(－1，1)时f(x)>0，x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时f(x)<0，最大值f(x)max＝f(0).所以对于A：
f(3)＝f(－3)>f(－4)，故正确；对于B：f(m－1)2或m－1<－2，即m>3或m<－1，故错误；对于C：当>0时，有x∈(－∞，－1)∪(0，1)，故正确；对于D：R上函数f(x)的图象是连续不断，可知 M＝f(x)max＝f(0)，使 x∈R有f(x)≤M，故正确．
题8（多选题）．下列说法正确的是(　　)
A．f(x)＝|x＋1|＋|x－1|是奇函数
B．g(x)＝既不是奇函数也不是偶函数
C．F(x)＝f(x)f(－x)(x∈R)是偶函数
D．h(x)＝＋既是奇函数，又是偶函数
【解析】选CD.对于A项，因为f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，A错误；
对于B项，由1－x2≥0，得－1≤x≤1，关于原点对称．
所以g(x)＝＝＝，
满足g(－x)＝－g(x)，故g(x)是奇函数，B项错误；
对于C项，因为F(x)＝f(x)f(－x)，
所以F(－x)＝f(－x)f(x)＝F(x)(x∈R)，
所以F(x)＝f(x)f(－x)是偶函数，C项正确；
对于D项，由解得x＝±1.
故函数h(x)的定义域为{－1，1}，且h(x)＝0，
所以h(x)既是奇函数，又是偶函数，D项正确．
题9．已知a>－2且函数y＝3x＋b，x∈是奇函数，则a＋b＝________．
【解析】因为函数y＝3x＋b，x∈是奇函数，则关于原点对称，可得a＝2，且有－3x＋b＝－，可得b＝0，因此，a＋b＝2.
答案：2
题10．若函数f(x)是奇函数，则f(1＋)＋f＝________．
【解析】＝＝－(1＋).
因为f(x)是奇函数，
所以f＝f[－(1＋)]＝－f(1＋).
所以f(1＋)＋f＝0.
答案：0
题11．设函数f(x)＝x2－4|x|＋3(x∈[－4，4]).
(1)求证：f(x)是偶函数；
(2)画出函数y＝|f(x)|的图象，指出函数f(x)的单调区间；(不需要证明)
(3)求函数|f(x)|的值域．
【解析】(1)函数的定义域关于原点对称，
f(－x)＝(－x)2－4|－x|＋3＝x2－4|x|＋3
＝f(x)，则f(x)是偶函数．
(2)由f(x)＝x2－4|x|＋3＞0得|x|＞3或|x|＜1，即y＝|f(x)|
＝
则对应的图象如图：
由图象知函数的增区间为[－3，－2]，[－1，0]，[1，2]，[3，4]，减区间为[－4，－3)，(－2，－1)，(0，1)，(2，3).
(3)当x＝0或x＝4或x＝－4时，函数|f(x)|取得最大值为|f(0)|＝3，函数的最小值为0，即函数|f(x)|的值域为[0，3].
【课堂题组训练】
题12．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋x，则f(1)＋g(1)＝(　　)
A．1 B．3 C．－3 D．－1
【解析】选D.由f(x)－g(x)＝x3＋x2＋x，将x替换成－x，得f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2－x.
因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，则f(x)＝f(－x)，g(－x)＝－g(x)，
所以f(x)＋g(x)＝－x3＋x2－x，再令x＝1，计算可得f＋g＝－1.
题13．已知函数f(x)的图象关于原点对称，对于任意的x1，x2∈R，>0.若f(2m－6)＋f(n)＝0(m＞0，n＞0)，则mn的最大值为(　　)
A． B．9 C．5 D．6
【解析】选A.由题意知f(x)是奇函数，且在R上单调递增．又f(2m－6)＋f(n)＝0，
所以f(2m－6)＝－f(n)＝f(－n)，
所以2m－6＝－n，所以2m＋n＝6.
所以≥2mn，即mn≤，
当且仅当2m＝n＝3时，等号成立．
所以mn的最大值为.
题14（多选题）．对于函数f(x)＝(x∈R)，下列判断正确的是(　　)
A．f(－x)＋f(x)＝0
B．当m∈(0，1)时，方程f(x)＝m总有实数解
C．函数f(x)的值域为[－1，1]
D．函数f(x)的单调区间为(－∞，0)
【解析】选AB.f(－x)＋f(x)＝＋＝0，故A正确；因为－≤x≤，
所以－1<－≤≤<1，所以f(x)的值域为(－1，1)，因此当m∈(0，1)时，方程f(x)＝m总有实数解，故B正确；故C错误；
f(x)＝，x≥0时，
f(x)＝＝1－，
所以f在上单调递增；由f(－x)＋f(x)＝0知f为奇函数，
所以函数f在上也单调递增，且在x＝0时连续，故f的单调增区间为(－∞，＋∞)，故D错误．
题15．若函数f(x)＝(x＋a)为R上的奇函数，则a＝________．
【解析】因为f(x)＝(x＋a)为R上的奇函数，所以f(0)＝a×＝a＝0，此时f(x)＝x，所以f(－x)＝－x＝－x＝
－f(x)，即函数f(x)＝x是奇函数，所以a＝0满足题意．
答案：0
题16．已知函数f为奇函数，当x∈时，
f＝x2＋mx，则x∈时，f＝________，若f＝－3，则m的值为________．
【解析】设x>0，则－x<0，所以f(－x)＝2＋m＝x2－mx，
又函数f为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝
－x2＋mx，
即x∈时，f(x)＝－x2＋mx，又f＝－3，所以－4＋2m＝－3，解得m＝.
答案：－x2＋mx　　
题17．已知函数f(x)＝x＋(a∈R，x≠0).
(1)讨论f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
【解析】(1)根据题意，对于函数f(x)＝x＋，
若a＝0，则f(x)＝x，易得f(x)为奇函数，
若a≠0，则f(x)＝x＋，其定义域为{x|x≠0}，
f(－x)＝－x＋，有f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)，f(x)为非奇非偶函数；
(2)根据题意，当x≥1，则有f(x)＝x＋，
设1≤x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)，
若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，
则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＜0，
又由1≤x1＜x2，则x1－x2＜0，
则有＞0，即x1x2－a＞0，必有a≤1，
故a的取值范围为(－∞，1].
题18．已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求p，q的值；
(2)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性．
【解析】(1)由奇函数定义，得f(－x)＝－f(x)，
即＝－.
所以－3x＋q＝－3x－q，所以2q＝0，所以q＝0.
又f(2)＝，所以＝，
解得p＝2，所以p＝2，q＝0.
(2)f(x)＝＝.设1f(x1)－f(x2)＝(x1＋－x2－)
＝
＝(x1－x2)·.
因为11，
所以(x1－x2)·<0，即f(x1)所以f(x)在x∈(1，＋∞)上是增函数．
【综合突破拔高】
题19．函数f(x)＝＋的奇偶性是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
【解析】选D.由得x2＝1，即x＝±1.
因此函数的定义域为{－1，1}，因为对任意x∈{－1，1}，都有－x∈{－1，1}，又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
题20．函数f(x)＝的奇偶性是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
【解析】选A.函数f(x)的定义域为R，
因为对于任意的x∈R都有－x∈R，且f(－x)＝
即f(－x)＝
于是有f(－x)＝－f(x).所以f(x)为奇函数．
题21．下列说法中正确的是(　　)
A．函数f(x)＝·与g(x)＝相等
B．反比例函数y＝在其定义域内是减函数
C．若函数f(x)的最大值为3，最小值为1，则f(x)的值域是[1，3]
D．若函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，则函数f是奇函数
【解析】选D.A.因为函数f(x)与g(x)的定义域前者为，后者为∪，则两个函数不相等，说法不正确．
B．取x1＝－1，x2＝1，则y1＝－1，y2＝1，显然x1C．若f(x)是分段函数，则其值域不一定是，说法不正确．
D．若函数y＝f(x)的图象关于点对称，则函数y＝f(x)向左平移1个单位得到y＝f(x＋1)的图象关于原点对称，所以f(x＋1)是奇函数，说法正确．
题22．已知f(x)＝x3＋2x，则f(a)＋f(－a)的值是(　　)
A．0 B．－1 C．1 D．2
【解析】选A.因为f(－x)＝－x3－2x＝－f(x)，所以函数为奇函数，则f(a)＋f(－a)＝0.
题23．函数f(x)＝x2－的图象大致为(　　)
【解析】选D.函数f(x)的定义域为且，关于原点对称，
因为f＝(－x)2－＝x2－＝f(x)，所以f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，故排除选项A，B，当x>0时，f(x)＝x2－，
由y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减，
可得f(x)＝x2－在(0，＋∞)上单调递增，排除选项C.
题24（多选题）．下列函数中是偶函数的有(　　)
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝|x|＋1
C．f(x)＝ D．f(x)＝x＋
【解析】选BC.对于A，f(－x)＝－x3＝－f(x)，则为奇函数；
对于B，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，则为偶函数；
对于C，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝＝＝
f(x)，则为偶函数；
对于D，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
f(－x)＝－x－＝－f(x)，则为奇函数．
题25（多选题）．下列函数中，既是奇函数又是减函数的为(　　)
A．y＝－x B．y＝－x2 C．y＝ D．y＝－x|x|
【解析】选AD.A项，函数y＝－x既是奇函数又是减函数；
B项，y＝－x2是偶函数，故B项错误；
C项，函数y＝是奇函数，但是y＝在x∈(－∞，0)或(0，＋∞)上单调递减，在定义域上不具有单调性，故C项错误；
D项，函数y＝－x|x|可化为y＝
其图象如图：
故y＝－x|x|既是奇函数又是减函数，故D项正确．
【光速解题】分别判断4个选择项的奇偶性，排除B，再判断A，C，D的单调性，排除C.
题26(多选题)．已知定义在R上的函数h(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：① x∈R，h(－x)＝h(x)；② x1，x2∈(0，＋∞)，当x1≠x2时，都有>0；③h(－3)＝0.
则下列选项成立的是 (　 　)
A．h(5)>h(－6) B．若>0，则x∈(－∞，－2)∪∪(4，＋∞)
C．若h(2a－1)【解析】选CD.定义在R上函数h(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：① x∈R，h(－x)＝h(x)，说明函数是偶函数，满足h(x)＝h()；② x1，x2∈(0，＋∞)，当x1≠x2时，都有>0，说明函数在x∈上是增函数；
③h(－3)＝0＝h，所以h(5)若>0，又h(x)＝h，或，
则或，解得x∈∪(4，＋∞)，选项B不正确；
若h(2a－1)因为定义在R上的函数h(x)的图象是连续不断的，且在x∈(0，＋∞)上单调递增，所以h(x)min＝h(0)，所以对 x∈R，只需M≤h(0)即可，故选项D正确．
题27．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋＋5，满足f(－3)＝2，则f(3)的值为________．
【解析】因为f(x)＝ax3＋bx＋＋5，所以f(－x)＝－ax3－bx－＋5，
即f(x)＋f(－x)＝10.
所以f(－3)＋f(3)＝10，又f(－3)＝2，所以f(3)＝8.
答案：8
题28．设函数f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上满足f(－x)＋f(x)＝0，在(0，＋∞)上对任意实数x1≠x2都有(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0成立，又f(－3)＝0，则(x－1)f(x)<0的解是________．
【解析】由函数f(x)定义域及f(－x)＋f(x)＝0，可知函数f(x)为奇函数，
因为f(x)在(0，＋∞)上对任意实数x1≠x2都有(x1－x2)(f(x1)－
f(x2))>0成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，又函数f(x)为奇函数，所以函数f(x)在(－∞，0)为增函数，又f(－3)＝0，则f(3)＝0.
作出函数示意图如图所示：
(x－1)f(x)<0 或，根据f(x)的图象可知(x－1).
f(x)<0的解为(－3，0)∪(1，3).
答案：∪
题29．设f(x)为定义在上的偶函数，且f(x)在上为增函数，则f，f，f的大小顺序是________．
【解析】因为f(x)为偶函数，所以f＝f，f＝f.
又f(x)在上为增函数，所以f所以f答案：f>f>f
题30．已知f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，
(1)求f(－1)；(2)求f(x)的解析式．
【解析】(1)因为函数f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－(－2×12＋3×1＋1)＝－2.
(2)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是奇函数，则f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝2x2＋3x－1.当x＝0时，f(－0)＝－f(0)，则f(0)＝
－f(0)，即f(0)＝0.所以f(x)的解析式为
f(x)＝
题31．设函数f(x)＝为奇函数，求实数a的值．
【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－.
显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.
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