2022-2023学年山东省淄博市周村区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省淄博市周村区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2. 如果，那么的值是( )
A. B. C. D.
3. 如图，在中，，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
4. 如图，，相交于点，且如果，，那么的值是( )
A. B. C. D.
5. 如图，平行四边形中，点为中点，若的面积为，则的面积为( )
A. B. C. D.
6. 如图，在中，点在上一点，下列条件中，能使与相似的是( )
A. B.
C. D.
7. 如图，在矩形中，，，点是的中点，于点，则等于( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图，在中，，高，正方形一边在上，点，分别在，上，交于点，则正方形的面积为( )
A. B. C. D.
9. 如图，在中，，在边上截取，连接，若点恰好是线段的一个黄金分割点，则的度数是( )
A. B. C. D.
10. 如图，已知矩形的顶点，分别落在轴，轴上，，，则点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
11. 如图，在中，，放置边长分别为，，的三个正方形，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
12. 如图，和表示两根直立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，与相交于点，已知，，则点离地面的高度为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
13. 计算的结果是______．
14. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若：：，则与的周长比是______．
15. 若关于的方程有一个根为，则另一个根为______ ．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，直线与轴，轴分别交于点，，点是直线上的一个动点，则线段的最小值为______ ．
17. 如图，线段、的端点都在正方形网格的格点上，它们相交于点若每个小正方形的边长都是，则的值是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
计算：
；
．
19. 本小题分
解方程：
；
．
20. 本小题分
已知是坐标原点，，的坐标分别为，．
画出绕点顺时针旋转后得到的标注顶点字母名称；
在轴的左侧以为位似中心作的位似图形使与位似比为：，标注顶点字母名称；
直接写出的面积：______ ．
21. 本小题分
如图，在中，，点在上，，过点作，交的延长线于点．
求证：∽；
如果，，求的长．
22. 本小题分
如图，将等边三角形折叠，使点落在边上的点处不与，重合折痕为．
求证：∽；
若，，求的长．
23. 本小题分
如图，中，点在线段上，点在线段延长线上，且，交直线于点，交直线于点，．
求证：∽；
图中是否存在与相等的线段？若存在，请找出，并证明；若不存在，说明理由．
24. 本小题分
如图，为正方形对角线上的一点，连接并延长交于点，过作分别交，于，．
如图，求证：；
如图，点与点关于直线对称，连接并延长交直线于点，连接．
设的度数为，求的度数；
猜想与之间的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．是最简二次根式，因此选项A符合题意；
B.，因此选项B不符合题意；
C.，因此选项C不符合题意；
D.，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可．
本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是正确解答的前提．
2.【答案】
【解析】解：，
，
故选：．
利用比例的性质，进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，，，，
，
，
解得．
故选C．
根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．
本题考查平行线分线段成比例．
4.【答案】
【解析】解：，
∽，
，
即，
．
故选：．
根据相似三角形的判定方法，由可判断∽，然后利用相似比可求出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．
5.【答案】
【解析】解：四边形为平行四边形，
，，
，，
∽，
点为中点，
，即，
的面积为，
，即，
解得：；
故选：．
根据题意易证∽，再根据点为中点得出相似比，最后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出的面积．
本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，相似三角形面积比等于相似比的平方．
6.【答案】
【解析】解：选项A、、的条件无法判断与相似．
正确答案是D理由如下：
，
，，
∽两边成比例夹角相等的两个三角形相似．
故选：．
根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似，即可判断．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
7.【答案】
【解析】解：，
，
，，
∽，
，
，，是的中点，
，
，
解得：．
故选：．
根据相似三角形的判定与性质得出∽，得出，进而得出答案．
此题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，根据已知得出∽是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：设正方形的边长，
四边形是正方形，
，，
∽，
是的高，
，
四边形是矩形，
，
∽，
相似三角形对应边上的高的比等于相似比，
，，
，
，
解得：，
正方形的面积为．
故选：．
设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出∽，根据相似三角形的性质计算即可得解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了黄金分割，相似三角形的判定与性质，
根据黄金分割的定义得到，而，则，根据相似三角形的判定得∽，则，设，则，，根据三角形外角性质得，所以，然后根据三角形内角和定理得到，再解方程即可．
【解答】
解：点是线段的一个黄金分割点，
，
，
，
即：：，
而，
∽，
，
设，则，
，
，
而，
，
，
，
解得，
即．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：过作轴于，
四边形是矩形，
，，
，
，
∽，
，
，，
，：，
，，
，
，
故选：．
过作轴于，根据矩形的性质得到，，根据余角的性质得到，根据相似三角形的性质得到，，于是得到结论．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：在中，放置边长分别，，的三个正方形，
∽∽，
：：，
，，，
，，
：：，
，即，
不符合题意，舍去或．
故选：．
根据已知条件可以推出∽∽然后把它们的直角边用含的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出的值．
本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形，用的表达式表示出对应边．
12.【答案】
【解析】解：，
∽，
，相似三角形对应高的比等于相似比，
，
∽，
，
，
解得．
故选：．
根据已知易得∽，可得对应高与之比，易得，可得∽，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可．
此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比；解决本题的突破点是得到与的比．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了算术平方根，比较简单．
根据算术平方根的定义求出即可．
【解答】
解：，
故答案为：．
14.【答案】：
【解析】解：和是以点为位似中心的位似图形．
和的位似比为：，
：：，
：：，
与的周长比是：．
故答案为：：．
先根据位似的性质得到和的位似比为：，再利用比例性质得到：：，然后利用相似比等于位似比和相似三角形的性质求解．
本题考查了位似变换．位似变换的两个图形相似．相似比等于位似比．
15.【答案】
【解析】解：设方程的另一根为，
根据题意，得：，
解得：，
故答案为：．
设方程的另一根为，根据一元二次方程根与系数的关系即可求出另一根．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．
16.【答案】
【解析】解：当时，的长取得最小值，
，令，得，令，得，
，，
，，
在和中，
，
≌，
．
故答案为：．
当时，的长取得最小值，根据，求得，，根据勾股定理得到，根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了全等三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，垂线段的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图，设小正方形的边长为，取格点，，设交格线于证明∽，求出，，再证明∽，可得结论．
【解答】
解：如图，设小正方形的边长为，取格点，，设交格线于．
，
∽，
：：：，
，
，
，
∽，
，
．
故答案为：．
18.【答案】解：
；
解法一、
；
解法二、原式
．
【解析】先根据二次根式的性质和二次根式得乘法法则进行计算，再根据二次根式的加法法则进行计算即可；
先分母有理化，再根据乘法和除法法则进行计算，最后算减法即可．
本题考查了二次根式的混合运算和分母有理化，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
19.【答案】解：，
因式分解得：，
解得，；
，
，，，
，
，
解得：，；
【解析】方程利用因式分解法求出解即可；
方程利用公式法求出解即可；
此题考查了解一元二次方程因式分解法、公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
20.【答案】
【解析】解：如图所示：即为所求；
如图所示：即为所求；
的面积．
故答案为：．
直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案；
直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
以轴为分割线，将分成两部分，即可求得的面积．
此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
21.【答案】证明：，，
，
，
，
，
，
∽．
解：，，，
，
，
∽，
，
，
，
的长是．
【解析】由，，得，由，得，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明∽．
先根据勾股定理求得，则，再根据相似三角形的对应边成比例列方程得，即可求得．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，证明从而证明∽是解题的关键．
22.【答案】证明：等边三角形，
，
三角形折叠，使点落在边上的点处，
，
，，
，
，
∽．
解：，，
，
等边三角形，
，
三角形折叠，使点落在边上的点处，
，，
的周长为：，
的周长为：，
∽，
，
，
，
．
【解析】由等边三角形的性质、折叠的性质以及三角形外角的性质可得、即可证明结论；
由已知条件可得，由等边三角形的性质可得，再由折叠的性质可得，，最后根据相似三角形的性质列式求解即可．
本题主要考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
23.【答案】证明：，
，
，
，
∽；
解：，理由如下：
，
：：，
∽，
：：，
：：，
，
．
【解析】由，得到，又，即可证明∽；
由，推出：：，由∽，推出：：，因此：：，又，即可证明．
本题考查相似三角形的判定和性质，关键是由，得到：：，由∽，得到：：．
24.【答案】证明：作于，
四边形是矩形，，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
；
，
点与点关于直线对称，且四边形是正方形，
，，
，
在等腰中，，
，
；
，
连接，，
由对称性可知，，
是等腰，
，
，
，
，
∽，
，
．
【解析】作于，根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
根据正方形的性质和等腰三角形的性质解答即可；
连接，，根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质解答．
此题考查四边形综合题，正方形的性质，关键是根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
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