2022-2023学年贵州省遵义市汇川区重点中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年贵州省遵义市汇川区重点中学九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 某水库月份的最高水位超过标准水位，记为，最低水位低于标准水位，记为( )
A. B. C. D.
2. 某同学在用计算器估算的算术平方根时，需要用到以下哪个键( )
A. B. C. D.
3. 年，某市围绕稳就业、保民生、促发展工作，扎实推动就业工作高质量发展该城镇新增就业万人将万用科学记数法可以表示为的形式，其中为( )
A. B. C. D.
4. 如所示图形是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
5. 用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是( )
A. B.
C. D.
6. 下列计算结果正确的是( )
A. B.
C. D.
7. 某班级举办了一次背诵古诗竞赛，满分分，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下单位：分：甲组：，，，，，；乙组：，，，，，比较两组数据的方差( )
A. B. C. D. 无法确定
8. 如图，在中，，、分别为、的中点，平分，交于点，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
9. 二次函数的图象与轴的交点情况是( )
A. 有个交点 B. 有个交点 C. 无交点 D. 无法确定
10. 在半径为的圆中，弦垂直平分，若，则的值是( )
A.
B.
C.
D.
11. 公元前年前后，欧几里得撰写的几何原本系统地论述了黄金分割，称为最早的有关黄金分割的论著“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用如图，点把线段分成两份，如果：：，那么称点是线段的黄金分割点冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可爱，活泼，他泛着可爱笑容的嘴巴位于黄金分割点处，若玩偶身高，则玩偶嘴巴离地高度是．( )
A. B. C. D.
12. 如图，大等边三角形中有个全等的等边三角形，若大等边三角形的面积为，个小等边三角形的面积的和为，则与之间的关系为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．
14. 已知、是一元二次方程的两根，则的值为______ ．
15. 小丽和小明两个同学玩“石头，剪刀、布”的游戏，在一个回合中出现平局的概率是______ ．
16. 如图，在中，，，，于点，点，为，上的动点，且，延长交于点，连接，则的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共98.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：
；
．
18. 本小题分
若，则或用“”或“”或“”填空．
请仿照以上思路，解不等式．
19. 本小题分
如图，直线分别交轴、轴于、两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为，轴于点，且．
写出值______ ；
设点是双曲线上的一点，且的面积是的面积的倍，求出点的坐标．
20. 本小题分
娄山关收费站位于遵义市汇川区泗渡镇观坝村的兰海高速遵义至崇溪河段，以城墙和塔楼形式呈现，具有地方特色，气势恢宏某数学兴趣小组要测量塔楼最高点距地面的高度，如图，他们在处用测角仪测得最高点的仰角为，又在同一位置把测角仪加高米至点，测得点的仰角为，已知测角仪支架米请根据相关测量信息，计算塔楼最高点距地面的高度结果精确到米，参考数据：，，
21. 本小题分
某水果公司以元的成本价新进箱荔枝，每箱质量，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量单位：如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
整理数据：
质量
数量箱
分析数据：
平均数 众数 中位数
直接写出上述表格中，，的值．
平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，选择其中一个统计量，估算这箱荔枝共损坏了多少千克？
根据中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定价为多少元才不亏本结果保留一位小数？
22. 本小题分
如图，在中，是直径，与关于对称，延长，交于点，过点作的切线交于点．
在不添加辅助线的情况下写出一个与相等的角： ______ ；
证明中的相等关系；
若，，求的长．
23. 本小题分
夏天刚到，市面上已出现种类奇多的雪糕，其中有些雪糕味道平平无奇，包装色彩朴素，但价格极高，被人们称为雪糕刺客，某便利店王老板计划购进，两个品牌的雪糕若干支来售卖，第一次进货时，购买个品牌和购买个品牌的雪糕共需元；购买个品牌和购买个品牌的雪糕共需元．
求王老板第一次进货时，两种品牌雪糕的进价；
王老板计划用不超过元购进，两种雪糕共个，且品牌的个数不超过品牌个数的倍如果王老板按照品牌每个元，品牌每个元的价格全部售出，那么购进，两种雪糕各多少个时获利最多？
24. 本小题分
对于抛物线．
若抛物线过点．
求顶点坐标；
当时，直接写出的取值范围为______ ；
已知当时，，求和的值．
25. 本小题分
【初步发现】如图，在中，，点，分别在边，上，且则 ______ ；
【探究证明】如图，在中，，，将绕点旋转一定的角度后的图形是，连接，，求的值；
【综合拓展】如图，在矩形中，，，为的中点，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：超过标准水位，记为，最低水位低于标准水位记为．
故选：．
根据相反意义的量，书写即可．
本题考查相反意义的量，把握相反意义的量是关键．
2.【答案】
【解析】解：根据计算器的相关知识，可知答案为．
故选：．
首先了解各个符号的含义，解决计算器各个按键的功能，就可以选出正确的结果．
本题考查计算器数的开方，解题的关键是知道算术平方根的对应按键．
3.【答案】
【解析】解：万．
即．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
4.【答案】
【解析】解：该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形是轴对称图形，故此选项合题意；
C.该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．
此题主要考查了轴对称图形，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合．
5.【答案】
【解析】解：由图可知，选项A、、中的线都可以作为角平分线；
选项D中的图作出的是平行四边形，不能保证角中间的线是角平分线，
故选：．
根据各个选项中的作图，可以判断哪个选项符合题意．
本题考查作图基本作图，解答本题的关键是明确角平分线的做法，利用数形结合的思想解答．
6.【答案】
【解析】解：，故本选项不符合题意；
B.，故本选项符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项不符合题意；
故选：．
根据相反数的定义，幂的乘方，绝对值和算术平方根进行计算，再得出选项即可．
本题考查了相反数的定义，幂的乘方，实数的性质和算术平方根等知识点，能熟记相反数的定义、幂的乘方、实数的性质和算术平方根是解此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：甲组：，，，，，；乙组：，，，，，．
甲组的成绩有波动，方差不为，乙组的成绩没有波动，方差为，
故选：．
根据甲和乙两组的成绩即可分析出方差的大小．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
8.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，
、分别为、的中点，
是的中位线，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故选：．
根据勾股定理得到，根据三角形中位线定理得到，，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，得到，于是得到结论．
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
二次函数的图象与轴有两个交点，
故选：．
根据判别式，得出结论．
本题考查抛物线与轴的交点，关键是抛物线与轴交点个数与判别式的关系．
10.【答案】
【解析】解：设交于点，如图，
垂直平分，
，，
在中，，
解得，舍去，
即的值为．
故选：．
设交于点，如图，根据线段垂直平分线的性质得到，根据垂径定理得到，则利用勾股定理得到，然后解方程即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
11.【答案】
【解析】解：他泛着可爱笑容的嘴巴位于黄金分割点处，玩偶身高，
玩偶嘴巴离地高度，
故选：．
根据黄金分割的定义，进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：设大等边三角形的边长为，
大等边三角形的高为：，
，
由题意得，个全等的等边三角形的边长为，
，
，
故选：．
如图所示，设大等边三角形的边长为，则面积为，再求出个全等的等边三角形的边长为，进而求出小等边三角形的面积和，即可得到与的关系．
本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，正确求出，是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：代数式在实数范围内有意义，
，
．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数解答即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的概念是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：因为，是一元二次方程的两根，
根据根与系数的关系，．
故答案为：．
根据根与系数的关系，直接代入得结果．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．根与系数的关系：若、是方程的两根，则，．
15.【答案】
【解析】解：将石头，剪刀、布分别记为，，，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中在一个回合中出现平局的结果有种，
在一个回合中出现平局的概率为．
故答案为：．
画树状图得出所有等可能的结果数以及在一个回合中出现平局的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，，，
，
，
，
，
，
如图，连接，
，
，
又，
∽，
，
又，
，
点在以为直径的圆上运动，
如图，取的中点，连接，
，
，
当点在上时，有最小值，最小值为，
故答案为：．
通过证明∽，可得，可得，则点在以为直径的圆上运动，即当点在上时，有最小值，由勾股定理可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，圆的有关知识，确定点的运动轨迹是解题的关键．
17.【答案】解：
；
．
【解析】化简零指数幂，负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，然后再计算；
先将分子与分母中的多项式进行因式分解，然后约分即可．
本题考查了分式的乘除法，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：若，则或，
故答案为：；；
，
或，
解不等式组得：，
解不等式组得：无解，
综上所述：原不等式的解集为：．
【解析】根据有理数的乘法法则，即可解答；
根据题意可得：或，然后按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，有理数的乘法，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：轴于点，且．
点的横坐标为，
当时，，
点，
又点在双曲线的上，
，
故答案为：；
直线分别交轴、轴于、两点，
点，点，
即，，
，
设，
由于的面积是的面积的倍，
的面积为，
即，
解得，
当时，，
当时，，
点或．
把代入可求出点的坐标，再代入反比例函数关系式可确定的值，进而确定反比例函数关系式；
根据直线的关系式可求出与轴、轴的交点坐标，进而求出三角形的面积，得到三角形的面积后设点的坐标，由三角形的面积公式列方程求解即可．
本题是反比例函数图象与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，确定点坐标是求出反比例函数关系式的关键，用含有点的坐标表示三角形的面积标是解决问题的前提．
20.【答案】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由题意得：米，米，，
设米，
在中，，
米，
米，
在中，，
米，
米，
，
解得：，
米，
塔楼最高点距地面的高度约为米．
【解析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：米，米，，然后设米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进而列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：，
分析数据：样本中，出现的次数最多；故众数为，
将数据从小到大排列，找最中间的两个数为，，故中位数，
，，；
选择众数，
这箱荔枝共损坏了千克答案不唯一；
元，
答：该公司销售这批荔枝每千克定为元才不亏本．
【解析】根据题意以及众数、中位数的定义分别求出即可；
从平均数、中位数、众数中，任选一个计算即可；
求出成本，根据的结果计算即可得到答案．
本题考查的是平均数、众数和中位数的定义及运用．要学会根据统计量的意义分析解决问题．
22.【答案】或
【解析】解：根据题意可得：
，
故答案为：或．
证明：是的切线，
，则，
，
是直径，
，
，
；
与关于对称，
，
，
．
综上：；
解：连接，过点作于点，
，与关于对称，
，
，
，
，，，
，
是的切线，
，
是直径，
，
，
，
由可知，
，
，，
，
设，则，
，
解得，
．
根据同角的余角相等，结合图形进行分析，即可得出结论；
根据是的切线，得出，根据是直径，得出，则，根据轴对称的性质得出进而得出，即可得出结论；
连接，过点作于点，根据轴对称的性质得出，则，再求出，再证明平分，得出，设，则，则，即可求解．
本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，解题的关键是掌握在同圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，以及解直角三角形的方法和步骤．
23.【答案】解：设王老板第一次进货时，品牌雪糕的进价是元个，品牌雪糕的进价是元个，
根据题意得：，
解得：．
答：王老板第一次进货时，品牌雪糕的进价是元个，品牌雪糕的进价是元个；
设购进个品牌雪糕，则购进个品牌雪糕，
根据题意得：，
解得：．
设再次购进，两种雪糕全部售出后获得的总利润为元，则，
即．
，
随的增大而减小，
又，且为整数，
当时，取得最大值，此时．
答：购进个品牌雪糕，个品牌雪糕时获利最多．
【解析】设王老板第一次进货时，品牌雪糕的进价是元个，品牌雪糕的进价是元个，根据“第一次进货时，购买个品牌和购买个品牌的雪糕共需元；购买个品牌和购买个品牌的雪糕共需元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进个品牌雪糕，则购进个品牌雪糕，利用进货总价进货单价进货数量，结合“进货总价不超过元，且购进品牌的个数不超过品牌个数的倍”，可得出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，设再次购进，两种雪糕全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每个的销售利润销售数量购进数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
24.【答案】
【解析】解：若抛物线过点，则，
解得，
；
，
顶点坐标为；
当时，，
当时，直的取值范围为，
故答案为：；
抛物线对称轴为直线，
当时，，且时，，
时，为函数最小值，即抛物线顶点坐标为，
，
解得，
，
把，代入得，
解得，，
，
，
故的值为，的值为．
解析式化成顶点式，即可求得抛物线的顶点坐标；
求得时的函数值，根据二次函数的性质即可求解；
抛物线开口向上，对称轴为直线，由当时，可知抛物线顶点坐标为且过点，把顶点坐标代入解析式即可求得，然后把点代入解析式即可求得的值．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25.【答案】
【解析】解：【初步发现】：在中，，，
，
，即，
，
∽，
，即，
，，
，
故答案为：．
【探究证明】：在中，，．
，
是由绕点旋转得到的，
，，，
在与中，，，即，
∽，
．
【综合拓展】：延长至点，使得，连接、、，如图，
在矩形中，，，
，
为的中点，
≌，
，，
，
即，
在矩形中，，，
，，
，
，
，且，
∽，
，
，
在中，是斜边的中点，
．
【初步发现】根据题意可得，根据可得∽，由相似三角形对应成比例列出比例式，根据比例式的性质转化即可求解；
【探究证明】由题意可得，由旋转的性质以及两边成比例夹角相等可证得∽，根据相似三角形的性质列出比例式即可求解；
【综合拓展】根据题意延长至点，使得，连接、、，可得≌，由全等的性质以及角度换算可得，再由相似三角形的判定可证∽，由相似三角形对应角相等以及角度换算可证得是直角三角形，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求证．
本题考查了属于相似三角形的综合题，主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
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