2022-2023学年山东省东营市七年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省东营市七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列是二元一次方程的是( )
A. B. C. D.
2. 如图，，含的直角三角板的直角顶点在直线上，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
3. 不等式组的整数解的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4. 下列说法合理的是( )
A. 某彩票的中奖机会是，那么如果买张彩票一定会有张中奖
B. 在一次课堂进行的实验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的频率分别为和
C. 抛掷一枚正六面体骰子，出现的概率是的意思是：每次就有次掷得
D. 任意画一个三角形，其内角和是是随机事件
5. 小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线”他这样做的依据是( )
A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形的三条高交于一点
D. 三角形三边的垂直平分线交于一点
6. 我国古代数学名著算法统宗中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜文，问两种布每尺各多少钱？设绫布每尺文，罗布每尺文，那么可列方程组为( )
A. B. C. D.
7. 关于的不等式组无解，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 如图，点是的垂直平分线与边的交点，作于点，若，，则的度数为( )
A. B. C. D.
9. 如图，在中，，，平分交于点，，垂足为若，则的长为( )
A. B. C. D.
10. 如图，为线段上一动点不与、重合，在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下五个结论：；；；；，恒成立的结论有( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共28.0分）
11. 关于的一元一次不等式的解集为，则的值为______．
12. 一个袋中装有个红球，个白球，个黄球，每个球除颜色外其余都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率为，则的值为______ ．
13. 在平面直角坐标系中，如果点和关于轴对称，则： ______ ．
14. 直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为______．
15. 如图，点在的平分线上，，垂足为，点在上，若，，则 ______ ．
16. 王老师让全班同学们解关于、的方程组其中和代表确定的数，甲、乙两人解错了，甲看错了方程中的，解得，乙看错了中的，解得，这个方程组的正确解为______ ．
17. 将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使点、、在同一直线上，且，，，，如果，则______．
18. 如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
解方程：；
解不等式组：并把它的解集表示在数轴上．
20. 本小题分
某县教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所初中学校部分学生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图如图：
请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
在调查活动中，教育局采取的调查方式是______ 填写“普查”或“抽样调查”；
教育局抽取的初中生有______ 人，扇形统计图中的值是______ ；
已知平均每天完成作业时长“”分钟的名初中生中有名男生和名女生，若从这名学生中随机抽取名进行访谈，且每一名学生被抽取的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是______ ；
若该县共有初中生名，则平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生约有______ 人
21. 本小题分
如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，．
试判断与之间的数量关系，并说明理由；
若，，求的度数．
22. 本小题分
“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵元，买套甲型号和套乙型号共用元．
求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共套，总费用不超过元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？
23. 本小题分
如图，在中，，，是边上一点，连接，以为直角边向右作等腰直角三角形，其中．
连接，求证：≌；
当为何值时，的周长最小．
24. 本小题分
已知：同一个坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与轴交于点，，两直线交于点已知点，，，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识回答下列问题：
关于的方程的解是______ ；关于的方程的解是______ ；
请直接写出关于的不等式的解集；
请直接写出关于的不等式组的解集；
求的面积．
25. 本小题分
如图，，，，，垂足分别为、，请你猜想、、三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明；
如图，将中的条件改为：在中，，、、三点在同一条直线上，并且有，其中为任意钝角，那么中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
如图，、、三点在直线上、、三点互不重合，和均为等边三角形，连接、，若，求证：，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、该方程属于一元一次方程，故本选项错误；
B、该方程符合二元一次方程的定义，故本选项正确；
C、该方程不是整式方程，故本选项错误；
D、该方程属于二元二次方程，故本选项错误；
故选：．
二元一次方程必须符合以下三个条件：
方程中只含有个未知数；
含未知数项的最高次数为一次；
方程是整式方程．
本题考查了二元一次方程的定义：含有两个未知数且未知数的次数都为．
2.【答案】
【解析】解：如图，过点作，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
过点作，根据可知，故，故可得出的度数，再由即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：不等式组，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
则整数解为，，，，，共个．
故选：．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解的个数即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、某彩票的中奖机会是，那么如果买张彩票不一定会有张中奖，故A不符合题意；
B、在一次课堂进行的实验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的频率分别为和，故B符合题意；
C、抛掷一枚正六面体骰子，出现的概率是的意思是：抛掷一枚正六面体骰子，出现的可能性是，故C不符合题意；
D、任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，故D不符合题意；
故选：．
根据随机事件，概率的意义，三角形内角和定理，概率公式，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，概率的意义，三角形内角和定理，概率公式，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：由题意可知，点到射线的距离是直尺的宽度，点到射线的距离也是直尺的宽度，
点到射线，的距离相等，
点在的平分线上在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
故选：．
由题意可知，点到射线，的距离相等，则点在的平分线上，即可得出答案．
本题考查角平分线的性质，理解题意，掌握角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解答本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：一匹尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，
；
每尺罗布比绫布便宜文，
．
根据题意可列出方程组．
故选：．
根据“一匹尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，且每尺罗布比绫布便宜文”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：由，得：，
又且不等式组无解，
所以，
故选：．
求出第二个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到，结合不等式组的解集可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：点是的垂直平分线与边的交点，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得，根据角的差可得，进而利用互余解答即可．
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是根据角的差可得．
9.【答案】
【解析】解：如图．过点作于．
平分，，，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
故选：．
如图．过点作于首先证明，解直角三角形分别求出，即可解决问题．
本题考查角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10.【答案】
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定方法，证出，即可得出；
先证明，即可判断出，正确；
根据，可得为等边三角形，证出，得出，正确；
没有条件证出，错误；
，正确；即可得出结论．
【解答】
解：和都是等边三角形
，，
在和中
，结论正确；
又
在和中
，结论正确；
又
为等边三角形
，结论正确；
结论正确；没有条件证出，错误；
综上，恒成立的结论有个：．
故选C．
11.【答案】
【解析】解：解不等式得：，
不等式的解集为，
，
解得：，
故答案为：．
先用含有的式子把原不等式的解集表示出来，然后和已知解集进行比对得出关于的方程，解之可得的值．
本题主要考查解一元一次不等式，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．
12.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
直接利用概率公式列式求解即可．
本题考查了概率公式的知识，解题的关键是能够根据题意列出式子，难度不大．
13.【答案】
【解析】解：点和关于轴对称，
，
，
．
故答案为：．
根据点和关于轴对称，可得关于，的方程组，求解得到，的值，再代入代数式求值．
此题主要是考查了关于对称轴对称的点的坐标特征，能够熟记关于轴对称的两点的横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：将点代入直线，得，
从图中可看出，当时，，
故答案为．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式的关系．
首先把坐标代入直线，求出的值，再根据函数图象可得答案．
15.【答案】
【解析】解：如图，作于点，
点在的平分线上，，，
，
，
，
故答案为：．
作于点，根据角平分线的性质求得的长，然后利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半求解即可．
本题考查了角平分线的性质及直角三角形的性质，解题的关键是根据角平分线的性质求得的长，难度不大．
16.【答案】
【解析】解：由题意可知，不是方程的解，
不是方程的解，
把代入方程中，得，
解得；
把中，得，
解得，
把代入方程组中，
解得，
所以原方程组得解为．
故答案为．
把甲的解代入方程求出的值，把乙的解代入求出的值，确定出方程组，求出正确解即可．
本题主要考查了二元一次方程组的解，理解题目合理进行求解是解决本题的关键．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理的运用、平行线的性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是作垂直构造直角三角形，利用勾股定理求出的长．
过点作于，利用在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半和平行线的性质以及等腰直角三角形的性质即可求出的长．
【解答】
解：过点作于，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
18.【答案】
【解析】解：由题意得：，，，，，
，
的坐标为，
故答案为：
根据旋转特点，找到坐标的变化规律，再求解．
本题考查了点的坐标，找到坐标的变化规律是解题的关键．
19.【答案】解：，
化简，得：，
，得：，
解得，
将代入，得：，
原方程组的解是；
，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
该不等式组的解集为，
其解集在数轴上表示如下：
．
【解析】先化简，然后根据加减法消元法可以解答此方程组；
先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．
本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解二元一次方程组和解一元一次不等式组的方法．
20.【答案】抽样调查
【解析】解：教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查，教育局采取的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查；
教育局抽取的初中生的人数：人，
所以，
则，
故答案为：，；
所有可能抽到的结果数为，抽到女生的结果数为，且每一名学生被抽到的可能性相同，
，
故答案为：；
该县共有初中生名，则平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生的人数约：人，
故答案为：．
根据教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查即可得出答案；
根据的人数人占所有抽样学生的，即可求出抽样学生的人数，根据扇形统计图各部分的百分比之和为即可求出的值；
根据概率公式求解；
根据样本中的人数占抽样人数的估计全市人数即可．
本题考查了概率公式，全面调查与抽样调查，扇形统计图，用样本估计总体，用样本中的人数占抽样人数的估计全市人数是解题的关键．
21.【答案】解：，理由如下：
，
，
，
又，
，
，
．
由知，
，
由知，
，
，
．
【解析】先判定得到，进而证明，进一步证明即可得到结论．
利用平行线的性质分别求出，，进而求出即可得到答案．
本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
22.【答案】解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，
由题意可得，
解得，
．
答：每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元；
设需购进乙种型号“文房四宝”套，则需购进甲种型号“文房四宝”套，
由题意可得：，
解得，
又为正整数，
可以取，，，，；
共有种购买方案，
方案：购进套甲型号“文房四宝”，套乙型号“文房四宝”；
方案：购进套甲型号“文房四宝”，套乙型号“文房四宝”；
方案：购进套甲型号“文房四宝”，套乙型号“文房四宝”；
方案：购进套甲型号“文房四宝”，套乙型号“文房四宝”；
方案：购进套甲型号“文房四宝”，套乙型号“文房四宝”；
每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵元，
甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低，
最低费用是元．
【解析】根据每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵元，买套甲型号和套乙型号共用元，得出方程，解方程即可；
设需购进乙种型号“文房四宝”套，则需购进甲种型号“文房四宝”套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确地列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键．
23.【答案】证明：在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，
，，．
，
≌．
解：，，
由勾股定理可得．
周长等于．
当最小时，周长最小．
由垂线段最短得，当时，最小，如图所示，
，，
此时 ．
当时，的周长最短．
【解析】先判断出即可得出结论；
先表示周长等于，所以当最小时，周长最小．由垂线段最短得，当时，最小．再计算此时的长即可；
此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，注意第问根据等腰三角形的判定分类讨论，不要丢解．
24.【答案】
【解析】解：一次函数和的图象，分别与轴交于点、，
关于的方程的解是，关于的方程的解是；
故答案为：，；
点，
由图象可知，不等式的解集是；
根据图象可以得到关于的不等式组的解集；
，
．
利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案；
利用两直线交点坐标，结合图象得出答案；
利用两直线与轴交点坐标，结合图象得出答案；
利用三角形面积公式求得即可．
此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，利用数形结合解题是解题关键．
25.【答案】解：，理由：
，，
，
，
，
．
在和中，
，
≌，
，，
．
解：中的猜想还成立，
证明：，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
．
证明：和均为等边三角形，
，，，
，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
又，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
．
【解析】根据，，推得，根据，可得，推得根据全等三角形的判定和性质即可求得，，即可得到；
根据三角形内角和可推得，根据全等三角形的判定和性质可得，，即可得到；
根据等边三角形的性质可得，，，推得，根据三角形内角和可推得，根据全等三角形的判定和性质可得，，推得，根据全等三角形的判定和性质可得，，即可求得．
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和，等边三角形的性质等，熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定是解题的关键．
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