2022-2023学年山东省烟台市福山区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省烟台市福山区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个数中，其绝对值小于的数是( )
A. B. C. D.
2. 若使算式的运算结果最小，则表示的运算符号是( )
A. B. C. D.
3. 使有意义的实数的取值范围是( )
A. B. 且
C. 且 D. 且
4. 下列命题中，是真命题的有( )
对角线相等且互相平分的四边形是矩形
对角线互相垂直的四边形是菱形
四边相等的四边形是正方形
四边相等的四边形是菱形
A. B. C. D.
5. 下列一元二次方程有实数解的是( )
A. B. C. D.
6. 当为实数时，，则在数轴上对应的点在( )
A. 原点的左侧 B. 原点或原点右侧 C. 原点的右侧 D. 原点或原点的左侧
7. 若，是方程的两个实数根，则的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
8. 已知、是一元二次方程的两个根，则的值为( )
A. B. C. D.
9. 在下列条件中，能够判定 为矩形的是( )
A. B. C. D.
10. 小颖初一时体重是，到初三时体重增加到，则她的体重平均每年增加的百分率为( )
A. B. C. D.
11. 如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
12. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余一块面积为的矩形空地，则原正方形空地的边长是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 将化为最简二次根式为______ ．
14. 若成立，则的取值范围是 ．
15. 如图有一张一个角为，最小边长为的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是______ ．
16. 如图，在矩形中，是边上一点，，分别是，的中点，连接，，，若，，，矩形的面积为______．
17. 我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是，小正方形的面积是，则______．
18. 菱形的边长为，，点、分别是、上的动点，的最小值为______．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：
；
．
20. 本小题分
解方程：
配方法或公式法；
用因式分解法．
21. 本小题分
已知关于的一元二次方程．
若方程有实数根，求实数的取值范围；
若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．
22. 本小题分
如图，中，，，，求：
的面积；
斜边的长；
求边上的高的长．
23. 本小题分
某商店经销一批小商品，每件商品的成本为元据市场分析，销售单价定为元时，每天能售出件；现因货源稀缺，采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨元，每天的销售量就减少件．
当销售单价为元，每天可售出多少件？每天销售利润为多少？
针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？
24. 本小题分
如图，在矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，．
求证：≌；
若，，连接，，求四边形的周长．
25. 本小题分
将一些棋子按如图所示的规律摆放：
第个图有个棋子，第个图有个棋子，第个图有个棋子，，按此规律依次递增．
第个图中有______ 个棋子；
第个图中有______ 个棋子；
如果第个图中有个棋子，应用方程求出的值；
第个图中的棋子个数能是个吗？如果能，求出的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明理由．
26. 本小题分
如图，中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；过作，交于连结，过作，交的延长线于设运动时间为，解答下列问题：
求证：四边形是平行四边形；
当为何值时，四边形是矩形？
在运动过程中，是否存在某一时刻，使四边形是菱形？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，，，
，，，，
四个数中，其绝对值小于的数是．
故选：．
首先求出每个数的绝对值各是多少；然后根据实数大小比较的方法判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
表示的运算符号是“”时，运算结果最小，
故选：．
分别把四个选项中的符号代入计算，再比较结果的大小即可．
此题主要考查了二次根式，关键是掌握二次根式的计算法则．
3.【答案】
【解析】解：根据题意得，，
解得，且．
故选：．
根据二次根式和分式的性质可求出的取值范围．
本题主要考查了二次根式和分式的意义和性质，关键是明白分式的分母不能为．
4.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了命题与定理，正确把握特殊四边形的判定方法是解题关键．
直接利用矩形、菱形、正方形的判定方法分别分析进而得出答案．
【解答】
解：对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原命题是真命题；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题假命题；
四边相等的四边形是菱形，故原命题是假命题；
四边相等的四边形是菱形，故原命题是真命题．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：，
方程没有实数根；
B.，
方程没有实数根；
C.，
方程有两个不相等的实数根；
D.，
方程没有实数根．
故选：．
根据各方程的系数结合根的判别式，可求出各方程根的判别式的值，取的选项即可得出结论．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由题意可知：，
，
故选：．
根据二次根式的性质即可求出答案．
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
7.【答案】
【解析】解：解方程得，，或，，
或的，
故选：．
解方程求得方程的根，然后求得的值即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，求得方程的根是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：、是一元二次方程的两个根，
，，
是的一个根，
，
，
．
故选：．
由于、是一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系可得，，而是方程的一个根，可得，即，那么，再把、的值整体代入计算即可．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程两根、之间的关系：，．
9.【答案】
【解析】解：、 中，，不能判定 是矩形，故选项A不符合题意；
B、 中，，
是菱形，故选项B不符合题意；
C、 中，，
是菱形，故选项C不符合题意；
D、 中，，
是矩形，故选项D符合题意；
故选：．
由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：设她的体重平均每年增加的百分率为，
依题意得：，
，
解得：，不符合题意，舍去，
她的体重平均每年增加的百分率为．
故选：．
设她的体重平均每年增加的百分率为，利用小颖初三时的体重小颖初一时的体重她的体重平均每年增加的百分率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查矩形的性质、折叠轴对称的性质，勾股定理等知识．由矩形的性质，折叠轴对称的性质，可求出，由勾股定理求出，，进而求出即可．
【解答】
解：四边形是矩形，
，，，
，
由折叠可得，
，
，
由折叠得，，，
，
在中，，
在中，，
，
故选：．
12.【答案】
【解析】解：设原正方形的边长为，依题意有
，
解得：，不合题意，舍去
即：原正方形的边长．
故选：．
可设原正方形的边长为，则剩余的空地长为，宽为根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长．
本题考查了一元二次方程的应用．学生应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
把小数化成分数，根据化简，再分母有理化即可得出答案．
本题考查了最简二次根式，掌握是解题的关键．
14.【答案】或
【解析】解：，
．
．
．
或．
或．
检验：当，；当，．
或．
故答案为：或．
根据分式的性质解决此题．
本题主要考查分母有理化，熟练掌握分式的性质是解决本题的关键．
15.【答案】或
【解析】解：由题意可得：，
，
，，
图中所示的中位线剪开，
，，，
如图所示：
拼成一个矩形，矩形周长为：；
如图所示，可以拼成一个平行四边形，周长为：，
故答案为：或．
根据三角函数可以计算出，，再根据中位线的性质可得，，，然后拼图，出现两种情况，一种是拼成一个矩形，另一种拼成一个平行四边形，进而算出周长即可．
此题主要考查了图形的剪拼，关键是根据画出图形，要考虑全面，不要漏解．
16.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，
，分别是，的中点，，，，
，，，
，
是直角三角形，，
，
，
，
故答案为：．
由矩形的性质得出，，由直角三角形斜边上中线的性质及三角形中位线的性质求出，，，由勾股定理的逆定理得出是直角三角形，，进而求出，即可求出矩形的面积．
本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，三角形中位线，熟练掌握矩形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理的逆定理等知识是解决问题的关键．
17.【答案】
【解析】解：大正方形的面积是，小正方形的面积是，
，，
根据题意，设，
则，
在中，，
，
解得：，舍去，
，
故答案为：．
根据题意得出，，设，结合图形得出，利用勾股定理列方程求解．
题目主要考查正方形的性质，勾股定理解三角形，一元二次方程的应用等，理解题意，利用方程思想解题是关键．
18.【答案】
【解析】解：连接，作于，
四边形是菱形，
，，
在和中，
≌，
，
当点、、共线时，的最小值为的长，
，，
，
的最小值为，
故答案为：．
连接，作于，利用证明≌，得，当点、、共线时，的最小值为的长，再求出的长即可．
本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识，将的最小值转化为的长是解题的关键．
19.【答案】解：
；
．
【解析】先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
首先计算乘方、化简二次根式，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
20.【答案】解：，
，
，
，
，
或，
，；
，
，
或，
，．
【解析】利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
21.【答案】解：由题意有，
整理得，
解得，
实数的取值范围是；
由两根关系，得，，
，
，
，
解得或
．
【解析】若一元二次方程有两实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围；
由，；代入，建立关于的方程，据此即可求得的值．
本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足的条件．
22.【答案】解：，，，
的面积；
，，，
；
，
，
故AB边上的高的长为．
【解析】根据三角形大面积公式即可得到结论；
根据勾股定理即可得到结论；
根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．
23.【答案】解：件，
利润元，
答：当销售单价为元，每天可售出件，每天销售利润为元；
设销售单价应定为元件，则每天可售出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
要使顾客得到实惠，
不合题意．
答：销售单价应定为元件．
【解析】根据销售数量定价，利润每件商品利润数量，即可得出结论；
设销售单价应定为元件，则每天可售出件，根据总利润单件利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
又，
，
在和中，
，
≌；
解：由可得，，，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是菱形，
根据，，设，可得，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
，
四边形的周长．
【解析】本题主要考查了矩形的性质的应用，结合菱形的判定与性质、全等三角形的判定进行求解是解题的关键．
根据矩形的性质可得，，，即可证得两个三角形全等；
设，根据已知条件可得，由可得，可证得四边形是菱形，根据勾股定理可得的长，即可求得周长；
25.【答案】
【解析】解：根据第个图形有个棋子，第个图形有个棋子，第个图形有个棋子，第个图形有个棋子，
，，，，
第个图形有：个，
故答案为：；
第个图形有：个棋子，
故答案为：；
由题意得，，
解得：或不合题意，舍去，
的值为；
第个图中的棋子个数不能是个，理由：
，
解得：，
为整数，
第个图中的棋子个数不能是个．
分析数据可得：第个图形中小圆的个数为；第个图形中小圆的个数为；第个图形中小圆的个数为；第个图形中小圆的个数为；则知第个图形中小圆的个数为可解答；根据，路程方程解答即可；让，然后解这个一元二次方程，方程没有正整数根，即可得出结论．
本题考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．
26.【答案】证明：如图，，，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
解：如图，四边形是平行四边形，
，
，
，
当时，四边形是矩形，
，，
，
，
解得，
当时，四边形是矩形．
解：存在，
如图，，
，
，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形，
，
是等边三角形，
，
，
解得，
的值为．
【解析】先根据“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”求得，而，，则，，由，得，则，所以，即可证明四边形是平行四边形；
先证明当时，四边形是矩形，则，，所以，于是得，解方程求出的值即可；
先证明当时，四边形是菱形，再证明是等边三角形，则，于是得，解方程求出的值即可．
此题重点考查平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、等边三角形的判定、动点问题的求解等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
第1页，共1页