2022-2023学年湖南省衡阳市七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省衡阳市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式是一元一次方程的是( )
A. B. C. D.
2. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )
A. 、、 B. 、、
C. 、、 D. 、、
3. 下列图形即是轴对称图形又是中心对称图形的共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4. 解方程，去分母，得( )
A. B. C. D.
5. 只用下列一种正多边形，能铺满地面的是( )
A. 正五边形 B. 正八边形 C. 正六边形 D. 正十边形
6. 已知，则下列不等式中不正确的是( )
A. B. C. D.
7. 下列说法不正确的是( )
A. 三角形三条中线都在三角形内部 B. 三角形的外角和为
C. 三角形三条角平分线都在三角形内部 D. 三角形三条高都在三角形内部
8. 已知一个正多边形的每个外角等于，则这个正多边形是( )
A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形
9. 已知的周长为，将沿着方向平移个单位得到，则四边形的周长是( )
A. B. C. D.
10. 如图，是的中线，点为的中点，若的面积为，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
11. 一项工程，甲单独做天完成，乙单独做天完成若甲先做天，然后甲、乙合作完成了此项工作，设乙做了天，则可列方程为( )
A. B. C. D.
12. 关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 已知方程，用含的代数式表示，则 ______ ．
14. 某多边形的内角和与外角和相等，这个多边形的边数是______．
15. 如图所示，两个三角形关于某条直线对称，则 ______ ．
16. 若是关于的一元一次不等式，则______．
17. 如图，在中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则的周长为______．
18. 如图，已知直角三角形中，，将绕点逆时针旋转至，使点的对应点恰好落在边上，为点的对应点，设，则 ______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
解方程：
20. 本小题分
解方程组．
21. 本小题分
解关于的不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
22. 本小题分
如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，点在格点上．
画，使与关于直线成轴对称．
画，使与关于点成中心对称．
23. 本小题分
已知：关于，的方程组；
若，求，的值．
若方程组的解满足，求的取值范围．
24. 本小题分
如图，在中，平分，交边于点，在边上取点，连结，使．
求证：；
当，时，求的度数．
25. 本小题分
某中学计划购买型和型课桌凳共套，经招标，购买一套型课桌凳比购买一套型课桌凳少用元，且购买套型和套型课桌凳共需元．
求购买一套型课桌凳和一套型课桌凳各需多少元？
学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过元，并且购买型课桌凳的数量不能超过型课桌凳数量的倍，求该校本次购买型和型课桌凳共有几种方案？分别列出来；哪种方案的总费用最低？
26. 本小题分
如图，有一副直角三角板如图放置其中，，，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转．
在图中， ______ ；
如图，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转，转速为秒，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立；
如图，在图基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，当转到与位置重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：方程是二元一次方程，选项A不符合题意；
B.方程是一元二次方程，选项B不符合题意；
C.方程是一元一次方程，选项C符合题意；
D.方程是分式方程，选项D不符合题意．
故选：．
利用一元一次方程的定义，逐一分析四个选项，即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的定义，牢记“只含有一个未知数元，且未知数的次数是，这样的方程叫一元一次方程”是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、，符合三角形三边关系，故能构成三角形，符合题意；
B、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形，不符合题意；
C、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形，不符合题意．
D、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形，不符合题意；
故选：．
根据三角形三边关系可进行求解．
本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：左起第一和第二两个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；第三个图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；第四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形．
所以既是轴对称图形又是中心对称图形的共有个．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
4.【答案】
【解析】解：，
去分母得，，
去括号得，，
故选：．
方程两边同时乘以，然后去括号即可求解．
本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：、正五边形的一个内角度数为，不是的约数，不能镶嵌平面，不符合题意；
B、正八边形的一个内角度数为，不是的约数，不能镶嵌平面，不符合题意；
C、正六边形的每个内角是，能整除，能密铺．符合题意；
D、正十边形的每个内角是，不是的约数，不能镶嵌平面，故该选项不符合题意；
故选：．
分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
本题考查了平面镶嵌密铺，掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：、不等式的两边都乘以一个正数，不等号的方向不变，故A正确；
B、不等式的两边都加或都减同一个整式，不等号的方向不变，故B正确；
C、不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变，故C错误；
D、不等式的两边都加或都减同一个整式，不等号的方向不变，故D正确；
故选：．
根据不等式的性质，可判断、，根据不等式的性质，可判断，根据不等式的性质，可判断．
本题考查了不等式的性质，不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变．
7.【答案】
【解析】解：、三角形三条中线都在三角形内部，说法正确，不符合题意；
B、三角形的外角和为，说法正确，不符合题意；
C、三角形三条角平分线都在三角形内部，说法正确，不符合题意；
D、只有锐角三角形三条高都在三角形内部，故本选项说法错误，符合题意；
故选：．
根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断即可．
本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：设所求正边形边数为，
则，
解得．
故正多边形的边数是．
故选：．
多边形的外角和等于，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成，列方程可求解．
本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
9.【答案】
【解析】解：由平移的性质可得，，
的周长为，即，
四边形的周长为，
故选：．
根据平移的性质得到，再根据周长的定义进行计算即可．
本题考查平移的性质，理解平移的定义，掌握平移的性质是正确解答的关键．
10.【答案】
【解析】解：是的边上的中线，的面积为，
的面积为：，
点是的中点，
的面积为：，
故选：．
根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，进而解答即可．
本题主要考查了三角形面积的求法和三角形的中线，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解答本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：依题意得：．
故选：．
根据甲完成的工程量乙完成的工程量总工程量，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，
解得：，
解得：，
则不等式组的解集是：，
不等式组有个整数解，则，
故选：．
首先解不等式组确定不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解有个，即可得到一个关于的不等式组，解不等式组即可求解．
此题考查的是一元一次不等式的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
13.【答案】
【解析】解：，
解得．
故答案为：．
把看作已知数表示出即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．
14.【答案】四
【解析】解：设这个多边形是边形，
则，
解得．
故答案为：四．
根据多边形的内角和公式与外角和定理列式进行计算即可求解．
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记内角和公式，外角和与多边形的边数无关，任何多边形的外角和都是是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：两个三角形关于某条直线对称，
．
故答案为．
利用轴对称图形的性质得出对应角相等，进而得出答案．
此题主要考查了轴对称图形的性质，得出对应角相等是解题关键．
16.【答案】
【解析】解：是关于的一元一次不等式，
，．
解得：．
故答案为：．
根据一元一次不等式的定义可知，，从而可求得的值．
本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的特点是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：由翻折的性质可知；．
．
的周长．
故答案为：．
由翻折的性质可知，从而得到，从而得到的周长．
本题主要考查的是翻折的性质，由翻折的性质将三角形的周长转为与的和是解题解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：绕点逆时针旋转至，使点的对应点恰好落在边上，为点的对应点，
，，，
，
，
在中，
故答案为：
先利用旋转的性质得到，，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出，然后利用互余可表示出的度数．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
19.【答案】解：去括号，可得：，
移项，可得：，
合并同类项，可得：，
系数化为，可得：．
【解析】去括号、移项、合并同类项、系数化为，据此求出方程的解即可．
此题主要考查了解一元一次方程的方法，解答此题的关键是要明确解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为．
20.【答案】解：，
得，，
解得：，
将代入，
解得：，
原方程组的解为：．
【解析】根据加减消元法解二元一次方程组即可求解．
本题考查了加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
21.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
22.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作．

【解析】利用网格特点和对称的性质，分别画出、、关于的对称点即可；
延长到使，延长到使，延长到使，从而得到．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
23.【答案】解：若，则，
整理得，
得，
解得，
把代入得，
解得，
故，的值分别为，；
，
得：，即，
又，
，
解得：，
的取值范围为．
【解析】解关于、的方程组即可；
利用，可求出，结合，可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了解二元一次方程组的解、二元一次方程组的解，解一元一次不等式，解题的关键是：重组方程组求出、的值是解题的关键；得到关于的不等式．
24.【答案】证明：平分，
，
又，
，
．
，，
，
在中，，，
，
又平分，
，
．
【解析】根据平分得到，再由等量代换推出，根据“内错角相等，两直线平行．”即可得证；
先根据平行线的性质求出的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数，由平分推出的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出的度数．
本题主要考查三角形内角和定理和平行线的性质与判定，灵活运用三角形内角和等于和平行线的判定和性质定理是解决问题的关键．
25.【答案】解：设购买一套型课桌凳需元，购买一套型课桌凳需元，
根据题意，得，
解得：，
答：购买一套型课桌凳需元，购买一套型课桌凳需元；
解：设购买型课桌凳套，则购买型课桌凳套，根据题意得，
，
解得：，
所以购买方案有以下四种，
方案一：购买型课桌凳套，购买型课桌凳套；
方案二：购买型课桌凳套，购买型课桌凳套；
方案三：购买型课桌凳套，购买型课桌凳套；
方案四：购买型课桌凳套，购买型课桌凳套，
方案一总费用为：元，
方案二总费用为：元，
方案三总费用为：元，
方案四总费用为：元，
方案四，费用最低．
【解析】设购买一套型课桌凳需元，购买一套型课桌凳需元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
设购买型课桌凳套，则购买型课桌凳套，根据题意列出一元一次不等式组，根据不等式组的整数解即可求解．
此题主要考查了一元一次方程的应用和不等式组的应用以及一次函数的增减性，根据已知得出不等式组，求出的值是解题关键．
26.【答案】
【解析】解：，，
，
故答案为：；
如图，此时，成立，
，，
，
，
，
，
转速为秒，
旋转时间为秒；
如图，，
，，
，
，
，
，
三角板绕点逆时针旋转的角度为，
转速为秒，
旋转时间为秒，
综上所述，当旋转时间为或秒时，成立；
设旋转的时间为秒，由题知，，，
，
，
当，即，
解得：，
当，求旋转的时间是秒．
根据平角的定义即可得到结论；
如图，根据平行线的性质得到，求得，于是得到结论；如图，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和得到，求得，于是得到结论；
设旋转的时间为秒，由题知，，，根据周角的定义得到，列方程即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和，识别图形是解题的关键．
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