2022-2023学年湖南省娄底市双峰县七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省娄底市双峰县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 把方程改写成用含的代数式表示的形式，正确的是( )
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
3. 下列因式分解正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 下列标志中是轴对称图形的有几个( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5. 用加减消元法解方程组时，最简捷的方法是( )
A. ，消去 B. ，消去
C. ，消去 D. ，消去
6. 下列四个说法中，正确的是( )
A. 对顶角相等 B. 一组数据的方差越大，这组数据就越稳定
C. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D. 内错角相等
7. 如图，给出的下列条件中不能判断的是( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图所示，点到所在的直线的距离是指图中( )
A. 线段的长度
B. 线段的长度
C. 线段的长度
D. 线段的长度
9. 若多项式是完全平方式，则的值为( )
A. B. C. D.
10. 某校七年级学生开展义务植树活动，参加者是未参加者人数的倍，若该年级人数减少人，未参加人数增加人，则参加者是未参加者人数的倍，则该校七年级学生共有人．( )
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 将整式分解因式，则提取的公因式为______ ．
12. ______ ．
13. 已知和都是关于，的方程的解，则 ______ ， ______ ．
14. 如图，直线、相交于点，，为垂足，如果，则 ______ ．
15. 若一组数据，，，，的众数为，则这组数据的中位数为______．
16. 已知，，则 ______ ．
17. 若，则代数式的值为______．
18. 如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点、分别落在，的位置，若，则等于______ 度
三、解答题（本大题共7小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
分解因式与计算：
分解因式：；
解方程组：．
20. 本小题分
求代数式的值
先化简，再求值：，其中．
21. 本小题分
如图，在小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长均为个单位
画出三角形向右平移个单位所得的三角形．
若连接、，则这两条线段之间的关系是______．
画出三角形绕点逆时针旋转所得的三角形．
22. 本小题分
如图，，垂足为，，垂足为，，求证：与是否平行？为什么？
23. 本小题分
某中学组织学生参加数学学科竞赛，七年级甲、乙两班根据初赛成绩，各选出名同学参加复赛，两个班各选出的名同学的复赛成绩如下单位：分
甲班：，，，，
乙班：，，，，
填写下表：
班级 平均数分 中位数分 方差
七甲
七乙
结合上表，分析哪个班级的复赛成绩平衡性更好．
24. 本小题分
某超市举行店庆活动，对甲、乙两种商品实行打折销售打折前，购买件甲商品和件乙商品需要元；买件甲商品和件乙商品需要元．
求打折前一件甲商品、一件乙商品各需多少元？
面店庆期间，购买件甲商品和件乙商品仅需元，这比不打折前少花多少钱？
25. 本小题分
先仔细阅读材料，再尝试解决问题：
因式分解的思想对解决其它一些数学问题有很大的帮助，比如探求方程的解时，我们可以这样处理：
第一步：将方程的左边通过提取公因式进行因式分解得：
第二步：使据“两个数之积为零，则这两个数中必有一个数为零”得：或
第三步：分置解上述两个一元一次方程得：或
所以原方程的解为：，
解决问题：请根据上面的解题思路，探求方程的解．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
移项，得，
系数化成，得，
故选：．
移项，系数化成即可．
本题考查了解二元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
2.【答案】
【解析】解：和不是同类项，不能合并，
选项A不符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C符合题意；
，
选项D不符合题意，
故选：．
按照整式幂的运算法则逐一计算进行辨别．
此题考查了整式幂的相关运算能力，关键是能准确理解并运用该计算法则．
3.【答案】
【解析】解：中左右两边不相等，则不符合题意；
，则符合题意；
中左右两边不相等，则不符合题意；
，则不符合题意；
故选：．
将各项进行因式分解后进行判断即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：第个是轴对称图形，故符合题意；
第个是轴对称图形，故符合题意；
第个不是轴对称图形，故不符合题意；
第个是轴对称图形，故符合题意；
第个不是轴对称图形，故不符合题意，
故轴对称图形的有个．
故选：．
根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5.【答案】
【解析】解：选项的方法可以消掉，但两个方程都乘了数字改变系数，稍复杂一些，故A选项不符合题意，
选项的方法可以消掉，只有式乘数字改变系数，相对选项简单一些，故B选项符合题意，
选项的方法不能消掉，故C选项不符合题意，
选项的方法不能消掉，故D选项不符合题意．
故选：．
依次尝试个选项的方法，选择正确且简单的方法即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意使用加减消元法时如何更快捷的消元．
6.【答案】
【解析】解：对顶角相等，故A符合题意；
B.一组数据的方差越大，这组数据就越不稳定，故B不符合题意；
C.同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故C不符合题意；
D.两直线平行，内错角相等，故D不符合题意．
故选：．
根据平行线的性质，平行公理，同一平面内两直线的位置关系对每个选项逐一判断即可得出结论．
本题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理和公理．
7.【答案】
【解析】解：、和是、被所截得到的一对内错角，当时，可得，故A不符合题意；
B、和是、被所截得到的一对内错角，当时，可得，故B符合题意；
C、和是、被所截得到的一对同旁内角，当时，可得，故C不符合题意；
D、和是、被所截得到的一对同旁内角，当时，可得，故D不符合题意．
故选：．
根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，进行判断即可．
本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
8.【答案】
【解析】解：如图，点到所在的直线的距离是指图中线段的长度．
故选：．
直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可判断．
本题考查点到直线的距离，关键是掌握点到直线的距离的定义．
9.【答案】
【解析】解：是完全平方式，
，
，
故选：．
利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：设该校七年级参加植树活动的有人，未参加植树活动的有人，
根据题意得：，
解得：，
，
该校七年级学生共有人．
故选：．
设该校七年级参加植树活动的有人，未参加植树活动的有人，根据“参加者是未参加者人数的倍，若该年级人数减少人，未参加人数增加人，则参加者是未参加者人数的倍”，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：将整式分解因式，
故，
则提取的公因式为．
故答案为：．
根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式利用平方差公式计算即可得到结果．
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：将和代入方程，得，
解得：，．
故答案为：；
将两对解代入方程得到关于与的方程组，求出方程组的解即可得到与的值．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
14.【答案】
【解析】解：，，
，
与是对顶角，
．
故答案为：．
由，，利用互余关系求，再利用对顶角相等求．
此题考查的知识点是垂线，关键是利用垂直的定义及对顶角相等求解．
15.【答案】
【解析】解：数据，，，，的众数为，
，
把这组数据从小到大排列为：、、、、，
则中位数为；
故答案为：．
根据众数的定义可得的值，再依据中位数的定义即可得答案．
本题考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．众数是数据中出现最多的一个数．
16.【答案】
【解析】解：当，时，
．
故答案为：．
利用完全平方公式进行求解即可．
本题主要考查完全平方公式，解答的关键是熟记完全平方公式的形式：．
17.【答案】
【解析】解：，
，
．
故答案为：．
根据，可以得到，然后代入所求的式子，然后计算即可．
本题考查了代数值求值，解题的关键是把整体代入计算．
18.【答案】
【解析】解：是长方形纸片，
，
，
根据折叠的性质，，
所以，．
故答案为：．
根据两直线平行，内错角相等求出，再根据折叠的性质可得，然后利用平角等于列式计算即可得解．
本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，折叠前后的两个图形能够完全重合的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．
19.【答案】解：；
，
得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
原方程组的解为：．
【解析】利用提公因式法进行分解，即可解答；
利用加减消元法进行计算，即可解答．
本题考查了因式分解提公因式法，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：
，
，
，，
解得：，，
当，时，
原式
．
【解析】先算平方差，完全平方，再去括号，接着合并同类项，最后由非负数的性质求得，的值代入运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，非负数性质，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
21.【答案】平行且相等
【解析】解：如图，为所作；
与，平行且相等；
故答案为平行且相等；
如图，为所作．
利用网格特点和平移的性质画出、、的对应点、、，从而得到三角形．
根据平移的性质进行判断；
延长到是，延长到是，延长到是，从而得到三角形．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
22.【答案】解：，理由如下：
，已知，
垂直的定义．
又已知，
．
即．
．
【解析】根据垂直的定义得到，进而得到，即可判定．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
23.【答案】解：甲班的平均数为，
甲班的方差为，
把乙班名选手的复赛成绩从小到大排列为：，，，，，故中位数为；
填写下表：
班级 平均数分 中位数分 方差
七甲
七乙
因为两个班的平均数相同，甲班的方差小于乙班，所以甲班级的复赛成绩平衡性更好．
【解析】分别根据平均数、中位数以及方差的定义解答即可；
根据方差的意义判断即可．
本题考查方差、中位数、众数以及算术平均数，解答本题的关键是明确题意，掌握相关统计量的意义．
24.【答案】解：设打折前一件甲商品需元，一件乙商品需元，
根据题意得：，
解得：．
答：打折前一件甲商品需元，一件乙商品需元；
根据题意得：
元．
答：这比不打折前少花元钱．
【解析】设打折前一件甲商品需元，一件乙商品需元，根据“打折前，购买件甲商品和件乙商品需要元；买件甲商品和件乙商品需要元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
利用少花的钱数打折前甲商品的单价购买甲商品的数量打折前乙商品的单价购买乙商品的数量打折后的总花费，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
25.【答案】解：原方程化简得：，
分解因式得：，
所以或，
解得：或，
所以原方程的解为，．
【解析】方程变形后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
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