2022-2023学年湖南省长沙重点学校九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙重点学校九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的倒数是( )
A. B. C. D.
2. 如图是由四个完全相同的正方体组成的几何体，这个几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 截至北京时间月日时分，全球新冠病毒确诊人数突破例，数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 九章算术中“盈不足术”有这样的问题：“今有共买羊，人出六，不足四十五；人出八，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出元，则差元；每人出元，则差元．求人数和羊价各是多少？设买羊人数为人，则根据题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
6. 如图，是的直径，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
7. 某校书法兴趣小组名学生日练字页数如下表所示：
日练字页数
人数
这些学生日练字页数的中位数、平均数分别是( )
A. 页，页 B. 页，页 C. 页，页 D. 页，页
8. 在平行四边形中，，延长至，延长至，连接，则( )
A.
B.
C.
D.
9. 下列关于二次函数的图象和性质的叙述中，正确的是( )
A. 点在函数图象上 B. 开口方向向上
C. 对称轴是直线 D. 与直线有两个交点
10. 如图，在已知的中，按以下步骤：分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交、；作直线，交于，连结，若，，则下列结论中错误的是( )
A. 直线是线段的垂直平分线 B. 点为的外心
C. D. 点为的内心
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．
12. 在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的球，其中只有个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在左右，则的值约为____．
13. 如果关于的方程为常数有两个相等的实数根，那么______．
14. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线与矩形的边交于点，且：：，则矩形的面积为______．
15. 如图，为的直径，弦于点，已知，，则的半径为______．
16. 如图所示，已知正八边形内接于，连接、，相交于点若的半径为，以下结论错误的是______ 填序号
；；的面积为；．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17. 解不等式，并写出它的正整数解．
四、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
计算：．
19. 本小题分
长沙电视塔位于岳麓山顶峰，其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身某校数学社团的同学对长沙电视塔的高度进行了测量，如图，他们在处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进至处，测得仰角为参考数据：
求证：；
若学生的身高忽略不计，求该塔的高度？结果精确到
20. 本小题分
在月日世界读书日来临之际，为了解某校九年级班同学们的阅读爱好，要求所有同学从类书籍中：文学类；：科幻类；：军事类；：其他类，选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息回答问题：
九年级班的学生总数为______；
补全条形统计图；
在扇形统计图中，的扇形圆心角度数为______，的值为______；
如果选择类书籍的同学中有名女同学，其余为男同学，现要在选择类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率为______．
21. 本小题分
如图，点、、、在直线上、之间不能直接测量，点、在异侧，测得，，．
求证：≌；
若，，求的长度．
22. 本小题分
阅读下列材料：
张丘建算经是一部数学问题集，其内容、范围与九章算术相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”
译文：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
结合你学过的知识，解决下列问题：
若设母鸡有只，公鸡有只，
小鸡有______只，买小鸡一共花费______文钱；用含，的式子表示
根据题意，列出一个含有，的方程：______；
若对“百鸡问题”增加一个条件：母鸡数量是公鸡数量的倍多只，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
除了问题中的解之外，请你再直接写出两组符合“百鸡问题”的解．
23. 本小题分
如图，已知菱形中，对角线，相交于点，过点作，过点作，与相交于点．
求证：四边形是矩形．
若，，求四边形的周长．
24. 本小题分
如图，、是的两条弦，且于点．
如图：若，求证；
如图：若，，，求弓形的面积．
连结、、，若，
与具有怎样的数量关系，并证明．
在上存在点，满足，点是的中点，连结，已知，，求的半径．
25. 本小题分
党的二十大报告指出：“高质量发展”是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，在数学中，我们不妨约定：在平面直角坐标系内，如果点的坐标满足，则称点为“高质量发展点”．
若点是反比例函数为常数，的图象上的“高质量发展点”求这个反比例函数的解析式；
若函数为常数图象上存在两个不同的“高质量发展点”，且这两点都在第一象限，求的取值范围；
若二次函数是常数，的图象上有且只有一个“高质量发展点”，令，当时，有最大值，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
的倒数是，
故选：．
运用乘积为的两个数是互为倒数进行求解．
此题考查了求一个数倒数的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
2.【答案】
【解析】解：从左边看是竖着叠放的个正方形．
故选B．
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3.【答案】
【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
4.【答案】
【解析】解：、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，正确；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用二次根式的乘除运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：设买羊人数为人，则根据题意可列方程为．
故选：．
设买羊人数为人，根据出资数不变列出方程．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：如图，连接．
是直径，
，
，
，
故选：．
如图，连接求出即可解决问题．
本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
7.【答案】
【解析】解：由表格可得，
人数一共有：，
这些学生日练字页数的中位数：页，
平均数是：页，
故选：．
根据表格中的数据可以求得这组数据的中位数和平均数，从而可以解答本题．
本题考查中位数和加权平均数，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
8.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
故选：．
要求，只需求，而与互补，所以可以求出，进而求解问题．
主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．
9.【答案】
【解析】解：、把代入，
得，
A错误；
B、化简二次函数：，
，
二次函数的图象开口方向向下，
B错误；
C、二次函数对称轴是直线
，
C错误；
D、，
，
，
，
二次函数的图象与直线有两个交点，
D正确；
故选：．
A、把代入，求函数值再与点的纵坐标进行比较；
B、化简二次函数：，根据的取值判断开口方向；
C、根据对称轴公式计算；
D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．
此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质，掌握这几个知识点的应用，其中函数的问题转化为一元二次方程的问题是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：由作图可知，垂直平分线段，
，
，
，
，
点是的外心，
故选项A，，C正确，
故选：．
证明即可解决问题．
本题考查作图基本作图，三角形的外心，三角形的内切圆等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11.【答案】
【解析】解：要使式子在实数范围内有意义，必须
，
解得：．
故答案为：．
根据分式有意义的条件得出，再求出答案即可．
本题考查了分式有意义的条件，能根据分式有意义的条件得出是解此题的关键．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【解答】
解：由题意可得，，
解得，．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：，，，
，解得．
根据根的判别式为零时，有两个相等的实数根，就可以求出的值．
本题比较容易，考查一元二次方程根的判别式为零时有两个相等的实数根的应用．
14.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，
设点的坐标是，
双曲线与矩形的边交于点，且：：，
，，，
，，
矩形的面积是，
故答案为：．
设点的坐标是，根据已知得出，，，求出，，再根据矩形的面积公式求出即可．
本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能求出是解此题的关键．
15.【答案】
【解析】解：连接，
为的直径，，
，
设的半径为，
则，，
在中，，
，
解得：，
的半径为，
故答案为：．
连接，由垂径定理知，点是的中点，，在直角中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．
本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图，连接，，与交于点，
由题意可知，，，
是正八边形，
，
，
，，故正确；
所对的圆心角为，
所对的圆周角为，
，
，故正确；
，故正确；
若的半径为，
，
，
故错误．
故答案为：．
连接，，与交于点，先根据正八边形和圆的性质求出，再根据特殊角三角函数值求出的长，再根据圆周角定理和三角形的外角定理即可求出，最后根据三角形的面积公式求出的面积即可．
本题考查了正八边形与圆的综合，熟练运用正八边形的性质，特殊角的三角函数值，圆周角定理是解题的关键．
17.【答案】解：不等式，
解得，，
正整数解为和．
【解析】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．
18.【答案】解：原式
．
【解析】根据实数的运算法则进行运算即可．
本题考查实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，熟练这些知识是做该题的基础．
19.【答案】证明：由题意可知，，，，
，
，
；
解：由题意可知，，
由可知，，
在中，，
，
即该塔的高度约为．
【解析】由三角形的外角性质得，则，再由等腰三角形的判定即可得出结论；
在中，由锐角三角函数定义列式计算即可．
此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、等腰三角形的判定以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握锐角三角函数定义，证得为等腰三角形是解题的关键．
20.【答案】；
人，
补全条形统计图如下：
，；
。
【解析】解：人，
故答案为：；
见答案；
，，即，
故答案为：，；
用列表法表示从男女中随机选择人，所有可能出现的结果如下：
共有种能可能出现的结果，其中男女的有种，
所以恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率为，
故答案为：．
从两个统计图可知，样本中喜欢类图书的有人，占调查人数的，根据频率进行计算即可；
求出喜欢类图书的人数即可补全条形统计图；
的扇形圆心角度数占的即可，求出所占的百分比，即可得出的值；
用列表法表示从男女中随机选择人，所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及列表法或树状图法，掌握频率以及列表法表示所有可能出现的结果是正确解答的前提．
21.【答案】证明：，
，
在与中
≌；
≌，
，
，
，
，，
，
故FC的长度。
【解析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，属于基础题．
先证明，再根据即可证明．
根据全等三角形的性质即可解答．
22.【答案】解：， ；
；
设母鸡有只，公鸡有只，则小鸡有只，
根据题意得：，
解得：，
．
答：母鸡有只，公鸡有只，小鸡有只；
根据题意得：，
化简得：，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，舍去．
故除了问题中的解之外，以下四组答案，写出其中任意两组即可，公鸡有只，母鸡有只，小鸡有只；公鸡有只，母鸡有只，小鸡有只；公鸡有只，母鸡有只，小鸡有只；公鸡有只，母鸡有只，小鸡有只．
【解析】解：要买只鸡，且小鸡每三只值一文钱，
买了只小鸡，买小鸡花了文钱．
故答案为：；；
根据题意得：．
故答案为：；
见答案；
见答案．
根据共买鸡只，即可求出小鸡购买的只数，结合小鸡的价格即可求出购买小鸡的总花费；
根据总价单价数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于、的二元一次方程；
根据中的结论结合母鸡数量是公鸡数量的倍多只，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
根据总价单价数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于、的二元一次方程，结合、均为整数，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：由购买鸡的只数找出购买小鸡的只数；找准等量关系，正确列出二元一次方程；找准等量关系，正确列出二元一次方程组；结合、均为整数求出二元一次方程的解．
23.【答案】证明：，，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形，
，
，
平行四边形是矩形；
解：四边形为菱形，
，，，
在中，由勾股定理得，
，
，
四边形的周长．
【解析】本题主要考查矩形、菱形的判定和性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
由条件可证得四边形为平行四边形，再由菱形的性质可求得，则可证得四边形为矩形；
由菱形的性质可求得和，在中可求得，则可求得的长，则可求得答案．
24.【答案】解：如图，
连接，，
，，
，，
∽，
，
，
；
解：如图，
作于，作于，
，，
设，，则，，
由得，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
，，
，
弓形的面积；
如图，
，理由如下：
作于，作于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，
连接，交于，连接，作，交于，
，
，
，
，
，
∽，四边形是平行四边形，
，，，
由得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
由，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
圆的半径为．
【解析】连接，证明∽，从而，进一步得出结论；
作于，作于，，，则，，根据列出，在中，根据勾股定理列出 从而得出，的值，进一步得出结果；
作于，作于，可推出平分，可推出，，进而，进一步得出结果；
连接，交于，连接，作，交于，可推出∽，四边形是平行四边形，从而，，，进而得出的长，可推出，设，则，由，列出，从而求得的值，从而得出，，根据，从而求出，进一步得出结果．
本题考查了圆的有关性质，圆的有关计算，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造平行四边形、等腰三角形及相似三角形．
25.【答案】解：将代入，得：，即，
又因为是“高质量发展点”，
故，解方程组，得：或，
则这个反比例函数的解析式为或．
设图象上存在的“高质量发展点”坐标为，依据题意将代入得：，
由函数为常数图象上存在两个不同的“高质量发展点”可知：方程有两个不相等的实根，即，解得：，
且由韦达定理可知的两根之和为，两根之积为，
又因为这两点都在第一象限可得：，
解得：，
综上可得：．
设图象上存在的“高质量发展点”坐标为，将代入，可得，整理得，
根据图象上有且只有一个“高质量发展点”可知方程两根相等，即，变形得：，
因为，
所以，
故由抛物线性质：开口向下，对称轴为，顶点，
当时，有最大值，
分情况讨论最值情况：
当，即时，函数自变量取值在对称轴右侧，图像下降，
故当时有最大值，即，化简得：，得：，
，故舍去，
，
当且，即时，函数的自变量取值范围包括了顶点，即当，有最大值，解得：，
，
时函数自变量取值在对称轴左侧，图像上升，此时最大值当时取得，即：，整理得：，解得，
均不合要求，此时无解，
综上可得：或．
【解析】将代入得到关于，的方程，依据“高质量发展点”的定义得到关于，的另一个方程，解方程组即可；
设图象上存在的“高质量发展点”坐标为，依据题意可得含的一元二次方程，根据方程有两个不相等的实根对应，即可求出的取值范围；
设图象上存在的“高质量发展点”坐标为，将代入，可得含的一元二次方程，根据图象上有且只有一个“高质量发展点”可知对应方程两根相等，即，得出，的关系式，从而由变形为关于，的函数，根据函数性质分情况讨论最值即可．
本题结合新定义综合考查了二次函数的性质，关键是运用新定义设坐标结合二次函数增减性变化及最值取得的条件建立新的二次函数，第问运用分类讨论可条理清晰解决问题．
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