2022-2023学年湖南省常德市重点中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省常德市重点中学九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是( )
A. B. C. D.
2. 在，，，这四个数中，最小的数是( )
A. B. C. D.
3. 已知，则下列不等式变形不正确的是( )
A. B. C. D.
4. 将一副三角板如图摆放，使则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
5. 若，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
6. 帅帅收集了南街米粉店去年月日至月日每天的用水量单位：吨，整理并绘制成如下折线统计图．下列结论正确的是( )
A. 极差是 B. 众数是 C. 中位数是 D. 方差是
7. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
8. 若是不为的有理数，则我们把称为的差倒数如的差倒数为，的差倒数为已知：，是差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依次类推，的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 因式分解： ．
10. 计算的结果是______．
11. 为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区名初中学生进行调查．整理样本数据，得到下表：
视力
人数
根据抽样调查结果，估计该区名初中学生视力不低于的人数是 ．
12. 如图，在 中，、是上的两点，连接、、、请你添加一个条件______ ，使得四边形是矩形．
13. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值是 ．
14. 如图，、两点在反比例函数的图象上，、两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，，，则______．
15. 如图，是边长为的正三角形的内切圆，与边、均相切，且与外切，则的半径为______ ．
16. 如果两个无理数的积是有理数，那么称这两个无理数为一对伙伴数如与是一对伙伴数，与是一对伙伴数若两个无理数、是一对伙伴数，则下列四个结论：
与一定是一对伙伴数；
与一定是一对伙伴数；
与一定是一对伙伴数；
与可能是一对伙伴数其中正确结论的序号为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
17. 解不等式组
四、解答题（本大题共9小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
计算：．
19. 本小题分
先化简，再求值：，其中：，．
20. 本小题分
今年五一节期间，小欣一家乘出租车去飞机场乘机旅游，有两条路线可供选择：路线一的全程是千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高，因此能比走路线一少用分钟到达飞机场问走路线一时的平均车速是每小时多少千米？
21. 本小题分
如图，已知直线与反比例函数交于、两点，与轴交于点，与轴交于点点，且反比例函数的图象经过点．
求直线和反比例函数的解析式；
求的面积．
22. 本小题分
在“国际无烟日”来临之际，树人中学某班课外兴趣活动小组就一批公众对在餐厅吸烟所持的三种态度彻底禁烟、建立吸烟室、其他进行了调查，并把调查结果绘制成如图和图的统计图，请根据图中的信息回答下列问题：
本次抽样调查的样本容量是______ ；
被调查中，不吸烟者中赞成彻底禁烟的有______ 人；
现从名不吸烟者和名吸烟者中随机抽取人，求抽取到的人中至少有一名吸烟者的概率用树状图或列表法解答．
23. 本小题分
如图，已知某吊车吊臂的支点距离地面的高度米当吊臂顶端由点抬升至点吊臂长度不变时，地面处的重物大小忽略不计被吊至处，紧绷着的吊绳垂直于地面于点，垂直地面于点，吊臂长度米，且，．
求此重物在水平方向移动的距离；
求此重物在竖直方向移动的距离结果保留根号参考数据：，
24. 本小题分
如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点；过点作直线．
求证：是的切线；
若，求优弧的长．
25. 本小题分
如图，抛物线交轴于、两点，点坐标为，与轴交于点，以、为边作矩形交抛物线于点点为边不包括、两点上一动点过点作轴的垂线交于点，交于点，交抛物线于点．
求抛物线的解析式；
连结，在抛物线上是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
连结，当在上方的抛物线部分时，若以、、为顶点的三角形和相似，试求点的坐标，并判断此时的形状．
26. 本小题分
如图点是正方形中边上一点将沿翻折得到使点落在点处，延长与边交于点，直线与交于点．
如图，求证：；
如图，若直线与的延长线交于点求证：；
如图，若直线与、的延长线分别交于点、，交于点求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：点关于原点对称点的坐标是．
故选：．
根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
本题考查了点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，
最小的数是．
故选：．
根据负数正数和两个负数，绝对值大的反而小，即可得出答案．
本题考查了实数的大小比较，掌握负数正数；两个负数，绝对值大的反而小是本题的关键，是一道基础题．
3.【答案】
【解析】解：、，不等式的性质，，故A正确；
B、，不等式的性质，，故B错误；
C、，不等式的性质，，故C正确；
D、，不等式的性质，，故D正确；
故选：．
根据不等式的性质，可判断、；
根据不等式的性质，可判断；
根据不等式的性质，可判断．
本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
4.【答案】
【解析】解：如图，
，，
，
，
．
故选：．
由平行线的性质可得，利用三角的外角性质可求得的度数．
本题主要考查平行经的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
5.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
当时，
，
当时，
，
则其值为或．
故选：．
由已知条件可得，再利用幂的乘方的法则与同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了折线统计图，主要利用了极差、众数、中位数及方差的定义，根据图表准确获取信息是解题的关键．根据极差、众数、中位数及方差的定义，依次计算各选项即可作出判断．
【解答】
解：由图可知，月日至月日每天的用水量是：，，，，．
A.极差，结论错误，故A不符合题意；
B.各个数据出现次数均一样，故众数是的结论错误，故B不符合题意；
C.这个数按从小到大的顺序排列为：，，，，，中位数为，结论错误，故C不符合题意；
D.平均数是，
方差．
结论正确，故D符合题意；
故选D．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据旋转的性质得到，，，故A错误，C错误；得到，根据三角形的内角和得到，，求得，故D正确；由于不一定等于，于是得到不一定等于，故B错误．
【解答】
解：将绕点顺时针旋转得到，
，，，故A错误，C错误；
，
，，
，故D正确；
不一定等于，
不一定等于，故B错误．
故选D．
8.【答案】
【解析】解：根据差倒数的定义知，以这个数为一组，第个数为第组数的第个数据，则，那么．
故选：．
根据差倒数定义计算得出，依次推导个数据为一组，，．
本题考查了有理数运算，解决本题的关键是一组数据的规律．
9.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式，
故答案为．

10.【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：．
原式各项化为最简后，合并同类二次根式即可得到结果．
此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
用总人数乘以样本中视力不低于的人数占被调查人数的比例即可得．
【解答】
解：估计该区名初中学生视力不低于的人数是人，
故答案为：．
12.【答案】答案不唯一
【解析】解：添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是，理由如下：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形．
故答案为：答案不唯一．
由平行四边形的性质可知，，，再证，则四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一元二次方程的根的判别式．
根据一元二次方程有两个不相等的实数根，利用判别式求解即可．
【解答】
解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
的最小整数值是．
14.【答案】
【解析】解：设，，，，则
，
，
得
同理：，得
又
解得：
设出，，，，由坐标转化线段长，从而可求出结果等于．
本题考查反比例函数上点的坐标关系，根据坐标转化线段长是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：设与切于，与相切于，连接，连接，，，
，，
，
平分，
，
是等边三角形，
，
，
同理：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由切线的性质得到，，又，得到平分，因此得到，同理得到，故，推出，
由锐角的正切即可求出的长．
本题考查切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，三角形的内切圆与内心，等腰三角形的性质，关键是由以上知识点推出，得到是中点，应用锐角的正切即可求解．
16.【答案】．
【解析】解：两个无理数、是一对伙伴数，
是一个有理数，与是无理数，
两个无理数、是一对伙伴数，
与一定是无理数，
是一个有理数，
与一定是一对伙伴数，故结论正确；
两个无理数、是一对伙伴数，
，故结论正确；
两个无理数、是一对伙伴数，
与一定是无理数，但不一定是有理数，故结论不正确；
两个无理数、是一对伙伴数，
与一定是无理数，
，
当时，是有理数，故结论正确，
其中正确结论的序号为．
故答案为：．
根据两个无理数为一对伙伴数的概念对每个结论中的两个数先判断是否是无理数，然后再计算结果，判断结果是否是有理数，即可得出答案．
本题主要考查了实数的概论和运算的应用，利用题目中给的新定义去推理计算是解题的关键．
17.【答案】解：由不等式得：，
由不等式，得：，
所以原不等式组的解集是：．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】解：原式
．
【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及有理数的乘方运算法则、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
19.【答案】解：原式
，
当，时，原式．
【解析】根据分式的除法法则把原式化简，根据特殊角的三角函数值分别求出、，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：设走路线一时的平均车速是每小时千米，则走路线二时的平均车速是每小时千米，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：走路线一时的平均车速是每小时千米．
【解析】设走路线一时的平均车速是每小时千米，则走路线二时的平均车速是每小时千米，利用时间路程速度，结合走路线二能比走路线一少用分钟到达飞机场，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21.【答案】解：反比例函数的图象经过点．
，
反比例函数的关系式为，
点在反比例函数的图象上，
，
点，
点在直线上，
，
直线的关系式为，
答：直线的关系式为，反比例函数的关系式为；
由于方程组的解为，，
点，
点，
当时，即，
，
即点，
，
答：的面积为．
【解析】根据反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，求出反比例函数的关系式，再确定点的坐标，确定一次函数的关系式即可；
求出一次函数和反比例函数的交点坐标，确定点的坐标，再由三角形面积之间的和差关系进行计算即可．
本题考查一次函数、反比例函数的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．
22.【答案】
【解析】解：本次抽样调查的样本容量是，
故答案为：；
被调查中，不吸烟者中赞成彻底禁烟的有人，
故答案为：；
列表如下：
不吸 不吸 不吸 吸 吸
不吸 不吸，不吸 不吸，不吸 吸，不吸 吸，不吸
不吸 不吸，不吸 不吸，不吸 吸，不吸 吸，不吸
不吸 不吸，不吸 不吸，不吸 吸，不吸 吸，不吸
吸 不吸，吸 不吸，吸 不吸，吸 吸，吸
吸 不吸，吸 不吸，吸 不吸，吸 吸，吸
由表知，共有种等可能结果，其中抽取到的人中至少有一名吸烟者的有种结果，
所以抽取到的人中至少有一名吸烟者的概率为．
由其他类别人数及其所占百分比可得样本容量；
总人数乘以彻底禁烟人数所占比例，再减去吸烟者人数即可得出答案；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．也考查了扇形统计图和条形统计图．
23.【答案】解：过点作，垂足为，交于点．
，，
四边形是矩形．
，．
在、中，
，，
米，
米．
米．
答：此重物在水平方向移动的距离米；
，，，，
四边形、四边形是矩形．
米．
在、中，
，，
米，
米．
米．
米．
米．
答：此重物在竖直方向移动的距离为米．
【解析】过点作交于点，在、中，利用直角三角形的边角间关系分别求出、，再利用线段的和差关系及矩形的性质得结论；
在、中，利用直角三角形的边角间关系及矩形的性质分别求出、，再利用线段的和差关系得结论；
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及矩形的性质和判定是解决本题的关键．
24.【答案】证明：连接交于，如图，
点是的内心，
平分，
，
，
，
，
，
是切线；
解：连接，，如图，
点是的内心，
平分，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
又，
是等边三角形，
，，
，
优弧的长是．
【解析】连接交于，利用三角形的内心及平行线的性质即可得出结论；
连接，，利用三角形的内心可得，再利用得，进而是等边三角形，由弧长公式计算即可．
本题主要考查了三角形的内切圆与内心，切线的判定，弧长公式等相关知识，熟练掌握圆的知识点是解决本题的关键．
25.【答案】解：抛物线与轴交于点，
，
抛物线交轴于点坐标为，
，
，
；
假设存在点，使四边形是平行四边形，
，
设的解析式为：，
，
，
，
设，，
，
，
，
化简得：，
，
原方程无解，
即：不存在点使得四边形是平行四边形；
，
∽，
与相似，
与相似，
，
∽或∽，
设，则，，
，，
如图，
当∽时，
，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
如图，
当∽时，，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
【解析】将，两点坐标代入抛物线的解析式，求得，的值，进而求得结果；
求出的解析式，设出点坐标和坐标，进而表示出，由列出方程，进一步得出结果；
可推出与相似，从而得出∽或∽，设，则，，表示出，，当∽时，从而，得出，求得的值，进而得出结果；当∽时，同样的方法求得结果．
本题考查了求二次函数及一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质平行四边形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．
26.【答案】证明：如图，连接，
四边形是正方形，
，，
将沿翻折得到，
，，
，，
又，
≌，
；
由可得：≌，
，
，
，
又，
∽，
，
；
，
∽，
，
，
，
又，
∽，
，
．
【解析】由“”可证≌，可得；
通过证明∽，可得，即可得结论；
通过证明∽，可得，通过证明∽，可得，即可得结论．
本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
第1页，共1页